О температурной зависимости коэрцитивности спечённых редкоземельных магнитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

О температурной зависимости коэрцитивности спечённых редкоземельных магнитов.

С.Н. Сазонов

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет.

ВВЕДЕНИЕ

Температурная зависимость коэрцитивной силы Нс порошковых магнитов Бе Рг В при Т > 200 К хорошо описывается эмпирической формулой из [1]:

Н/ М = На 4п-N т

с ' М (1)

Здесь Ms - намагниченность насыщения магнитной фазы Бе^Р^В (в дальнейшем - ф - фаза), НА = 2 К1 / М3 - так называемое поле анизотропии

магнита, К1 - первая константа анизотропии ф - фазы, а и N - параметры, зависящие от размеров и формы «среднестатистического» магнитного зерна, но не от температуры. Формула (1) может легко быть выведена при

некоторых упрощающих предположениях. Именно, пусть зёрна ф - фазы в идеально текстурированном по оси Ох магните представляют собой усечённые кубы с осями лёгкого намагничения (ОЛН), направленными по диагоналям граней ( рис. 1). В состоянии остаточного намагничения, размагничивающее поле Нр кристаллита такой формы пространственно неоднородно по величине, но почти не меняется по направлению. Можно записать, что Нр = - 4п Щ(г) М3 - г2 и считать N(7*) локальным размагничивающим фактором. Тогда энергия зерна во внешнем поле

Г ^ (С16Л2 / \ I

Ж = Ик^фт26 + А — + М8-(Нт + Н ^бЫУ

1 Сх * вн Р

(2)

{ Рис. 1 Профиль магнитного зерна. Заштрихована область формирования зародыша обратной намагниченности. }

В этой формуле А - обменный параметр, в - угол отклонения вектора локальной намагниченности М(г) относительно оси Ох. Величины А и по тем - же причинам, что в [2], считаются константами, а зависимость Ку(г) предполагается имеющей вид

Ку ( г ) = Ку /( х /х0 ) (3)

Здесь / - гладкая монотонно возрастающая к единице функция, х -координата по перпендикуляру вглубь зерна от его границы (ГЗ) в месте формирования зародыша обратной намагниченности, а хо - характерная глубина проникновения внутрь кристаллита примесей, локально уменьшающих анизотропию.

В дальнейшем удобно проводить расчёты, используя безразмерные переменные

A) для длины - у = х / ( V Ку /А ) = х / й Б) для поля - е= Н / НА = Н / ( 2 Ку /М )

B) для энергии - ш= Ж /( Ку й )

Г) для второй константы анизотропии - р = | К2 | / К у

Введённая ранее функция / ( х ) становится теперь функцией переменной у , причём комбинация х / хо принимает вид х / хо = в ■ у , где в = й / хо -безразмерный параметр. В новых переменных

2

Аш = |{/(в • y) • cos2e+ — + 2(s + Q) • cose \d3y

v dy) Q

(4)

где Q = К / 2 n Ms2 - фактор качества материала. Пусть е(у ) - решение

вариационной задачи (4), а e¡ = е(у = 0) - угол отклонения от оси Oz крайного спина, находящегося на поверхности зерна. С увеличением внешнего поля s, этот угол возрастает и при некотором критическом значении £кр = а , функция ei(s) расходится, так что

(ds/de) а = 0 (5)

Последнее равенство выражает собой явление перемагничивания

кристаллита [3]. Если зависимостью толщины 5 = п d доменной стенки (ДС)

и, соответственно, параметра в от температуры пренебречь, то а - число и (1) становится очевидным. Иная ситуация имеет место для низких температур. В около - азотной температурной области, одной константы для описания магнитной анизотропии соединения Fe14Pr2B недостаточно и надо считать, что энергия анизотропии зависит от угла в как

w(e) = кг • sin2 e + k2 • sin4 e = k1 • (sin2 e - p • sin4 e) (6)

При этом а посредством р становится функцией температуры и линейность зависимости (Нс / 4п Ms) от (НА / 4п Ms ) нарушается. Ниже сделана попытка рассчитать коэрцитивность, не пренебрегая 2 - ой константой анизотропии, в предположении, что в любой точке зерна, К2(г) = р •К1 (r).

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

В формуле (2) под интегралом стоит трёхмерный дифференциал dV. Это соответствует изменению площади ДС при её движении вглубь зерна в общем случае. Для упрощения выкладок будем считать модель одномерной. В геометрии рис. 1, это соответствует формированию спиновой неоднородности вблизи середины одного из рёбер, например АВ, где максимально размагничивающее поле. Если пренебречь вкладом в энергию от периферийных областей зародыша обратной намагниченности, то d V = S •dx , где, в первом приближении, S = const в процессе его формирования. От идеальности текстуры в дальнейшем лучше отказаться и использовать более реалистичную модель с лёгкими осями зёрен,

повёрнутыми относительно оси текстуры / на один и тот - же небольшой, но отличный от нуля угол 6о (рис. 2). Ребро же АВ, у середины которого

г

>

♦

{ Рис. 2 Перемагничивание ГЗ - области в поле, направленном по оси текстуры. Тонкие стрелки - векторы локальной намагниченности. } формируется область обратной намагниченности, не уменьшая общности

можно считать перпендикулярным В полях, характерных для

перемагничивания Бе Рг В - магнитов при Т < 300 К, энергия неелевской доменной стенки во внешнем поле значительно превосходит её магнитостатическую энергию, поэтому последней можно пренебречь и считать, что разворот спинов на рис. 2 происходит в плоскости Oхz. Таким образом, исследуемый функционал энергии имеет вид

1 -р

2 4 "'8

Аш = |< f (в) • (20 - ^20в) - Р(40 - ^40х)

+

' 0 \ 4у у

+ 2б • (cos(0 + 0) - + 00)) \4у- — (7)

где 0оо - угол, на который отклоняются спины в центральной бездефектной части зерна и определяемый как решение уравнения

. _ _ ч ^ ч sin20 sin40 £• Sin(0oэ + 0о) = (1 - р)--+ р

2 ^ 4 (8)

В качестве функции / было выбрано f (X) == 1 - С • е х/Х0 с подгоночным

параметром С < 1. Такая функция, как представляется, вполне подходит для описания кристаллической решётки, «забитой» вблизи ГЗ примесями внедрения, проникшими туда в результате диффузии в ходе размола шихты и спекания порошка. Размагничивающий фактор N был взят равным N = 1.4 по данным работы [4]. Такое значение N соответствует для зерна диаметром

Б ~ 10 размеру ребра среза порядка 70 А [5]. Строго говоря, поле Нр при этом пространственно неоднородно в объёме зародыша и его надо усреднять

по области толщиной в несколько 5. Представляется, однако, что данный факт не является принципиальным.

А 1 к

/В / | 4пЫ

I / 100 ^5 50 Н [кЭ]

{ Рис. 3 Петля гистерезиса порошкового магнита Бе^Р^ В30 в упрощённом виде } Для дальнейшего необходимо также задаться типичными значениями

параметра £ для зёрен ф - фазы. Из вида петли гистерезиса, приведённой для магнита Р^Бе^В^ в работе [4], можно определить примерный интервал полей переключения намагниченности зёрен при Т = 100 К. На рис. 3, эта петля перерисована в сильно упрощённом виде кусочно - линейной функции. Найдя из него (Нс)тш и (Нс)тах и оценив внутреннее размагничивающее поле в

зернограничной области как Hр= 4пN • Ms ~ 23 кЭ, получаем, что истинное поле перемагничивания кристаллитов Н' = Нр + Нс лежит в интервале от 80 до 115 кЭ ( диполь - дипольным взаимодействием их между собой для модельных магнитов Р^Бе^В^ можно пренебречь). Взяв для поля анизотропии значение ЯА (100 К) = 280 кЭ ( данные по и К1 - из [6]),

находим £ с [ 0.27 , 0.4 ]. С ростом температуры, величина £ будет

возрастать в связи с постепенным «выключением» второй константы анизотропии К2 и, соответственно, параметра р. Значение р меняется, согласно [1], примерно от 0.3 для гелиевых температур до нуля для температур выше 250 К. Зная эти числовые параметры, можно приступить к подробным расчётам коэрцитивности.

МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНОГО РАСЧЁТА

Будем варьировать функционал (6) при закреплённом спине в центре зерна: в (у — да) = 0оо = const , и свободном граничном спине в1 . Тогда

5ш(0( y)) = \{f(Py)sin20-2ssin0- 20} • dy + 2 — •(50) J dy

y=o r/;

(9)

( для краткости записи взято p = 0 и в0 = 0). От обычной вариации, это выражение отличается наличием второго слагаемого. Поскольку дв произвольно, наряду с уравнением Эйлера - Лагранжа

в\ У) = f вУ) • íР sin 2в + Р sin 4в)-е- sin (во + в) (10)

V 2 4 )

должно выполняться краевое условие

(de/dy)0 = 0 (11)

которое вместе с очевидным требованием монотонности функции в (y) даёт

возможность построить алгоритм численного решения (10). Именно, начав с

в1= воо , будем пошагово увеличивать в1 на небольшой угол ав, решая каждый раз задачу Коши с начальным условием (11). На некотором шаге n, ход решения изменится: вместо монотонно убывающего в (y) пересекающего

линию в1 = во при каком - то y, получится решение, проходящее через минимум втщ (втщ > во ) , a затем начинающее возрастать. Очевидно, что

да

0

истинное значение 01 удовлетворяет неравенству 01п < 01 < 01п1 . Зная 01 как функцию 8, можно определить поле перемагничивания зерна из (5). Зафиксируем определённый угол 0о , скажем 0о = 15о. Если С = 1, что соответствует полностью потерявшему анизотропию граничному слою атомов, то, как показал компьютерный расчёт, точке А на рис.3 с её

значением 8 = 0.266, соответствует величина параметра дефектности в = 0.4 (зерно №1), а более высокому значению 8= 0.326 (точка В, зерно №2) - в = 0.625. Положив для толщины ДС в ф - фазе значение 5 = 45А, получим в

размерных переменных хо ~ 38 А (зерно №1), хо ~ 24 А (№2). Эти числа на порядок больше межатомного расстояния, что оправдывает используемое в данной работе приближение микромагнетизма. Если теперь при фиксированных в, менять р от 0.3 до нуля, то получим неявную зависимость 8 от температуры. Результаты приведены на рис. 4. Наиболее существенны две детали:

А): почти идеальная линейность кривых во всём интервале изменения аргумента

{ Рис.4 Зависимость поля 8 от коэффициента р. Нижняя сплошная линия -

зерно №1, верхняя - зерно №2. }

Можно сказать, что в первом приближении

8(р) = 8(0) - к • р (12)

где к не зависит от 8(р = 0). Теперь будем менять одновременно в и С так,

чтобы 8 (р=0.25) оставалось фиксированном ( р = 0.25 соответствует температуре около 100 К). Соответствующие пары подгоночных параметров приведены в таблицах 1 - 2 для зёрен №1 и №2 соответственно:

Таблица 1: Таблица 2:

в 0.4 0.175 0.08

С 1.000 0.745 0.635

в 0.625 0.345 0.221

С 1.000 0.745 0.635

Как показало моделирование, зависимость 8 (р) при этом почти не меняется. Малая разница в виде кривых делает неудобным их графическое представление, поэтому результаты суммированы в таблицах 3 - 4

Таблица 3 (зерно №1):

р 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

8(С=1) 0.303 0.295 0.287 0.279 0.272 0.266 0.260

8(С=0.635) 0.301 0.293 0.285 0.278 0.272 0.266 0.260

Таблица 4 (зерно №2):

р 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

8(С=1) 0.370 0.360 0.350 0.341 0.333 0.325 0.318

8(С=0.635) 0.369 0.359 0.349 0.341 0.333 0.325 0.319

( Значения 8 для случая С = 0.745 не приводятся, так как лежат всё время между 8 (С=1) и 8 (С=0.635)). Если продолжить уменьшать подгоночные

параметры, то в конце концов придём к ситуации с в = 0, то есть пространственной однородности анизотропии. Для нахождения значения С, реализующего при этом ту - же величину коэрцитивности £ (р=0.25), обратимся к формулам теории когерентного вращения, приведённым в [1]. Именно:

£в.) = £(0) • [ -(1 + Л)"21-1 • 1 - 2+А) (13)

где Л = ((£во )23. Подставив сюда р = 0.25, во = 15о и е = 0.266, получим для

этого случая С = 0.495 и

£(р) = 0.312-(1 - 0.587р) (14)

Соответствующий график показан на рисунке 4 штриховкой. Здесь уже вполне заметна разница с зависимостью £ (р) для остальных трёх пар подгоночных параметров зерна №1. Для р = 0 она составляет около 3%. Таким образом, основные изменения в виде зависимости £ (р) происходят при уменьшении в от примерно в = 0.05 до нуля. Однако эти значения

представляются гипотетическими - так, в = 0.04 соответствует хо ~ 380 А, что уже заметно превосходит величины, принимаемые за размер дефектного зернограничного слоя [7 - 8].

Резонно предположить, что обнаруженный выше факт независимости коэрцитивности от величины в в широком интервале изменения последней характерен не только для во = 15о. Действительно, замена в компьютерной программе этого угла на 7.5о дала результаты А): для пары подгоночных параметров в = 0.4 и С = 1

р 0.00 0.25 0.30

£ (С=1) 0.340 0.310 0.306

Б): для пары подгоночных параметров в = 0.158 и С = 0.745

p 0.00 0.25 0.30

£(С=0.745) 0.339 0.310 0.306

Зависимость £ (p), как легко видеть, почти линейная, но с другим (меньшим) коэффициентом наклона. Последнее легко понять, так как с уменьшением во , уменьшается и величина угла в1 непосредственно перед началом процесса

перемагничивания. В пределе во — 0, будет и в1 — 0. Но при этом слагаемое с sin4 в в (6 ) не вносит никакого вклада в энергию. Поэтому для идеального в смысле текстуры магнита зависимость (Нс / 4п Ms) от (НА / 4п Ms ) должна была бы быть линейной в широком температурном интервале вплоть до гелиевых температур. В реальных магнитах сегодняшнего дня, разные зёрна отклонены на различные ( в среднем, согласно [4], на 15 - 20о) углы относительно оси текстуры. Усредняя для такого магнита (12) по углу во , получим:

£p) = £в0) - ВД) • p = b - k • p (15)

где, в силу вышеизложенного, k не зависит от £(в0,0) определяемого

деталями микроструктуры, а только от характера текстуры. Возвращаясь к размерным переменным, приходим к равенству

2

H =

Me

(b • K - k • K2)-4nN • Ms

(16)

Это выражение обобщает формулу (1) на случай наличия высших констант анизотропии. На рисунке 5 показана температурная зависимость коэрцитивности в безразмерных переменных, построенная в соответствии с результатами работы [4]. Точки №1,2 и 3 соответствуют Т = 300, 250 и 200 К (область р = 0) и лежат на одной прямой, от которой заметно отклоняется точка №4 ( Т = 100 К ). Это отклонение, по - видимому, и объясняется «включением» высших констант анизотропии при глубоком охлаждении

c

{ Рис 5 Температурная зависимость экспериментально наблюдаемой коэрцитивности в магните Fe53Pri7B30 ...)

образца. Автором была сделана попытка оценить это отклонение в вышеизложенной модели, когда все ОЛН зёрен составляют угол во = 15о с

осью текстуры. Для этого параметры в и С подгонялись под £ (p = 0) из [4] по вышеизложенной методике. Результат оказался заниженным на 30% , что на рисунке 5 показано точкой №5. Скорее всего, последнее связано просто с примитивностью взятого предположения во = const. В принципе, в

линейности зависимости £ (p) нет ничего удивительного - в небольших пределах изменения аргумента, она соответствует просто первому порядку теории возмущений по p. Однако интервал p = [0 ; 0.3] достаточно широк и линейность во всём этом интервале уже не очевидна. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одной из основных задач физического материаловедения является задача о связи микроструктуры объекта и его макроскопических свойств. В данной работе объектом выступает постоянный магнит, а структурно -

чувствительным параметром - его коэрцитивная сила Нс. Было бы чрезвычайно заманчиво по виду одной только температурной зависимости Нс

уметь оценивать степень дефектности зёрен ф - фазы. Однако теория, развитая выше, показывает принципиальную невозможность этого: зёрна с различной степенью дефектности могут иметь одну и ту - же зависимость Нс(Т), если у них определённым образом скоррелировано с в значение коэффициента анизотропии граничного слоя К( x =0). Сформулированную задачу можно было бы решить, если бы каким - либо независимым способом определить величину константы С, типичную для зёрен магнита. Резонно предположить, что должно выполняться строгое неравенство С < 1, т.е. диффузия примесей не уничтожает полностью магнитной анизотропии даже на ГЗ, однако более точно ничего пока сказать нельзя. Возможно, в прояснении ситуации могут помочь данные по угловой зависимости коэрцитивности, но это предмет отдельной статьи.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Kou X.C.,Kronmuller H., Givord D., Rossignol M. Coercivity mechanism of Pr17Fe75B8 and Pr17 Fe53B30 permanent magnets // Phys. Rev., 1994, vol. 50,

n. 6, p. 3849 -3860

2. Сазонов С. Н. Об угловой зависимости коэрцитивности спечённых РЗМ магнитов при низких температурах // ФММ , 2002 , том 93 , № 1, стр. 53 - 58

3. Крюков И. И., Мысовская Л. Н., Сахаев К. С. Микромагнетизм одноосного магнетика с пластинчатым выделением при произвольной ориентации внешнего магнитного поля // ФММ, 1990, №10, стр. 37 - 45

4. Martinec G., Kronmuller H., Hirosawa S. Angular dependence of coercivity in Pr- Fe- B magnets // J. of Magn. and Magn. Mater. 1990, vol. 89, p. 369 - 374

5. Zijlstra H. Permanents magnets. A handbook on the properties. Ed. by Wohlfahrth E.P. // North - Holland 1984, v. 3, p. 37 - 105

6. Bushow K. New permanent magnetic materials // Material Science Reports

1986, vol. 1, p.1 - 64.

7. Valiev R.Z. // in Nanophase Materials ed. By G.Hadjipanayis, R.Siegel NATO ASI Series 260 ( Kluwer Academic Dordrecht, Netherlands, 1994 ), p.275 - 282

8. Fitzsimmons M., Roll A., Burkel E. The magnetization density profile of grain boundary in Ni // Journal of Applied Physics, 1994, vol. 76, n.10, p. 6295 - 6300