О структуре общего решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка с переменными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

О СТРУКТУРЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ и-ГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© В.И. Фомин

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, банахово пространство, общее решение.

Представлена структура общего решения уравнения и<п)<г) + А;<г)и<п-1)<г) +... + Ап-1<г)и' <г) + Ап<г)и<г) =

= / <г), 0 < г <~, где А1 <г) е С<[0, то); Ь<Е)),1 < г < п, С<[0, то); Ь<Е)) - множество непрерывных функций, действующих из [0, то) в ь<Е); ЦЕ) - банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в банаховом пространстве Е; /<г) е С<[0, то); Е).

Замечание 1. Если Е,<г) - решение уравнения <3), то при любом фиксированном ~ е Е функция й,<г) = ^»<г)й является решением уравнения <2).

Действительно, с учетом того, что

й,т) <г) = к<“) <г )х, 1 < т < п, получаем

(ьй,) <г) = ^,<п) <г)~ + А1 <г)^,<п-1) <г)~ +... + Ап-1 <г)Л' <г)~ +

В банаховом пространстве Е изучается уравнение

и < п)<г) + А1<г )и <п-1) <г) +... + Ап-1<г)и' <г) + Ап <г)и<г) =

= / <г), 0 < г <~, <

где

А,- <г) е С( [0, ~) ; Ь(Е)) , 1 < г < п ; С( [0, то) ; ь(Е))

- множество непрерывных функций, действующих из [0, то) в ь(Е), ь(Е) - банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в Е; /<г)е С( [0,то) ;Е).

Рассмотрим для <1) соответствующее однородное уравнение

и <п) <г) + А1 <г)и <п-1) <г) +... + Ап-1 <г )и '<г) + Ап <г )и<г) =

= 0, 0 < г < то.

Уравнение <2) можно записать в виде Ьи = 0, где Ь : Сп ( [0, то);Е) —— С( [0, то);Е), для любой функции V е Сп ( [0, то) ;

Е )имеем, по определению,

(Ьу) <г) = у°° <г) + \ <г )у<п-1) <г) +... + <г )у' <г) + А <г )у<г) ■

В силу линейности операторов

А <г), 1 < г < п, 0 < г <то, дифференциальный оператор Ь

является линейным.

Определение 1. Сопутствующим операторным уравнением <СОУ) уравнения <2) называется уравнение вида

^ <п) <г) + А, <г) ^ <п-1) <г) +... + Ап- <г) ^ '<г) + Ап <г) ^ <г) =

= @, 0 < г < то,

рассматриваемое относительно искомой функции ^<г)е Сп( [0,то) ;ь<Е)) {здесь 0 - нулевой оператор).

+ Ап <г)К, <г)~ = [^,<и) <г) + А1 <г )^,<и 1) <г) +

... + Аи_! <г )^.'<г) + Ап <г )К <г)] ~ = 0 ~ = 0.

Определение 2. Набор решений ^1<г),^2<г), ... ,Рп<г) уравнения <3) называется фундаментальной системой образующих <ФСО) общего решения уравнения <2), если п-параметрическое семейство функций

ц ц.

где х. - параметры, х. е Е <1 < у < п), является общим

решением уравнения <2).

Теорема 1. Пусть уравнение <3) имеет п решений

^<г), ^<г), . . . , ^ <г), (4)

удовлетворяющих следующим условиям: р(Р><0)Р<Я><0) = ^)<0)^(р)<0) ;V 1 < г, у < п; 0 < р, q < п -1 <5) <по определению ^^<0)<0) = Рк <0), 1 < к < п);

3 [^<0)] -1е Ь<Е), <6)

где ^ (0) - операторный определитель Вронского решений (4) в точке £ = 0. Тогда совокупность решений (4) является ФСО общего решения уравнения (2), т. е. общее решение уравнения (2) имеет вид

М0.0(£) = X ¥1(£) Х1 ' (7)

1=1

где Хі (1 < 1 < п) - произвольные элементы из Е.

Доказательство . По определению общего решения уравнения (см. [1]) формула (7) будет задавать общее решение уравнения (2), если

1) для любых конкретных значений параметров Х[,х2,...,Хп є Е функция вида (7) является решением

уравнения (2) (это условие выполняется в силу замечания 1 и аддитивности оператора Ь);

2) при любом фиксированном наборе начальных значений и„,и0,...,м0п-1) є Е решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными условиями

и(0) = и0, и '(0) = и0, . . . , и(п-1) (0) = и0п-1) (8)

принадлежит семейству решений (7).

С учетом того, что

и^ (£) = X 1 (£)Хі, 1 < т < п -1,

1=1

начальные условия (8) принимают вид

X^}(т)(0)х1 = и'т\ 0 < т < п-1, (9)

1=1

(по определению, и<0) = и0, и® = и0). Операторный определитель системы (9) имеет вид

параметров х1,Хп, задаваемых формулой <10).

Теорема 1 доказана.

Замечание 2. Следуя стандартной терминологии, выражение в правой части <7) можно назвать линейной комбинацией операторных функций ^(г), Р2(г), . . . , Рп <г) с векторными коэффициентами

х„х2,...,хп.

Замечание 3. Уравнение <2) и СОУ уравнения <2) различаются между собой не только природой неизвестной величины <в уравнении <2) в качестве искомой величины выступает функция и<г) е Сп( [0,то) ;Е), в СОУ уравнения (2) - функция р<г) е Сп( [0,то) ;ь<Е))), но и характером вхождения неизвестной величины в уравнение (при фиксированном г е [0, то) каждое слагаемое в уравнении <2) есть значение соответствующего оператора из Ь< Е) на соответствующем векторе из Е <для первого слагаемого в качестве такого оператора выступает единичный оператор), а в СОУ уравнения <2) каждое слагаемое представляет собой произведение соответствующих операторов в банаховой алгебре Ь< Е) ).

Замечание 4. В скалярном случае (Е = Я1) СОУ уравнения <2) идентично уравнению <2) и ФСО общего решения уравнения <2) трансформируется в фундаментальную систему решений уравнения <2).

З а м е ч а н и е 5 . Для существования ФСО общего решения уравнения <2) достаточно разрешимости п задач Коши для уравнения (3) с начальными условиями вида

Р(к)<0) = I, Рв<0) = 0, V 0 < г < п-1, г *к ; к = 0,1,2,...,п-1, <11)

где I и 0 - соответственно единичный и нулевой операторы.

Действительно, набор решений

Р Ж <12)

*1(0) ВД ... ^(0)

^'(0) ^2(0) ... ^(0)

Р1(п-1)<0) Р2(п-1)<0) ... Рп(п-1)<0)

т .е. А = ^ <0) (оператор А определяется однозначно в силу условия <5); понятие операторного определителя см. в [1]). В силу условия <6) применимо операторновекторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве [1], согласно которому система <9) имеет единственное решение

х} = X А к] [^ (0)] -Чк-1), 1 < ] < п, (10)

к=1

где А - операторное алгебраическое дополнение элемента определителя W (0), записанного в к -й строке и у -ом столбце (1 < к, ] < и).

Итак, решение задачи Коши для уравнения (2) с начальными условиями <8) имеет вид <7) при значениях

таких задач Коши является ФСО общего решения уравнения (2), ибо в силу (11) определитель Вронского решений (12) в точке £ = 0 есть единичный операторный определитель (т.е. операторный определитель, у которого каждый элемент главной диагонали равен единичному оператору, а остальные элементы равны нулевому оператору), следовательно, выполняются условия (5), (6) теоремы 1, так как I© = ©I и единичный операторный определитель равен единичному оператору: ^ (0) = I, следовательно, существует

(0)]-1 = I є Ь{Е).

В случае, когда операторные коэффициенты уравнения (2) постоянны:

и(п)(£) + А1и(п-1)(£) +... + Ап-1и (£) + Апи{£) = 0, 0 < £ < ~ , (13)

ФСО общего решения такого уравнения построена в [1], [2]: если характеристический операторный многочлен

Р(Л) =Лп + А1Лп-1 +... + Ап-1Л + А уравнения (13) имеетр корней

Л„Л2, ... ,лр є ЦЕ)

с кратностями соответственно

тх,г2,...,г (р < п, г1 + г2 +... + гр = п

= п),

и*(£) = X Р; (£)х і (£) + X Р; (£)х} (().

1=1 1=1

Пусть

удовлетворяющих следующим условиям:

АкЛг = ЛгАк, V 1 < к < я, 1 < г < р;

л, Л у = Л Д, V 1 < г, ] < р; 3 (л г - Л у У1 е Ь< Е),

V 1 < у < г < р,

то система операторных функций

{{г*^ г Ь!

X Р; (£) Х 1 (£) = 0.

1=1

Тогда

и*М = X Р/ (£) хі (£),

1=1

и* (£) = X р/(£) х 1 (£)+X р'і (£) х 1 (£)■

1=1 1=1

Пусть

является ФСО общего решения уравнения (13).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и и,(г) - частное решение уравнения (1). Тогда общее решение уравнения <1) имеет вид

и(£) = и0.0(£) + и*(£)

(14)

где и0.0 <г) задается формулой <7).

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству соответствующего утверждения из [1].

Теорема 3. Пусть уравнение (3) имеет п решений вида <4), удовлетворяющих следующим условиям:

Р/р)(г)Р/(г) = Р^Чг)Р1 <р)(г), V 1 <г, у<п; , (15)

0< р, q <п-1 ; 0<г <то

3 [W(г)] -1е Ь<Е), V 0 < г < то, (16)

где w (г) - операторный определитель Вронского решений <4). Тогда уравнение <1) имеет частное решение вида

п г

и,(г) = X Р (г ){ А у <т)[W (т)] ч/(т)йт, (17)

у=1 0

где Апу (т) - операторное алгебраическое дополнение элемента Р<п-1) (т) определителя W (т) <1 < у < п).

Доказательство . Будем искать и,(г) методом вариации произвольных постоянных в виде

X р; (£) х' 1 (£)=0. 1=1

Тогда

и*(£) = X р; (£) х; (£),

1=1

и** (£)=X і) х і (£)+X р; (£) х'і (£).

1=1 1=1

Пусть

Тогда

и*п-1} (£) = X Р/"-1’1 (£)х і (£),

и,(п} (£) = X Р?’ (£)Х; (£) + X РС-І) (£)хі (£). 1=1 1=1

Подставляя функцию <18) и найденные выражения для ее производных в левую часть уравнения (1), имеем:

<Ьи,)<г) =

п п п

X Р<п) (г) ху (г)+X Р;-п-1) (г) х) (г)+А1 (г)Х р)”-1) (г )ху (г) +

у=1 у=1 у=1

и* (£} = X Р; (£)Х; (£), 1=1

(18)

^A„-2(£)X Р;(£)Хі (£)н

где х (г) - неизвестные пока функции. Подберем + Ап-1(г)Х Ру) (г)ху (г) + Ап (г)Х Ру (г)ху (г) =

1 1=1 1=1

х (г) (1 < у < п) таким образом, чтобы функция (18)

была решением уравнения <1). Используя правило дифференцирования композиции операторной и векторной функций [3], получаем

= X Ріп -1) (£)хі (£) + [Р^ (£) + А1 МР/”-1 (£) +... +

1=1

;=1

;=1

і=1

+А„-2 (г)Р'(г)+А„-2 <г)Р)(г)+А„ (О^ОТЫО+[Р^ (г) +

+ А1 (г)Р2<”-1) (г)+...+А„-2 <г)Р2<г)+Ат_х (г )Р) (г) +

+А„ (г)Р2 <г)]х2 (г) + -+[Р„(л) (г)+А (г)Р„(”-1) (г)+... +

+ Ап-2 <г)ри<г) + А„-1 <г)К <г) + Ап <г)Рп <г)]хп <г) =

п п

= ХР'"-11^ <г)+0х1<г)+®*2<г)+...+®х„(г) = ХР^х) (г),

М М

так как Р1 (г), Р2(г),..., Рп (г) - решения уравнения (3). Получили равенство

п

< Ьи,)(г) = Х Р!п-1)<г) х) (г). у=1

По условию (Ьи,)(г) = f (г):

п

Х Р( п-1)<г) х) (г) = f (г). у=1

Итак, функция вида <18) является решением уравнения (1), если

Хр <г)х) (г) = 0,

!=1

Х Р) <г)х) (г) = 0,

м

•................... (19)

Х РТ2)(г) х) (г) = 0,

!=1

Х Р(п-1)<г) х) (г) = f (г).

Операторный определитель системы <19) имеет вид А(г) = W (г) (оператор А (г) определяется однозначно в силу условия (15)). В силу условия (16) можно применить при каждом г е [0, то] операторно-векторное правило Крамера, согласно которому система <19) имеет единственное решение

х) <г) = Х Ау <г)[w<г)] А, 1 < у п ’

к =1

где Аку (г) - операторное алгебраическое дополнение элемента определителя W (г), записанного в к-й строке и у-ом столбце <1 < к, у < п), Ьк <1 < к < п) - правые

части уравнений системы <19). С учетом того, что Ьк = 0, 1 < к < п -1, Ьп = f (г), получаем

х) (г) = А„, (г^(г)]-1 f (г), 1 < у < п >

откуда

ху <г) = 1 Ап (т)|ж<т)] “У<т) йт, 1 < у < п' (20)

0

В силу <18), <20) уравнение <1) имеет частное решение вида <17). Теорема 3 доказана.

Заметим, что условия <5), <6) теоремы 1 - это частный случай условий (15), (16) теоремы 3 при г = 0.

В силу теорем 1-3 справедлива Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда общее решение уравнения <1) имеет вид <14), где и00(г) задается формулой (7), а и,(г) - формулой (17).

Для получения решения задачи Коши <1), <8) достаточно в общем решении уравнения <1) подобрать значения параметров х1, х2 ,... , хп таким образом, чтобы

выполнялись начальные условия <8).

Результаты настоящей работы анонсированы в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомин В.И. Об общем решении линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 5. С. 656-660.

2. Фомин В. И. О случае кратных корней характеристического операторного многочлена линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 5. С. 710-713.

3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980. С. 144.

4. Фомин В.И. О структуре общего решения линейного дифференци-

ального уравнения n-го порядка с переменными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве // Материалы Воронеж. зимней математ. шк. «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж, 2007.

С. 230-231.

Поступила в редакцию 20 сентября 2008 г.

Fomin V.I. About general solution’s structures of linear differential equation by n-multiplicity with variable limited operational coefficients in the banach space. The general solution’s structure of equation was mentioned u (n)(t) + A1(t)u (n-1)(t) +... +

+A„_1(f)u\t) + A„ (t)u(t) = f(t), 0 < t <~, where A (t) e C([0,»); L(E)),1 < i < n, C([0, <»); L(E))- collection of continuous functions, acting from [0,<») to L(E); L(E) - the Banach algebra of limited linear operators, acting in the Banach space E; f (t) e C([0,<*>); E).

Key words: differential equation, Banach space, general solution.