О свойствах поверхностных волн в упругой среде Коссера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.22.094.1

М.А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков

Институт механики сплошных сред УрО РАН (г. Пермь)

О СВОЙСТВАХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ КОССЕРА

Abstract

It is shown that in half-space which dynamic behavior being described by the Cosseratt model instead of elasticity theory, a new wave mode appears. Moreover, there exists a frequency depending only on material parameters for which the velocities of Rayleigh waves and cross surface waves are equal.

В данной работе рассматривается задача о распространении упругие поверхностных волн в среде Коссера (случай полупространства). Деформированное состояние характеризуется независимыми векторами перемещения и поворота, тензоры напряжений и моментныс напряжений являются несимметричными [1,2]. В отличие от известные работ [3-6], решения уравнений движения ищутся в виде волновые пакетов, задаваемые спектром Фурье произвольной формы. Полученное решение состоит из двуе независимые частей, одна из которые описывает волну Рэлея, а вторая соответствует поперечной волне, затуеающей с глубиной. Для обоие типов волн выписаны аналитические решения в перемещенияе. Особо необеодимо отметить, что, в отличие от волны Рэлея, полученное решение для поперечной повереностной волны не имеет аналогов в классической теории упругости. В качестве численные иллюстраций приведено сравнение решения для поперечной волны с решением для волны Рэлея.

Постановка задачи

Рассмотрим полупространство, повереность которого свободна от нагрузок в случае отсутствия массовые сил и моментов. Для описания упругой среды Коссера будем использовать следующие соотношения [1]:

(2p,+X)grad div u-(p,+a)rot rot u +2a rot ю=pw,

(2y+P)grad div ro-(y+s)rot rot ю+2а rot u -4аю=/ти.

Здесь u - вектор перемещения, w - вектор вращения, X, ц - постоянные Ламе, а, в, у, s -физические постоянные материала в рамкае моментной теории упругости, р - плотность, j - параметр, отвечающий за меру инерции среды при вращении. Оси декартовые координат х и у направим по поверености, а ось z - в глубь полупространства. Граничные условия примут вид:

О zx = 0 О z, = а а zz = а Д zx = 0 I z, = 0 I zz = °. (2)

Построение решения

Пусть волна распространяется в направлении оси х. Общее решение системы (1) представим в виде Фурье-интегралов, что соответствует представлению решения как ограниченного во временном и Фурье-пространствае волнового пакета произвольной

М. А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков

формы (физический смысл имеют здесь только вещественные части соответствующих компонент):

и

ш

,(Х,1,1) =/ и, ( 2)е‘ ».%(/ ) а/,

—ад

ад

, (х, г, I) = | к, (¿е(**/) $,( /) а/,

(3)

где п={х, у, г} - координатный индекс, г - мнимая единица, к - волновое число, /- круговая частота, ‘ - время, ип(г) и Жп(г) - амплитудные функции, зависящие от глубины, а 80( /) - комплексный Фурье-спектр сигнала-источника, определяющий форму волнового пакета.

Выполним непрерывное Фурье-преобразование соотношений (1)-(3), подставим Фурье-образ решения в спектральную систему и получим две развязанных системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Далее обезразмерим полученные системы с использованием параметров:

|Д

в(у + 8)

в= а + д с— у-8 а ’ у + 8

С 2 = ^ + 2д с2 —

С1 _ лг2 г2 , С2 _ '

2 _ ВС2 ,^2 _ У + 8

рХо/2 ’ 2 рХ02/о

Сз2 =

В — 1

С2 —

2 _ У + 2Р

4 -т^2 /-2 ’ 5

]Х о2/о

С2 —

]Х 1/00 ’

где Х0 - некоторый характерный размер, а /0 - характерная частота.

Решением получившихся систем будут являться выражения для амплитудных функций, подставляя которые в (3), окончательно получим:

(х, г,,) — Г„ Л—кТ-г — 5- е-"' + к

К2

Ш) о,

иу (х, ‘) — ■

0о(В — 1) ад1 в1 ( /2 4А2В

2 А2 В

■Л—Й-

а1 — - 2 ,

V 1 С2 В — 1 ,

э—#1г

к#

/2 4 А2 В

С42 В — 1 ,

е“^2' I е{(кх+/‘—п/2)

Ш) а/,

т—’ т—’

,(х,г,‘) — Ко Я-ое-'* —-1 е-"' +-+

—ад I V V

х (х, ‘) — Оо \\—ке

Ш) а/,

К -V-' 5 ^^ |

—#°г —^ е# +^1 е~#2 г 1 е (кх+/‘—п/2) £0( /) о, к к I

, ко в ад Г 51 ( /2 ^

Шу (х, г, 0 — ^ 1 а

ку1

а1 — 2

1 С

V ^3 у

К ( /2 ^

52 а2 — С-2

V С3 у

е--2г I ег(кх+/‘—п/2)

Ш) а/,

ш

(х, г, ‘) — Оо М — г —## е~# +##

#1

#2

е #2г > е* (кх+/)

Яо(/) а/.

30

30

Экспоненциальные показатели амплитудных функций определяются здесь выражениями:

.2 /2

/2 2 А2 ВС42

- +

С52 (В — 1)С

, "^,2 #1,2 Л к а1,2 ,

С 2 + С 2 МС 2 С 2 | 2 А 2 (С 2С 2 2С 2С 2 + С 2С 2 )

а — С3 + С4 / 2 2 А2 ± С3 ~ С 4 / / 4 Z А \С 2 С3 ~ 2С 3 С4 + С 2 С4 / / 2 . 0 а4

^ — 2С32С42 / 2А ^ 4С34С44 / С22С32С42 / +2А •

Вещественные константы Кт и 0т определяются из обезразмеренных граничных условий (2):

П Е

Кт — (—1) тгк\ т-т, 0т — (—1) тгк# т-т, т — 1,2,

т\ / т 7-1 5 т \ / ^>т ’

Ко 0о

где Ко и 0о- неопределенные константы, а комплексные величины Пт и Ет являются решением однородных систем:

М-{По, Д, Д } — о, М 2-{Ео, Д, Е2 } — о.

Из условия разрешимости этих систем получаем следующие волновые уравнения:

1. Уравнение ёе1(М1) — о описывает волну Рэлея с компонентами их, иг, ш у, где

М1 —

2к2— /2/ С22 2/ку о

— 2/ку1

2к2— /2/ С22 2к2— /2/ С22

/’/С? ) /’/С; )

2. Уравнение ёе1;(М 2) — о описывает поперечную волну с компонентами иу, шх, шг

2гк 1 — В гк (1 + С )# о

2С52

(1+с )С4

1

2 + ад— /-\

2А2С42 )1

к 2с+#2

4/к^

2+

а2С42 - / 2

2А2С42 у

к 2с+# 2

4/1# 2

2

о

#

2

Рис. 1. Сравнение волновых чисел (а) и фазовых скоростей (б) для классической и несимметричной сред

М. А. Кулеш, В.П. Матвеенко, И.Н. Шардаков

Зависимости волновых чисел и фазовых скоростей от физической частоты р, изме-

* *

ряемой в Гц, приведены на рис. 1, где кг , Сг (сплошные линии) - решение для волны

**

Рэлея в классическом случае; к1, С1 (также сплошные линии) - решение для объемной поперечной волны в классическом случае; кг , Сг (пунктирные линии) - решение для

волны Рэлея в среде Коссера; кг , С{ (точечные линии) - решение для поверхностной

поперечной волны в среде Коссера.

На рис. 2 приведены зависимости компонент перемещений полученного решения от относительной глубины, отнесенной к длине волны. Сплошная линия соответствует функции их, пунктирная - и у, точечная -и2. Данная зависимость иллюстрирует, что

поперечная волна является типично поверхностной, причем толщина слоя локализации зависит от частоты.

Заключение

Основной результат, полученный в данной работе, состоит в следующем. В полупространстве, динамическое поведение которого описывается моделью среды Коссера, помимо поверхностной эллиптической волны Рэлея может существовать также поверхностная волна, имеющая одну поперечную компоненту перемещений. Геометрически эта волна подобна волне Лява, однако в классической теории упругости существование волны Лява как поверхностной волны определяется наличием слоя на полупространстве, при стремлении толщины слоя к нулю волна Лява переходит в объемную. Таким образом, в среде Коссера обнаруживается качественно новая волновая мода, аналогов которой в классической теории упругости нет.

В качестве второго результата можно выделить тот факт, что существует частота, зависящая только от материальных параметров, для которой скорости распространения в полупространстве волны Рэлея и поперечной поверхностной волны совпадают.

Библиографический список

1. Новацкий, В. Теория упругости /В.Новацкий. - М.: Мир, 1975.

2. Пальмов, В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости /В.А. Пальмов // Прикладная математика и механика. - 1964. - T. - 28. - № 3. - C. 401-408.

3. Ерофеев, В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой /В .И. Ерофеев. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.

4. Eringen, A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundation and Solids /A.C. Eringen // Springer-Verlag. - New York, 1999. - C. 319.

5. Лялин, А.Е. О распространении поверхностных волн в среде Коссера /А.Е. Лялин, В. А. Пирожков, Р.Д. Степанов //Акустический журнал. - 1982. - T. 28. - № 6. - C. 838-840.

6. Nath, S. Magneto-Thermoelastic Surface Waves in Micropolar Elastic Media /S. Nath, Sengupta P.R., Debnath L // Computers Math. Applic. - 1998. - Vol. 35. - № 3. - P.- 47-55.

Получено 31.08.2006