CC BY
33DOI: 10.17516/1999-494X-0228 УДК 629.783:527
On the Method of Determining Onboard Ephemeris Data L1OC and L3OC GLONASS Aimed at Testing Positioning Algorithms in the GNSS Receiver
Taliya G. Sharfunova and Daria A. Krasilnikova*
Joint Stock Company «Construction Bureau of Navigation Systems» Moscow, Russian Federation
Received 23.05.2019, received in revised form 28.10.2019, accepted 21.01.2020
Abstract. The paper considers a method of determining GLONASS ephemeris data in the L1OC and L3OC digital form aimed at testing the algorithms of accurate navigation determinations in consumer navigation equipment. The task of determining long-term motion model parameters of a navigation spacecraft is set as nonlinear problem of designing a matching model. This task is unstable and according to the analysis is categorized as incorrect. The application of a traditional least squares method to determine the long-term motion model parameters of a navigation spacecraft does not allow to obtain equally accurate solutions of condition equations system when initial conditions and/ or iterations amount have been changed. In this respect, Tikhonov's regularization method has been carried out. It is based on the application of additional prior information. The obtained results have been tested by the comparison of estimated navigation spacecraft position according to the adjusted (speed and acceleration) ephemeris data, long-term motion model parameters and SP3 final reference ephemeris published on the SVOEVP website. The long-term motion model parameters of GLONASS navigation spacecraft that were defined by regularizing algorithms, have allowed to calculate the position of navigation spacecraft orbital grouping in terms of four-hours fitting intervals within 0,2 m tolerance (maximum deviations according to module of estimated navigation spacecraft position from SVOEVP SP3 reference ephemeris).
Keywords: GLONASS ephemeris data, L1OC and L3OC navigation data, long-term motion model parameters, GNSS receiver, SVOEVP, matching model, regularizing algorithms.
Citation: Sharfunova T.G., Krasilnikova D.A. On the method of determining onboard ephemeris data L1OC and L3OC GLONASS aimed at testing positioning algorithms in the GNSS receiver, J. Sib. Fed. Univ. Eng. & Technol., 2020, 13(7), 788-802. DOI: 10.17516/1999-494X-0228
© Siberian Federal University. All rights reserved
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-Non Commercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0). Corresponding author E-mail address: [email protected]
О способе определения бортовой эфемеридной информации L1OC, L3OC ГЛОНАСС в целях тестирования алгоритмов местоопределения в навигационном приемнике ГЛОНАСС
Т.Г. Шарфунова, Д.А. Красильникова
Акционерное общество «Конструкторское бюро навигационных систем» Российская Федерация, Москва
Аннотация. В работе рассматривается способ определения эфемеридной информации (ЭИ) НКА в формате цифровой информации L1OC, L3OC ГЛОНАСС для применения в целях тестирования алгоритмов точных навигационных определений в НАП. Задача определения параметров долговременной модели движения (ПДМД) НКА ГЛОНАСС сформулирована как нелинейная задача построения согласующей модели. Указанная задача является неустойчивой и, как показал анализ, относится к классу некорректных задач. Использование классического метода наименьших квадратов (МНК) для определения ПДМД НКА не позволяет получить эквивалентные по точности решения системы условных уравнений при изменении начальных условий и/или количества итераций. В связи с этим для определения ПДМД НКА был применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову, основанный на применении дополнительной априорной информации. Полученные результаты протестированы сравнением расчетного положения НКА по уточненной (в части скоростей и ускорений) ЭИ, ПДМД и окончательных опорных эфемерид SP3, публикуемых на сайте СВОЭВП. ПДМД НКА ГЛОНАСС, определенные с применением регуляризирующих алгоритмов, позволили обеспечить расчет положения НКА орбитальной группировки (ОГ) ГЛОНАСС на интервалах согласования до 4 ч с погрешностью, не превышающей 0,2 м (максимальные по модулю отклонения расчетного положения НКА от опорных эфемерид SP3 СВОЭВП).
Ключевые слова: эфемеридная информация ГЛОНАСС, формат навигационного сообщения LЮC и L3OC, параметры долговременной модели движения, навигационный приемник, СВОЭВП, согласующая модель, регуляризирующие алгоритмы.
Цитирование: Шарфунова, Т.Г. О способе определения бортовой эфемеридной информации ЬЮС, ЬЭОС ГЛОНАСС в целях тестирования алгоритмов местоопределения в навигационном приемнике ГЛОНАСС / Т.Г Шарфунова, Д.А. Красильникова // Журн. Сиб. федер. ун-та. Техника и технологии, 2020. 13(7). С. 788-802. D0I: 10.17516/1999-494Х-0228
Введение
Возможности навигации потребителей зависят от точности эфемерид в составе навигационного сообщения (НС), транслируемого с борта НКА. В 2020 г. планируется запуск НКА «Глонасс-К2» с повышенными тактико-техническими характеристиками и проведение летно-конструкторских испытаний. В составе НС перспективных сигналов с кодовым разделением в частотных диапазонах L1 и L3 ГЛОНАСС с борта НКА «Глонасс-К2» предусмотрена передача согласованной (в части скоростей и ускорений) оперативной ЭИ с повышенной разрядностью представления.
До начала реального излучения новых сигналов с борта НКА «Глонасс-К2» алгоритмы использования ЭИ в формате НС L10C, L30C должны быть отработаны в навигационных прием- 789 -
никах. Если не требуется отработка точности навигационных определений по НС L1OC, L3OC, то для генерации НС могут быть использованы опорные эфемериды НКА ГЛОНАСС, предоставляемые в апостериорном режиме Центрами обработки СВОЭВП и ЦНИИМаш в формате SP3 файлов. Указанные эфемериды рассчитываются по сложным моделям движения с учетом большого числа возмущающих воздействий на движение НКА, обеспечивают наивысшую точность расчета положения НКА на опорные эпохи, но не обеспечивают высокие точности расчета положения НКА по алгоритмам потребителя, так как в навигационных приемниках для расчета положения НКА используют более простые модели.
В составе навигационной оперативной информации L1OC, L3OC предусмотрена передача согласованных эфемерид НКА, которые на те же моменты времени tb должны быть рассчитаны на основе опорных эфемерид таким образом, чтобы методические ошибки прогнозирования по более простым моделям движения НКА, используемым потребителем, в среднем на интервалах до 15 мин от опорной эпохи tb были минимальны.
Кроме этого, в составе неоперативной информации НКА «Глонасс-К2» планируется передача ПДМД НКА, которые должны обеспечить точность расчета положения НКА по упрощенным алгоритмам потребителя не более 1 м на интервалах расчета положения НКА до 4 ч.
Целью работы является совершенствование определения ПДМД НКА для целей моделирования навигационной информации по перспективным сигналам L1OC, L3OC системы ГЛО-НАСС.
Задача определения ПДМД НКА ГЛОНАСС сформулирована как нелинейная задача построения согласующей модели на мерном интервале 4 ч. Использование классического МНК для определения ПДМД не позволяет получить эквивалентные по точности решения системы условных уравнений при изменении начальных условий и/или количества итераций. Как показал анализ, указанная задача неустойчива и относится к классу некорректных задач. В связи с этим для определения ПДМД был применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову, основанный на применении дополнительной априорной информации. Результаты решений протестированы сравнением расчетного положения НКА ОГ ГЛОНАСС по уточненной (в части скоростей и ускорений) ЭИ, ПДМД и окончательных опорных эфемерид SP3 СВОЭВП. Примененный способ позволил получить устойчивые решения для 12 уточняемых параметров долговременной модели движения НКА. Максимальная погрешность расчета положения НКА ОГ ГЛОНАСС на интервалах до +4 ч от опорной эпохи tb не превысила 0,2 м по более чем 5700 реализациям уточнения ПДМД.
Определение согласованных эфемерид и ПДМД НКА ГЛОНАСС для генерации навигационного сообщения L1OC, L3OC
При определении местоположения в навигационном приемнике текущее положение НКА ГЛОНАСС рассчитывается по оперативной ЭИ из НС методом Рунге-Кутта по уравнениям движения НКА, которые приведены в [1].
Согласованная эфемеридная информация и ПДМД НКА ГЛОНАСС, передаваемые в составе НС L1OC и L3OC, предназначены для расчета положения НКА на интервалах до 4 ч и включают в себя параметры вида x,y, z, X,y, Z, X,y,z и aX0, a^, aX2, aX3, aX4, aY0, aY1, aY2, aY3, aY4, aZ0, aZ1, aZ2, aZ3, aZ4, заданные на опорноевремя tb.
Здесь х, у, о, х, у, о - составляющие вектор о в коо рдинат и скорости центра масс НКА ГЛО-НАСС на опорную эпоху tb в СК ПЗ-90.11, X, у, о - составляющие вектора ускорения НКА в СК ПЗ-90.11, далее следуют12параметров долговременноймоделидвижения.
Дополнительные ускхрения НКА ах($, 4), а7(^ 4), а^, 4) на текущий момент времени t рассчитываются пох]ребителем с иепользованием ПДМД, которые являются коэффициентами полиномов 4-й степени для рузницы между текущим временем t и опорным временем 4, пе хле,рmмвм, приоеденном в [1]:
хх(1>1ь) = аХ0 +аХ1 •(■— Нь) + ах2-(1-X,)2 +аХз ■ (Н-4)3 + ах4 • (■- Нр)4,
аг (), X = аГ0+аГ1■ (/ - 4) + аг2 • - , )2 + агз ■ - 4 )3 + хх-^„ ■ - Нр )4,
= «»^го + пР1 • ^-^^ь;,ь + а • X- Ч)2 = (Х;;3!'),"Р^+И«4■ (т"^ь^^4-
>ь;а,даа^ха попа]оения сьзглха^сиза1^н:ь2^ гфeмгри- на еоорные эпох-и 4 свхдчгcа к итерационно ( ртшепию линетризованноа задачи :
-дау— 2+ ^ ^ )—.
Здеаь А — рещcеетечна( матдица рахмертоста т х п (мехт-цг часттых пpг изв)о!1ных), — и Ш - векторы размернос тх и и т соответственно, — - уточняемый вектор состояния НКА, Ш -вектор правых частей (вектор невязок). Задача решается в условиях, когда входные дантые {А, /} шозмущены.
Уточняемый вехх 0р — в к лючает I! себя 1оставаяю щие векто ров с кор 0сти и уско р енийН —А { X, ее, о, х, у, »}, заданты, а СК ПЗ+'.П пх опоре!4!— ипоху Н -и ПДМД НКА —ЛОНА)^—в саставе ау0, Ох1, Ох2, аХ3, аХ4, -пь оп, о^ ^^з• Т7+ , а^, а—, —¡2+, хтз, а24. Пчpгмeтpы —хР аго , «хо, передава-хмыо с борта НКА, предюаанахены для компгнcaxии пoгагншоcви предсахвлед—я компонент ускаоення х, у, о из-иа усечения пяхряднеcти 15 НС ЬЮС, + ХОС( и поэтопу (^ар^)тры аХо. a»з, а20 не требуется вкланчате в состав утотняемпл ае]Еттер>02
Уточнение вектора — проводалохь в два эттпа. На 1-м эт,ше на интервале согласования 0,5 ч [4 -0,25 ч; 4 +—,25 ч] п недол—зoшааием линааризованной математической модели А—1 = Ш были получены оцешки вектора состояния НКА — в составе {х, у, о, х,у, о'} (согласованные ско-ростии ускорения).
Так как излучаемые в составе реального навигационного сообщения эфемериды недостаточно точны, в качестве опорной орбиты НКА были взяты точные эфемериды х(4), у(4), 2(:ь), в расчетах использовали окончательные данные опорных эфемерид НКА с сайта СВОЭВП [2] на фиксированные опорные эпохи 4. Положение НКА на текущий момент времени t на интервале согласования рассчитыв»ви щш помощи интерполяционного многочлена Лагранжа 12-го по-рядка[3].
В общем случае вместо указанных данных могут быть использованы эфемериды НКА, спрогнозирот—нньш в инерциальной системе координат на требуемые моменты времени в полном по—е сил, где ускорение НКА описывают вектором дифференциального уравнения
В2 = Х Еок + + ХМООП у '•.БР^ Cз хftчc + нжр •ввУ, ,
где aEarth 82 уезшрения из-ga oeсфофичности Земли, рассчитываютсо по ^фляжо-иям в ряд по оферичоoeniK фуюкциям яе ниже восьмого порядка и степени включитолани; ю
¿2 _
So 8 Moon
уско -
рен ия от со л нечных и л]нн ых гравитационных возмущений; а^ - ус ко рения от сил рад иац ионного ^;1вло]яия на корпут НКА (промого и отраженного излучения ^олоца); СиТео - ускооюния сз-за влияния лунно-солнечных приливных вариаций гравиоацтюнного поля Земли; Срао -уткср ени с НК А от си л негравитацио онор поирод ы, опроделоемые эмпирически.
В каоесове ночальаогс априоряога зоосенив уточняемого огктора состояния НКА Р( при расчетахна первоя итертцит были принваы оостааляющие воктора скарости и усвотенив НКА а ссст о па коосдю нат (СК) ПЗ-90.11 та о пор ну ю эпоху т ()3), т (С) л К()ь ), рассчитанные сутю помощи интерполяционного многоолеас Лагронжв [3] по значгнияя опосных эфеме-(из ОСК^гЬс ГЛОНАСС SP3 СВОЭВП х(4), н(аъ), и оостааляющив воктора уско(еаий НКА С(Пш),У()ь),л()3) от солнечных и лунных гровитационных возмущенио, рассчитанные по алгоритмам, приведенным в [1] (прил. К, У).
Матрица частных производных А про тоочнении вектора о рассчитана методом конечных триращени3, к - соличество эпох на получасовом интервале, для которых рассчитаны частные произвол ньзе:
(б т1) (б т1) (б т1) бт,) (бт,) (б*,) 26т) 2)8 у) 2)3 л) 205т) 2(8^ 2(бл)
| ТО ( 8 у,) С у,) )бу,) ( буС (бу) О ]='
_ 2(По) 2()y) 2(5 ч) 2(8x) 22()j)) 2(Tz)_
При расчете частных производных пхиращения гачальных условий счорюотей и уткоре( н ий е ^(гошмите-мавематической модели использовали приращения: | Зх\, | еy|, | Hz| в 10'~7 км/с, | Нх|,|8y|,I1-0] ~ 10 6 кмВо1 Каичые три элемента столбца матрицы А на момхнты времени (на-
пример,
(Зк1 ) (Syt) фбя,.)
2( Sф) 2(Зф) 2(бф)
) определяют по результатам интегрирования уравнений движе-
ния НКА на моменты времени t, по алгоритму расчета К.2.1 [1] при возмущении начальных условий соответствующего уточняемого эремента с моложительным и отрицательным приращением (в данном случае при значениях =y(tb) = +10~7 км/с и 8y(tb) = -107 км/с).
Систему условных уравнений Au1 = f на каждой итерации решали с применением классического МНК. Для повышения численной устойчивости решения задачи предварительно было проведено масшт afe ро м ание ст олб цов матрицы^ с о ем, чтобы все елемен=ы матрлцы частных проозвооных A наАОделись в диапазоне: | | < 1 .
Что бы процедура масАоабирования не вносила дополнительные погрешности в исходные данные |A, flj, масштаби =ующий множитель целесообразно брать jавныa 1((-и, где для каждого столбца матрицы А пераметр по ее определяется из условия 10й ~ max \нц |. Оценка числа обусловленности cond0A) = |а|-|аи1||, проведенная с использованием сингулярного разложения по алгоритмам [4, 5], показала, что предлагаемая процедура масштабирования позволяет понизить число обусловленности матрицы условных уравнений A с 360 до 1,3 и повысить чис-
ленную устойчи вое ть данной задачи, а также снизить погрешности определения оцениваемого в0ктора при нахождении решения системы уравнений.
Для решения системы уравнений АгИЫ1 с Ит Л использовали алгоритм экономного пере-счелр нреууотьныи оомножителей метода Холецкого (метод квадратного корня), приведен-уыу в Сс, 6]. Лходимость итерационной последовательности оценки вектора состояния НКА {х(/4), ), з ), xCtоЬ, у^ь), з ^)} зависит от начального априорного значения вектора, однако систему уравнрний требуется решать не более двух-трех раз благодаря быстрой сходимости метудуЛьютона. Критерием сходимости являлись значения поправок к уточняемому вектору {к^), у^ь), з(4), К(4),у^о), 3о)} на текущей итерации, не превышающие по абсолютному значению цену младшего разряда их представления в навигационной цифровой информации, а именно величин ±0,001 мм/с и ±2 • 10-6 мм/с2 по компонентам скорости и ускорений НКА соответственно, а критерием успешного решения задачи считали эквивалентные по то о! нсс ти решения, обеспечивающие расчет положения НКА со среднеквадратическим отклосением (СКО)от опорных эфемерид СВОЭВП на 15-минутном интервале на уровне, втрое меньшум, чем уровень погрешности, заданный в Таблице К.1 [1] для упрощенного алгоритма, т.е. не более 1,6 см.
По согласованной (в части скоростей и ускорений) ЭИ НКА проведен расчет0 пчложьнся НКА на интервале согласования 0,5 ч [4 -0,25 ч; 4 +0,25 ч] и апостериоуная оценка погрешности расчета положения НКА относительно опорных эфемерид SP3 СВОЭВП. Рузультчты оценок приведеныниже.
На 2-м этапе на интервале согласования 4 чата [4; % +4 ч] пыл утоонен веотор н2 в составе {а^!, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, ая, а22, а23, Рг4}. В качестве ничальныхпеловий испольуовали окончасе льныв д а™ ые опорных эфемеуид Iь К А х(4), у(4Д с сойгл СВ О ЭВП нн 1у чаи -ныу огорные эпохи 4 и согласованные лкоpвсти т осктронря нт опорные эпою 4, полуленные ла тертим нта^
В качестве начального априорного значения уточняекого вклтоуа Ы2 иогут быть приняты нулевые значения параметров {аХ1, аХ2,кХ(, аХ4, п71, пГ2,а73, р7], а2Х, а2т, а23, ауЫ или любые зпчления ин диитзона приращений налaуыдых тcдовий,иcпoпьсуеиых пJви расчете матрицы настныз щ> т изводных.
Матрица часкных п)отзводныхА Ы1ри уточнении вектора Ые рассчитана молодом лонечпьых приращений. При расчете частных производных приращеноя начальных условир! для вектора {2^, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а2\, а22, а23, а24} в программно-математической модели ис2 пользооали опачения приращений соопкетсвпедно для \ОлХ11,|)Cí•aI^1_|,)о0о21| ~5 • 1.044 км/с3, для |Олал2|,ДлЛ21,2Длс2 | ~5 • 10-18 км/с4, для Дл^,|ДлЛ3],|ДлС3 | ~5 • 10-22 км/с5, для Дла4|,ДлЛ41,|ДлгЫл —5 • 10-27 км/с6. Приращения могут быть выбраны иными, однако они должны выбираться из диапазона устойчивой области зависимости производных от приращений на одной тестовой эпохе при интегрировании на +4 ч. Здесь k - количество эпох на 4-часовом интервале, для которых рассчитывают частные производные.
Анализ показал, что масштабирование матрицы А позволяет значительно понизить число обусловленности - с 6 • 1013 до 2,5 • 103. Однако для данного состава уточняемых параметров, несмотря на понижение числа обусловленности, матрица системы уравнений все еще является плохо обусловленной и относительная погрешность решения может возрасти примерно в
- ты -
2500 раз по сраоненпю с еогрешностью рапчете правой части при решении сисаемы рравнегий
У Ч = 1 .
По смыслу посчановки задач и все допустимые о>оше ния задачи УЧ = 1 должны являз) ся эквивалентными по иочноиои решшияшо ото7 состомы урав=епий. Тестовые расчето показали, что при использоваеии классическо,о МН 1С оля оценки вектора о в составе {аХЬ аХ2, аХ° аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а-2,, а24} ^шения от итерации к итерации могут существ;нно различаться и зависят от задан от начол ь н ьох априорных оначений уточ няем ого ве ктора Р .
Согласно [7, 8], тонне оадач) сшноситоя к олоону не корректных. В условиях, когда входные данные {А, р} возмущееы, мат=ицп^ яуляетте плехсо обуслооленшоНо для отыскания устойчивых приближений ч э=ементу и, Ч1 = аге пипЦиЦ^ широко применяется метод регуляризации
ч:пч=1
[7,8].Приэтом В = Вт > = ,АТА + В > 0, Цч|г = (Вч,ч)1'2.
Регуляризован но т ре шение системы уравнений пч = 1 находитсякак
ча = агет1п(|пч о/||22 -т^ -ЦчЦ^п,2)).
Элемент иа определяетсяизуравнения
(АТА + аВ)и = Атр,
где а > 0 - параметр регуляризации.
При оценке вектора {аХ1, аХ2, ахг, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} был применен эвристический (прагматический) выбор параметра регуляризации с уменьшением значения параметра регуляризацииотитерации китерациипо принципуневязки.
Априорная В матрица имеет смысл ковариационной матрицы случайных ошибок уточняемого вектора {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} и в начале каждой итерации полагалась диагональной.
Для повышения численной устойчивости процесса при решении уравнений (АтА + аВ)и = Ат р был применен методХолецкого.
Сходимость итерационной последовательности оценки вектора состояния НКА {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} зависит от начального априорного значения вектора, однако систему уравнений требуется решать не более трех-четырех раз. Критерием сходимости являлись значения поправок к уточняемому вектору {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} на текущей итерации, не превышающие по абсолютному значению цену младшего разряда их представления в навигационной цифровой информации, а именно величин: ±5 • 10-17 км/с3 для {аХ1, а71, а21}, ±6 • 10-21 км/с4 для {аХ2, а72, а22}, ±8 • 10-25 км/с5 для {аХ3, а73, а23}, ±2 • 10-29 км/с6 для {аХ4, а74, а24}, а критерием успешного решения задачи считали эквивалентные по точности решения, обеспечивающие расчет положения НКА с СКО от опорных эфемерид СВОЭВП на четырехчасовом интервале на уровне, втрое меньшем, чем уровень погрешности, заданный в Таблице К.1 [1] для долговременного алгоритма, т.е. не более 33,3 см.
По согласованной (в части скоростей и ускорений) ЭИ НКА и с использованием уточненных ПДМД проведен расчет положения НКА на интервале согласования [4; 4 +4 ч] и апосте-
риорная оценка погрешности расчета положения НКА относительно опорных эфемерид SP3 СВОЭВП. Результаты оценок приведены ниже.
Апостериорная оценка погрешноати расчета положения НКА
Предложенные методы определения вектора согласованных эфемерид и ПДМД были протестированы для НКА ОГ ГЛОНАСС для получасовых и четырехчасовых интервалов согласования за даты с 18.12.2016 по 21.12.2016.
На первом этапе были получены оценки скор остей и ускорений НКА на неперекрывающихся получасовых интервалах согласования [?ь -0,25 ч; % +0,25 ч] для опорных эпох ¡ь на 15-ю и 45-ю минуты часа.
Частные производные при оценке вектора {х, у, о, х, у, о} рассчитывали с шагом 5 с. Оценки отклонений положения НКА (евклидово расстояние) по согласованным эфемеридам НКА от опорных эфемерид SP3 СВОЭВП рассчитывали с шагом 1 с.
Среднеквадратические отклонения положений НКА, рассчитанных на интервале [?ь -0,25 ч; tъ +0,25 ч] по согласованной (в части скоростей и ускорений) ЭИ НКА, от опорных эфемерид SP3 СВОЭВП изображены на рис. 1.
По результатам, приведенным на рис. 1, можно видеть, что погрешность расчета положения НКА (СКО) по согласованным в части скоростей и ускорений эфемеридам на 15-минутном
Рис. 1. Погрешности расчета положения НКА (СКО) по согласованной в части скоростей и ускорений ЭИ НКА ОЕ ЕЛОНАСС на интервалах согласования [tb -0,25 ч; tb +0,25 ч]
Fig. 1. GLONASS SV (R01 ... R24) Position accuracy (standard deviations) after forecast in accordance with User Algorithm K.2.1 for Determination of SV Position [1]. Improved Ephemeris data sets F±{tb ), L(tb 0, ¿(tb 0, x(tb 0, L(tb ), '¿(tb)} are produced via a least squares curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris, fitting intervals are [tb -0,25 ч; tb +0,25 ч]). The values of SV Position parameters {x(tb), y(tb), z(tb)} match with SP3SVOEVP ephemeris
Рис. 2. Оценка погрешности расчета положения НКА (невязки) по согласованным эфемеридам для НКА ГЛОНАСС №730, системная точка Е дата 18.12.2016, состав уточняемого вектора
{.Рь), те), К ), .(tb), Ж ), ц(ч)}
Fig. 2. Deviations of the calculated GLONASS SV R0{ P0siti0ns from the exact SP3 SVOEVP ephemeris (December 18, 2016) after forecast on intervals [tb; tb +0,25 ч] in accordance with User Algorithm K.2.1 for Determination of SV Position [1]. Ephemeris data sets f {o(tb),y(tb),z(tb),o(tb),y(tb),z(tb)е are produced via a least squares curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris, the values of SV Position parameters {x(tb), y(tb), z(tb)} matchwith SP3 SVOEVP ephemeris
интервалеот опорной эпохи tb не превысила 1 см, оа исолючением двух реализаций из 3480, которые окстаеипт 1,2е и 1,01 им. Следовательно, согласованная эфемеридная информация НКА ГЛЮНАСР позволин об цспечить т.ебование [1] по т очности р асчета положения НКА с погрешностью не (Голее; 5 см на всей получтст)ом интервнле согласования.
На рис. О природеню результаты оценки поо^шности отклонения положения НКА (не-вpекие пю со глас ованным зфeмepидaм для Н КА ГЛОН АСС СЧЪ730, системная точка 1, дата 1Т( Пе^ЛТ в кнчеатвг аталонных эфемерид испоин30ваны опорные эфемериды SP3 СВОЭВП. Интервалы рончетю кoлрюeниo НКА для каждоР (порно) эпос П) [4 -0,25 ч; tb +0,25 ч], со-eтлдовочняеинго юоктора Сo(tb),y(tb),Ц(НП),o(tb),yeнb),z(tb)}. П,орешнос,ц расчета положения НКА пе согетслванным офемеридам (в части скоростей и ускорений) составила не более 3 см ла ^гинуином интервале от момента tb. Сопоставимые по точности расчета положения НКА Лезультаты пол'члны пи другим НКА ГЛОНАСС.
TncTOTbie раочeлы показали, что если на опорные эпохи tb используются окончательные опорные эфeмпpиучI ,3) (чВОЭВП и скорости, полученные интерполяцией эфемерид SP3 СВОЭВП оа сооевотлттующие опорные эпохи tb, а в состав уточняемого вектора входят только ускорении НКА oo(tb), y(tb), ц(tb), погрешность расчета положения НКА по алгоритму потребителя [1] на 15 минутном интервале в °ольшей пасти реализаций превышает 5 см, т.е. требование [1] по точности расчета положения НКА по согласованной ЭИ не удовлетворяется.
На рис, 0 оаросены реaroi оценки отклонения расчетного положения НКА ГЛОНАСС №730 по согоасовонноц (только в части ускорений) ЭИ, системная точка 1, дата 18.12.2016, в качестве эталонных использованы опорные эфемериды СВОЭВП и компоненты скорости, рассчитанные при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа 12-го порядка. Интервалы расчета положено! НКА для каждой опорной эпохи tb: [tb -0,25 ч; tb +0,25 ч], состав уточняемого вектора {o(tb), y(tb), z(tb)}. Погрешность расчета положения НКА только для двух реализа-
< И
9.0 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0
00 о —
о о
СП Tf
Рис. 3. Оценка погрешности расчета положения НЮ\ по согласованной (только в части ускодений) ЭИ для НКА ГЛОНАСС №730, системная точка 1, дата 418.12.2016, состав уточняемого вектора {В(Тр), y(tp), z(tp)} (координатыискорости НКА на моменты tb аоответствуют апорным эфемеридам SP3)
Fig. 3. Deviations ofthe calculatedGLONASSS VR01 ]Po sitionsfrom theexactSP3 SVOEVPephemeris(December 18, 2016) after forecast on intervals [tb; tb +0,25 д] in accordance with User Algorithm K.2.1 for Determination of SV Position [1]. Ephemeris data sets {8(тр ),у(тр), 8(тр)2 are produced via a least squares curve fit ofthe SP3 SVOEVP ephemeris, the values of SV position & velocity parameters {x(tb), y(tb), z(tb), x(tb),y(tb ),z(tb)} match with SP3SVOEVP ephemeris
ций уточнения из 48 не превысила заданное в [1] требование по точности расчета положения НКА по согласованиоя ЭИ, в большей части реализаций пог^шногвь расчета положения НКА на иитерва^а^^ инсегляровинья дл а мин от опорнся эполв Н составьла ив 6...8 см.
Своим сВраасм, г точки зре 1аия обеспечения треНнавания [Т] по сочносст расчета положения НКА НЛОНАСЫ вариант фозмиаоаания согласовзне1ай ЭИ аа интервале [Л -0,15 ч; Л +0,15 ч], когда в состав уточнаомого вектора ввлючзны как компоненты скорости, так и компоненты усконения НКА, о в нечясввн ноощинат НКА используются опорные эфемериды SP3 на момент 4, предпочтитеннынее.
Оскыаое]нне из состааа уоочнлемвго внкеояа компонент скоpоеаео и замена уточненных комповеят скорости НКА {а(4 ),й(I4), В(Л4 ]Я на ктмпкнонны етв ровтр по доенные интерполи-рованвем опорных эфомевид SP3, приводит к увеличению погрешности расчета положения НКА на интервале [Н- 0,и в ч; tb +0,15 ч] до 1.. .3 раз.
На 2 -м этапе бьши поаучены <ецески позрешности заае воложвния НКА на основе со-гласозаиной ЭИ л yтoчнайныx ПТ)МД для опое^ньк эвои 4 на 15-ю и 45-ю минуты часа на интервалао согласования [4; tъ +4 ч]. Задача решалась итерационным методом Ньютона с использованием устойчивых регуляризирующох алеоритмов по А.Н. Тихонову [7, 8], описанных выше. При оценке вектора {ип, аЭъ ахз, ах4, ап, аГ1, агз, оГ4, а^, а^, £)23, с24} чacчйыe прлияво-дныз лаинсервале оогла,оаан1^-( 4 ч рлссчит з^ало с швгом 60 ,, про внтегрировании уравнений двлжения НК А з^ЛеЖ'С.ССВ использовали долголременнзш алгоритм [)].
Д,ля оценки уятойчивости решения еадачи были поооведены расчеты с различными начальными апраот°ными значениями вектора {агь), ах1, 00хз, ах4, ап, аГ1, а73, а74, аи, аг1, агз, а^} - с нулевым: значенвями и с возмущенными, нтпулевв1ми зяачениями на уровне ~5 • 1040 км^ для |тхг1(0)|, |ть 1(0)|, |та 1(0)|, ~5 • 10и(0 кмЬса для |и^, |ть 1(0)|, |та 1(0)|, ~5 • 10-11 км/с5 для |тп3(0) |,\тг3(0) |, |таз(0) (, ~5 • 10-17 км/с6 для \тх4(0) |, |ть4(0) |, |та4(0)
Расчет отклонений положения НКА, рассчитанной по согласованной ЭИ и ПДМД НКА, от положения НКА, рассчитанного по опорным эфемеридам SP3 СВОЭВП по интерполяционным полиномам Лагранжа, производили с шагом 1 с.
Для оценки эффективности использования метода регуляризации был также реализован вариант определения вектора {а^, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} с использованием классического МНК. При использовании указанного метода при оценке вектора {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, аГ2, аг3, аГ4, а21, а22, а23, а24} для части реализаций возможно получить решения системы уравнений, сопоставимые с теми, которые были получены с применением регуляри-зирующих алгоритмов - погрешность расчета положения НКА на интервале согласования 4 ч может не превышать 0Д0..Д25 м.
Однако процесс решения системы условных уравнений с применением классического МНК, а не регуляризирующих алгоритмов является неустойчивым. Конечные результаты оценки вектора {а^, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} с использованием классического МНК зависят от уровня возмущения начального априорного значения уточняемого вектора, критерий сходимости для прекращения итерационного уточнения вектора ПДМД для части реализаций может быть не выполнен. Тестовые расчеты показали, что погрешность расчета положения НКА на интервале согласования 4 ч относительно опорных эфемерид SP3 СВОЭВП может достигать 25 м и более, если применены ПДМД, уточненные с использованием классического МНК.
Таким образом, в случае применения классического МНК не все реализации уточнения вектора {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, аГ2, аГ3, аГ4, а21, а22, а23, а24} обеспечивают эквивалентные по точности расчеты положения НКА на интервале согласования, а для ряда реализаций уточнения указанного вектора не выполняется требование [1] по точности.
В качестве примера на рис. 4 приведены результаты оценки погрешности расчета положения НКА для варианта применения классического МНК без регуляризации для уточнения вектора {а;л, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} с нулевыми и возмущенными значениями, задаваемыми в качестве начального априорного значения вектора.
Апостериорные оценки погрешности расчета положения НКА показали, что при применении регуляризирующих алгоритмов по А.Н. Тихонову для всех реализаций решения задачи обеспечиваются эквивалентные точности вне зависимости от того, заданы ли начальные априорные значения вектора {а^, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} до начала уточнения нулевыми или возмущенными.
На рис. 5, 6 приведены результаты оценки точности расчета положения НКА по согласованной (в части скоростей и ускорений) ЭИ и ПДМД - соответственно среднеквадратиче-ские отклонения (СКО) и абсолютные отклонения положения НКА ОГ ГЛОНАСС от опорных эфемерид SP3 СВОЭВП (невязки) при расчете положения НКА на интервалах согласования [4; 4 +4 ч] для варианта, в котором для определения вектора {аХ1, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} использованы устойчивые регуляризирующие алгоритмы по А.Н. Тихонову.
Погрешность расчета положения НКА (СКО) в интервалах до 4 ч от опорной эпохи 4 по алгоритмам ИКД по согласованной эфемеридной информации в части параметров {а;п, аХ2, аХ3, аХ4, а71, а72, а73, а74, а21, а22, а23, а24} для рассматриваемого интервала моделирования не превысила 6 см, при этом для более 95 % реализаций обеспечивался расчет положения НКА
- GLO-02_CKO_MHK ПДМД НУ нулевые ■ - GLQ-02 CKO MHK ПДМД НУ ненулевые
а, -—-
< 5 « ^
I s „ о S я
ц в
о о
с ч
Р Q
0,0010 -Т-0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 -0,0002 0,0001 — 0,0000
° £ i*! 2
fi a U с
Рис. 4. Оценка погрешности расчета положения НКА (СКО) на интервалах [tb; tb +4 ч] по согласованной ЭИ для НКА ГЛОНАСС №747, системная точка 2, даты 16.12.2016 - 20.12.2016, состав уточняемого вектора {aX1, aX2, ахъ, rg, ять aY2, oY3, aY4, aZ\, aZ2, aZ3, aZ4}, применен классическийМНК, без регуляризации
Fig. 4. GLONASS SV 5,02 Position accuracy (standard deviations) after forecast on intervals [tb; tb +4 ч] in accordance with User Algorithm K.3.1 for Determination of SV Position [1], December 16 - December 18, 2016. The data sets {x(tb), y(tb), z(tb), x(tb),y(tb), z(tb)} and the Long-term model parameter sets {aX1, aX2, aX3, aX4, aY1, aY2, aY3, aY4, aZ1, aZ2, aZ3, aZ4} for L1OC, L3OC navigation message are produced only via a least squares curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris. Fitting intervals are [tb -0,25 ч; tb +0,25 ч] and [tb; tb +4 ч] respectively for the SV position & velocity parametersetsandtheLong-term model parameter sets
со среднеквадратическим отклонением от опорных эфемерид SP3 СВОЭВГЫ не превышающим 3...5 см.
Все реализации расчета положения НКА по согласованной в части скоростей и ускорений ЭИ и ПДМД {aX\, оХ2, ^хз, &X4, aY1, aY2, aY3, aY4, aZ1, aZ2, aZ3, aZ4}, расскитанных с использованием регуляризирующих алгоритмов по А.Н. Тихонову, эквивалентны по точности и обеспечили расчет положения НКА оа интервалах [tb; tb +4 ч] с погрешностью, не превышающей 0ы2 м.
Исходя ты! выше изложтныогсы ыюкытыо сделать вывод, что вsоxняя гранща требования [1] по погрешности расчета положение НКА по долговременному алготитмо не бооет 1 мна инте(ва-лах расчета положения НКА до +4 ч от опорной эпохи tb обесжечивеытея с запасом.
Заключение
В данной работе представлены способы оценки вектора SP(bb0,H(bb0,K((b0, P((b 0, НЫТь 0, к ЫТы От НКА ГЛОНАСС и вектора параметров долговременной модел о д вижен ио^ НКАГЛОНАСС {aX1, aX2, aX3, aX4, aY1, ar2, ar3, ar4, aZ1, aZ2, aZ3, aZ4}, обеспечивающох расчет параметров движения НКА ГЛОНАСС по алгоритмам [1] с высокой точностью на интеывеалах согласыввания соответственно до ±15 мин и до +4 ч от опорной эпохи tb.
Показано, что параметры движения НКА ГЛОНАСС в состаде опо joh ых э 0с мерид НКА ГЛОНАСС SP3 СВОЭВП x(tb), y(tb0, z(tb0, скоростей и ускорений НКА SP((b О, НЫЧ 0, кЫЧ О, РЫЧ 0, НЫА 0, КЫТь ОТ,
- 799 -
Рис. 5. Оценка погрешности расчета положения НКА (СКО) на интервалах [tb; tb +1 ч] по согласованной ЭИ и ПДМД для НКА ОГ ГЛОНАСС, даты 18.12.2016 - 20.12.2016. ЭИ НКА ОГ ГЛОНАСС согласована в части скоростей и ускорений. Состав уточняемого вектора ПДМД {ал, aX2, aX3, aX1, an, aY2, aY3, aY1, aZ1, aZ2, aZ3, aZ1}, применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову
Fig. 5. GLONASS SVs (R01 ... R21) Position accuracy (standard deviations) after forecast on intervals [tb; tb +1 ч] in accordance with User Algorithm K.3.1 for Determination of SV Position [1], December 16 - December 18, 2016. The Long-term model parameter sets {aX1, aX2, aX3, aX1, aY1, aY2, aY3, aY1, aZi, aZ2, aZ3, aZ1} for L1OC, L3OC navigation message are produced via A. N. Tikhonov regularizing method curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris, fitting intervals are [tb; tb +1 ч]
уточненных на интервале [tb -0,25 ч; tb +0,25 ч], и ПДМД НКА {aXb aX2, aX3, aX1, aY1, aY2, aY3, aY1, aZ1, aZ2, aZ3, aZ1}, уточненных на интервалах [tb; tb +1 ч] с применением регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова, позволяют обеспечить расчет положения НКА по алгоритмам [1] с погрешностью не более единиц дециметров на интервалах согласования до 1 ч - в тестовых расчетах погрешность расчета положения НКА ОГ ГЛОНАСС не превысила 0,2 м.
Оценена эффективность применения регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова по сравнению с результатами, полученными при использовании классического МНК.
Следует отметить, что решения для вектора {aXb aX2, aX3, aX1, aYh aY2, aY3, aY1, aZ1 aZ2, aZ3, aZ1}, полученные с использованием классического МНК, неустойчивы, результаты оценки вышеуказанного вектора существенно зависят от начальных априорных значений уточняемых параметров и не гарантируют точность расчета параметров движения НКА, эквивалентных по точности решениям по регуляризирующему алгоритму. Погрешности расчета положения НКА с ПДМД, уточненными по классическому МНК, относительно эталонных эфемерид SP3 СВОЭВП (евклидово расстояние) на интервалах до +1 ч от опорной эпохи tb для некоторых реализаций уточнения ПДМД могут достигать 20 м ... 25 м.
Представленный выше метод определения ПДМД НКА ГЛОНАСС {aXb aX2, aX3, aX1, aY1, aY2, aY3, aY1, aZ1, aZ2, aZ3, aZ1} с использованием регуляризирующего алгоритма А.Н. Тихонова может быть применен в программном обеспечении генерации навигационной цифровой ин-
Оценка точности прогноза положения НКА ГЛОНАСС на интервале 4 часа по долговременному алгоритму (ПДМД) для одной реализации уточнения эфемерид относительно опорных эфемерид 8РЗ
0,00050 -----------------------------------------
0,00045 --------------------------------------------------
0,00040 ------------------[—]----------------------------
0,00035 --------------------------------------------------
0,00030 ------------------------------------;---- — — -----
0,00025 --------------------------------------------------
0,00020 --------------------------------------------------
0,00015
-R01 -R02 -R03 -R04 -R05 R06 -R07 -R08 -R09 -RIO -R11 -R13 -R14 ■R15 R16 ■R17 -R18 R19 -R20 -R21 -R22 -R23 -R24
Время прогноза от момента tb=00:15:00 МДВ 18.12.2016
Рис. 6. Оценка погрешности расчета положения НКА (невязки) на интервале [tb; tb +4 ч] по согласованной ЭИ и ПДМД для НКА ОГ ГЛОНАСС, дата 18.12.2016, tb 00:15:00 МДВ. ЭИ НКА ОГ ГЛОНАСС согласована в части ккоростей и ускорений. Состав уточняемого вектора ПДМД {aX1, aX2, aX3, aX4, aY1, aY2, aY3, aY4, aZ\, aZ2, aZ3, aZ4}, применен метод регуляризации по А.Н. Тихонову
Fig. 6. Deviaticrns of the calculated GLONASS SV (R01 ... R24) Positions from the exact SP3 SVOEVP pph4meris (Deopmber 18, c01p) after forecast on intervals [tb; tb +4 ч] in accordance with User Algorithm K.3.1 for Determination of SV Position [1]. Ephemeris data sets for L1OC, L3OC navigation message are used: the values of SV Position parameters {x(tb), y(tb), z(tb)} match with SP3 SVOEVP ephemeris; improved data sets fo(tb), y(tb), e(tb), o(tb), y(tb), e(tb )a are produced via a least squares curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris; the Long-term model parameter sets {aX1, aX2, aX3, aX4, aYi, aY2, aY3, aY4, aZ1, aZ2, aZ3, aZ4} are produced via A.N. Tikhonovregularizing method curve fit of the SP3 SVOEVP ephemeris
формации L1OC, L3OC ГЛОНАСС, предназначенной для тестирования навигационных приемников с цел ью оценки погрешности алгоритмов определения местоположения.
Указ анный метод устойчивого определения ПДМД может быть также применен в про-гр амм ном о це спечении НКА «Глонасс-К2» при формировании навигационной цифровой информации 1.10С, L3OC ГЛОНАСС на борту НКА.
Список литературы / References
[ 1] ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ. Общее описание системы с кодов ым вазеелеоием сигналов. Редакция 1.0. Сайт ОАО «Российские космические системы». http://russianspacesystems.ru/wp-content/uploads/2016/08/IKD.-0bshh.-opis.-Red.-1.0-2016.pdf [GLONASS. Interface control document. General Description of Code Division Multiple Access Signal System. Edition 1.0. The website: http://russianspacesystems.ru/wp-content/uploads/2016/08/ ICD-GL0NASS-CDMA-General.-Edition-1.0-2016.pdf], дата обращения: 30.04.2019.
[2] Сайт СВОЭВП. Access: http://glonass-svoevp.ru/index.php?option=com_content&view=art icle&id=55&Itemid=259&lang=ru [The website. Access: http://glonass-svoevp.ru], дата обращения: 15.08.2018.
[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 636 с [Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical methods. Moscow, BINOM. Knowledge laboratory, 2008. 636 р. (in Russian)].
[4] Форсайт Дж.Е., Малькольм М.А., Моулер К.Б. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с. [Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. Computer methods for mathematical computations. Moscow, Mir, 1980. 280 р. (in Russian)].
[5] Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 230 с. [Lawson C.L., Hanson R.J. Solving Least Squares Problems. Moscow, Nauka, 1986, 230 p. (in Russian)].
[6] Берсенев С.М. О пересчете факторизации Холецкого. Журн. вычисл. матем. и матем. физ, 1979, 19, (5), 1318-1319. [Bersenev S.M. Algorithmic variant for Cholesky factorization. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, 19(5), 1318-1319 (in Russian)].
[7] Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, 5(4), 718-722. [Tikhonov A.N. The stability of algorithms for the solution of degenerate systems of linear algebraic equations. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1965, 5(4), 181-188 (in Russian)].
[8] Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 229 с. [Tikhonov A.N., Goncharsky A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Numerical methods for solving ill-posed problems. Moscow, Nauka, 1990, 229 с. (in Russian)].
