CC BY
37
Естественные науки
УДК 519.2:621.391
О СТРУКТУРЕ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ. УСЛОВНО-ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙ
Н.С. Демин, С.В. Рожкова*
Томский государственный университет *Томский политехнический университет. E-mail: [email protected]
Рассматривается условно-гауссовский случай для задачи нахождения количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и интерполяции стохастических процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью. Получены соотношения, определяющие эволюцию во времени шенноновских мер количества информации.
1. Введение
В [1] на основе анализа научных публикаций для систем калмановского типа была решена задача нахождения количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и интерполяции стохастических процессов по непрерывнодискретным наблюдениям с памятью для общего случая. В данной работе рассматривается частный случай, допускающий эффективное вычисление информационного количества. Система обозначений та же, что и в [1]. В дополнение N{y;a,B} обозначает гауссовскую плотность с параметрами a и B.
2. Основные результаты
Эффективное нахождение оценок фильтрации и интерполяции было осуществлено в [2-4] при условиях (см. (2.1-2.4) в [1])
f О = f (t) + F (t )x,, p 0( x) = N{ x; ¡,; Г0},
h() = h(t,z) + H0N (t,z )xT+1, g (•) = g(tm ,z ) + G0,N (tm Д)ХГ,+Л H0N(t,z) = [Ho(t,z) i Hl(t,z) I I Hn(t,z)] =
= [H0(t,z) ! H1,n(t,z)],
G0,N (tm , z) = [Go (tm, z) I Gl(tm,z.) \ ”■ | Gn (tm, z)] =
= [G0 (tm , z) I G,N (tm , z)],
(1)
(2)
когда апостериорные плотности для процесса х^ являются гауссовскими (см. (2.5), (2.7), (2.9) в [1]). Введем следующие обозначения
u(t ) = M {xt\z 0 ,n0”
Un+\(Jn ,t ) =
/л(тк ,t ) = M {xn\z 0 ,П0”}, k = ÏN,
u(t ) H(t )
¡In (tn ,t )_ uTk ,t )_
(3)
r(t) = M{[xt -n(t)][xt -n(t)]T |z0,tfo},
ГккTk,t) = M{[x,„ -ц(Тк,t)][x,k -ц(Тк,t)]T|z0,tfo) r0k(Tt,t) = M{[Xt -/i(t)][x„ -n(Tk,t)]T|z0}, r,tTi,Tt,t) = M{[x„ -ii(ti,t)][Xrt -^(Tk,t)]r|z0
Г 0N (Tn,t )
ГN (TN ,t) _
Г 0k(Tk,t )
Гlk (tI ,Tk,t)
Г kk (Tk ,t )
(4)
Г N +i(Tn ,t ) :
r(t ) Г Tn (•) Г(t ) Г 01 (t, ,t )
Г01() Г11(т, ,t )
r?* (•) г I ()
I = 1;N -1, k = 2; N, k > I.
Утверждение. При условиях (1), (2)
p, (x;X.N ) = Pt (XN+1) = N{Xn+1; ¡N+1(Tn,t), ГN+ 1(Tn,t)},
p,(x) = N{x;¡(t), r(t)}, (5)
pT (x.N) = N{*n ; ¡In (tn ,t), Г N (tn ,t)}
и блочные составляющие параметров этого распределения на интервалах tm<t<tm+1 определяются уравнениями
dt ¡(t) = [f (t) + F (t )^t )]dt + Hot (t, z )R _1(t, z )dz.t,
d,¡(Tk,t) = Щ(t,z)R_1(t,z)dz,, k = 1;N,
d r(t)/dt = F (t) r(t) + r(t )FT (t) +
+Q(t) - HT (t, z )R-l(t, z )H o(t, z),
drkk(Tk,t)/dt = -ST(t,z)R-‘(t,z)Hk(t,z), k = 1N,
d rok (Tk ,t )/ dt = F (t )rok (Tk ,t) -
-HT(t,z)R-l(t,z)Hk(t,z), k = 1N,
d Г ik (ti ,t k ,t )/dt = Sf (t, z )R_1(t, z )Hk (t, z),
l = 1; N -1, k = 2; N, l < k,
с начальными условиями
n(tm) = n(tm - 0) + G0l(tm,z) W~\tm,z)fj(tm),
A(tk ,tm) = АТk,tm - 0) +G?T(tm, Z) W“‘(tm, z)jj(tm),
r(tm ) = r(tm - 0) -Gl (tm, Z) W “‘(tm, Z)Go(tm, Z),
Г kk T k ,tm ) = Tkk (Tk ,tm - 0) -Gl (tm, Z) W “‘(4, Z)Gk (tm, Z),
Г 0k (T k ,tm ) = Г 0k (T k ,tm - 0) Gl (tm ,Z) W “‘(tm ,Z )Gk (tm ,Z), Г/k (t/, Tk ,tm ) = Г/k (Г,, Tk, tm - 0)-GjI (tm, Z) W “‘(tm, Z)Gjk (tm, Z),
где
dZ.(t) = dZ(t) - [h(t, Z ) + H 0,N (t, z)An+i( Tn ,t )]dt,
n(,m ) =n(tm ) - [g(tm, Z) + G0N (tm, Z) AN +1(Tn, ^ - 0)L
H0(t, z) = H0(t, z) Г(t) + H1,N (t, Z) ГlN ( TN,t),
(6)
dI[\t [x*; z0 По ]/dt =
= 1tr[M{Ä“‘{t,Z)Hi,N{t,Z)i"N( Tn \ t)HIn{t,z)}] -2 _ , {9)
M {Г“‘{,\ Tn )-Г“‘{,)} -
- itr[ö{t)
-[D-\t\ Zn) - D-\t)]]
где {см. {2), {4), {7) и Замечание)
Гn{Tn \ t) = Гn{Tn,t) - Го*{Tn,t)Г *{,)Г0N{Tn, t), {1°) Г{, \ т* ) = Г{,) -Г0n {т* ,,)Гn'{Tn, 0Г0* {Tn, t), {11) D{t \ Tn ) = D{t) - D>0n {Tn ,t)Dn'{Tn ,t)DN{Tn,t), {12) с начальными условиями {3.6) и {3.7) из [1], где
A4 [•] = (1/2) M {ln[| Ц4 - 0) |/|Ц4) ]}, {13)
Alm [•] = (V2) M{ln[ |Г N { Tn \ tm - 0) |/|Г N { Tn \ tm ) |]} {14)
и ntm - 0) = lim Г(0, Г N (Tn \ tm - 0) = lim Г n( xn \ t) при ft tm.
Доказательство. По свойству гауссовских плотностей [5, 6] для ptt(х* \ x) {см. {2.11) в [1]) согласно {5) имеет место свойство
р[\,{xn \ x) = N|x*; ¡In{Tn \ t),Гn{Tn \ t)}, {15)
/i* {Tn \ t) = ¡In {Tn , t) + Г0* {Tn , t) Г“‘{ t)[ x - a{,)],
а rN~Jt) определено в {10). Из h{t,z)=M{h{t,x„xN,z)\zt,hm}, {3.10) в [1], {1-3) следует, что
h{t, z) = h{t, z) + H 0,n {t, z )An+1( т* ,t),
h{Tn , Z \ x) = h{t, Z) + H>{t, Z)x + Hin{t, Z) An{ Tw \ N,
Нк (,, z) = Нк (,, z )Гкк (т к, t) + ^ Н (,, z) ТТЫ (Тк, т i, Г),
I *к
Go(tm,Z) = ,Z- 0) + ,Z) Г0^(Ты, ^ - 0), (7)
66 к (tm,z) = бк (tm, z )Гкк (Т к ,tm - 0) +
+ £б (tm Гк (т к , т , ,tm - 0),
I *к
^ (tm , Z ) = V (tm, Z ) + бо,ы (tm, Z ) N+1( ¿К ,tm - 0)60^^ (tm, Z)
и ф(.,/и-0)=11шф(.,^) при (Г
Так как фиксированная память является частным случаем скользящей памяти (см. Замечание 1 в [1]), то сформулированный результат следует как частный результат из Теорем 1 и 2 в [2].
Замечание. Поскольку процесс х, при условиях (1) является гауссовским [5, 6], то для априорных плотностей (2.6), (2.8), (2.10) справедливы свойства гауссовости вида (5) с заменой буквы /л на букву а, а Г на Б. Параметры такой плотности находятся очевидным образом.
Теорема 1. Количество информации (2.17) из [1] может быть представлено в виде (2.15) из [1], где 1[] и /Ц.] на интервалах 4<К4+1 определяются уравнениями
с11, [х, ^0 ,п0” ]/ Л =
= ±Ъ[М[Ял((,z)Н>(,,z)Г-1(,)Й1 (Г,z)}] - (8)
-^[еа)[М[Г-1(,)} - Б-х(,)]],
h{Tn , Z \ x) - h{t, Z) =
= [H0{t,z) + h1,n{t,¿)Г0n{ т'*\г)Г-‘{г)][x-a{?)]. {16)
Тогда из {16) с учетом {7)
{17)
{18)
М [[ к(тм, z I х,) - Н( t, z )][•] г^0, Цо} =
= но(, , z )г-1(, )н I ^, z).
Из (5) и Замечания следует М [[ д 1п р, (х,)/5х; ][ •] г^0, п0”} = Г-1( ?),
М [[ д 1п р( t, х,)/дх, ][ •]0 ,Цо] = Б-‘(t).
Так как М[.}=М[М[-\^^,п'Ц}}, тогда подставляя (17), (18) в (3.4) из [1] получаем (8).
Из (1), (15), (16)
Щ,х,5сы,z) - А(Ты,Z \ х) = Н1,*(,,z)[хы -^^(т"к,,)] -
-Н1,К (,, Z )ГТом (ты,, )Г-1(,)[ х -л(,)]. (19)
Тогда согласно (4), (10), (19)
M{[h{t, x,, :?tN, z) - h{Tn, Z | xt)][-]1 z0, n0”} =
{20)
то
= H\,n {t, Z )]^ N { Tn \ t )HlN {t, Z).
Так как {см. {2.5), {2.7), {2.9), {2.11), {2.13) в [1])
pi\, {xn \ x) = pi {x; 5cn )/Pt {x) =
= p\v {x \ x-N)pl{Xn)/p,{x),
d ln p'\t { Xn \ x) = d ln p,,y{ x \ x.n ) d ln pt {x) {21)
dx
dx
dx
Аналогично {15)
pIt{x \ Xn) = N{x;a{, \ Tn),nt \ Tn \)}, {22)
A{, \ Tn ) = a{,) + Г0n {Tn ,t) ^n'{Tn, t)[Х* - An{Tn, t)], а \ xN) определено в {11). Из {5), {22)
^in.üx) .-г->{, )[x -a{, )],
a in p;dXxl^N) =_г-'(, ! tN >|* -a{, ! tN)]. {23)
Тогда согласно {11), {22), {23)
M {[ d ln p, {x, V dx, ][ •] l|z 0 ,nm} = Г-1{ t),
M{[5 ln pT {x, | 5cN)/cX, ][•] l|z0,^0”} = Г-1{11 t'n), {24)
M {[ 5 ln p' t {Xt I xcf)/Dx, ] X x[5lnp,{x,)/dx,]l \ z0,nm} = r-1{t).
М-
Используя (21), (24) получаем
д 1п р,(\, (хы \ х,) ( д 1п рТ\, (хы \ х,)
дх, I дх,
= Г-1(,\ т'ы)-Г-1(,).
Zо,По !• =
(25)
Аналогичные вычисления для априорных плотностей (см. Замечание) приводят к формуле
|д 1п р(ты, х* \,, х,) ( д 1п р(ты, \,, х,) ^ 1 =
(26)
(29)
М | дх, | дх,
= Б-‘(,\ т'ы) - Б-‘(,).
Из (21), (24)
М[[д 1пр(\,(х* | х,)/дх,][д 1пр,(х,)/дх,]Т ^0,Пот} = 0. (27)
Аналогично, получаем М[[д 1пр(ты,\,,х,)/дх,][д 1пр((,х,)/дх,]Т} = 0. (28)
Так как М^^ЩЩ-^Щ}}, тогда подставляя (20), (25-28) в (3.5) из [1] получаем (9). Из (3.13) из [1] и (5)
[ру (х)/ру-о(х)] =[c(n(tm),z \ х)/с(фт),z)] =
= [N[x;л(,у),Г(,у)}/N[х; л((т -0),Г(,т -0)}].
Тогда с учетом М{.}=М{М{.^0,,цт}} и М{.}= =М{М{.^0,пГ1}}, получаем
M[1n[c(n(tm), z \ х,„ )/с(п((у), z)]} =
= (1/2)М[1п[|Г(*„ -0)|/Г((у)]}.
Подстановка (29) в (3.8) из [1] приводит к (13). Используя (3.18) из [1] и (15) аналогично (13), получаем (14).
Теорема 2. Количество информации (2.17) из [1] может быть представлено в виде (2.16) из [1], где //[.] и /\ [.] на интервалах гт<г<гтН определяются уравнениями
с1/1 [хы; z0 ,п0” ]/Сг =
1 1 - - 1 - Т (30)
= ¿1г[М [Я-‘(г, z )Н1,ы (г, z )Г ы‘( Ты,, )Н Ты (г, z)}],
Л'т [х,; z0 ,Пот \ хы ]/СИ =
= ±гт[М{Л_1(,, z )}Но(,, Z)Г(, \ т'ы )НТ (,, z)] - (31)
- (,)[М[Г-1(, \ т'ы)} -Б-‘(, \ т'ы)]],
где (см. (2), (4), (7))
Н1,ы (,,Z) = [Но(,, z)Гоы(Ты,,) + Н1,ы(,, z)fы(Ты,,)]
= [НТ1(,,z) \Йг(,,Z) ¡- \Йы(,,Z)], с начальными условиями (3.22) и (3.23) из [1], где М(т [•] = (1/2)М[1п[| Г ы ( Т'ы, 1т - 0)|/|Г ы ( Т'ы, т )]}, (33) [•] = (1/2)М{1п[|Г(,т - 0 \ Т'ы) (/^т \ Ты) |]} (34)
и ~ы(Ты,,т-0)=11шГы( Ты,,), Г(,т-0\ ~ы)=11шГ((~ы) при (Г(т.
Доказательство. Соотношения (1-3), (16) и (22) дают, что
(32)
Щ,z \ х.ы) = Щ,z) + Но(,,z) л(, \ Ты) + Н 1,ы(г,z)хк,
Щ, z \ Хы) - Щ, z) =
= [Но(,, z)Гоы (Ты,,) Гы(Ты,,) + Н1ы (,, Z)] X х[Хы -Лы(Ты,,)].
Таким образом, с учетом (4), (7), (32) получаем
(35)
(36)
М {[Н(,, z\xN ) - Н(,, Z )][-]Т^ 0 ,По} =
= Й1, ы (,, Z )Г ы'( Ты,, )НТы (,, Z ).
Согласно (1), (2) и (35)
Н(г,х,Хы,Z) -Л(?,z \ *ы) = Но(г,Z)[х - д(? \ Ты)]. (37) Из (22) и (37) следует М {[Н(г, х,, хты, z) - Л(?, z \ :?ты )][•] Т^ 0, По} =
, г (38)
= Но(?,Z)Г(,\ т'ы)НТ(,,Z).
Аналогично (24) с учетом Замечания, получаем
М{[ д 1п р(,, х, I ты, х?)/ дх, ][ •] Т^0 ,Ца} = Б_1(, I Ты). (39)
Так как М{.}=М{М{.^0,По1}, тогда, подставляя (36) в (3.20) из [1], получаем (30). Использование (24), (38), (39) в (3.21) из [1] дает (31). Формулы (33), (34) получаются аналогично (13), (14) с использованием (3.24), (3.25), (3.29), (3.31) из [1] и (5), (22).
Следствие 1. Количество информации (2.17) из [1] на интервалах ,т<,<,т+1 определяется уравнением
[хы,х,^0,Цо ]/сН =
= ^1х[М{Я_1(,,z)Hо,N(,, z)i^ы+1(Ты,,)Н0Ты(,, z)}] - (40) -^21г[е(,)[М{Г-1(, \ т'ы)} - Б-1(, \ т'ы)]], с начальным условием
А/,1 [•] = (1/2)М{1п[|Гы+1(т'ы,т -0)|/|]Гы+1(т'ы,,т)]} (41)
и Гы+1( TN,г„-0)=1iшfN+l( Ты,,) при (Г т
Доказательство. Из (2), (4), (7), (10), получаем
Нс((, z)Г 1(t0Т, z) + Н1,ы(7, z)Гы(Ты \ ,)Н1Гы((, z) =
= Но(,, Z)Г(,)Но (,,Z) + Н1,ы(,^)1^оы(Ты,,)НоТ(,, Z) +
+Но(( ,z )Г оы ( т’ы,t )Н1°ы с7, z) + (42)
+Н1,ы (t,z)^^ ы (т’ы)Н°ы ((, z) =
= Но,ы ((, z)Г ы+1(ты,()НоТы ((, z).
Использование (8), (9) в (2.15) из [1] с учетом (42) дает (40). Из (4) и (10) следует [7]
|Гы+1(ты,,) = |г(,) ||Гы(ты \ г)|. (43)
Тогда, используя (3.6), (3.7) в (2.15) из [1] с учетом (13), (14), (43), получаем (41).
Аналогично (42), из (2), (4), (11), (32) следует Й1,ы(,, Z)Гы*(Ты,()Й\,ы ((, Z) + Но((, Z)Г(, \ Ты)НоТ((, z) =
= Но,ы ((, z )1^ ы+1( ты, г )Н0,ы ((, z). (44)
Использование (30), (31) в (2.16) из [1] с учетом (44) дает (40). Из (4) и (11) следует [7]
|Г ы+1( Ты ,, ^ = |Г^ ы (Ты ,, )|| Г(, \ Ты ) |. (45)
(46)
Тогда, используя (3.22), (3.23) в (2.16) из [1] с учетом (33), (34), (45), получаем (41).
Следствие 2. Пусть в (1), (2) отсутствуют зависимости коэффициентов от z. Тогда имеют место Теоремы 1, 2 и Следствие 2, где отсутствуют зависимости от z и оператор М{.}. Таким образом, точное вычисление /'[.], /т[.], /,[.] возможно только в условно-гауссовском случае при отсутствии в каналах наблюдения обратной связи (см. Замечание 1 в [1]).
3. Оптимальная передача стохастических процессов по каналам с запаздыванием
Сигнал х, сообщение на выходе непрерывного канала передачи zt и сообщение на выходе дискретного канала передачи ц(гт) являются скалярными и определяются в виде
Сх, = ¥ (г )х,й, +Фх(г )Ст,, р0(х) = N {х; л,/о},
= Н(г, хт, z )С, + Ф 2(г )Си;,
п(,т ) = Я (,т, х , Z ) +Ф 3(,т )4(,т).
Из соотношений (46) следует, что в непрерывном и дискретном каналах передаются прошлые значения хТ сигнала, т.е. непрерывный и дискретный каналы являются каналами передачи с запаздыванием.
Задача: в классе кодирующих функционалов К1={И1;01}={А(.);я(.)}, удовлетворяющих энергетическим ограничениям
М{н2(г,хТ,z)} < Н(г), М{я2(г„,х,z)} < ¿(г*),
найти функционалы Н0(.) и ¿“(О, обеспечивающие минимальную ошибку декодирования Д0(,)=т£Д(,) относительно задачи фильтрации, где Д(,)=М{[х--¿(г^ц)]2} является ошибкой оценки фильтрации ¿(г&ц) процесса х, которая соответствует принятому сообщению Й;ц0и} при заданных Н(.) и ¿(.).
Теорема 3. В классе К;={И1 ;С;1} линейных функционалов
Й = {НО): н(г,хт,z) = н(г,z)+Нг(г,z)х},
G} = {#(•): я(,т,х,z) = я(,т,z) +б:(,т,z)х}:
1) оптимальные кодирующие функционалы И’(,,х„^>), ¿(Ох,-2°) и оптимальное сообщение $,^(0} имеют вид
н 0(г, z0) = -Но0(,, z °)л°(г),
Й10(г, z0) = [Н(,)/Д0х( т,г )]1/2,
Я 0 (,т ,Z °) = -б0(,т, Z "ЛЧМт - 0),
б0(,т, Z °) = [ Шш )/ДцТ,,т - 0)]‘/2,
Сzt0 = [ н(г)/Д>1(г )]1/2[хТ -л0Т,г )]С, + ф 2(, )Сг,,
П П (,т ) = [ Е(,т )/Д0х(Т,,т - 0)]‘/2 X
Х[х -Л0Т ,,т - 0)] + Ф 3(,т )£(,т );
2) оптимальное декодирование ЛХО и минимальная ошибка декодирования Д0(() на интервалах гт<г<гт+1 определяются уравнениями
d ¡(t) = F (t )/(t )dt +
+R-‘(t )[A(t V Ao1(T,t )]1/2 ASx( t, t) dz0, d A0(t V dt =
= (2F(t)-R-l(t)h(t) [(A0x(t,T))VA0(t)Ao1(T,t)])x xA 0(t) + Q(t)
с начальными условиями
¡°(tm ) = ¡(tm - 0) + A01(T, tm - 0) X
x[g(tm )Aox(t,tm - 0)f2[V (tm ) + g(tm )ГУ(Т„ ),
A0 (tm ) = A0(tm - 0) V(tm ) x
1 + I 1 -
[V(tm ) + g(Tm )]
(A01 (t, tm - 0))2 V(tm ) ^ A0 (tm - 0)A0x(T,tm - 0)
где Q(t)=Ф12(t), R(T)=02(T), *Ю=ф(0;
3) ¡°( t,T), Д01(t,T) и Д01(t,T) на интервалах tm<t<tmH определяются уравнениями
d¡0 (t , t) = R-‘(t )[h'(t )A01(T,t )]1/2 dz0,
dA°n(T,t )/dt = -R-‘(t )h"(t )A01( t,T ),
d A01(t,T V dt = [F (t) - R-\t )h(t )]A01( t,T )
с начальными условиями
¡°(T,tm ) = ¡° ( T, tm - 0) +
+[g(Tm )A01(T, tm - 0)]V2[V (tm ) + g(tm )ГУ(Т,»),
A01(T, tm ) = V (tm )[V (tm ) + g(tm )]- An( T, tm - 0),
A 01(T, tm ) = V (tm )[V (tm ) + g(tm )]_1 A 0K T, tm - 0);
4) Пусть /T°[xT;(z0)0t,(n°)o'] есть количество информации, достигаемое на кодирующих функционалах (47), (48). Тогда имеет место свойство
It [x, ;(z о)0,У)0” ] = SUP [ x; z 0,n0” ], где sup берется по всем {h(.),g(.)}eKJ и I0[ x, ;(z o)0,(n°)m] =
1+
■g(t,-) V (ti),
1 + 11 -
(A01(T,ti - 0))2 V(ti) ^ A0 (t,- - 0)Ao1(T,Ti - 0)
1 I h(a) (A01(T,a))2
2r(ct ) Ao(ct )A01(t,ct)
- Q(^)
1
1
A0(CT) ^(ct)
da.
Доказательство проводится на основе результатов Утверждения и Теоремы 1 с использованием неравенств Коши-Буняковского, Иенсена, Фишера, Ихары [5] аналогично доказательству соответствующих результатов в [8, 9].
T <U <Т
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай // Известия Томского политехнического университета. -2004. -Т. 307. - № 3. - С. 13-17.
2. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 10. - С. 36-49.
3. Демин Н.С., Сушко ТВ., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. -С. 48-59.
4. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью //
Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. - С. 39-51.
5. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. -М.: Наука, 1974. -696 с.
6. Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. - М.: Энергия, 1973. - 440 с.
7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. - 549 с.
8. Dyomin N.S., Safronova I.E., Rozhkova S.V. Information amount determination for joint problem of filtering and generalized extrapolation of stochastic processes with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informatica (Lithuania). -2003. -V. 14. -№ 3. -P. 295-322.
9. Демин Н.С., Сафронова И.Е., Рожкова С.В. Оптимальная передача стохастического процесса по каналам с памятью при наличии запаздывания в дискретных наблюдениях // Вестник Томского государственного университета. - 2003. - № 6. -С. 259-264 (англ.).
УДК 514.76
КЛАССИФИКАЦИЯ КОШИ-РИМАНА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЦЕНТРИРОВАННЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Д. Глазырина
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
В четырехмерном евклидовом пространстве E4 рассматривается двумерное многообразие V{2 плоскостей L, в каждой из которых задано по одной точке A (центр плоскости). С этим многообразием ассоциируется двумерное многообразие V2,2 плоскостей L2, ортогональных соответствующим плоскостям L в точках A и являющихся оснащающими плоскостями многообразия V{2. Возникают отображения между соответствующими плоскостями L2e V{2 и L22e V\2, каждое из которых определяется системой двух неоднородных квадратичных функций с двумя неизвестными или соответствующей комплексной функцией. Выясняется геометрический смысл этих отображений и рассматриваются частные случаи, когда указанные функции являются дифференцируемыми в смысле Коши-Римана или Даламбера-Эйлера или гармоническими в некоторых или во всех точках соответствующих плоскостей Ц, или L2. Доказывается существование всех указанных частных случаев. Все рассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.
1. Аналитический аппарат
Обозначения и терминология в данной статье соответствуют принятым в [1-8].
Рассматривается четырехмерное евклидово пространство E4, отнесе—— к подвижному ортонор-мальному реперу R={A— (j,k,l=1,2,3,4) с деривационными формулами и структурными уравнениями:
dA = m¡ej, de ¡ = mk,ek,
(1.1)
Dm¡ =mk л®/, Dm[ = mk лт/.
Здесь 1-формы mJk удовлетворяют соотношениям
m[ +mj = 0, (1.2)
которые с учетом (1.1) вытекают из условия ортонормальности репера R:
- - Í1, k = j,
{ek ,ej} = Skj =•! .
[0, k ф j,
где символом —b-об-значается скалярное произведение векторов - и b пространства E4.
В пространстве Е4 рассматривается многообразие Р2,2 - двумерное многообразие центрированных двумерных плоскостей ¿2, в каждой из которых задано по одной точке М, называемой центром. К многообразию присоединим ортонормальный репер Я так, чтобы
М = А, 12 = (А, ёи ё2). (1.3)
Здесь и в дальнейшем символом Хр=(А,-[,...,-) обозначается р-плоскость (р-мерное линейное подпространство), проходящее через точку А параллельно линейно независимым векторам е*,е2*,...,ер*. Из (1.3) в силу (1.1) следует, что дифференциальные уравнения многообразия 2 запишутся в виде:
й“ = АЩб>а,оЩ = А-й, (1.4)
(а,/3,у=1,2;а,в,у=3,4). Здесь 1-формы а“ приняты за базисные, а величины А“ и Ащ удовлетворяют структурным уравнениям:
(А -Аа®в+ а!4)ай“ = 0, а а а - (1.5)
(СА“в - Ащ йа - Дщ ) А й“ = 0
