О связи формулы Гордона с формулой Фишера Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

3 (15) - 2009

Оценка стоимости бизнеса

О СВЯЗИ ФОРМУЛЫ ГОРДОНА С ФОРМУЛОЙ ФИШЕРА

А. Г. ПЕРЕВОЗЧИКОВ,

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН, директор по производству ООО «РАО КЭС»,

г. Тверь

В настоящей работе рассматривается задача определения постпрогнозной стоимости бизнеса для метода дисконтирования денежного потока (ДДП) в рамках доходного подхода [1]. Показано, что известная формула Гордона [1] для постпрогнозной стоимости бизнеса может быть получена из известной формулы для стоимости бесконечного аннуитета и ставки доходности для эквивалентного постоянного денежного потока, которая получается по известной формуле Фишера [1]. Тем самым получено новое доказательство формулы Гордона, выявляющее ее экономический смысл, и одновременно установлена связь между известными формулами Гордона и Фишера, которые ранее считались независимыми. Рассматривается числовой пример.

1. Метод ДДП

1.1. Основные модели денежного потока

Существуют два основных вида денежных потоков [1].

— Денежный поток для собственного капитала или бездолговой денежный поток.

— Денежный поток для собственного капитала.

Денежный поток на инвестированный капитал

равен прибыли до налогообложения и уплаты процентов (EBITDA [2]), скорректированной на ставку налога на прибыль с = 0,24, плюс амортизация, минус капвложения и изменение чистого оборотного капитала.

Дальше за основу берется бездолговой денежный поток, величина которого будет обозначаться

через = 1,2,...,п, где п - длительность прогнозного периода, выраженная в годах.

Денежный поток для собственного капитала учитывает дополнительно суммы выплат процентов по кредиту и увеличение или уменьшение задолженности. Если ввести остатки по кредитам на конец года = 1,2,...,п, то денежный поток на собственный капитал Qt можно записать единообразно в виде:

й = ^ - р1 = 1 -0,76^ + = 1,2,...

Здесь ДZt = 21 - 21 -1 — изменение задолженности,

g — ставка дисконта на заемный капитал, определяемая обычно средней ставкой по кредитам предприятиям и организациям на дату оценки по данным Банка России соответствующей длительности,

р1 = 0,76gZt - — платежи по кредитам на конец ¿-го года, включающие проценты, скорректированные на ставку налога на прибыль, и изменение основной суммы долга ДZt.

Если новые кредиты не берутся, то ДZt < 0 , и с учетом знака минус величина погашенной части основной суммы долга будет входить с плюсом в платежи по кредитам р(. Возможен и случай ДZt > 0, это соответствует получению нового кредита на конец ¿-го года в размере > 0 . Так бывает, когда заемщику представляется не отдельный кредит, а кредитная линия. В этом случае он может брать и погашать кредиты. Единственное условие состоит в том, что сумма остатков долга по всем займам в любой момент времени не должна превышать установленного лимита по кредитной линии, и все

3 (15) - 2009

Оценка стоимости бизнеса

кредиты должны быть погашены к концу п-го года, т. е. последнего прогнозного года.

Заметим, что величины ДZt могут быть положительны. Это означает новый заем величины ДZt. 1.2. Ставки дисконта на собственный и инвестированный капитал Обозначим через i подходящую ставку дисконта на собственный капитал. Ставка дисконта на собственный капитал представляет собой ставку дохода на вложенный капитал, достижение которой ожидает инвестор при принятии решения о приобретении будущих доходов (например, будущего денежного потока) с учетом риска их получения.

При расчете ставки дисконта обычно используется модифицированная модель оценки капитальных активов (САРМ). Применение модифицированной модели оценки капитальных активов для расчета собственного капитала можно представить в виде следующего равенства [1]:

7 = яг + в*(Ят -яг) + ^ + ^ + 5з, где Rf — безрисковая ставка,

в — коэффициент бета компании, Rm — доходность рынка,

— премия за страновой риск,

S2 — премия за малую капитализацию,

— премия за специфический риск оцениваемой компании.

Если объединить все корректировки к обычной модели САРМ в одну, введя суммарную поправку:

й = Sl + £2 + £3,

то основную формулу модифицированной модели САРМ можно записать в виде:

7 = Яг +р.(Ят -яг) + й. (1)

Пусть w — доля заемного капитала в инвестированном капитале компании, определенном по рыночной стоимости, характеризующая структуру капитала. Тогда справедлива формула для коэффициента бета компании с учетом финансового рычага [1]:

w

р = р * .(1 + (1 - с)-) ,

1 - w

(2)

где в* — коэффициент бета компании без учета финансового рычага, определяемый по отраслевым данным,

с — эффективная ставка налога на прибыль. Если структура капитала будет меняться, то w = wt,t = 1,2,...,п, и в = в^7 = , определяемые по формулам (1), (2), т. е. бета компании и соответствующие ставки дисконта являются функциями времени.

Кроме ставки на собственный и заемный капитал рассматривается средневзвешенная ставка ], характеризующая доходность инвестированного капитала (МАСС). Средневзвешенная стоимость капитала учитывает в себе все риски, связанные с финансированием деятельности предприятия, как из собственных источников финансирования так и за счет заемных средств. Стоимость финансирования деятельности предприятия за счет собственного капитала (стоимость собственного капитала) отражает все риски, присущие инвестициям в виде акционерного капитала, в то время как стоимость финансирования за счет заемных средств выражается в процентной ставке, по которой предприятию предоставляют кредитные ресурсы.

Средневзвешенная стоимость капитала рассчитывается по формуле [1]:

У = (1-е) gw+i (1^).

При расчете средневзвешенной стоимости капитала доли заемных и собственных средств в структуре капитала рассчитываются на основе рыночных данных по отрасли. В результате получается целевая структура капитала, которая принимается за w = wn . За начальное значение w = w0 принимается фактическая структура капитала, определенная по рыночной стоимости инвестированного и заемного капитала. Промежуточные значения w = wt интерполируются по крайним в простейшем случае линейным образом [1].

1.3. Дисконтирование денежных потоков на собственный и инвестируемый капитал Обозначим через Xt,Yt,Zt,t = 0,1,2,...,п текущую стоимость собственного (соответственно — инвестируемого, заемного) капитала на конец ^го года. Предположим вначале для простоты, что ставки дисконта не зависят от времени. Тогда справедливы обычные формулы дисконтирования [3]:

X о =1

Чг - Pt +_ Хп

^о =1-

1 (1 + 7) (1 + 7)п

Чг , ^

(3)

(4)

£ (1 + (1 + ])п Если w = wt,t = 1,2,...,п, то в = вt,i = *г,3 = Л зависят от дискретного времени.

Постпрогнозная стоимость собственного капитала получается по формуле:

Хп = (1 - wn)Yn ,

(5)

где wn — целевая структура капитала, которая рассчитывается на основе рыночных данных по отрасли и считается неизменной в постпрогнозный стационарный период.

Оценка стоимости бизнеса

3 (15) - 2009

Для постпрогнозной стоимости инвестируемо го капитала используется формула Гордона [1]:

1п(1 + Vп+1)

(6)

]п+1 Vn+1

: 0 = 1 + ]п + 1 - 1 •] п+1

1 + к+1

(7)

Г„ =

}п+1

1 + Jn+1

1 + V,

-1

Чп(1 + Vn+1 ) ]п+1 - Vn+1

(10)

п+1

где уп+1 — постпрогнозный темп изменения денежного потока на инвестированный капитал, который считается постоянным в силу предположения о стационарности постпрогнозного периода. Обычно он определяется по долгосрочным прогнозам темпа роста мировой экономики или по прогнозу долгосрочной инфляции [1].

2. Ставка дисконта для эквивалентного постоянного денежного потока

Поставим задачу найти ставку дохода ]°п+1 для эквивалентного постоянного постпрогнозного денежного потока, стабилизировавшегося на уровне значения ^ = = п + 1,п + 2,..., т. е. снять со ставки доходности постоянную скоростную составляющую vt = vn+1 ^ = п + 1,п + 2,... Решение этой задачи дается известной формулой Фишера [1]:

Мы получили формулу Гордона.

4. Числовой пример

Приведем здесь числовой пример со следующими числовыми данными:

qn = $100 тыс., 12%, ув+1=2%.

Подсчитаем постпрогнозную стоимость ДП на инвестированный капитал двумя способами: по формуле (6) и формулам (7), (10). По формуле (6) имеем:

1п(1 + Vn+1) = 100 -1,02

= 1020.

]п+1 - Vn+l 0,12- 0,02

По формуле (7) имеем: ^ = -1 = -1 = 0.098 = 9,!

1 + V,

п +1

1,02

Откуда по формуле (10) имеем:

Г„ =

1п

]п+1

100 0.098

= 1020.

Как обычно, в модели ДДП [3] предполагается выполненным условие корректности модели бесконечного роста:

К+1| < Л+1. (8)

Это условие обеспечивает сходимость бесконечного ряда для текущей стоимости постпрогнозного денежного потока (ДП). С учетом условия корректности модели ДДП бесконечного роста (8) из формулы Фишера (7) следует неравенство:

/0+1 > 0. (9)

Например, если рассматривается номинальный постпрогнозный денежный поток, рост которого обеспечивается только постоянной постпрогнозной инфляцией vt = vn+1 ^ = п + 1,п + 2,... то эквивалентная ставка (7) представляет собой ставку для эквивалентного постоянного реалистического денежного потока. Таким образом, мы расширяем экономический смысл формулы Фишера на рост ДП любой природы.

3. Новое доказательство формулы Гордона на основе эквивалентной ставки

Воспользуемся формулой для аннуитета эквивалентного постоянного ДП [1]:

Мы видим, что полученные значения совпадают, что и требовалось доказать.

В заключение отметим, что в настоящей работе показано, как известная формула Гордона для постпрогнозной стоимости бизнеса может быть получена из известной формулы для стоимости бесконечного аннуитета и ставки доходности для эквивалентного постоянного денежного потока, которая получается по известной формуле Фишера. Тем самым получено новое доказательство формулы Гордона, выявляющее ее экономический смысл, и одновременно установлена связь между известными формулами Гордона и Фишера, которые ранее считались независимыми.

Список литературы

1. Оценка бизнеса: Учебник / Под ред. А. Г. Гряз-новой, М. А. Федотовой. М.: Финансы и статистика. 2002.

2. Методология и руководство по проведению оценки бизнеса и/или активов ОАО РАО «ЕЭС России» и ДЗО ОАО РАО «ЕЭС России». Deloitte&Touche. Декабрь 2003 — март 2005.

3. Перевозчиков А. Г. Учет структуры капитала в моделях денежного потока для собственного и инвестированного капитала. Аудит и финансовый анализ, № 1, 2006. С.163-166.

7х"

67

1

1

п

п