CC BY
5О статистическом генераторе решений уравнения Шредингера на примере описания кластеров воды
К.Э. Плохотников1'2
1 — Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова;
2 — Финансовый университет при Правительстве РФ
psygma@yandex. ru
В докладе изложена процедура генерации решений уравнения Шредингера методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. В качестве демонстрационной квантовой системы, иллюстрирующей данный генератор, выступают кластеры воды: гексамер, 6(^0), доде-камер, 12(H20) и тетрадекамер, 14(H20).
Генератор решений уравнений Шредингера выводится из предложенного автором ранее алгоритма [1 - 3], основанного на пересечении конечно-разностного и Монте-Карло подходов. В указанном алгоритме входными параметрами выступают средние позиции ядер частиц квантовой системы, для поиска которых был предложен иной алгоритм, основанный на теореме вири-ала [4,5], он сводился к многократному решению уравнения "потенциальная энергия квантовой системы равна двум энергиям диссоциации" с последующим усреднением найденных пространственных позиций ядер частиц.
Оба алгоритма были апробированы на примере описания ряда кластеров воды [6,7], где была сформулирована процедура пространственного сведения центров рассеяния ядер частиц и центров рассеяния электронов произвольной квантовой системы. В результате такого сведения оказалось возможным построить алгоритм генерации неограниченного количества различных пространственных конструкций облаков рассеяния ядер частиц и электронов при одной и той же энергии диссоциации квантовой системы. То, что уравнение Шредингера, как уравнение в частных производных имеет бесконечное количество решений вполне естественно. В рамках предложенной статистической процедуры генерации решений центры рассеяния ядер частиц квантовой системы могут быть задана случайно в пределах некоторого ящика, тогда как центры рассеяния электронов необходимо расположить в рамках одной из возможных схем сведения или в рамках их некоторой комбинации. Рассмотрено множество схем сведения среди них специально выделены: одночастичная, двух-, трех- и т.д. вплоть до схемы с максимальной частичностью. В рамках любой из схем сведения согласуются энергия диссоциации рассматриваемой квантовой системы, с одной стороны, и позиционирование центров рассеяния ядер частиц и электронов, — с другой стороны. В итоге удалось сформулировать алгоритм статистической генерации решений уравнений Шредингера не только для различных кластеров воды, но и вообще для любой квантовой системы.
Отметим, что предложенная процедура генерации решений уравнения Шредингера весьма эффективна с точки зрения вычислений, т.к. допускает распараллеливание и не лимитирована проблемой размерности волновой функции, характерной для традиционной постановки задачи численного решения уравнения Шредингера.
[1] Плохотников К.Э. Об одном методе численного решения уравнения Шредингера// Математическое моделирование, 2019, т.31, №8, с.61-78.
[2] Plokhotnikov K.E. About One Method of Numerical Solution of Schrodinger's Equation// Mathematical Models and Computer Simulations, 2020, Vol. 12, No. 2, pp.221-231.
[3] Plokhotnikov K.E. Solving the Schrodinger Equation on the Basis of Finite-Difference and Monte-Carlo Approaches// Journal of Applied Mathematics and Physics, 2021, vol.9, no.2, pp.328-369.
[4] Плохотников К.Э. Численный метод реконструкции средних позиций квантовых частиц в молекулярной системе// Математическое моделирование, 2020, т. 32, № 9, с.20 — 34.
[5] Plokhotnikov K.E. Numerical Method for Reconstructing the Average Positions of Quantum Particles in a Molecular System// Mathematical Models and Computer Simulations, 2021, Vol. 13, No. 3, pp.372-381.
[6] Плохотников К.Э. Об одном численном методе нахождения позиций ядер водорода и кислорода в кластере воды// Матем. моделирование, 2022, т.34, №4, с.43-58.
[7] Plokhotnikov K.E. Modeling of Water Clusters by Numerical Solution of the Schrodinger Equation// Physics of Wave Phenomena, 2022, Vol. 30, No. 3, pp.156-168.
