О существовании локального решения задачи Коши-Дирихле для нелинейного уравнения Шредингера с запаздыванием временного аргумента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.972

А. Д. Грехнева

Российский университет дружбы народов

О существовании локального решения задачи Коши^Дирихле для нелинейного уравнения Шредингера с запаздыванием временного аргумента

Исследуется задача с начальным условием Коши-Дирихле для дифференциально-разностного уравнения Шредингера с запаздыванием. Установлены локальная однозначная разрешимость задачи Коши-Дирихле с запаздыванием временного аргумента и эффекты глобального существования решения.

Ключевые слова: Нелинейное уравнение Шредингера, регуляризация, отклонение по временному аргументу, запаздывание.

A.D. Grekhneva Peoples' Friendship University of Russia

On the Cauchy-Dirichlet problem for the nonlinear Schroedinger equation with a delay temporary argument

We study the initial condition problem for the Cauchy-Dirichlet problem for the differential difference Schroedinger equation with delay. We find the local well-posedness of the Cauchy problem, i.e. the Dirichlet problem with a lag argument and temporary effects of the global existence of the solution.

Key words: The nonlinear Schrodinger equation, regularize, deviation of a temporary-argument, delay.

1. Введение

Нелинейное уравнение Шредингера описывает ряд явлений нелинейной оптики и моделей самосогласованного поля в квантовой механике. Этим уравнением описывается распространение электромагнитных волн в нелинейных оптических средах и в том числе явление самофокусировки [1, 9]. Наличие запаздывания в нелинейном уравнении Шредингера обусловлено описанием некоторых моделей управления с обратной связью и запаздыванием сигнала [1]. С математической точки зрения это уравнение представляет интерес с точки зрения теории солитонов, обратной задачи теории рассеяния [11] и теории разрушения решений [5, 8]. Для теории разрушения решений интерес представляет тот факт, что локальное решение сохраняет ¿2-норму на всем промежутке своего существования, но норма решения в пространствах Лебега с более высоким показателем суммируемости и его норма в пространствах Соболева неограниченно возрастают при приближении к конечной границе промежутка существования решения.

В настоящей работе исследуется нелинейное уравнение Шредингера, аддитивно возмущенное нелинейным слагаемым с запаздыванием. В статье установлены условия на нелинейное слагаемоес отклонением аргумента, при которых имеет место локальная однозначная разрешимость задачи с начальным условием, заданным на промежутке запаздывания.

© Грехнева А. Д., 2018

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2018

Исследуем решение задачи с начальными условиями и граничными условиями Коши для дифференциально-разностного уравнения Шредингера, дополненного операторами сдвига временного аргумента неизвестной функции:

д д2

i—u(t,x) = -тг^ u(t,x) + \u(t,x)\pu(t,x) + f (\Thu(t,x)\2)Th u(t,x)+ ot ox2

+f (\T-hu(t, x)\2)T-hu(t, x), (t, x) G (-h, +œ) x (-1, l), (1)

где h G (0, +œ>) и операторы сдвига Th отображают функции u : (-h, +œ>) ^ H в функции T±hu : (0, +œ) ^ H по следующему правилу:

Thu(t) = u(t - h), t G (0, +œ)-, T-hu(t) = u(t + h), t G (0, +œ).

Ставится задача найти решение дифференциаально-разностного уравнения (1), удовлетворяющего двум условиям: начальному условию

u|(_h,0) = Ч>, (2)

где (р - заданная та промежутке (-h, 0) функция со значениями в пространстве H, и граничному условию

u(t, -I + 0) = u(t, l - 0) = 0, t G (0, +œ). (3)

Относительно функции f : [0, +œ>) ^ R сделаем предположение, что существует такая константа к > 0, что \f(s)\ < k\s\2 ^рт всех s > 0.

Определение. Функцию и будем называть Hзадачи (1) - (3) (к G N), если и G С([0, T), Hк Р| lp+2(-1, I)) и выполнено равенство

t

uit) = e_-M0 - ,j^Gu(s)ds,t G [°,п W

0

где

G-u(s, x) = \-u(s, x)\pu(t, x) + f (\Th-u(s, x)\2)Thu(s, x) +

+f (\T_hu(s,x)\2)T_hu(s,x); (s, x) G (0, +œ) x (-1,1). (5)

Согласно теореме вложения при всех к G N имеет место вложение Hк(-1,1) С С([-I, I]) и оценка

1М|С([_м|) < Cemb\\u\\Hi. (Emb)

Поэтому в определении решения условие и G С([0, T), Hк Р| Lp+2(-l, I)) можно заменить на условие и G С([0,Т),Нк).

Докажем теорему о локальной разрешимости задачи с начальными данными (1) - (3), используя принцип сжимающих отображений и теорему вложения.

Теорема 1. Пусть р G С ([-h, 0],Н1 ) и |Mlc([-h,0],#х) = ^о- Тогда существует T = T (do ) > 0 такое, что па промежутке (-h, Т ) задача, с начальными данным,и (1) - (3) имеет единственное H1 -решение. Доказательство.

Обозначим через yt банахово пространство функций С ([-h, T], H 1(-1,1)) ■ Через zt (<р) обозначим ограниченное выпуклое замкнутое подмножество пространства yt, состоящее из таких функций и G yt, которые удовлетворяют условию

u(t) = tp(t), Vt G [-h, 0]; \lu(t)l\H 1 < 2Mc((_ht0)tH 1) Vt G [-h,T].

Выберем некоторое число Т > 0 и рассмотрим отображение Ф, сопоставляющее каждой функции и G Yt функцию v, определяемую равенством

t

v(t) = (Фи)® = e-itЛи(0) — i j e-i(t-8^Gu(s)ds, t G [0, T); v(t) = u(t), t G (—h, 0). (6)

0

Для любого и G Lg(R) справедлива оценка

Ilе-г1Ли\\Ьч{R) < (4v)ef \\u\\Lq{R),

где q = q > 2, в = 1 — 2- В частности, ||е-иЛи\\ь1(к) < \[4к1 \М\£то(д) и

\\е~иЛи\\ь2(к) = \М\Ь2(Д)-

Лемма 1. Если и G Yt, то v = Фи gYt и справедлива оценка,

\v\yt < \u\yt(1+ТС(р,CEmb\\u\\YT, \\f Wc 1([0,CEmb\\v\\YT))),

в которой константа является функцией трех неотрицательных аргументов и не зависит, от, величины Т.

Действительно, если и G Yt, то и(0) G H1 и, следовательно, первое слагаемое е-гЬЛи(0) лежит в пространстве С([0,T],H1) ж \\е-иЛи(0)ЦС([0,Т],н 1) = ll^l^ < 1М1ут-

Операторы полугруппы е-иЛ, t > 0, коммутируют с оператором дифференцирования, поэтому

t

dxv (t) = е-аЛдхи(0) — i J e-i(t-s^dxGu(s)ds, t G [0,T); dxv (t) = dxu(t), t G (—h, 0).

0

dxGu(s) = gidxu(s) + §2dxu(s) + g3,Th(ddxV,(s)) + g4Th(dxû(s)), (7)

где £1,2,3,4 G С([0,T],L^(—l, l)), ибо

dxGu(t) = \u(t, x)\p-2(v'x(t, x)u(t, x) + u(t, x)u'x(t, x))u(t, x) + \u(t, x)\pv!x.(t, x) +

+f(\Thu(t, x)\2)Th(u'x(t, x))+Thu(t, x) f'(\Thu(t, x)\2)(Th(v'x(t, x)u(t, x))+Th(u(t, x)u'x(t, x))).

(8)

В силу непрерывной дифференцируемости функции f на промежутке [0, +<) и оценки (Emb) функция Gu(s), s G [0,Т], лежит в пространстве С([0,T],H1) и справедлива оценка

WGUyc([0,T],H 1) < С ('Р ,СЕтьЫ\ут, ||f||C1([0 \\yt ))\иугт. (9)

Из полученных оценок следует, что

WvWyt < Ыгт (1+ТС (Р,СЕшЪ Myt , WfWC1([0,CEmb\u\YT ))) и, таким образом, доказано утверждение леммы 1.

Следствие 1. Существует такое Т1 > 0 что если T G (0,Т1], то для любого и G Zt(u0) выполняется условие Фи G Zt(щ)-

Лемма 2. Пусть и1,и2 G Zt (и). Тогда есл и f G С 2([0, +<)) и <р G С ([—h, 0],H 1); то существует постоянная С(р,ip, f) > 0 такая, что

||ФИ1 — ФИ2||ут <ТС (р,<р, f)\\U1 —U2\\yt . (10)

Согласно (6) для любых ui,u2 £ Zt(u) справедливо равенство t

&ui(t)-&u2(t) = i j e-i(t-a)^(Gu2(s)-Gui(s))ds, t £ [0, T); Фщ^-Фщ^) = 0,t £ (-h, 0). 0

(11)

Справедлива оценка

sup ||Gu2(s) - Gui(s)\\h < c('p,CEmb\\'u\\YT, \\f Ус4{0,CEmb\\u\\yr))) suP \u2(s) -ui(s)\\h.

se[o,T] T se{o,T]

(12)

В силу унитарности операторов полугруппы е %tЛ, t > 0, справедлива оценка

\\&ui(t) - Фи2(i)Wc({o,T],H) < Т\\Gu2(s) - Gui(s)Wc({о,т],н),

поэтому имеет место неравенство

\\&Ui(t) - *U2(t)\\c ([0,Т],Н) <ТК (р ,р, f)\\u2 -U1 \\yt . (13)

Так как операторы полугруппы е~l(t~s)^, t > о, коммутируют с оператором дифференцирования dx, то

t

dx(&ui(t) - &U2(t)) = i J e-l(t~s)A(dx(Gu2(s)) - dx(Gui(s)))ds, t £ [0,T);

0

dx(&ui(t) - &U2(t)) =0, t£ (-h, 0). (14)

Оценим величину

sup \\dx(Gu2(s)) - 3x(Gui(s))wh se{o,T ]

с учетом вытекающего из теоремы вложения неравенства \\u2(t, x)-u\(t, х) ||с({о,т],с({-г,г])) <

< CEmb\\U2(t,х) -Ui(t,х)\\с({0,Т],Н!)■

Если функция f дважды непрерывно дифференцируема на промежутке [0, то

\\dx(Gu2(s)) - dx(Gui(s))Wc({о,т],н) <

< К(P,P,f)W^2(t,х) -Ui(t,х)\\С({0,Т],Н 1). Поэтому в силу унитарности операторов полугруппы е-гЬЛ, t > 0, справедлива оценка

\\dx(&ui(t) - &U2(t))Wc({0,T],H) < Т\\dx(Gu2(s)) - dx(Gui(s))\c({0,T],H) <

< ТК (р, р, f) W\U2(t, х) - Ui(t, х)\\у. (15)

Из полученных оценок следует утверждение леммы 2.

Следствие 2. Если f £ C2([0, +го)) и р £ C([-h, 0],Нi), то существует такое Т2 > 0, что для любого Т £ (0, Т2) отображение Ф является сжимающим преобразованием замкнутого выпуклого множества Zt(Ф) в себя.

Положим d0 = min{Ti,T2}. Тогда в силу следствий 1, 2 и леммы 2 справедливо следующее утверждение.

Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любого Т £ (0, d0] отображение Ф1гт (ip) имеет единственную неподвижную точку u £ Zt (р).

Положим и0(1) = р(0)Д > 0;и0(1) = р(1)Д € [—Ъ, 0^. Тогда при любом Т > 0 ио € (р)- При любом Т € (0, Т1] определим последовательность {ип} функций, определяемых реккурентно с помощью равенств

ик = Фик-1, к € N. (16)

Тогда для любого к € N в силу леммы 1 справедливо включение ик € (Ф), а в силу леммы 2 - оценка

\\ик+1 - ик\\ут < ТС(р, р, ¡)\\ик - ик-1\\ут, к € N.

Согласно следствию 3 последовательность итераций {ик} сходится к непродижной точке отображения Ф.

Единственная неподвижная точка и отображения Ф\гл является решением задачи с начальными условиями (1) - (3) на промежутке (—к,Со), причем в силу следствия 3 единственным решением задачи с начальными условиями (1) - (3) на промежутке (—к,Со) из множества Z¿0(р). Предположим, что существует решение и на промежутке (—Ъ, с/о), отличное от и и не лежащее в множестве Zd0(р). Пусть С* = 8ир{£ € (0, С0) : -й^) = й^)}. Тогда если С* < С0, то существует 8 > 0 такое, что \\и(£)\\#1 < 2\\и\^*-ь,а*\\\у У t € [С*,С* +8] И \\и(1')\\н 1 < \\у У £ € [ С*, С* Поэтому на отрезке [С*—Ъ, С* +з] для функций и

и и выполняются условия и, и € Zs(U\[dt-h,dt\), и так как эти функции являются решениями задачи, то они являются и неподвижными точками отображения Ф\га(и\[Л л ])> поэтому в

[ С* , С* + ]

С* и условию С* < Со. Поэтому и не может отличаться от и на отрезке [0, С0].

Литература

1. Разгулин А.В., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журнал выч. матем. и мат. физ. 2013. Т. 53, № 11. С. 1804-1821.

2. Gasinski L., Papageorgiou N.S. Nonlinear analysis. Series in Mathematical Analysis and Applications. Ed. by R.P. Agarwal and D. O'Regan. 2005. V. 9.

3. Иаакбариех А., Сакбаев В.Ж. Корректность задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами временного аргумента // Изв. вузов. Серия Математика. 2015. № 4. С. 17-25.

4. Грехнева, А.Д. О явлении взрыва решений задачи Коши-Дирихле для нелинейного уравнения Шредингера на отрезке // Труды МФТИ. 2016. Т. 8, № 1. С. 123-135.

5. Митидиери, Похожаев С.И. // Тр. МИЛИ им. В.А. Стеклова. 2001. Т. 234.

6. Fujita Н. // J. Fac. Sci. Univ. Proc. Tokio, Sec. 1A. 1966. V. 13. 109-124.

7. Zhidkov P.E. Lecture Notes in Math. 2001.

8. Сакбаев В.Ж. Градиентный взрыв решений задачи Коши для уравнения Шрёдингера // Тр. МИЛИ. 2013. Т. 283. С. 171-187.

9. Glassey R. Т. On the blowing up of solution to the Cauchv Problem for nonlinear Schrodinger equations // J. Math. Phvs. 1977. V. 18:9. P. 1794-1797.

10. Ginibre J., Velo G. On a class of nonlinear Schrodinger equations. I. The Cauchv problem, general case // J. Funktional Analysis 1979. V. 32, N 1. P. 1-32.

11. Фаддеев Л.Д., Тахтаджян Л.А. Квантовый метод обратной задачи и XY Z модель Гейзенберга // УМН. 1979. Т. 34, вып. 5(209). С. 13-63.

References

1. Razgulin A. V., Romanenko T.E. Rotating waves in parabolic functional differential equations with rotation of spatial argument and time delay. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. V. 53, N 11. P. 1626-1643. (in Russian).

2. Gasinski L., Papageorgiou N.S. Nonlinear analysis. Series in Mathematical Analysis and Applications. Ed. by R.P. Agarwal and D. O'Regan. 2005. V. 9.

3. Yaakbarieh A., Sakbaev V.Zh. The correctness problem for parabolic differential-difference equations with shifts temporal variables. News of the Universities, mathematics part. 2015. N 4. C. 17-25. (in Russian).

4. Grekhneva A.D. On the phenomenon of explosion of solutions to the Cauchv-Dirichlet problem for the nonlinear Schroedinger equation in the interval. Proceedings of MIPT. 2016. V. 8, N 1. P. 123-135.

5. Mitidieri, Pohozhaev S.I. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2001. V. 234. (in Russian).

6. Fujita H. J. Fac. Sci. Univ. Proc. Tokio, Sec. 1A. 1966. V. 13. 109-124.

7. Zhidkov P.E. Lecture Notes in Math. 2001.

8. Sakbaev V.Zh., The explosion of the gradient of solutions of the Cauchv problem for the schroedinger equation. Proceedings MIAN. 2013. V. 283. C. 171-187. (in Russian).

9. Glassey R. T. On the blowing up of solution to the Cauchv Problem for nonlinear Schrodinger equations. J. Math. Phvs. 1977. V. 18:9. P. 1794-1797.

10. Ginibre J., Velo G. On a class of nonlinear Schrodinger equations. I. The Cauchv problem, general case. J. Funktional Analysis 1979. V. 32. N 1. P. 1-32.

11. Faddeev, L.D., TakMajan L.A. The quantum inverse problem method and the XYZ Heisenberg model. Russian Mathematical Surveys, 1979. V. 34, I. 5(209). P. 13-63.

Поступим в редакцию 25.04-2018