О телах вращения минимального звукового удара Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXVII 20 06 № 3

УДК 534.83: 629.735.83

О ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ МИНИМАЛЬНОГО ЗВУКОВОГО УДАРА

Ю. Л. ЖИЛИН, Л. Г. ИВАНТЕЕВА, С. Л. ЧЕРНЫШЕВ

Решена задача об эквивалентных телах вращения оживального типа с минимальной интенсивностью головной и хвостовой ударных волн при заданных длине тела и площади концевого сечения. Приведен пример использования полученных результатов для определения теоретического минимума звукового удара от легкого самолета с заданными параметрами.

Понятие эквивалентного тела вращения в теории звукового удара имеет фундаментальное значение, так как позволяет свести задачу об определении поля течения около сложной компоновки летательного аппарата к задаче обтекания некоторого тела вращения. Главный аэродинамический эффект, на котором основан такой подход, заключается в квазидвумерности асимптотического поля течения около тонких компоновок. Это означает, что возмущения однородного потока газа на больших расстояниях от их источника распространяются независимо друг

от друга в каждой меридиональной плоскости, проходящей через ось летательного аппарата. Поэтому профиль волны давления и поле возмущенных скоростей на большом расстоянии от летательного аппарата будут такими же, как и от эквивалентного тела вращения. При этом форма тела зависит от распределения не только площадей сечения самолета плоскостями, касательными к поверхности конуса Маха, но и подъемной силы.

Благодаря такой аналогии многопараметрическая задача о минимизации уровня звукового удара от самолета сводится к более простой задаче для эквивалентного тела вращения. Полученная при этом информация позволяет установить теоретический минимальный уровень звукового удара от самолета и необходима при разработке оптимальных аэродинамических компоновок.

Задача об эквивалентных телах вращения, обладающих минимальным уровнем звукового удара, рассматривалась многими авторами (см. библиографию в работах [1, 2]). Однако в опубликованных работах приводятся недостаточно полные конкретные данные для проведения анализа в широком диапазоне изменения параметров. Например, в [1] число Маха изменяется от 2.5 до 3.5, что находится вне или на границе чисел М полета сверхзвукового пассажирского самолета (СПС), при этом не содержится никакой информации о форме оптимальных тел. В работах [1, 2] ограничены также узкой областью весовые характеристики и размерность рассматриваемого класса самолетов. Требует уточнения и сама постановка задачи, так как при определении минимальной интенсивности головной ударной волны совершенно не обсуждается вопрос об интенсивности хвостовой ударной волны, которая может быть больше головной. Поэтому возникла необходимость в разработке метода решения задачи об эквивалентных телах вращения, обладающих минимальным уровнем звукового удара в более широком диапазоне параметров и в более практической постановке.

В настоящей статье приводятся описание метода и результаты расчета, представленные в виде зависимостей от параметра подобия теории звукового удара. Это позволило существенно упростить представление расчетных данных и перекрыть диапазон применимости результатов работы [1]. Приводятся полная информация, необходимая для построения оптимальных тел, и пример практической реализации метода для легкого самолета бизнес-класса с заданными параметрами. Рассмотрена также задача об эквивалентных телах вращения, которые не создают ударные волны на больших расстояниях. Сформулированные условия, при выполнении которых отсутствуют ударные волны, являются необходимыми и достаточными для головной ударной волны и только необходимыми для хвостовой.

I. Рассмотрим задачу об эквивалентном теле вращения, которое обладает минимальным уровнем интенсивности головной и хвостовой ударных волн при заданных длине и площади концевого сечения. Будем предполагать, что интенсивность головной ударной волны равна интенсивности хвостовой.

В теории звукового удара большое значение имеют функции Уитхема Ф(п) и Р (п), которые определяются следующими выражениями:

где ^ (х) — площадь поперечного сечения эквивалентного тела вращения, безразмерное расстояние х и п отсчитываются от носка тела. Физический смысл функции Р заключается в том, что она пропорциональна начальному распределению возмущенного давления около тела. Профили волны давления при звуковом ударе определяются из уравнений

звукового удара [3] характеризует удаленность возмущения от тела, он зависит от состояния неоднородной атмосферы, режима полета самолета, его веса и длины, положения наблюдателя относительно трассы полета и не зависит от формы самолета. Коэффициент к [3] имеет

размерность давления и зависит от тех же параметров, что и параметр подобия к. Эти величины для модели слоистой атмосферы легко вычисляются путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений [4].

В опубликованных работах было показано, что оптимальные функции Уитхема соответствуют эквивалентному телу, изменение площади поперечного сечения которого по длине является комбинацией степенных функций. На рис. 1, а приведены примеры расчета эпюры избыточного давления р (t) ударной волны от степенных тел вращения оживального типа, задаваемых формулой

при значении параметра подобия к, равном 0.1. Полученные эпюры в соответствии с известной классификацией [5] можно разделить на три типа: эпюра ^образной формы (Ь = 0.2), эпюры с характерным пологим участком — полочкой (Ь = 1; 1.5), эпюры с конечным временем нарастания избыточного давления (Ь = 2.5; 3.0). При увеличении параметра к (что равносильно удалению от тела) происходит постепенная трансформация всех эпюр давления в эпюры ^образной формы. На рис. 1, б показана зависимость наибольшего избыточного давления безразмерной эпюры от параметра подобия к и показателя степени Ь. Отсюда можно приближенно определить решение задачи о минимуме наибольшего избыточного давления в ударных волнах от тел степенной

р ^ ) = к1Р (п), t = п-кР (п),

где р ^) — избыточное давление, t — безразмерное время. Параметр подобия к теории

Рис. 1:

а — эпюры избыточного давления р) для степенных тел вращения при к = 0.1 (? — безразмерное время); б — зависимость амплитуды ударных волн от параметра Ь при различных к

формы при заданных значениях длины и площади миделя тел. Решение задачи в ближнем поле

дает тело с распределением площади £ (х) = х3 , а в дальнем поле £ (х) = х1 , причем первому

решению соответствует эпюра с горизонтальной полочкой, второму — эпюра ^образной формы. Этот результат, полученный здесь численно, известен в литературе [6—8].

Поэтому, опуская теоретическое обоснование, сразу будем находить решение сформулированной задачи в классе тел следующего вида:

—к£(х) = А0 х1/2 + Л1х3/2 + Л2х5/2 + ГВ1 (х - а)3/2 + В2 (х - а)5/2 ] Н (х - а),

8 I- -I

где Л и В{ — некоторые коэффициенты, которые нужно определить из решения задачи; Н (г) — функция Хевисайда: Н (г ) = 0 при г < 0, Н (г) = 1 при г > 0, х и а — расстояние от носка тела,

отнесенное к его длине.

Все величины в последней формуле безразмерны. Здесь специально не оговаривается, какая величина взята в качестве характерной площади поперечного сечения. В случае эквивалентного тела существуют, по крайней мере, три такие площади. При выборе конкретной характерной площади соответственно будет также меняться выражение для параметра подобия к. Введение множителя при функции £ (х) позволяет упростить дальнейшие выкладки.

Функции Ф и Р в данном случае также безразмерны. Так как производная

3^кБ'(х) = Л)х_1/2 + 3Л1 х1/2 + 5Л2х3/2 + 3В1 (х - а)12 + 5В2 (х - а)3/2 Н (х - а),

имеет смысл ввести в рассмотрение следующие функции:

, ч 1 (х -X) й Ф п (п, X) , ч

Ф" (п. Я)=К /х, / (п, Я)= ")П > (п = О,1,2,...),

IV(х -Я)(п- х) й п

где А,1 = п при п < 1 и А,1 =1 при п > 1, а величина X равна нулю или а. Эти функции вычисляются с помощью рекуррентных формул.

При 0 < п < 1

Фп (п, Х) = (2п -12)/(п-Х)Фп-1 (п, X); К (п, х) = -Фп-1 (п, Х) + (п-Х)/ (п, X)-;

Ф0 = П , К (п) = 8(п),

где 5(п) — дельта-функция (5(п) = 0 при п>0, 5( 0) = да).

При п > 1

. , (2п -1)(п-Х) . (1 -Х)( 2п-1^^л/л-1

Ф п (п, X) = *---Ф п-1 (п, X) - ^’ п ;

2 - 1 (1 - 1 )(2п-1У2

К (п, X) = ГФп-1 (п, X)+(п - X) к-1 (п, X)] - Ц-4

Л I ~п-1\-\?--; VI '7 п-ц-р-7| /

2п 2п л/п-1

Ф0 (п, X) = 2агс8т

V

п-^ ’ (п-X)

Из этих выражений следует, что /п (п, X) = -да при п = 1+ .

Приведем также выражения для этих функций при п = 1 и п = 2 .

При п < 1

Ф1 (п,X) = П(п-X); / (п,X) = ■~; Ф2(п,X) = 3П(п-X)2; /(п, !) = ^(п^).

При п > 1

Ф1 (п. X) = Ф 0 (п, х)-,/(1 -!)(п-1);

Ф0(пЧ + Сп-ЧК(п.

Ф2 (п. Ч =3 (п - ЧФ1 (п. Ч - -2 (1 - Ц3'2,/ (п-1);

К2 (п. ^| -Ф1 (п X) + (п-X) К (п. X)- - .

Суммируя полученные результаты, получим 3п

—кФ (п) = АФ0 (п, 0)+ 3Л1Ф1 (п, 0) + 5Л2Ф2 (п, 0) + Г3В1Ф1 (п - а) + 5В2Ф2 (п - а)]Н (п - а);

—кР(п) = ЛР0 (п 0) + 3АЛ (п 0) + 5А2Р2 (п 0) + [зВ1Р1 (п а) + 5В2(п - а)]Н (п - а).

Функция Р(п) для рассматриваемого класса тел является кусочно-линейной (рис. 2) в диапазоне 0 < п < 1 и имеет конечный разрыв в точке п = а. Эта функция обращается в бесконечность при п = 0 и в минус-бесконечность при п ^ 1+.

Рис. 2. Вид Е-функции для оптимальных эквивалентных тел вращения

При появлении ударных волн функция Р (^) становится неоднозначной, что не имеет физического смысла. Для получения решения, имеющего смысл, введем функцию О (t):

О (t) = 2 кФ^ )-[кР ^ )]2.

Эта функция также неоднозначна. Однако ее ветвь, которая определяется как максимум функции О ^), при каждом значении t дает правильное физическое решение [9].

Перейдем теперь непосредственно к решению сформулированной выше задачи. При решении должны выполняться следующие условия.

1. Пусть задана безразмерная площадь концевого сечения тела £ (1) = £0. Отсюда

Л + Л + Л2 + В1 (1 - а)3/2 + В2 (1 - а)5/2 - у к£0 = 0.

Появление безразмерного параметра £0 связано с неоднозначностью выбора характерной площади поперечного сечения тела.

2. На головной ударной волне должно выполняться условие

т 2

р 2(0) = - Ф(0).

к

Отсюда

Л) = 3 Л2; кР (0) = 2 Л1; к Ф(0) = 2 Л12.

Так как в интервале 0<п<1 функция кР(п) является кусочно-линейной с разрывом в точке п = а , можно сформулировать еще три условия.

3. Задан наклон в функции кР (п) при 0 <п< а, т. е.

к 8

---= 8 или А2 = — , где 0 < 8 < 1

й п 2 5

4. Совершенно аналогично для интервала а < п < 1

= 81 или В2 =

8,-8

, где 0 <8, < 1 .

5

тах ?

где Ртп и ^тах — минимальное и максимальное значения функции Р(п) при п = а, причем

Как и следовало ожидать, функция Р (п) для рассматриваемого семейства тел зависит от пяти параметров: 8, к50, 81, а и й.

Изначально сформулированная задача решалась как задача о нахождении минимума интенсивности головной ударной волны при заданных значениях параметров 8 и к^О, т. е. отыскивался минимум величины к¥(0). При этом ставилось условие, что с точностью 1%

интенсивности хвостовой и головной волн совпадают. Оказалось, что для рассматриваемого класса тел интенсивность хвостовой ударной волны всегда превосходит интенсивность головной в пределах

указанной точности (расчеты проводились для случая, когда 8 = 81 для трех значений параметра 8 : 0, 0.5 и 0.9).

Отсюда

В1 = -й (А1 + а8/ 2).

Из этих пяти уравнений можно получить квадратное уравнение для коэффициента А1 :

А2 + 2Т1А1 - Т2 = 0, откуда А1 = -Т1 ±>/Т2 + Т2 ,

где

Рис. 4. Универсальная зависимость величины к¥ на головной ударной волне от параметра подобия к

Положение и интенсивность хвостовой ударной волны определяются точкой самопересечения функции О ^) [9]. Задача решалась методом поиска. При заданных значениях 8 и кБ0

с мелким шагом варьировались параметры а и й. На рис. 3 приведена вся информация, необходимая для построения оптимальных эквивалентных тел вращения ((А0 = 0.5кР (0); А2 = 0.2; В2 = 0).

На рис. 4 показана зависимость величины к¥ (0) от параметра подобия к. Эта величина пропорциональна интенсивности ударных волн, возникающих при звуковом ударе. Там же приведены соответствующие данные для оптимальной К-волны. Как видно, существует потенциальная возможность уменьшения уровня звукового удара, особенно при малых значениях параметра подобия к.

В настоящей статье результаты расчетов представлены в виде зависимостей от параметра подобия к теории звукового удара, поэтому они применимы для любой стационарной атмосферы, размеры неоднородностей которой значительно превышают длину волны давления при звуковом ударе (примерно 100 м для СПС-2).

На рис. 5 максимальное и минимальное

избыточное давление, возникающее при звуковом ударе, сравнивается с соответствующими параметрами

К-волны. Максимальное избыточное давление может превосходить интенсивность ^образной волны при сравнительно больших значениях 8 . Это обстоятельство нужно учитывать при выборе

Рис. 5. Максимальное Ртах и относительное избыточное да шение в оптимальной 'К- в<

2.0

Рис. 3. Зависимости величин й, Ад, В1 от параметра подобия к — информация для определения формы эквивалентного тела вращения

параметра в для уменьшения громкости звукового удара.

Остановимся на результатах расчетов. На рис. 6 приведены примеры оптимальных профилей волн давления от самолета легкого класса (вес О = 20 т, длина Ь = 22.5 м), совершающего полет на высоте Н =16 км при числе М = 2. Звуковой удар начинается с головной ударной волны, за которой следует течение изоэнтропического сжатия (при в > 0) или зона постоянного давления (при в = 0). Далее следует течение разрежения и снова небольшая часть изоэнтропического сжатия или постоянного давления. Завершается течение хвостовой ударной волной и довольно протяженной областью, в которой происходит медленное восстановление давления. Течения сжатия и разрежения происходят с постоянными градиентами давления по времени. На этом же рисунке показана форма оптимального тела вращения, генерирующего полочное распределение избыточного давления в волне звукового удара (г — радиус окружности в вертикальном сечении тела).

В работе [1] результаты расчетов приведены для следующего диапазона параметров полета. Число Маха изменялось от 2.5 до 3.5, вес — от 1800 до 3200 кН, высота полета — от 15 до 30 км и длина — от 73 до 110 м. Диапазон изменения этих величин в основном находится вне соответствующих параметров для самолетов легкого и делового классов, величину звукового удара которых можно понизить до уровня, приемлемого для населения. Из рис. 6 видно, что для выбранной схемы минимизации и рассматриваемого набора четырех базовых параметров M, Н, Ь, О нижняя теоретическая граница интенсивности звукового удара составляет около 20 Па. Эта граница достижима, если функция Р обращается в бесконечность при х = 0 [8]. Это условие выполняется при А0 Ф 0, т. е. тело имеет затупленный носок и производная площади эквивалентного тела по его длине обращается в бесконечность при х = 0.

К с

Рис. 6. Оптимальные сигнатуры волн звукового удара для самолета легкого класса

Рис. 7. Функция Е, соответствующая оптимальной эпюре на поверхности земли (5), и эволюция формы волны при удалении от самолета (1 — 4)

Изменение формы оптимальной волны ЗУ вдоль траектории луча показано на рис. 7. Там же приведена траектория распространения возмущения, а маркерами отмечены положения, в которых вычислялась форма волны.

II. Рассмотрим задачу об эквивалентных телах вращения, которые не создают ударных волн на больших расстояниях (безударные тела). Будем решать ее в том же классе тел, что и предыдущую. Необходимое условие отсутствия головной ударной волны записывается в виде

А0 = А1 = 0 или 3^ кБ (х) = А2х5/2 + В1 (х - а)32 + В2 (х - а)^2 Н (х - а).

При этом производная £'(х) и функции Ф(п) и Е (п) соответственно равны

^кБ'(х) = 5А2х3/2 + 3В1 (х - а)12 + 5В2 (х - а)32 Н (х - а);

Зп —кФ (п) = 5 А2Ф2 (п, 0) + [ЗВ1Ф1 (п, а) + 5В2Ф2 (п, а)]Н (п - а);

Зп

— № (п) = 5 А2Е2 (п, 0) + [3В1Е1 (п, а) + 5В2Е2 (п, а)]Н (п - а).

Сформулированные выше условия 1, 3—5 записываются в виде

А2 + В1 (1 - а)3/2 + В2 (1 - а)52 - ЗП ^ = 0;

А2 =і; В2 = ^; В,=-^

2 5 2 5 1 2

При этом условия в>0, В1 < 1 и d > 0 должны обязательно выполняться. Для отсутствия хвостовой ударной волны необходимо, чтобы функция Е (п) была непрерывна при переходе через точку п = 1. Можно показать, что это достигается в случае, когда £'(1) = 0, т. е. тело вращения плавно сопрягается с цилиндром. Это условие дает пятое уравнение:

5 А2 + 3В1 (1 - а)1/2 + 5В2 (1 - а)3/2 = 0.

Из приведенных соотношений следует, что для безударного тела параметр кБц должен удовлетворять следующему уравнению:

kSo =

4a [(5a-2)sd + 2 (s-s1 )(1 -a )]V 1 -a

15п

Так как коэффициент 4/15 п = 0.085 мал, то при создании безударных тел возникает проблема получения достаточно больших значений параметра kS0). Для простоты остановимся

4sda (5a - 2 W1 - a

на случае, когда s1 = s. Тогда kS0 =--------------------------- - -.

15п

Из этой формулы видно, что параметр kS0) обращается в нуль при значениях величины a, равных 0.4 и 1, и, следовательно, достигает максимума в этом диапазоне. Максимальное значение параметра kS0 достигается при a = 0.852. При этом kS0 = 0.0629sd.

При выполнении сформулированных условий отсутствует головная ударная волна. Для отсутствия хвостовой ударной волны эти условия являются только необходимыми.

Параметр подобия k уменьшается с увеличением длины тела, уменьшением высоты и числа Маха полета. Поэтому безударное тело должно иметь достаточно большую длину и летать на малых высотах с относительно небольшой сверхзвуковой скоростью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Darden С. М. Charts for determining potential minimum sonic-boom overpressures for supersonic cruise aircraft // NASA Technical Paper. — 1981, N 1820.

2. Brown J. G., Haglung G. T. Sonic boom loudness study and airplane configuration development // AIAA-88-4467. — 1988.

3. Жилин Ю. Л. О звуковом ударе // Ученые записки ЦАГИ. — 1971. Т. II, № 3.

4. Чернышев С. Л. О методе и программе расчета звукового удара // Труды ЦАГИ. — 1981. Вып. 2110.

5. McLean F. E. Configuration design for specified pressure signature characteristics //

NASA SP-180. — 1968.

6. Jones L. B. Lower bounds for the pressure jump of the bow shock of supersonic transport // The Aeronaut. Quart. — 1970. V. XXI. P. 1.

7. Jones L. B. Lower bounds for the pressure jumps of the shock waves of a supersonic transport of given length // The Aeronaut. Quart. — 1972. V. XXIII. N 1. P. 2.

8. George A. R. Lower bounds for sonic booms in the midfield // AIAA Journal. — 1969.

V. 7, N 8.

9. Жилин Ю. Л., Чернышев С. Л. Алгоритм построения эпюры избыточного давления при звуковом ударе // Труды ЦАГИ. — 1981. Вып. 2110.

Рукопись поступила 28/IV 2006 г.

4б