О структуре экспоненциальных мономов на некоторых локально компактных абелевых группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Issues of Analysis

Vol. 1(19), №1, 2012

УДК 517.966

С. C. Платонов

О СТРУКТУРЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ НА НЕКОТОРЫХ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ

Аннотация. Получено описание некоторого класса экспоненциальных мономов на локально компактных абелевых группах.

Ключевые слова: топологические группы, экспоненциальные мономы

Пусть О — локально компактная абелева группа с операцией + и нулевым элементом 0. Экспоненциальной функцией или обобщенным характером на группе О называется произвольный непрерывный гомоморфизм группы О в мультипликативную группу ненулевых комплексных чисел. Непрерывные гомоморфизмы из группы О в аддитивную группу комплексных чисел называются аддитивными функциями. Функция х ^ Р(а±(х),..., ат(х)) называется полиномиальной, если Р — комплексный полином от т переменных и а±,, ат — аддитивные функции. Произведение полиномиальной и экспоненциальной функций называется экспоненциальным мономом, а линейная комбинация экспоненциальных мономов называется экспоненциальным полиномом.

Приведем некоторые примеры.

1 °. Пусть О = , п > 1. Любая экспоненциальная функция на

имеет вид Е(х) = вХх, где х = (х1,..., хп) Е , А = (А1,..., Ап) € СП, Хх : = А1 х1 + • • • + Апхп. Любой экспоненциальный моном на имеет вид /(х) = Р(х) вХх, где Р(х) = Р(х1,..., хп) — комплексный полином от п переменных.

2°. Пусть О = Ъп, п > 1. Элементы из Zта имеют вид х = (х1}..., хп), х^ Е Ъ. Пусть С* = С \ {0}, СП = С* х • • • х С* — декартово произведение п экземпляров множества С*. Для любых г = (¿1,... , гп) Е СП

© Платонов С. С., 2012

и х = (х1 ,...,хп) Е Ъп пусть гх := гХ1 ... гПп. Любая экспоненциальная функция на группе Ъп имеет вид Е(х) = гх для некоторого г Е СП, а экспоненциальный моном имеет вид /(х) = Р(х) гх, где Р (х) = Р (х1, . .. ,хп) — комплексный полином от п переменных.

3°. Если группа О компактная, Е(х) — экспоненциальная функция на на группе О, то \Е(х)| = 1, следовательно Е является непрерывным гомоморфизмом из группы О в группу З1 = {г Е С : \г\ = 1}, т. е. Е является обычным характером группы О. Любая аддитивная функция на компактной абелевой группе тождественно равна 0, поэтому любой экспоненциальный моном имеет вид /(х) = АЕ(х), где А Е С, Е(х) — некоторый характер.

Важным классом задач, в которых используются экспоненциальные мономы на группах, являются задачи о спектральном синтезе на группах. Приведем описание таких задач.

Пусть О — локально компактная абелева группа, Т — топологическое векторное пространство, состоящее из комплекснозначных функций на О. Будем называть пространство Т трансляционно инвариантным, если Т инвариантно относительно преобразований (сдвигов)

ту : /(х) ^ /(х + у), /(х) еТ,У е О,

и все операторы ту являются непрерывными операторами в пространстве Т.

Замкнутое линейное подпространство Н С Т называется инвариантным подпространством, если ту (Н) С Н для любого у Е О.

Пусть Т — трансляционно инвариантное функциональное пространство на группе О, Н — инвариантное подпространство в Т.

Определение 1. Инвариантное подпространство Н допускает спектральный синтез, если оно совпадает с замыканием в Т линейной оболочки всех содержащихся в Н экспоненциальных мономов. В пространстве Т справедлив спектральный синтез, если любое инвариантное подпространство Н С Т допускает спектральный синтез.

Задачам о спектральном синтезе на группах посвящено много работ (см., например, [1]-[11] ). В этих работах изучаются вопросы справедливости (или несправедливости) спектрального синтеза для различных конкретных групп О и функциональных пространств Т. Важную роль в таких задачах играют вопросы о структуре экспоненциальных мономов.

Пусть О и О — локально компактные абелевы группы, а : О ^ О

— сюръективный гомоморфизм группы О на группу О (все гомоморфизмы топологических групп предполагаются непрерывными). Для любого топологического пространства X обозначим через С (X) множество всех непрерывных комплекснозначных функций на X, в частности, возникают множества С (О) и С (О). Пусть Л : С (О) ^ С (О) — отображение, сопоставляющее каждой функции / (х) Е С (О), х Е О функцию

Л(/т = 7(1) := /(а(Ь)) Е С(д), Ь Е д. (1)

Через Н обозначим ядро гомоморфизма а, т. е. Н = кег а := {Ь Е : а(Ь) = 0}. Тогда Н является замкнутой подгруппой группы О*.

Через Сн(О) обозначим множество функций Ф(Ь) Е С((*), удовлетворяющих условию

ф(Ь + К) = Ф(Ь) УН Е Н, Ь Е ё. (2)

Очевидно, что Л(С(О)) С Сн(С).

Если е(х) — экспоненциальная функция на группе О, а а(х) — аддитивная функция на группе О, то функции е(Ь) = е(а(Ь)) и а(Ь) = а(а(Ь)) будут соответственно экспоненциальной и аддитивной функциями на группе (*. Из этого вытекает, что если /(х) — экспоненциальный моном на группе О, то функция /(Ь) = /(а(Ь)) будет экспоненциальным мономом на группе и, кроме того, / Е Сн(С).

Возникает естественный вопрос: верно ли обратное утверждение

— если Ф(Ь) Е Сн (С) и Ф(Ь) является экспоненциальным мономом на группе (*, то можно ли Ф(Ь) представить в виде Ф(Ь) = /(а(Ь)) для некоторого экспоненциального монома / (х) на группе О?

Как показывает приведенный ниже пример, в общем случае это утверждение неверно.

Пример. Пусть группа О совпадает с группой К с обычной метрической топологией, а совпадает с группой К, которая снабжается дискретной топологией. Пусть а : ^ О — тождественное отображение

К на К. Тогда Н = {0}, множество С (О) состоит из всех непрерывных функций на К, а множество С(С) состоит из всех комплекснозначных функций на К. Хорошо известно, что на К существуют аддитивные функции, которые не являются непрерывными в метрической топологии (но, разумеется, являются непрерывными в дискретной топо-

логии). Любая такая функция Ф(Ь) является экспоненциальным мономом на группе Ое , но не существует экспоненциального монома / на группе О, для которого Ф(Ь) = /(а(Ь)), так как функция /(а(Ь)) непрерывна на К в метрической топологии.

Достаточное условие для справедливости обратного утверждения получено в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть О и О — локально компактные абелевы группы, а : О ^ О — непрерывный сюръективный гомоморфизм и Н — ядро гомоморфизма а. Если а является открытым отображением О на

О, то любой экспоненциальный моном Ф(Ь) на группе О, удовлетворяющий условию (2), можно представить в виде Ф(Ь) = /(а(Ь)) для некоторого экспоненциально монома /(х) на группе О.

Замечание. Для широкого класса топологических групп любой непрерывный сюръективный гомоморфизм оказывается открытым. Так известно, что если Ое и О — локально компактные топологические группы и группа Ое представима в виде счетного объединения компактных подмножеств, то любой непрерывный сюръективный гомоморфизм а : О ^ О является открытым отображением (см. [12, гл. 3,

§ 20, теорема 12].

Доказательство теоремы 1 является основной целью настоящей работы. Отметим, что для случая, когда Ое и О — дискретные абелевы группы, краткий набросок доказательства теоремы 1 содержится в книге [6] (см. [6, доказательство теоремы 2.24]). Доказательство теоремы 1 настоящей работы годится, в частности, и для дискретных абелевых групп, но основано на других методах.

Предварительно рассмотрим некоторые вспомогательные утверждения. Всюду предполагается, что выполнены условия теоремы 1. Отображение Л : С (О) ^ Сн (О*) определено формулой (1).

Лемма 1. Л(С(О)) = Сн(О).

Доказательство. Включение Л(С(О)) С Сн (О*) очевидно. Докажем обратное включение. Пусть Ф(Ь) Е Сн (О*). Из условия (2) следует, что можно корректно определить функцию /(х) на О равенством

/(х) := Ф(Ь) УЬ Е а-1 (х).

Тогда Ф(Ь) = / (а(Ь)). Проверим, что / (х) Е С (О).

Пусть и — произвольное открытое подмножество в С. Легко видеть, что /-1 (и) = а(Ф-1(и)). Так как Ф — непрерывная функция, то множество Ф-1(и) открыто в О, а так как а — открытое отображение, то множество а(Ф-1 (и)) открыто в О. Следовательно подмножество /-1 (и) открыто в О, откуда вытекает, что / Е С (О). □

Лемма 2. Если е(Ь) — экспоненциальная функция на группе (О, принадлежащая классу Сн(О*), то е(Ь) = е(а(Ь)) для некоторой экспоненциальной функции е(х) на группе О.

Доказательство. По лемме 1 функцию е(Ь) можно представить в виде е(Ь) = е(а(Ь)) для некоторой функции е(х) Е С (О). Проверим, что е(х) — экспоненциальная функция.

Пусть х, у Е О. Из сюръективности отображения а следует, что х = а(Ь), у = а(в) для некоторых Ь, в Е О. Тогда, пользуясь тем, что а — гомоморфизм, а е — экспоненциальная функция, получим

е(х + у) =е(а(Ь) + а(в)) = е(а(Ь + в)) = е(Ь + в) =

= е(Ь)е(в) = е(а(Ь))е(а(в)) = е(х)е(у),

то есть е является экспоненциальной функцией на группе О. □

Лемма 3. Если а(Ь) — аддитивная функция на группе О и а Е Сн (О*), то ее можно представить в виде а(Ь) = Ь(а(Ь)) для некоторой аддитивной функции Ь(х) на группе О.

Доказательство. По лемме 1 функцию а(Ь) можно представить в виде а(Ь) = Ь(а(Ь)) для некоторой функции Ь(х) Е С (О). Проверим, что Ь — аддитивная функция.

Пусть х,у Е О и х = а(Ь), у = а(в) для некоторых Ь,в Е О. Тогда

Ь(х + у) = Ь(а(Ь) + а(в)) = Ь(а(Ь + в)) = а(Ь + в) =

= а(Ь) + а(в) = Ь(а(Ь)) + Ь(а(в) = Ь(х) + Ь(у).^

Для любой функции / Е С ((О) обозначим через Ь(/) линейную оболочку всех функций вида (тя/)(Ь) = /(Ь + в) для любых в Е О. Очевидно, что если / Е Сн (О), то Ь(/) С Сн (О).

Лемма 4. Пусть /(Ь) = е(Ь) р(Ь) — экспоненциальный моном на группе (О, где е(Ь) — экспоненциальная функция, р(Ь) — полиномиальная

функция. Тогда экспоненциальная функция е(Ь) содержится в множестве Ь(/).

Доказательство. Очевидно, что любая функция из Ь(/) имеет вид

д(Ь) = е(Ь) Q(al(Ь),..., ат(Ь)), (4)

где Q(u1,..., ит) — некоторый полином, а1(Ь),... , ат(Ь) — аддитивные функции на О. Пусть N = deg Q — степень полинома Q. Среди всех функций из множества Ь(/) выберем ненулевую функцию д(Ь), представимую в виде (4) с минимально возможной степенью N. Если N = 0, то е(Ь) Е Ь(/), и лемма доказана. Предположим, что N > 0. Так как пространство Ь(/) трансляционно инвариантное, то в Ь(/) содержится и функция

д(Ь + в) = е(Ь + в) я(Ь + в) = е(Ь) е(в) Q(al(Ь) + а1(в),..., ат(Ь) + ат(в))

для любого в Е О. Так как функция д(Ь) не постоянная, то найдется в Е (О, такое, что д(Ь + в) ф я(Ь). Тогда в пространстве Ь(/) содержится ненулевая функция

~гтд(Ь + в) — д(Ь) = е(Ь) г(Ь),

е(в)

где г(Ь) = Я(а1 (Ь),..., ат (Ь)), а Я(щ,... ,ит) = Q(ul + а1(в), ...,ит + ат(в)) — Q(ul,... ,ит) — полином степени меньше N, что противоречит предположениям N > 0 и минимальности N. □

Следствие 1. Если экспоненциальный моном /(Ь) = е(Ь) р(Ь) (е(Ь) — экспоненциальная функция, р(Ь) — полиномиальная функция на группе <О) принадлежит классу Сн (О*), то е(Ь) Е Сн ((*) и р(Ь) Е Сн (О*).

Доказательство. Если / Е Сн (О), то Ь(/) С Сн (О). По лемме 4 е(Ь) Е Ь(/), поэтому е(Ь) Е Сн (О*). Так как функции / (Ь) и е(Ь) содержатся в Сн (О), то и функция р(Ь) = ещ / (Ь) содержится в Сн (О). □

Пусть р(Ь) = Р(а1 (Ь),. .., ат(Ь)) — полиномиальная функция на группе О, Р(щ,... ,ит) — комплексный полином. Представим полином Р в виде суммы однородных полиномов

N

Р (и1, . . . , ит) ^ ^ Р3 (и1, . . . , ит),

3=0

где Р] (пі,...,Пт) — однородный полином степени 2. Пусть Рз (Ь) = Р] (аі (Ь),..., ат(Ь)). Будем называть функции р] (Ь) однородными компонентами функции р(Ь) степени 2.

Лемма 5. Если полиномиальная функция р(Ь) принадлежит классу Сн ((О), то и все ее однородные компоненты р] (Ь) принадлежат классу

Сн (О).

Доказательство. Очевидно, что если р(Ь) Є Сн (О), то и функции р(кЬ) принадлежат Сн ((3) для любого к Є N (здесь кЬ = Ь + • • • + Ь — сумма к элементов Ь Є Є).

Подставляя в равенство

Ро(Ь) + рі(Ь) +-----+ ри (Ь) = р(Ь)

кЬ вместо Ь и пользуясь однородностью функций р] (Ь), получим

ро(Ь) + крі (Ь) +-+ км рм (Ь) = р(кЬ). (5)

Пусть 1,аі,... ,ам — произвольные попарно различные натуральные числа. Подставляя эти числа вместо к в (5), получим систему

ро (Ь) + рі(Ь)+---------+ ри (Ь) = р(Ь),

ро(Ь) + аїрі (Ь) +----------+ а^рм (Ь) = р(аі Ь),

ро (Ь) + ам рі (Ь)+---------+ а% рм (Ь) = р(ам Ь).

(6)

Если рассматривать (6) как систему линейных уравнений относительно ро(Ь),... ,pN(Ь), то определитель этой системы

А =

1

аі

а

N

1 ам

а

N

N

отличен от нуля. Поэтому из системы (6) можно выразить функции рз (Ь) как линейные комбинации функций р(Ь), р(а^),... ,p(аNЬ). Следовательно рз (Ь) Е Сн (О при у = 0,1,... N. □

Пусть р(Ь) = Р(а1 (Ь),. .., ат(Ь)) — полиномиальная функция на группе (°, где Р(щ,... ,ит) — комплексный полином от т переменных, а1(Ь),.. ., ат(Ь) — аддитивные функции. Если Р(и1,... , ит) —

1

однородный полином степени к, то будем говорить, что р(Ь) — однородная полиномиальная функция степени к. Будем использовать обозначение

дР

(дз р)(Ь) := ди (а1 (Ь), ...,ат(Ь)) и будем называть функции 83р производными от функции р.

Лемма 6. Пусть р(Ь) = Р(а1 (Ь),..., ат(Ь)) — однородная полиномиальная функция, и пусть аддитивные функции а1(Ь),..., ат(Ь) линейно независимы. Тогда, если р(Ь) Е Сн(О*), то и все производные функции 83 р(Ь) принадлежат пространству Сн (О*), 3 = 1, 2,... ,т.

Доказательство. Пусть щ,... ит, У1,..., Ут — независимые переменные. Из формулы Тейлора следует, что

Р(и1 + У1,..., ит + Ут) = лт У дР

3=1 ди5

= Р (и1,..., ит) + ^2 Т=1 уз ди (и1,.. .,ит) + ..., (7

где многоточие означает слагаемые степени > 2 по переменным у. Из

(7) следует, что для любого в Е (О справедливо равенство

р(Ь + в) = Р(а1(Ь) + а1(в),..., ат(Ь) + ... ат(в)) =

(8)

= р(Ь) + Т?=1 аз (в) 83 р(Ь) + ....

Так как полиномиальная функция (т3р)(Ь) = р(Ь + в) принадлежит множеству Сн (О*), то по лемме 5 все ее однородные компоненты принадлежат этому множеству. Если Р (и1,..., ит) — однородный многочлен степени к, то из (7) и (8) вытекает, что однородной компонентой функции т3р степени (к — 1) является функция

га

(т3р)к-1(Ь) = }_^ аз(в) 83 р(г). (9)

3=1

Из того, что функция (тя р)к-1 принадлежит множеству Сн ((О), следует

тр)к-1 (Ь + Н) = тр)к-1 (Ь) УН Е Н. (10)

С учетом (9), равенство (10) можно переписать в виде

га

аз (в) (83 р(Ь + Н) — 83 р(Ь)) =0 У в Е <О, УН Е Н. (11)

3=1

Так как функции а3 (в) линейно независимые, то из (11) следует, что

д]р(Ь + Н) = дзр(Ь) УН Е Н, откуда вытекает, что д3р Е Сн(С*). □

Лемма 7. Пусть р(Ь) — однородная полиномиальная функция на группе (С, принадлежащая пространству Сн (С*) . Тогда функцию р(Ь) можно представить в виде р(Ь) = д(а(Ь), где д(х) — некоторая полиномиальная функция на группе С.

Доказательство. Пусть р(Ь) = Р(а1(Ь),...,ат(Ь)) Е Сн(С), где Р(п\,..., ит) — однородный полином степени к, а±(Ь),..., ат(Ь) — аддитивные функции на группе (С. Без ограничения общности можно считать, что функции а\,..., ат линейно независимы.

Требуется доказать, что существует полиномиальная функция д(х) на группе С, такая, что р(Ь) = д(а(Ь). Будем доказывать это утверждение индукцией по к. При к = 0 утверждение очевидно. Пусть к > 1 и предположим, что утверждение верно для однородных полиномиальных функций из Сн (Сг) степени меньше к.

Так как Р(п\,, ит) — однородный полином степени к, то справедливо тождество

т дР

У^.П] — п,.. .,пт) = кР (пъ .. .,пт). (12)

3=1 пз

Подставляя в (12) функции а3 (Ь) вместо п3, получим

т

У2аз (ь)дз р(Ь) = кр(Ь). (13)

3 = 1

Из системы функций д1р(Ь),..., дтр(Ь) выберем максимальную линейно независимую подсистему. Обозначим эти линейно независимые функции р1 (Ь),. .. ,рь(Ь), тогда каждую функцию д3р(Ь), 3 = 1,... ,т, можно представить в виде линейной комбинации:

I

д3р(Ь) =^2 ^3-р (Ь), 3 Е С.

в=1

Подставляя эти линейные комбинации в (13), получим

т / I

3 = 1 \*=1

Равенство (14) можно переписать в виде

I

(*)Р8^) = кр{г), {Щ

в=1

где

т

А3^) = У2 Х33 а3 (Ь)

3 = 1

— аддитивные функции на группе (С. Подставим в (5) Ь + Н вместо Ь

(Н Е Н), тогда, учитывая, что р3 Е Сн {Сг) (по лемме 6) и функции

А3(Ь) аддитивные, получим

I

У2(Аз^) + А3 {Н))р3 (Ь) = кр(Ь). (16)

3=1

Вычитая из равенства (16) равенство (15), получаем тождество I

^2 А5 {Н)р3 {Ь) = 0 УН Е Н,Ь Е <С. (17)

3=1

Так как функции р3(Ь) линейно независимые, то из (17) следует, что А3{Н) = 0 при Н Е Н, т. е. аддитивные функции А3 (Ь) принадлежат классу Сн (сС). Тогда, по лемме 3, А3(Ь) можно представить в виде А3(Ь) = B3{a{t)), где В3(х) — некоторые аддитивные функции на группе С .

Так как р3 (Ь) — однородная полиномиальная функция на группе СС степени меньше к и р3 (Ь) Е Сн (СС), то по предположению индукции р3(Ь) = я3(а(Ь)), где я3(х) — некоторая полиномиальная функция на группе С. Окончательно из (15) получим, что

1 ^

р(Ь) = к^В3 (а(Ь))^3(а(Ь)) =

= кр(Ь).

(14)

где

1 1

Я(х) = к^В3 (Х)Я3(Х)

3=1

— полиномиальная функция на группе С. □

Следствие 2. Если р(Ь) — полиномиальная функция на группе (С и р Е Сн(С), то функцию р(Ь) можно представить в виде р(Ь) = Я(а(Ь)), где я(х) — некоторая полиномиальная функция на группе С.

Доказательство. Представим полиномиальную функцию р(Ь) в виде суммы однородных полиномиальных функций

N

р(Ь) = ^ рз (Ь)’ (18)

3 = 1

где рз — однородная полиномиальная функция на группе степени 3. Тогда, по лемме 6, рз Е Сн (С*), откуда, по лемме 7, рз (Ь) = Яз (а(Ь)) для некоторой полиномиальной функции Яз (х) на группе С. С учетом (18) получим, что р(Ь) = я(а(Ь), где

N

Я(х) =^ Яз(х) •□

з=1

Доказательство теоремы 1. Пусть /(Ь) = р(Ь)в(Ь) — экспоненциальный моном, где р(Ь) — полиномиальная функция на группе , в(Ь)

— экспоненциальная функция на группе . Так как / Е Сн (С), то, по следствию 1, функции р(Ь) и в(Ь) тоже принадлежат классу Сн (С). По лемме 2 функцию в(Ь) можно представить в виде в(Ь) = е(а(Ь)), где е(х) — экспоненциальная функция на группе С. По следствию 2 функцию р(Ь) можно представить в виде р(Ь) = я(а(Ь)), где я(х) — полиномиальная функция на группе С. Окончательно получаем, что

/ (Ь) = Я{a{t))е{a{t)) = д(а(Ь),

где д(х) = Я(х)е(х) — экспоненциальный моном на группе £?.□

Список литературы

[1] Schvartz L. Théorie générale des fonctions moynne-périodiques // Ann. of Math. (2) 48. (1947). P. 875-929.

[2] Gilbert J. E. On the ideal structure of some algebras of analytic functions // Pacif. J. of Math. 35. (1978). № 3. P. 625-639.

[3] Платонов С. С. Спектральный синтез в некоторых функциональных топологических векторных пространствах // Алгебра и анализ. 22. (2010). № 5. С. 154-185.

[4] Гуревич Д. И. Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. Функц. анализ и его прилож. 9. (1975). № 2. С. 29-35.

[5] Schvartz L. Analyse et synthèse harmonique dans les espaces de distributions // Can. J. Math. 3. (1951). P. 503-512.

[6] Szekelyhidi L. Discrete spectral synthesis and its applications. Berlin: Springer, 2006.

[7] Lefranc M. Analyse spectrale sur Zn // C. R. Acad. Sci. Paris. 246. (1958). P. 1951-1953.

[8] Szekelyhidi L. On discrete spectral synthesis // Functional Equations — Results and Advances (Z. Daroczy and Zs. Pâles), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. P. 263-274.

[9] Bereczky A., Szekelyhidi L. Spectral synthesis on torsion groups // J. Math. Anal. Appl. 304. (2005). P. 607-613.

[10] Платонов С. С. Спектральный синтез в пространстве функций экспоненциального роста на конечно порожденной абелевой группе // Алгебра и анализ. 24. (2012). № 4. С. 182-200.

[11] Szekelyhidi L. Spectral synthesis problems on locally compact groups // Monatsh. Math. 161 (2010). № 2. P. 223-232.

[12] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

Петрозаводский государственный университет,

математический факультет

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

E-mail: platonov@petrsu.ru