О свойствах квазисубполосных и G-субполосных матриц Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 621.397

О СВОЙСТВАХКВАЗИСУБПОЛОСНЫХ И G-СУБПОЛОСНЫХМАТРИЦ

A.А. ЧЕРНОМОРЕЦ1

B.П. ВОЛЧКОВ2

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Московский технический университет связи и информатики

e-mail:

[email protected]

В работе приведены свойства квазисубполосных и G-субполосных матриц в сравнении со свойствами субпо-лосных матриц, применяемых в субполосном анализе-синтезе изображений.

Ключевые слова: субполосный анализ-синтез, изображение, матрица, собственное число.

Введение.

Одним из направлений развития информационно-телекоммуникационных систем является совершенствование методов обработки данных, например, речевых данных и изображений, представленных в цифровом виде. Помимо традиционно используемых модификаций дискретного преобразования Фурье, вейвлет-анализа, указанные методы активно разрабатываются в рамках теории субполосного анализа-синтеза [1] звуковых данных и изображений на основе разложения по субполосным матрицам [2] и их собственным векторам в различных частотных интервалах. Субполосный анализ-синтез также представляется возможным осуществлять на основе так называемых квазисубполосных и G-субполосных матриц, исследованию свойств которых посвящена данная работа.

В данной работе свойства квазисубполосных и G-субполосных матриц исследуются на примере субполосных преобразований изображений, что не снижает значения полученных результатов для анализа одномерных данных.

Субполосные матрицы.

Изображения в цифровой форме в большинстве случаев представляются в виде матрицы вещественных значений Ф (), / 1,2,..., Л',, к 1,2,..., N-,, элементы которой

соответствуют яркости отдельных пикселей изображения.

Субполосный анализ-синтез изображений [3] осуществляется в центральносимметричном частотном интервале следующего вида,

□ : {(г/, V) | (г/ □ [г/1, и, [, V 1_ [у,, \>п [) и (« □ [г/1, и, [, V 1_ [ у,, I’, [) и

и (и □ [г/2,г/1 [, V [)и (и □ [г/2,г/1[,1; П[у1,у2[)},

О □ и1,и2,л\,У2 □ II

принадлежащем области нормированных частот Б2 (и, у)

£>2(г/, V) □ {(и,у) | □ □ и,л> □ □ }. (1)

В большинстве случаев субполосные преобразования определяются на семействе центрально-симметричных частотных интервалов, образуемых при разбиении частотной области £)0(г/,у) на Кг □ равновеликих частотных интервалов □ , г 11,2,

R2

Г2 □ 1,2,

□ : {(и, v) | (и □ [и? ,и? [, v L [if ,if [) U (и U [if,и?[, v QU

U (» U~[wrV/ri [,ji; С [v\vr? [)Ц (и □[»'>'' [,v □ [v'2 „v* Q} ,

г/'1 □ (/' 1) -

и'1 □ г □

, г □ 1,2,...,R ,

Ri

1 Ri

rr

2

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

>Л □ (г, 1) -V V? С 1,2, л ■

^2 2

Реализация субполосных преобразований [3] изображений в частотном интервале

□ (.ь, гх П1,2,.~,Ц , г- С1,2,-Д) осуществляется с помощью субполосных матриц

А □( \_\,2,...,ЫХ, и А,^ □ (4*,)’ к^к-, □ 1,2,...,#,,, соответствующих заданному

л , , 1У<2 |_| ^ г 1 , И ^ #1], л 2 1-1 л 2 !

частотному интервалу, элементы которых вычисляются на основании следующих выражений,

а и С

Чг2

□ &>/([ Мь ь)) 1 <'/1 Щ /2))

□

с

□ П1

(^2 )

?! 7-, □ О,

(3)

ЧЬ

□

п

□ Я7/(а2/-2(^ *2)) Л///(Г2(/-2 \){кл к2У)

□

□

г {клк2)

кл к2 □ О,

к] кп □ О,

(4)

% □

Я,

□2

Свойства субполосных матриц исследованы достаточно подробно [4].

Представляет интерес исследование свойств квазисубполосных матриц Н (А ^ )

и С-субполосных матриц О □ (§£ ), г, Г 1,2,..., Д , /,,/-, □ 1,2,..., А[, которые также могут быть использованы при решении задач субполосного анализа-синтеза (для величин Я2 и И2 свойства соответствующих матриц аналогичны). Значения элементов квазисубполосных матриц Н □ (И'1) и С-субполосных матриц С □ ), /; □ 1,2,..., , / ,/ С 1,2,,,,, ,

определяются на основании следующих соотношений,

К □

Чг2

>2 0) 1(^1 1)(Л ь 1))

г (/, /2 1)

(5)

2-.г1 □ </ И ’Л .

0^2 Г { 2 1 112 2

(6)

Свойства квазисубполосных матриц.

Рассмотрим свойства квазисубполосных матриц Н., г 1,2,..., /^, значения элементов которых определяются соотношением (5).

Свойство 1)

Значения элементов квазисубполосной матрицы Н., г 1,2,...,7?, зависят только от величины Ж, количества ^ равновеликих интервалов и номера г частотного интервала.

Свойство 2)

Квазисубполосная матрица Нг □ (Н'к ), г □ 1,2,...,К, 1,к □ 1,2,...,#, является ганке-левой матрицей [5]. Значения всех элементов матрицы могут быть получены на основа-

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

128

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 129

2012. №1 (120).Вй12с№21/(А20). Выпуск 21/1

В качестве примера в табл. 1 приведены значения отдельных элементов (й'^), / □ 1,2,...,16, к □ 1,2,...,8, квазисубполосной матрицы Нх при#=16, Я=4.

Таблица 1

Значения отдельных элементов квазисубполосной матрицы

И1 (N=16, R=4)

—-М. 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1 0,225 0,159 0,075 0 -0,045 -0,053 -0,032 0

2 0,159 0,075 0 -0,045 -0,053 -0,032 0 0,025

3 0,075 0 -0,045 -0,053 -0,032 0 0,025 0,031

4 0 -0,045 -0,053 -0,032 0 0,025 0,031 0,020

5 -0,045 -0,053 -0,032 0 0,025 0,031 0,020 0

6 -0,053 -0,032 0 0,025 0,031 0,020 0 -0,017

7 -0,032 0 0,025 0,031 0,020 0 -0,017 -0,022

8 0 0,025 0,031 0,020 0 -0,017 -0,022 -0,015

9 0,025 0,031 0,020 0 -0,017 -0,022 -0,015 0

10 0,031 0,020 0 -0,017 -0,022 -0,015 0 0,013

11 0,020 0 -0,017 -0,022 -0,015 0 0,013 0,017

12 0 -0,017 -0,022 -0,015 0 0,013 0,017 0,011

13 -0,017 -0,022 -0,015 0 0,013 0,017 0,011 0

14 -0,022 -0,015 0 0,013 0,017 0,011 0 -0,010

15 -0,015 0 0,013 0,017 0,011 0 -0,010 -0,014

16 0 0,013 0,017 0,011 0 -0,010 -0,0144 -0,009

Свойство з)

Значения элементов матрицы Н,, г 1,2,...,К, могут быть получены на основании

значений элементов главной диагонали и первой наддиагонали.

Свойство 4)

Отдельные элементы первой строки квазисубполосной матрицы Н. (/^' ),

7- □ 1,2,...,7?, 7,к □ 1,2,...,#, равны нулю,

КкП0, (7)

к □ пН , 77 □ 1,2,...,Ы/К.

Соответственно, в каждой строке квазисубполосной матрицы имеется N / Я элементов равных нулю.

Свойство 5)

Матрицы Н, С (/// ), г □ 1,2,...,К, симметричны.

Равенство элементов

ъ;к иик1,7 С 1,2,...,#, к □ 1,2,...,#

следует из соотношения (5), определяющего значения данных элементов.

Данное свойство можно проиллюстрировать с помощью изображений рис. 1-2, на которых яркости пикселей представленных изображений определяются значениями элементов соответствующих квазисубполосных И1, И3 и субполосных А1, А3 матриц в указанных частотных интегжалах Гвычисления выполнены при #=256 цЫ

приведе 1ения значений элемеь

А

Ах, А3

Б

Рис. 1. Визуальное представление значений элементов матриц

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

для интервала и1 (N=256, ^=8): а - матрица И1, б - матрица А1

Рис. 2. Визуальное представление значений элементов матриц для интервала из (N=256, R=8): а - матрица И3, б - матрица А3

На рис. 3 в виде графиков отображены значения элементов главной диагонали указанных квазисубполосных матриц.

Г. 4

С <8 -

Г. (К Г.1М

С.0.с ^ -

г I1 /' /' Л ,■ Л - - - --..........

■ .....■ - - ■

-сад 1( -

и------1----1-----------1-----1-----

о » 1« го:

а Б

Рис. 3. Визуальное представление значений элементов главной диагонали квазисубполосной матрицы (N=256, R=8): а - диагональ матрицы И1, б - диагональ матрицы И3

Свойство 6)

Сумма квазисубполосных матриц Н., г 1,2, равна нулевой матрице И(),

к

□ Нг с г0. (8)

г I

Соотношение (8) следует из соотношения (5), определяющего значения элементов квазисубполосных матриц.

Свойство 7)

Квазисубполосные матрицы имеют как положительные, так и отрицательные собственные числа.

В табл. 2 приведены значения отдельных собственных чисел квазисубполосных матриц И1 и И3 (N=256, R=8), упорядоченные по убыванию.

........... п^вл^л/^-пл Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 131

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОС1И 101

2012. №1 (120). 2Ш>1Пус№211 /¡120). Выпуск 21/1

Значения отдельных собственных чисел квазисубполосных матриц Нх и Н3 (N=256, R=8)

Таблица 2

i Матрица Нх Матрица H3

1 0,435 0,425

2 0,164 0,268

3 0,037 0,137

4 0,006 0,059

5 0,001 0,024

6 0,0001 0,009

7 2,061e-005 0,003

8 2,467e-006 0,001

9 2,722e-007 0,0003

10 2,779e-008 0,0001

247 -8,996e-009 -0,0001

248 -9,102e-008 -0,0003

249 -8,536e-007 -0,001

250 -7,394e-006 -0,003

251 -5,888e-005 -0,009

252 -0,0004 -0,023

253 -0,002 -0,061

254 -0,016 -0,134

255 -0,081 -0,271

256 -0,294 -0,424

На рис. 4 в виде диаграммы представлены упорядоченные по убыванию значения собственных чисел квазисубполосных матриц И и И3 (N=256, ^=8).

А

0.5 Г) 4 0.3 0.2 U.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -U.b

U

ьи

1UU

Б

2ÜU

Рис. 4. Визуальное представление значений собственных чисел квазисубполосных матриц (N=256, R=8): а - для матрицы Нх, б - для матрицы Н3

Свойство 8)

Собственные векторы {cjf' }, і □ 1,2,..., N, квазисубполосной матрицы Н, г 1,2,..., R, образуют ортогональную систему векторов,

UHrqfr □ II £ ,

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

„ т „ „ „ Щ1 7 □ к,

(дНг)тдНг П(дНг,дНг)сГ

- 1 к

г к

_0, 7 □ к,

Нг □ 0н’Ън’\0Иг)т,

где QHr, ЬНг - матрицы, составленные из собственных векторов и собственных чисел матрицы Нг,

0ЙГП(ГГ'Т-О»

1н,'П(Иаё(П*г Й,г ... 3^),

diag - функция, позволяющая создать диагональную матрицу, на главной диагонали которой расположены значения элементов указанного вектора.

Свойства С-субполосных матриц.

Рассмотрим свойства С-субполосныхматриц (I., г 1,2,...,К, значения элементов которых определяются (6) значениями элементов субполосных и квазисубполосных матриц Д. и Нг, г □ 1,2,...,7?,

и ОгП АгНг.

Свойство 1)

Значения элементов С-субполосной матрицы (г., г 1,2,...,7?, зависят от длины N

сигнала, количества ^ равновеликих интервалов. номера г частотного интервала.

Свойство 2)

Матрицы Сг=^'^, г 1,2,...,7?, симметричны,так как

й П4,Л/по;Л,р&’> /□1,2,...,лг,*а1,2,...,лг.

Данное свойство можно проиллюстрировать с помощью изображений рис. 5, на которых яркости пикселей представленных изображений определяются значениями элементов соответствующих субполосной и С-субполосных матриц в указанных частотных интервалах (вычисления выполнены при N=256, ^=8).

А Б

Рис. 5. Визуальное представление значений элементов б-субполосных матриц для частотных интервалов С/1 и из: а - матрица G1, б - матрица 03

Свойство 3)

Учитывая свойство субполосных матриц Д, г 1,2,..., Я,

К

ЮГА,.

гП|

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 132

2012. №1 (120).Вй12с№21/(А20). Выпуск 21/1

где I - единичная матрица,

и свойство 6) квазисубполосных матриц Нг, г 1,2,..., Я, (8) имеют место равенства

к к

П(Д. I,.), (9)

гП\ гП\

Я

/□□(Д., I), 10)

гШ

где к - произвольный множитель.

Более того, равенство (10) сохраняется при использовании степенных квазисубполосных матриц Н ’’, г □ 1,2,...,Я,

К

ТР

. П.1 I

г

гП\

10 О {АгкНр\, (и)

где элементы матрицы Нрг Щ*’), г 1,2,..., М , ¡,к 1,2,...,#, определяются соотношением

гр п Sin(~^r(i к 1)) 51п(С(г 1)(/ к 1))

— V - V ." ^ —V V ^------- (12)

'1 П(г,к Г

Увеличение значения р приводит к более быстрому затуханию колебаний на графике (рис. 3).

Свойство 4)

Собственные числа G-субполосных матриц неотрицательны.

В табл. 3 приведены значения отдельных собственных чисел G-субполосных матриц G1 и G3 (N=256, £=8), упорядоченные по убыванию, а также собственные числа соответствующих субполосных матриц.

Таблица 3

Значения отдельных собственных чисел G-субполосных и субполосных матриц (N=256, .К=8)

i Матрица С1 Матрица С3 Матрица А1 Матрица А3

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1

19 1 1 1 1

20 1 1 1 1

21 1 1 1 0,99998

22 1 1 1 0,99998

23 1 1 1 0,99981

24 1 1 1 0,99979

25 1 1 1 0,99819

26 1 0,999 0,99999 0,99804

27 1 0,999 0,99991 0,9858

28 1 0,999 0,99933 0,98508

29 0,999 0,995 0,99568 0,91607

30 0,999 0,976 0,97597 0,91407

31 0,992 0,892 0,89281 0,68161

32 0,871 0,665 0,66455 0,67995

33 0,348 0,335 0,33505 0,31919

34 0,035 0,106 0,10727 0,31763

35 0,0016 0,024 0,024218 0,086227

36 5,288е-005 0,0042 0,0044121 0,084202

37 1,3б1е-00б 0,0007 0,00070045 0,015305

38 2,873е-008 9,274е-005 0,00010019 0,014532

39 5,085е-010 1,382е-005 1,3117е-005 0,0021015

Серия История. Политология. Экономика. Информатика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

Данные, приведенные в табл. 3, показывают, что G-субполосные матрицы имеют больше единичных собственных чисел, чем соответствующие субполосные матрицы.

На рис. 6 в виде диаграммы представлены упорядоченные по убыванию значения собственных чисел G-субполосных матриц G1 и G3 (вычисления выполнены при N=256, Д=8).

Рис. 6. Визуальное представление значений собственных чисел G-субполосных матриц:

а - для матрицы G1, б - для матрицы G3

Свойство 5)

Собственные векторы {{¡^’}, і □ 1,2,...,#, О-субполосной матрицы Ог, г □ 1,2,...,і?, образуют ортогональную систему векторов,

□ 0$г, п т п □ 1 , і П к,

(г,Г?ії а(Г.Г)пд ІПК

Ог П0ОгЬОг(0Ог)т,

где , Ь°г - матрицы, составленные из собственных векторов и собственных чисел мат-

рицы Ог,

0°'Цг)0'г?'.О.

1а'и Лс^ГГ;1' ЙЇ ... 0[„),

diag - функция, позволяющая создать диагональную матрицу, на главной диагонали которой расположены значения элементов указанного вектора.

Таким образом, рассмотренные свойства квазисубполосных и G-субполосных матриц могут служит основой для разработки методов и алгоритмов организации эффективного вычисления и хранения данных матриц, а также для выявления отдельных характеристик изображений, позволяющих эффективно решать различные задачи субполосного анализа-синтеза, например, задачи сжатия изображений.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 12-07-0257а.

Список литературы

1. Жиляков Е.Г. Вариационные методы анализа сигналов на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, А.А. Черноморец // Вопросы радиоэлектроники, Сер. ЭВТ. - 2010. - Вып. 1. - С. 10-25.

2. Жиляков Е.Г. Методы анализа и построения функций по эмпирическим данным на основе частотных представлений [Текст] / Е.Г. Жиляков. - Белгород, изд-во БелГУ, 2007. - 160 с.

Серия История. ПолитоР°)1'йя.ЭКо(нОМй)|к§.И1пН('|Ск)рМ(атика. 2012. №1 (120). Выпуск 21/1

3. Жиляков Е.Г. Оптимальная фильтрация изображений на основе частотных представле- ний [Текст] / Е.Г. Жиляков, А.А. Черноморец // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ. - 2008. - Вып. 1. - С. 118-131.

4. Черноморец А.А. О свойствах собственных векторов субполосных матриц [Текст]

/

А.А. Черноморец, Е.И. Прохоренко, В.А. Голощапова // Научные ведомости БелГУ. Сер. История.

Политология. Экономика. Информатика. - 2009. - № 7 (62). - Вып. 10/1. - С. 122-128.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц [Текст] / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Физматлит, 2004. - 560 с.

ABOUT PROPERTIES OF QUASISUBBAND AND G-SUBBAND MATRICES

A.A. CHERNOMORETS1 V.P.VOLCHKOV2

Belgorod National Research University

e-mail:

[email protected]

Moscow Technical University Communication and Informatics

The properties of quasisubband and G-subband matrices in comparison with the properties of subband matrices used for subband analysis-synthesis are described in the work.

Key words: subband analysis-synthesis, image, matrix, eigenvalue.