О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 1, 2023 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal, spbu. ruf e-mail: jodiff@mail.ru

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

Посвящается светлой памяти моего отца Абдурагимова Элъдерхана Исрапиловича

О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально - дифференциального уравнения четного порядка

Абдурагимов Г.Э.

ФГБОУ ВО «Дагестанский государственный университет»

gusen_e@mail.ru

Аннотация. В настоящей статье рассматривается двухточечная краевая задача для одного нелинейного функционально - дифференциального уравнения четного порядка с сильной нелинейностью на отрезке [0,1] с однородными граничными условиями. С использованием специальных топологических средств получены достаточные условия существования и единственности положительного решения рассматриваемой задачи. Существование положительного решения доказано с помощью известной теоремы Красносельского о неподвижной точке в конусе, единственность соответственно установлена с применением принципа сжатых отображений. Приведен нетривиальный пример, иллюстрирующий выполнение достаточных условий однозначной разрешимости поставленной задачи.

Ключевые слова: краевая задача, положительное решение, функция Грина, конус.

1 Введение

Вопросам разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений посвящено немало работ, в частности [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], в которых основном, в них рассмотрены вопросы существования положительного решения, его поведения и асмиптотики и др. Работ, посвященных получению условий, обеспечивающих единственность положительного решения задач с однородными краевыми условиями для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и более высокого порядков немного, отметим, например, [9, 10, 11, 12, 13]. Из цитируемых выше работ близкими по тематике данному исследованию являются статьи [9, 13], в которых рассмотрены нелинейные краевые задачи с аналогичными краевыми условиями. В [9] получены достаточные условия существования положительных решений краевой задачи для некоторого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения п порядка с различными вариациями граничных условий с помощью теоремы Красносельского о неподвижной точке в конусе. В [13] с помощью метода линейных преобразований Ц. На установлены достаточные условия существования единственного положительного решения аналогичной краевой задачи для частного случая нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четного порядка и предложен численный алгоритм построения такого решения. В данной статье авторами предпринята попытка обобщить упомянутые выше результаты с помощью теоремы о неподвижной точке в частично упорядоченных множествах. В заключении приведен нетривиальный пример, иллюстрирующий полученные результаты.

2 Предварительные сведения и обозначения

Для удобства приведем некоторые обозначения и утверждения, которые будут использованы при доказательстве основных результатов работы.

Определение 1 Щ, с. 17] Пусть Е — вещественное банахово пространство. Множество К С Е называется конусом, если выполнены следующие условия:

1. множество К замкнуто;

2. из и, V € К вытекает, что аи + € К при всех а, в > 0;

3. из каждой пары векторов (точек) х, —х по крайней мере один не принадлежит, К, если х = 0, где 0 - нуль пространства Е

Теорема 1 [15] Пусть Е — банахово пространство и К С Е - конус в Е. Предположим что 01 м 02 являются открытыми подмножествами Е с 0 Е и С 02. Пуст,ь Т : К П (02\0^ ^ К вполне непрерывный оператор. Кроме того, предположим, что вы,полнено одно из двух условий:

Н1 : ||Тм|| < ||м||, Ум Е К П д0щ ||Тм|| > ||м||, Ум Е К П д02

Н2 : ||Тм|| < ||м||, Ум Е К П д0^ ||Тм|| > ||м||, Ум Е К П д0ь

Тогда оператор Т имеет фиксированную точку в К П (02\01).

Обозначим через С — пространство С[0,1], через (1 < р < то) — пространство Ьр(0,1) и через Ш(2п) — пространство вещественных функций, определенных па [0,1] с (2п — 1) абсолютно непрерывной производной.

Лемма 1 Пусть у Е С. Тогда краевая задача,

х(2п)С0 + У (*) = 0, п Е М, х(0) = х'(0) = ...х х(1) = 0,

имеет единственное решение

0 < t < 1,

(2n-2)(0) _

(0) _ 0,

(2.1) (2.2) (2.3)

x(t) _ / G(t, s)y(s) ds,

гс^е

rt2n-b

(1 - s)2n-1 - (t - s)

2n—1

G(t,s) _ <

t

2n—1

(1 - s)

(2n - 1)!

2n—1

(2n - 1)!

0st

ts1

Доказательство. Применяя преобразование Лапласа к задаче (2.1)—(2.3).

получим

s2nx(s) - s2n"V(0)_ -y(s),

/2и-2 /

(2.4)

где м(й) и у(й) преобразования Лапласа м(£) и у(£) соответственно. Инверсия уравнения (2.4) дает оконочательно решение:

х(£) = Лемма доказана.

-1 t2n-1

(1 -

(2n - 1)!

s)2n-1() d Г (t - s)2n-1 ( ) d

-y(s) ds - —-—— y(s) ds.

/с (2n - 1)!

1

Следствие 1 Справедливо неравенство 1

<(t)<(s) < G(t, s) < —-— <(s), t,s e [0,1].

(2п - 1)ГУ ' - у ' у - (2п - 1)! где ф(г) = тт{г, 1 — г].

3 Постановка задачи и основные результаты

Рассмотрим краевую задачу

х(2п) (г) + I (г, (Тх)(г)) = о, о <г< 1, (3.1)

х(0) = 2/(0) = ...х(2п—2)(0) = 0, (3.2)

х(1) = 0, (3.3)

где п € N линейный оператор Т: С ^ Ьр (1 < р < ж) непрерывен, функция I(г, и) монотонно возрастает по второму аргументу, удовлетворяет условию Каратеодори и I(•,0) = 0.

Определение 2 Под положительным решением задачи (3.1)-(3.3) будем, понимать функцию х € Ш(2п\ положительную в интервале (0,1) удовлетворяющую на указанном интервале уравнению (3.1) и граничным условиям (3.2), (3.3).

Рассмотрим эквивалентное задаче (3.1)—(3.3) интегральное уравнение

х(г)= [ с(г,в)/ (в, (Тх)(в)) йв, 0 < г < 1, (3.4)

Л

где О (г, в) была ранее определена в лемме 1.

Предположим, что функция I(г, и) в области [0,1] х [0, ж) удовлетворяет условию

I(г, и) < ь(г) + вир/я, р,я € (1 , ж), (3.5)

где в > 0 Ь €

Отметим, что условие (3.4) обеспечивает действие оператора Немыцкого N: Ьр ^ определяемого соотношением (Ми)(г) = I(г,и(г)) для каждого и € Ьр.

В операторной форме уравнение (3.4) можно переписать в виде

х = ОNTx,

где О: Ь ^ С (Ои)(г) = О (г, в)и(в) йв — оператор Грина. Положим

А = ОШ,

где оператор А определенный равенством

(Ах)(г)= ( о(г,в)1 (в, (Тх)(в)) йв, 0 < г < 1,

действует в пространстве неотрицательных непрерывных функций, монотонен и вполне непрерывен [16, с. 161].

Обозначим через К конус неотрицательных функций х(г) пространства

С

х(г) > <^(г)\\х\\с.

В дальнейшем под полуупорядочиванием и -< V и и^ в конусе К пространства С соответственно будем понимать и(г) < v(t) и и(г) > v(t) при всех г € [0,1].

Лемма 2 Оператор А инвариантен относительно конуса К. Доказательство. В силу следствия 1 имеем

(Ах)(г)= [ О(г,в)1 (в, (Тх)(в)) йв > Л

1 [1

> (2п — 1)!^(г)]0 *(в)1 (в, (Тх) (в)) йв.

С другой стороны

1 г1

\|Ах\\с < (2п — Ф)1 (в, (Тх) (в)) йв. Таким образом, очевидно

(Ах)(г) > ^(г)\\Ах\\с.

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения:

П1 = {х € К : \\х\\с < г\\, П = {х € К : НхНс < Г2},

п = п2\п1,

где Г1 и г2 - некоторые положительные числа, причем г1 < г2.

Теорема 2 Предположим, что f удовлетворяет условию (3.5) и 1. p > q > 1,

1 q и и

2 P-qf 2q (1 + q') ^ (2n - 1)!\p-q > ||b||Lg

' q V рвтp / > 2(1 + q')7 (2n - 1)!7

gde y - норма оператора T, 1 + ^ = 1.

5. jmaxie[o,i| j = ro.

Тогда, краевая, задача (3.1)-(3.3) имеет по крайней мере одно положительное решение x G K П

Доказательство. Доказательство настоящей теоремы основывается на применении теоремы 1. Вначале установим существование числа r2 > 0 такого, что при x G K П д

||Ax||C < ||x||c. (3.6)

В силу условия (3.5) и следствия 1 при x G K П д^2 имеем

||Ax||C = max J G(t, s)f (s, (Tx) (s)) ds <

1 f1 в f1 p < (2П-Т)! I ^(S)6(S) dS + (2П-1)! I *<s) (Tx)P (S) dS <

P

1 ..................в ....... и

< (2п —1)!||Ик«'||6||ь« + ||Ик«'||Тх||£- <

1 /и и £,, I.-

< —--- (||&||ц + вт' ||х|£.

2(1 + д')7 (2п — 1)! 4 '

Рассмотрим теперь функцию

ф(г) = г — Ага — В, г > 0,

где А > 0 В > 0 ^ > 1-

Несложно проверить, что наибольшее значение ф достигается при

г = Гтах = ( ^А) .

в!- ЦЬ||ь

Отсюда, положив A = -j-, B = -1—q- и

2(1+ q')7 (2n - 1)! 2(1 + q')7 (2n - 1)!

a = в силу условия (2) теоремы, обеспечивающего неотрицательность зна-

1 q

, (2q (1+ q')-1 (2n - 1)!\ p--ченпя ф в точке rmax, при r2 = rmax = I -p- ) получим

V рв!q /

соотношение (3.6).

Найдем теперь такое положительное число ri < r2, что пр и x Е K П д ^

||Ax||C > ||xNC. (3.7)

Очевидно, из условия (3) теоремы вытекает, что f (t,u) > 5щ 5 > 0 на множестве [0,1] х (0, то). Принимая во внимание это обстоятельство и следствие 1, при x Е K П д^i имеем

(Ax)(t)= i G(t,s)f (s, (Tx)(s)) ds >

J 0

1 f1

> (2n- ^ ^(t)5 J, № (Tx) (s) ds >

1 r1

> (2nn—1)\5^(t)HxHc l P(s)(Tp)(s) ds.

Нормируя последнее неравенство, получим

5 Г1

> 2(2n - 1)!J0 P(s)(TP)(s) ds ' ||x|c.

Выбрав теперь 6 так, чтобы

5 Г1

p(s)(Tp)(s) ds < 1,

2(2п — 1)!] о

легко убедиться в справедливости (3.7) для любого г1 € (0,г2) .

А

ре одну неподвижную точку в К П П, что равносильно существованию по меньшей мере одного положительного решения х € К П П краевой задачи (3.1НЗ.З).

Теорема доказана полностью.

Теорема 3 При выполнении условий теоремы 2 краевая задача (3.1)-(3.3) имеет единственное положительное решение х € К П П, если функция

/ (г, и) дифференцируем а по и, производная / (г, и) монотонно возрастает по второму аргументу и

7НрНь, < 2(2п - 1)!, (3.8)

г^е р(г) = |/; (¿,г2 (Т 1)(*))|, Р + 1 = 1.

Доказательство. Введем обозначение у(г) = — х2(г)|, где х е К П О, г = 1, 2.

В силу монотонности производной /(г, и) по и, используя соответствующую теорему о среднем, получим

|(Axi)(t) - (Ax2)(t)| =

Г G(t,s)/: (s, (Tx) (s))(Ty)(s) ds '0 /•1

<

< (2п—^у ^оо/ («,Г2 (т 1)(5)) |(ту)(5)| ^ <

1 7

< 2(2п — 1)! ||Ту^ < 2(2п — 1)! |р||ь*||у||с,

где (ТХ) (г) принимает значения промежуточные между значениями (Тх^ (г) и (ТХ2)(^).

С учетом условия (3.8) теоремы на основании принципа сжатых отображений заключаем, что краевая задача (3.1)-(3.3) имеет единственное положительное решение х Е К П О. Теорема доказана полностью.

В конце работы приведем нетривиальный пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Пример 1 Рассмотрим следующую краевую задачу

х(2п)(г) + РЙ х(з)^ ' =0, п е М, 0 < г < 1, (3.9)

х(0) = х'(0) = ... х(2п—2)(0) = 0, (3.10)

х(1) = 0,

где р(г) > 0 - суммируемая на [0,1] функция, р > д > 1.

Легко видеть, что /(г, и) = ир/ч неотрицательна, непрерывна на [0,1] х [0, то) и не убывает по второму аргументу. Бол,ее того, взяв Ь(г) = 0 и в = 1 на основании теоремы 2 несложно убедиться в существовании по

Дифференциальные уравнения и процессы управления, IV. 1, 2023 меньшей мере одного положительного решения задачи (3.9)-(3.11) такого

1 я

,, .. л {2д (1 + 4)я (2п — 1)!\р-я что \\х\\с < т2, где г2 = - .

v р )

р—1

Далее, очевидно, р(г) = -г2Я р(г), г € [0,1]. В силу условия (3.8), потре-1 4

бовав p(t) < -г, согласно теореме 3 положительное решение задачи

(1 + q') ^ (3.9)-(3.11) единственное.

Список литературы

1] Li Z., Shu XB., Miao T. The existence of solutions for Sturm-Liouville differential equation with random impulses and boundary value problems. Bound. Value Prohl., 2022; (97):l-23.

2] Talib I., Abdeljawad T., Abdulah M. A. New results and applications on the existence results for nonlinear coupled systems. Adv. Differ. Equ., 2021; (368):l-22.

3] Cabada A., Iglesias J. Nonlinear differential equations with perturbed Dirichlet integral boundary conditions. Bound. Value Probl., 2021; (66):1-19.

4] Wang F.. Ding R. On positive solutions of second-order delayed differential system with indefinite weight. Bound. Value Probl., 2021; (96):1-17.

5] Yang Z. Positive solutions of a second-order nonlinear Robin problem involving the first-order derivative. Adv. Differ. Equ., 2021; (313):1-16.

6] Zhang Y., Abdella K., Feng W. Positive solutions for second - order differential equations with singularities and separated integral boundary condition. Electron. J. Qua,I. Theory Differ. Equ., 2020; (75):1—12.

7] Ying He. Existence theory for single positive solution to fourth - order value problems. Advances in Pure Ma,them,a,tics, 2014; (4):480-486.

8] Liu Y. Miltiple positive of nonlinear singular boundary value problem for fourth-order equations. Advances Mathematics Letters, 2004; (4):747-757.

9] Moustafa El-S. Positive solutions of boundary value problems for nth order ordinary differential equations. Electron. J. Qua,I. Theory Differ. Equ., 2008; (l):l-9.

[10] Абдурагимов Э. И. Положительное решение двухточечной краевой задачи для одного ОДУ четвертого порядка и численный метод его построения

Вест,п. СамУ. Естественнонаучн. сер.. 2010. Т. 76, № 2. С. 5-12.

[11] Абдурагимов Э. И. Существование положительного решения двухточечной краевой задачи для одного нелинейного ОДУ четвертого порядка // Вест,п. СамУ. Естественнонаучн. сер.. 2014. Т. 121, № 10. С. 9-16.

[12] Абдурагимов Э. П., Абдурагимова П. Э., Гаджиева Т. Ю. Двухточечная краевая задача для одного нелинейного ОДУ 4-го порядка. Существование, единственность положительного решения и численный метод его построения // Вестник Даг. гос. университет,а. Сер. 1: Естественные науки. 2019. № 3. С. 79-85.

[13] Абдурагимов Г. Э., Абдурагимова П. Э., Курамагомедова М. М. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четного порядка // Вестник российских университетов. Математика 2021. Т. 25, № 136. С. 341-347.

[14] Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

[15] Krasnosel'skii М. A. Positive Solutions of Operator Equations. Noordhoff: Groningen, 1964. 396 p.

[16] Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. 544 с.

On the existence and uniqueness of a positive solution to a boundary value problem for a nonlinear functional differential equation of even

order

G. E. Abduragimov Dagestan State University gusen_e@mail.ru

Abstract. In this article, we consider a two-point boundary value problem for a nonlinear functional-differential equation of even order with strong nonlinearity on the interval [0,1] with homogeneous boundary conditions. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of a positive solution of the problem under consideration are obtained using special topological tools. The existence of a positive solution is proved using the well-known Krasnoselsky theorem on a fixed point in a cone, and uniqueness is established accordingly using the contraction mapping principle. A non-trivial example is given, illustrating the fulfillment of sufficient conditions for the unique solvability of the problem posed.

Keywords: boundary value problem, positive solution, Green's function, cone.