CC BY
36
Бифуркации ^^^^^^^^^^^^^^^^^
^ш в динамических системах
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 5-6, 2005 УДК 517.9
О СВОЙСТВАХ СКЕЙЛИНГА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ШУМА В ОТОБРАЖЕНИИ ОКРУЖНОСТИ С ЧИСЛОМ ВРАЩЕНИЯ, ЗАДАННЫМ ЗОЛОТЫМ СРЕДНИМ
А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Ю.В. Седова
В работе исследованы особенности скейлинга, связанные с влиянием аддитивного шума на критическое отображение окружности с числом вращения, равным золотому среднему. На основании ренормгруппового подхода Хэма и Грэхэма [1] получена улучшенная числовая оценка для константы скейлинга, ответственной за влияние шума у = 2.3061852653. Уменьшение амплитуды шума на эту константу обеспечивает возможность наблюдения каждого следующего уровня фрактальной структуры, что отвечает увеличению характерного масштаба времени на фактор (^/5 + 1)/2. Представлены численные результаты, демонстрирующие наличие ожидаемого скейлинга на фазовых портретах аттрактора с шумом, графиках «чертовой лестницы» и ляпуновских картах.
Введение
Отображение окружности
K
Xn+1 = Xn + r - — sin 2nxn (mod 1) (1)
2п
- одна из фундаментальных моделей, применяемая для описания многих систем в современной нелинейной динамике [2-5]. В частности, это отображение описывает автогенератор, находящийся под периодическим воздействием [6, 7], контакт Джо-зефсона в поле микроволнового излучения [8,9], волны пространственного заряда в твердом теле [9], маятник с затуханием под внешним воздействием [10]. В теоретических исследованиях, касающихся биологических и медицинских проблем, отображение окружности появляется как модель для описания динамики сердца в присутствии конкуренции двух пейсмекеров, управляющих ритмом [11,12].
Отображение окружности должно рассматриваться не только как модель определенного качественного типа поведения. Как представитель класса универсальности, ассоциирующегося с переходом к хаосу через квазипериодическое движение,
оно адекватно передает количественные закономерности данного перехода. Это заключение вытекает из ренормгруппового подхода (РГ) [13,14], который представляет собой эффективный и мощный теоретический инструмент для анализа глубоких и фундаментальных особенностей динамики между порядком и хаосом. В частности, РГ-анализ раскрывает такое характерное свойство динамики, как масштабная инвариантность (скейлинг) для тонких фрактальных структур в фазовом пространстве и пространстве параметров, которые связаны с переходами к хаосу. В нелинейной динамике метод РГ был впервые введен Фейгенбаумом [15-17] в применении к удвоениям периода и позднее последовательно развит для анализа различных типов переходов к хаосу, включая другие классы универсальности с удвоениями периода [18-21], перемежаемость [22,23], квазипериодичность [24,25], явления сложной аналитической динамики [26-28], связанные системы [12,29,30].
Применительно к переходу к хаосу через разрушение квазипериодического движения, наиболее подробные теоретические и экспериментальные исследования относятся к случаю, когда отношение основных частот задано иррациональным числом w = (V5 — 1)/2 , известным как золотое среднее. В отображении окружности это отвечает квазипериодическому режиму с числом вращения
p(r,K) = lim —, (2)
и^ж n
заданным указанной константой w. (При вычислении величины р операция взятия модуля в уравнении (1) игнорируется.)
Выбор именно этого иррационального числа оправдан, во-первых, простотой и прозрачностью соответствующего теоретического анализа и, во-вторых, тем фактом, что в данном случае тонкие структуры пространства параметров, изучение которых составляет предмет рассмотрения в теоретических исследованиях или в экспериментах, являются различимыми лучше, чем при других отношениях частот.
Известен ряд экспериментальных исследований, в которых многие особенности критической динамики вблизи точки перехода к хаосу через квазипериодический режим с числом вращения золотое среднее, предсказанные на основе РГ-анализа, были зарегистрированы, например, в конвекции жидкости и в динамике электронных осцилляторов под внешним воздействием [32-34]. Это касается таких аспектов, как детали структуры пространства параметров (языки Арнольда), скейлинг, мульти-фрактальные свойства критического квазипериодического движения, спектр Фурье и т.д.
Надо заметить, однако, что все реальные экспериментальные системы всегда функционируют в присутствии воздействующего на них шума. Учет шума является вопросом принципиального значения при тщательном анализе явлений на пороге хаоса, потому что шум «замывает» самые тонкие детали наблюдаемых фрактальных структур. В частности, это обстоятельство было специально отмечено в литературе в отношении контактов Джозефсона [35].
Теоретический подход для описания влияния шума в рамках РГ-анализа был предложен Кратчфилдом с соавторами и Шрайманом с соавторами [36,37] применительно к переходу к хаосу через удвоения периода в диссипативных системах. Эти авторы ввели в рассмотрение универсальный фактор yf = 6.61903..., ответственный за скейлинговые свойства динамики относительно влияния шума. Смысл его состоит в том, что уменьшение амплитуды шума на этот фактор обеспечивает возможность наблюдения еще одного уровня каскада удвоения периода. Позднее аналогичный
подход был предложен для нескольких других типов критического поведения на пороге хаоса [1,38-41].
В частности, в работе [1] Хэмм и Грэхэм развили РГ-анализ для перехода к хаосу в диссипативных системах через разрушение квазипериодических движений с отношением частот, заданным золотым средним, и оценили соответствующий фактор скейлинга для шума уом = 2.30619. Уменьшение интенсивности шума на эту константу дает возможность различить еще один уровень фрактальной структуры, связанной с увеличением характерного масштаба времени на фактор W = w-1 = (\/б + 1)/2. Помимо упомянутой статьи, нам известны только две работы, специально посвященные влиянию шума на отображение окружности [35, 42]. Будучи опубликованы раньше работы Хэмма и Грэхэма, они содержат только эмпирические результаты численного моделирования, без обоснования на базе РГ-анализа.
Цель настоящей статьи состоит в подробном рассмотрении скейлинговых свойств, вытекающих из РГ-анализа и характерных для отображения окружности под влиянием шума вблизи квазипериодической орбиты с числом вращения «золотое среднее». Раздел 1 посвящен качественному обсуждению результатов численного моделирования стохастической версии отображения окружности с аддитивным шумом. В разделе 2 представлен РГ-анализ отображения окружности вблизи критической точки, отвечающей золотому среднему, при наличии шума, который основан на одном из подходов, предложенных Хэмом и Грэхэмом. В частности, мы приводим существенно улучшенное числовое значение основной универсальной константы, ответственной за свойства скейлинга по отношению к шуму. В разделе 3 рассмотрены выводы, которые можно сделать на основе РГ-анализа в применении к отображению окружности с шумом. Обсуждаются компьютерные иллюстрации, включая портреты аттрактора с шумом, диаграммы типа «чертовой лестницы», карты ляпуновского показателя на плоскости параметров вблизи критической точки «золотое среднее» на различных масштабах и при разных уровнях шума.
1. Влияние шума на отображение окружности: качественные результаты
Как известно, в отображении окружности (1) критическое квазипериодическое движение на пороге хаоса с числом вращения w = (\/б — 1)/2 имеет место при следующих значениях параметров [13,14,43,44]:
(r, K)c = (0.60666106347011201228.., 1). (3)
Будем называть эту точку критической точкой типа GM (Golden Mean - «золотое среднее»).
На рис. 1, а приведена карта динамических режимов отображения окружности (1) на плоскости параметров (r,K). Хорошо видны области периодичности в виде характерных языков (языки Арнольда). Для основных языков синхронизации на карте указаны числа вращения, которые находятся по формуле (2). Также на карте режимов отмечена критическая линия K = 1 и указано расположение критической точки GM.
Рис. 1, б представляет собой ляпуновскую карту отображения окружности на плоскости параметров (r,K). Ляпуновский показатель, отвечающий каждому эле-
0.0 r 1.0 ^ 0.0 r 1.0 a о
Рис. 1. Карта динамических режимов (а) и карта ляпуновского показателя (б) отображения окружности (1) на плоскости параметров (г, К). Цифрами на диаграмме (а) указаны числа вращения в основных языках синхронизации. В каждой точке диаграммы (б) ляпуновский показатель, вычисленный по соотношению (4), закодирован в серой гамме. Серые тона определяют отрицательные значения ляпу-новского показателя (чем темнее цвет, тем больше абсолютная величина отрицательного показателя). Нулевые значения Л(квазипериодическая динамика) обозначены белым, а положительные значения (хаос) - черным
менту изображения (пикселю), вычисляется по формуле
Л - I1 " Кcos(2nxn)\. (4)
Отрицательные значения Л закодированы тонами серого цвета: чем темнее цвет, тем больше по модулю значение ляпуновского показателя. Нулевые значения Л, соответствующие квазипериодической динамике, обозначены белым цветом, а положительные, связанные с хаотической динамикой, - черным. (См. работы [45-48], где описана основная идея ляпуновских карт и приведены другие примеры их использования.)
Введем последовательность которая представляет собой дискретный во времени белый шум. Это означает, что члены последовательности на различных шагах времени предполагаются статистически независимыми. Максимальная величина предполагается ограниченной. Среднее для равно нулю (E,n) = 0, дисперсия есть некоторая постоянная о = л/(^1). Рассмотрим следующее стохастическое отображение - отображение окружности в присутствии шума
К
Xn+1 = Xn + r - — sin 2nXn + £%n (mod 1), (5)
2П
где £ характеризует интенсивность добавленного шумового источника.
Если амплитуда шума мала, и исследуется поведение на больших масштабах времени, то конкретная форма распределения вероятности для будет несущественна, и поведение системы с шумом будет иметь универсальный характер (этот факт подтвержден и для других критических ситуаций, допускающих анализ в терминах метода РГ, см. [49,50]). При проведении вычислений будем определять как случайную переменную, равномерно распределенную в интервале [-0.5, 0.5]; следовательно о = 1^^/12. При проведении РГ-анализа в следующем разделе будем полагать шум гауссовым.
На рис. 2 представлены ляпуновские карты на плоскости параметров (г, К) при различных значениях интенсивности шума е. Области периодического поведения, известные в случае отсутствия шума как языки Арнольда, ясно различимы на фрагментах а, б - это окрашенные в серый цвет образования. Между ними, в субкритической области К < 1, имеет место квазипериодическая динамика. В присутствии шума периодическая или квазипериодическая динамика в точном смысле не реализуется, но на ляпуновских картах картина характерных областей по-прежнему хорошо различима, по крайней мере, при малых или умеренных шумах, хотя тонкие детали исчезают из-за наличия шума. Введем такую терминологию: будем говорить о шумовом периодическом режиме, когда ляпуновский показатель Л отрицателен; о шумовом квазипериодическом, если Л близко к нулю; и о шумовом хаотическом режиме, когда значение Л положительно. Ляпуновские карты позволяют легко распознавать эти режимы визуально. С этой точки зрения, влияние шума выглядит довольно очевидным: шум стирает тонкие детали картины динамических режимов.
Рис. 2. Ляпуновские карты для отображения (5) на плоскости управляющих параметров г и К. Диаграммы соответствуют последовательному увеличению интенсивности шума е: 0.001 (а), 0.01 (б), 0.05 (в) и 0.1 (г)
в г
Рис. 3. Портреты аттракторов в критической точке ОМ отображения (5) на итерационных диаграммах в координатах (х„,х„+рк) с ^ = Ее =8. Фрагмент а соответствует динамическому случаю (шум отсутствует), а последующие диаграммы - присутствию шума с последовательно увеличивающейся амплитудой е: 0.001 (б), 0.01 (в) и 0.1 (г)
На рис. 3 представлены фазовые портреты аттракторов в критической точке типа ОМ в координатах, которые будут удобны при дальнейшем обсуждении, а именно, %п+Ек в зависимости от хп, где Гк - одно из чисел Фибоначчи. (Диаграммы на рис. 3 построены для = 8.) Фрагмент а соответствует чистому динамическому случаю (шума нет), а фрагменты б-г - присутствию шума с нарастающей амплитудой от картинки к картинке. И снова можно видеть, как структура аттрактора становится все более и более размытой с увеличением шума, шаг за шагом тонкие детали на фоне шума исчезают.
2. Ренормгрупповой анализ
В применении к квазипериодическому движению с числом вращения золотое среднее главная идея РГ-анализа состоит в исследовании операторов эволюции, определенных для интервалов времени, заданных последовательными числами Фибоначчи Г;: Го = 0, Г = 1, Гк+2 = Гк + Гк+1.
Предположим, что в присутствии шума эволюция динамической переменной х в критической точке вМ для числа шагов ^ и ¥к+1 дается уравнениями
Х1+рк = Фк Х) + е^фк Х) (6)
Хi+Fk+1 = Фк+1 (Хг) + е^фк+^Х^, (7)
где ^ является гауссовой последовательностью независимых случайных величин с нулевым средним, фк(х) и фк(х) - некоторые вспомогательные функции. Параметр амплитуды шума е предполагается малым. Очевидно, модель (5) есть частная версия уравнений (6) и (7): при ¥1 = ¥2 = 1 следует положить
Ф1(х) = Ф2(х) = Х + гс — (1/2п) 8ш2лх, ф^х) = ф2(х) = 1. (8)
В соответствии с уравнениями (6) и (7), сохраняя члены первого порядка по е, получаем уравнение эволюции за ¥к+2 шагов дискретного времени:
Хi+Fk+2 = Фк (фк+1(хг)) + е[^ф'к (фк+1(хг))^к+1(хг) + li+Fk+1 Фк (Фк+1(хг))]. (9)
Что касается стохастического члена, то необходимо сделать следующее замечание. Предположим, что в некоторый момент орбита стартует из точки хг. Рассмотрим ансамбль гауссовых случайных чисел ^i+Fk+1} со средним, равным нулю, и дисперсией, равной о2, и составим из них сумму с коэффициентами, заданными функциями Хi. Поскольку пары {^у '%i+Fk+1} статистически независимы, сумма может быть представлена опять же как гауссово случайное число со средним, равным нулю, и дисперсией, равной о2, умноженное на функцию Хi, а именно
+ li+Fk+l Фк (Фк+1 (х^) = ^ фк+2(х^. (10)
Введем функцию
Фк+2(х) = фк (фк+1(х)) (11)
и перепишем уравнение (9) в форме, аналогичной (6) и (7), с переопределенной случайной переменной и функциями ф и ф:
Хi+Fk+2 = Фк+2 (Хi) + еí|¿фk+2(Хi). (12)
Чтобы получить замкнутое функциональное уравнение, возведем в квадрат обе части уравнения (10) и выполним усреднение по ансамблю реализаций с шумом. Так как = С%2) = о2 и (^i^i+Fk+1) = 0, то приходим к соотношению
[фк+2(х)]2 = [Фк (Фк+1(х))]2[фк+1(х)]2 + [фк (Фк+1(х))]2, (13)
где штрих означает производную функции по первому аргументу.
В соответствии с основным содержанием ренормгруппового подхода, осуществим пересчет масштаба х ^ х/ак, где а = —1.288574553954368... - константа скейлинга для критической динамики с золотым средним [13,14,43,44]. Тогда в терминах перенормированных функций имеем
9к (х) = ак Фк (а-кх), ¡к (х) = ак Фк+1(а-кх),
Фк(х) = [фк (а-к х)]2, Фк (х) = ак [фк+1(а-кх)]2,
и полученные выше уравнения означают, что
9к+\(х) = а/к (х/а),
/к+1(х) = адк (/к (х/а)),
(15)
Фк+1(х) = а2Фк (х/а),
Фк+1(х) = а2{[дк (/к (х/а))]2Фк (х/а) + Фк (/к (х/а))}.
Эти соотношения определяют РГ-преобразование для набора функций {дк,/к, Фк, Фк}. Процедура может быть повторена снова и снова, чтобы получить функции для всё больших значений к, то есть определить перенормированные операторы эволюции для больших чисел Фибоначчи на шагах дискретного времени Гк.
Как следует из РГ-анализа [13, 14], в критической точке ОМ последовательность функций дк (х), /к (х) сходится асимптотически к решению в виде неподвижной точки РГ-уравнения {д, /}, которое удовлетворяет соотношениям
д(х) = а/(х/а), / (х) = ад(/(х/а)), (16)
или
д(х) = а2д(а-1д(х/а)). (17)
Численные данные для полиномиального разложения универсальной функции д(х) по степеням х3 могут быть найдены, например, в работе [51].
Сходимость функций дк (х), /к (х) к решению в виде неподвижной точки РГ-преобразования подразумевает, что решение рекуррентных линейных функциональных уравнений для функциональных пар {Фк(х), Фк(х)} асимптотически определяется собственным вектором, связанным с самым большим собственным числом О для следующей задачи на собственные значения [1]:
О(ФА = ( а2Ф(х/а) \
Ы \а2{[д'(/(х/а))]2Ф(х/а) + Ф(/(х/а))})' 1 ;
Как упоминалось выше, универсальная функция д(х) была получена численно в виде конечного разложения по степеням аргумента [13, 14, 51]. С использованием этих данных функциональное преобразование правой части уравнения (18) было реализовано как компьютерная программа. Неизвестные функции {Ф(х), Ф(х)} представлялись набором их значений в узлах сетки на интервале —1.2 < х < 1.2 и интерполяционной схемой между ними. При заданных произвольно начальных условиях Ф(х) = 1, Ф(х) = 1 программа выполняла функциональное преобразование многократно и нормировала результирующие функции на каждом шаге как Ф0(х) = Ф(х)/Ф(0), Ф0(х) = Ф(х)/Ф(0), до тех пор пока форма функций не стабилизировалась. Значение Ф(0) (перед нормализацией) сходится к собственному значению
О = 5.31849047771... (19)
Теперь в линейном приближении относительно амплитуды шума, стохастическое отображение для Гк и Гк+1 шагов эволюции при больших к в критической точке ОМ может быть записано в перенормированных переменных
хг+Рк = д(хг) + £ук lMxi),
= / х) + еук Ъ&х),
где
ф(х) = V Ф0(х), и(х) = \/Ф°(х), у = л/О = 2.30618526526... (21)
Если рассмотреть малый сдвиг параметров г и К от критической точки вМ, в уравнениях появятся дополнительные члены, которые соответствуют двум существенным собственным модам линеаризованного РГ-уравнения вблизи решения, отвечающего неподвижной точке (см. [13,14,51]). Учитывая эти дополнительные члены, можно записать
Хi+Fk = дХ) + С^ Ь^Х) + С2&к Ь^Х) + еук &ф(х0, (22)
где Л.(1) (х) и Л,(2)(х) - соответствующие собственные векторы. Собственные значения 81 и 82, как известно, есть
Й1 = —2.833610655891... 82 = а2 = 1.660424381098... (23)
Коэффициенты С и С2 в уравнении (22) зависят от параметров исходного отображения и равны нулю в критической точке вМ. В близкой окрестности критической точки достаточно учитывать первые члены разложения коэффициентов по отклонению параметров от критической точки. Возмущение, связанное с модой С1 , соответствует сдвигу в пространстве параметров вдоль критической линии К = 1; оно сохраняет кубическую точку перегиба. Вторая мода, связанная с коэффициентом С2, появляется из-за сдвига от критической линии вдоль кривой постоянного числа вращения. В соответствии с [51], выражения для коэффициентов через параметры исходного отображения окружности есть
г — Гс = С1 — 0.01749С2 — 0.00148С2, К — Кс = С2. (24)
Коэффициенты С1 и С2 можно трактовать как специальные локальные координаты («скейлинговые координаты») в окрестности критической точки вМ на плоскости параметров.
Теперь можно сформулировать основное свойство скейлинга, которое следует из (22), для динамики вблизи критической точки вМ в присутствии шума.
Если уменьшить сдвиг по параметру от точки вМ так, чтобы коэффициенты С1 и С2 уменьшились на факторы 81 и 82, соответственно, и уменьшить амплитуду шума е на фактор у, то форма стохастического отображения (22) остается неизменной. Таким образом, при новых значениях параметров система с шумом будет демонстрировать статистически подобное поведение, как и со старыми параметрами, но с характерным масштабом времени, увеличенным на фактор ¥к+1/¥к = w-1 = (У5 + 1)/2.
3. Свойства скейлинга и их иллюстрации в численных экспериментах
Обсудим некоторые проявления влияния шума на отображение окружности в критической точке вМ и ее окрестности в численных экспериментах с точки зрения закономерностей, обнаруженных в предыдущем разделе.
3.1. Критический аттрактор в присутствии шума. Чтобы исследовать свойства скейлинга критической орбиты в точке вМ, удобно использовать итерационную диаграмму в координатах (хп, xn+Fk) при последовательных числах Фибоначчи ¥к, как сделано в разделе 1.
Рис. 4 демонстрирует свойство скейлинга критической орбиты в отсутствие шума. Вставка на каждой картинке показывает фрагмент общей структуры с увеличением на фактор а = —1.2885... Можно видеть хорошее подобие увеличенных участков (хотя, формально говоря, свойство скейлинга становится точным только в асимптотике малых масштабов и больших к). На центральной диаграмме вставка изображена перевернутой из-за того, что фактор а отрицателен.
В присутствии шума тонкая структура критической квазипериодической орбиты размывается уровень за уровнем по мере роста интенсивности шума. В соответствии с заключениями предыдущего раздела, каждый новый уровень структуры замывается, когда мы увеличиваем амплитуду источника шума на фактор у = 2.30618... Диаграммы на рис. 5 представляют собой фазовые портреты аттракторов с шумом для модельной системы (5) в критической точке ОМ с различными значениями параметра интенсивности шума е. Рисунки справа представляют собой увеличенные фрагменты предыдущих диаграмм, с увеличением для рисунков а, б, в на факторы С, аС и а2С, соответственно, где С - некоторая постоянная. Наблюдается подобие картинок для аттракторов с шумом.
Рис. 4. Иллюстрация скейлинга в отсутствие шума для критической орбиты с числом вращения, равным «золотому среднему» в координатах (хп, хп+рк), Ек = 8,13, 21. На каждой картинке вставленный прямоугольник - это фрагмент с увеличением на фактор а = —1.2885... по сравнению с предыдущим случаем. На диаграмме б вставленный прямоугольник изображен перевернутым из-за того, что фактор а отрицателен
-0.5
X
-0.5 х8л 0.5
1
Г г -Г
¿V
а б в
Рис. 5. Фазовые портреты аттрактора для отображения окружности с шумом (5) в критической точке ОМ: г = гс = 0.606661..., К = 1 при значениях амплитуды шума е: 0.005 (а), 0.005/у (б) и 0.005/у2 (в)
3.2. Показатель Ляпунова в присутствии шума. В соответствии с результатами раздела 2, в критической точке вМ для параметров интенсивности шума е и е/у система демонстрирует подобное поведение, причем во втором случае характерный масштаб времени больше на фактор Ш = 1.6180... Следовательно, величина ляпуновского показателя при величине шума е/у должна быть меньше, чем при е, на указанный фактор. Рис. 6 демонстрирует графики ляпуновского показателя в зависимости от интенсивности шума е. Выделенный прямоугольник нарисован с увеличением на фактор Ш по вертикальной оси и на фактор у по горизонтальной оси. При этом изменении масштаба наблюдается подобие картинок. Очевидно, что на меньших масштабах степень совпадения станет еще лучше.
Оценим критический индекс для показателя Ляпунова по отношению к интенсивности шума. Принимая во внимание, что изменение е на фактор у сопровождается изменением показателя Ляпунова на фактор Ш, можно заключить, что ляпуновский показатель должен вести себя как
Л гс гп,
(25)
где n = logY W = 0.575891387... Рис. 7 иллюстрирует зависимость Л от г в двойном логарифмическом масштабе. Точки, полученные в результате численных расчетов, расположены вдоль прямой линии с наклоном n Зависимость имеет колебания с периодом log у по оси г в соответствии с законом скейлинга, следующим из РГ-анализа.
Рис. 6. Показатель Ляпунова Л в зависимости от интенсивности шума е. Выделенный участок показан с увеличением на фактор № = 1.618... по вертикальной оси и на фактор у = 2.30618... по горизонтальной оси
Рис. 7. Показатель Ляпунова в зависимости от интенсивности шума в критической точке вМ в двойном логарифмическом масштабе. Прямая линия отвечает соотношению (25)
Стоит отметить своего рода шумовую стабилизацию динамики в точке вМ. Действительно, шум содействует уменьшению ляпуновского показателя, то есть уменьшению чувствительности по отношению к начальным условиям, и задерживает появление хаоса. Об этом явлении было упомянуто также в работах [35, 42]. Эффект оказывается противоположным наблюдаемому в ситуации перехода к хаосу через удвоения периода [52].
3.3. Особенности скейлинга в присутствии шума в окрестности критической точки. Обратимся теперь к исследованию особенностей скейлинга при отстройке управляющих параметров отображения от критической точки.
В качестве первого шага рассмотрим изменение одного параметра г при постоянном К = 1, тем самым подразумевая, что отображение сохраняет кубическую точку перегиба. В возмущенном универсальном операторе эволюции (22) сдвиг параметра г приводит к моде с собственным значением 61 = —2.83361..., которое будет присутствовать в скейлинговых отношениях.
Рис. 8 иллюстрирует соответствующее свойство скейлинга динамики без шума. Изображенный объект известен как «чертова лестница» [53,54]. Ступеньки расположены при каждом рациональном значении числа вращения и соответствуют пересечению языков Арнольда, связанных с периодической динамикой. Рост функции р(г, К) имеет место на фрактальном множестве, соответствующем иррациональным числам вращения, то есть квазипериодическим движениям. При К = 1 это множество имеет нулевую меру на оси г («полная чертова лестница» [53, 54]). Число вращения, равное золотому среднему, имеет место только при значении параметра гс, связанным с исследуемой критической точкой. Фрагменты по обе стороны от главной диаграммы показывают детали структуры лестницы около точки вМ. Свойство самоподобия состоит в том, что структура воспроизводит себя в малых масштабах при увеличении на фактор 61 по горизонтальной оси и на фактор (—Ш2) по вертикальной оси.
В присутствии шума число вращения может быть определено через формулу (2) так же, как и в отсутствие шума. В системе под действием шума, однако, мы не можем говорить о периодичности или квазипериодичности в обычном смысле. Тем не менее, некоторая грубая классификация все же возможна.
Рис. 8. Иллюстрация локального свойства скейлинга вблизи критической точки золотое среднее в отсутствие шума: график зависимости числа вращения р от параметра г («чертова лестница»). Свойство самоподобия состоит в повторяемости структуры на малых масштабах при увеличении на фактор 61 = —2.8336 по горизонтальной оси и на фактор (—W2) = -2.6180... по вертикальной оси
При некоторых значениях параметра г можно наблюдать относительно большие временные интервалы, динамика на которых близка к периодической, причем они чередуются с вызванными шумом участками «проскальзывания фазы», на которых переменная х претерпевает относительно быстрый сдвиг ±1. Можно сказать, что эти режимы представляют модифицированную присутствием шума версию периодичности. При других значениях параметра переменная х эволюционирует без каких-либо заметных плато во временной зависимости, со статистически хорошо определенным трендом. Это соответствует шумовой версии квазипериодичности.
График зависимости числа вращения от параметра г демонстрирует последовательное сглаживание сначала тонких, а затем крупномасштабных деталей фрактальной структуры чертовой лестницы. Это явление удовлетворяет свойству скей-линга, вытекающему из РГ-анализа влияния шума, и проиллюстрировано на рис. 9. Главная диаграмма и первый увеличенный фрагмент отвечают параметру шума г = 0.1. Вторая и третья картинки приводятся, соответственно, для интенсивностей шума г = 0.1/у и 0.1 /у2. Хорошо видно подобие структур во всех трех увеличенных фрагментах.
Рис. 10 показывает набор ляпуновских карт на плоскости параметров (г, г) при фиксированном К = 1. Темные серые области соответствуют большим отрицательным значениям ляпуновского показателя. Эти области «шумовой периодичности» -языки Арнольда, которые постепенно стираются с увеличением шума. Светло-серые
0.5818 0.6316
Рис. 9. Иллюстрация скейлинга в присутствии шума на примере структуры «чертовой лестницы» около критической точки золотое среднее. Главная диаграмма и первый увеличенный фрагмент соответствуют уровню шума £ = 0.1. Последующие фрагменты в порядке, обозначенным стрелками, построены для интенсивностей шума £ = 0.1/у и £ = 0.1/у2, соответственно
0.589 0.633
Рис. 10. Ляпуновские карты на плоскости параметра г и амплитуды шума е, демонстрирующие скей-линг в окрестности критической точки GM при фиксированном критическом значении параметра К = 1. Горизонтальные и вертикальные масштабы в последовательности диаграмм, порядок которых обозначен стрелками, меняются соответственно на факторы 61 = —2.8336 и у = 2.30618. Одновременно на каждом новом уровне увеличения переопределяется кодирование серой гаммы цветов, чтобы делать подобие ясно видимым
области соответствуют маленьким отрицательным значениям показателя Ляпунова. Это области «шумовой квазипериодичности».
В заключение рассмотрим случай, когда варьируются два управляющих параметра г и К. Исследуем скейлинговые свойства структуры языков Арнольда в случае отсутствия и наличия шума. На рис. 11 большая диаграмма и первый увеличенный фрагмент карты Ляпунова для части плоскости параметров представлены для амплитуды шума г = 0. Параллелограмм на главной диаграмме образован координатными линиями скейлинговых координат (24); критическая точка GM расположена точно
Рис. 11. Иллюстрация свойства скейлинга на ляпуновских картах в окрестности критической точки золотое среднее вМ в отсутствие шума. Правило кодирования цветов то же, что и на рис. 1. Главная диаграмма а нарисована в координатах (г, К). Внутренняя часть выделенного параллелограмма показана отдельно б в скейлинговых координатах (С1 ,С2). На фрагментах в и г горизонтальный и вертикальный масштабы последовательно изменены на факторы 61 = —2.8336... и 62 = 1.66042..., соответственно. Кодирование цветов переопределено на каждом новом уровне увеличения
в середине параллелограмма. Его внутренняя часть показана в первом увеличенном фрагменте в скейлинговых координатах. Следующие фрагменты представляют собой все меньшие и меньшие окрестности критической точки при последующем пересчете масштаба. Аналогичная процедура проделана в присутствии шума, начальная интенсивность которого задана параметром г = 0.03 (рис.12). В этом случае для наблюдения самоподобия необходимо не только пересчитывать масштабы по осям г и К, но и уменьшать интенсивность шума на фактор у. Легко видеть замечательное сходство картинок, полученных на нескольких шагах пересчета масштабов.
Рис. 12. Ляпуновские карты с шумом, демонстрирующие скейлинг в окрестности критической точки типа GM. Главная диаграмма а, нарисованная в координатах (г, К), соответствует уровню шума е = 0.03. Внутренняя часть выделенного параллелограмма показана отдельно б в скейлинговых координатах (С1, С2). На фрагментах в и г, помимо изменения горизонтального и вертикального масштаба, уменьшен уровень шума на фактор у = 2.30618 и у2 = 5.31849, соответственно
Заключение
В работе рассмотрены закономерности скейлинга, связанные с влиянием аддитивного шума на динамику модельной системы, описываемой отображением окружности в окрестности критической точки перехода к хаосу через квазипериодическое движение с числом вращения, равным золотому среднему. На основании ренорм-группового подхода сформулирован ряд скейлинговых соотношений, выполнение которых продемонстрировано в численных экспериментах. В частности, мы обращаем внимание на размывание тонкой структуры критической орбиты из-за присутствия шума, самоподобной структуры «чертовой лестницы», расположение «шумовых языков Арнольда» - областей динамики, близкой к периодической, на ляпунов-ских картах на плоскости параметров около критической точки GM.
Ожидается, что обнаруженные закономерности останутся в силе не только для отображения окружности, но и для всего класса универсальности, который это отображение представляет. Основанием для этого утверждения служат результаты ре-нормгруппового анализа. В частности, указанные особенности будут свойственны автогенераторам и ротаторам под внешним периодическим воздействием, переходам Джозефсона в микроволновой области, конвекции жидкости под внешним воздействием и т.д. Как ожидается, полученные результаты будут полезны для экспериментальных исследований, имеющих своей целью наблюдение и исследование сложного поведения на пороге хаоса в классе систем различной физической природы, демонстрирующих переход к хаосу через квазипериодические движения.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант №03-02-16074), совместного российско-германского гранта РФФИ - ННИО (№04-02-04011), Научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики при Саратовском госуниверситете (грант REC-006) и ФЦНТП (шифр работы № 2005-РИ-19.0/002/304).
Библиографический список
1. Hamm A., Graham R. Scaling for small random perturbations of golden critical circle maps // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46, № 10. P. 6323-6333.
2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988.
3. Кузнецов С.П.Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физматлит, 2001.
4. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
5. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.
6. Glass L., Sun /.Periodic forcing of a limit cycle oscillator: Fixed points, Arnold tongues, and the global organization of bifurcations // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 5077-5084.
7. Anishchenko KS. Dynamical Chaos - Models and Experiments. Appearance, Routes and Structure of Chaos in Simple Dynamical Systems // World Scientific, Singapore, 1995.
8. BakP., Bohr T., Jensen M.H., Christiansen P. V. Josephson junctions and circle maps // Solid State Communications. 1984. Vol. 51, № 4. P. 231-234.
9. Bohr T., BakP., Jensen M.H. Transition to chaos by interaction of resonances in dis-sipative systems. II. Josephson junctions, charge-density waves, and standard maps // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30, № 4. P. 1970-1981.
10. Alstr0m P., Christiansen B., Hyldgaard P., Levinsen M.T., Rasmussen R. Scaling relations at the critical line and the period-doubling route for the sine map and the driven damped pendulum // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, № 3. P. 2220-2233.
11. Arnold V.I. Cardiac arrhythmias and circle mappings // Chaos. 1991. Vol. 1, № 1. P. 20-24.
12. Glass L., Guevara M.R., Shrier A., Perez R. Bifurcation and chaos in a periodically stimulated cardiac oscillator // Physica D. 1983. Vol. 7. P. 89-101.
13. Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker S./.Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis // Physica D. 1982. Vol. 5. P. 370-386.
14. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E.D. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems // Physica D. 1983. Vol. 8. P. 303-342.
15. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19, № 1. P. 25-52.
16. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1979. Vol. 21, № 6. P. 669-706.
17. Feigenbaum M.J.Universal behavior in nonlinear systems // Physica D. 1983. Vol. 7, № 1-3. P. 16-39.
18. Greene J.M., MacKay R.S., Vivaldi F., Feigenbaum M.J.Universal behaviour in families of area-preserving maps // Physica D. 1981. Vol. 3, № 3. P. 468-486.
19. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. Т. 39, № 3. C. 3-37.
20. Mao J.-M., Greene J.M. Renormalization of period-doubling in symmetric four-dimensional volume-preserving maps//Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35, № 9. P. 3911-3917.
21. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R. A variety of period-doubling universality classes in multi-parameter analysis of transition to chaos // Physica D. 1997. Vol. 109. P. 91-112.
22. Hu B., Rudnik J.Exact solution of the Feigenbaum renormalization group equations for intermittency // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, № 24. P. 1645-1648.
23. Hirsch J.E., Nauenberg M., Scalapino D.J.Intermittency in the presence of noise: A renormalization group formulation // Phys. Lett. A. 1982. Vol. 87. P. 391.
24. MacKay R.S. A renormalization approach to invariant circles in area-preserving maps // Physica D. 1983. Vol. 7, № 1-3. P. 283-300.
25. Wilbrink J.New fixed point of the renormalisation operator associated with the recurrence of invariant circles in generic Hamiltonian maps // Nonlinearity. 1990. Vol. 3. P. 567-584.
26. Гольберг А.И., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальные свойства для последовательностей бифуркаций утроения периода // УМН. 1983. Т. 38, № 1. C. 159-160.
27. Cvitanovic P., Myrheim J.Universality for period n-tuplings in complex mappings // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 94. P. 329.
28. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P. On scaling properties of two-dimensional maps near the accumulation point of the period-tripling cascade // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. Vol. 5, № 4. P. 459-476.
29. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Известия вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 8. C. 991-1007.
30. Kook H., Ling F.H., Schmidt G. Universal behavior of coupled nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43, № 6. P. 2700-2708.
31. Kim S.-Y. Universality of period doubling in coupled maps // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 1745-1748.
32. Stavans J., Heslot F., Libchaber A. Fixed winding number and the quasiperiodic route to chaos in a convective fluid//Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, № 6. P. 596-599.
33. Jensen M. H., KadanoffL. P., Libchaber A., Procaccia I., Stavans J. Glodal universality at the onset of chaos: Results of a forced Rayleigh - Benard experiment // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, № 25. P. 2798-2801.
34. Su Z., Rollins R.W., Hunt E.R. Measurements of f (a) spectra of attractors at transitions to chaos in driven diode resonator systems // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 36, № 7. P. 3515-3517.
35. Kajanto M.J., Salomaa M.M. Effects of external noise on the circle map and the transition to chaos in Josephson junctions // Solid State Communications. 1985. Vol. 53, № 1. P. 99-106.
36. Crutchfield J.P., Nauenberg M., Rudnik J.Scaling for external noise at the onset of chaos // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 46, № 14. P. 933-935.
37. Shraiman B., Wayne C.E., Martin P.C. Scaling theory for noisy period-doubling transitions to chaos // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 46, № 14. P. 935-939.
38. Gyorgyi G., Tishby N. Scaling in stochastic Hamiltonian systems: A renormalization approach // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 58, № 6. P. 527-530.
39. Kapustina J.V., Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Mosekilde E. Scaling properties of bicritical dynamics in unidirectionally coupled period-doubling systems in presence of noise // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 066207 (12 pages).
40. Gyorgyi G., Tishby N.Path integrals in Hamiltonian systems: breakup of the last Kolmogorov-Arnold-Moser torus due to random forces // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. № 4. P. 353-356.
41. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Osbaldestin A.H. Effect of noise on the dynamics of a complex map at the period-tripling accumulation point // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, 036216 (6 pages).
42. Markosova M., Markos P. Numerical studies of the noisy sine circle map // Phys. Lett. A. 1989. Vol. 136, № 7, 8. P. 369-373.
43. Dixon T.W., Gherghetta T., Kenny B.G. Universality in the quasiperiodic route to chaos // Chaos. 1996. Vol. 6, № 1. P. 32-42.
44. De la Llave R., Petrov N.P. Regularity of conjugacies between critical circle maps: An experimental study // Experimental Mathematics. 2002. Vol. 11. P. 219-242.
45. Rossler J., Kiwi M., Hess B., Marcus M. Modulated nonlinear processes and a novel mechanism to induce chaos // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39, № 11. P. 5954-5960.
46. Marcus M., Hess B. Lyapunov exponents of the logistic map with periodic forcing // Computers and Graphics. 1989. Vol. 13, № 4. P. 553-558.
47. Bastos de Figueireido J.C., Malta C.P. Lyapunov graph for two-parameter map: Application to the circle map // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1998. Vol. 8, № 2. P. 281-293.
48. Kuznetsov A.P., Savin A.V. About the typical structures and chaos border in the parameter plane of non-autonomous discrete maps with period-doubling // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2002. Vol. 5, № 3. P. 296-301.
49. Fiel D. Scaling for period-doubling sequences with correlated noise // J. Phys. A: Math. Gen. 1987. Vol. 20. P. 3209-3217.
50. Choi S.-Y., Lee E.K. Scaling behavior at the onset of chaos in the logistic map driven by colored noise // Phys. Lett. A. 1995. Vol. 205. P. 173-178.
51. Ivankov N.Yu., Kuznetsov S.P. Complex periodic orbits, renormalization, and scaling for quasiperiodic golden-mean transition to chaos // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. 046210 (10 pages).
52. Crutchfield J.P., Farmer J.D., Huberman B.A. Fluctuations and simple chaotic dynamics // Phys. Rep. 1982. Vol. 92, № 2. P. 45-82.
53. Jensen M.H., Bak P., Bohr T. Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. I. Circle maps // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 30, № 4. P. 19601969.
54. Alstr0m P., Levinsen M.T., Rasmussen D.R. Scaling exponents, relations, and order dependence for circle maps // Physica D. 1987. Vol. 26. P. 336-346.
Саратовский филиал Института Поступила в редакцию 18.04.2005
радиотехники и электроники РАН После доработки 15.06.2005
Саратовский государственный университет
ABOUT SCALING PROPERTIES IN THE NOISY CIRCLE MAP AT THE GOLDEN-MEAN WINDING NUMBER
A.P. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, J.V. Sedova
Scaling regularities are examined associated with effect of additive noise upon a critical circle map at the golden-mean winding number. On a basis of the RG approach of Hamm and Graham [1] we present an improved numerical estimate for the scaling constant responsible for the effect of noise, y = 2.3061852653... Decrease of the noise amplitude by this number ensures possibility of observation for one more level of fractal-like structure associated with increase of characteristic time scale by factor (\/5 + 1)/2. Numeric results demonstrating evidence of the expected scaling are presented, e.g. portraits of the noisy attractors, devil's staircase plots, and Lyapunov charts.
Кузнецов Сергей Петрович - родился в Москве (1951). Окончил Саратовский государственный университет (1973). С 1988 - сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН, в настоящее время заведующий лабораторией теоретической нелинейной динамики. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в СГУ (1977) и доктора наук (1987) по специальности радиофизика. Профессор кафедры динамических систем. Автор учебно-научной монографии «Динамический хаос» и «Нелинейные колебания» (в соавторстве с А.П. Кузнецовым и Н.М. Рыскиным). Опубликовал свыше 150 научных статей по нелинейной динамике, радиофизике и электронике. Под руководством С.П.Кузнецова защищены шесть кандидатских диссертаций. Лауреат государственной научной стипендии для ученых России (1994-1996), Соросовский доцент (1998), Соросовский профессор (2000, 2001). Член-корреспондент РАЕН. Член редакционной коллегии журнала «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика».
Кузнецов Александр Петрович - родился в 1957 году. Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН, профессор Саратовского госуниверситета, заведующий базовой кафедрой динамических систем СГУ в СО ИРЭ РАН. Специалист по нелинейной динамике, теории динамического хаоса и теории критических явлений. Занимается использованием идей теории катастроф и теории бифуркаций, а также развитием концепции сценариев перехода к хаосу применительно к многопараметрическим модельным и физическим нелинейным системам. Соросовский профессор (2000, 2001), научный руководитель студенческой лаборатории «Теоретическая нелинейная динамика» и заочной школы факультета нелинейных процессов. Опубликовал более 100 научных работ. Автор нескольких оригинальных учебных курсов для факультета нелинейных процессов и лицея прикладных наук СГУ, шести учебных пособий и монографии «Нелинейные колебания» (совместно с С.П. Кузнецовым и Н.М. Рыскиным. М.: Физматлит, 2002). Член редколлегии журнала «Империя математики». E-mail: [email protected]; www.sgtnd.tserv.ru
Седова Юлия Викторовна - родилась в 1979 году. Окончила Саратовский государственный университет (2001). Кандидат физико-математических наук (СГУ, 2004), старший научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН. Научные интересы - влияние шума на динамические системы, дискретные отображения, связанные системы, динамический хаос. Автор 7 статей в отечественной и зарубежной печати.
