CC BY
39
Достоинства решения: проведение комплексной оценки всех возможных отклонений размеров, формы и расположения поверхностей в системе координат, принадлежащей детали; автоматизация управления контроля качества в процессах проектирования производства комплектующих для печатного оборудования и его эксплуатации; прогнозирование подбора компонентов печатной системы и увеличение точности расчета показателей переноса краски.
Список литературы
1. Louhichi B., Tlija M., Benamara A., Tahan A. An algorithm for CAD tolerancing integration: Generation of assembly configurations according to dimensional and geometrical tolerances // Computer-Aided Design. 2015. Vol. 62. P. 259-274.
2. He G., Guo L., Zhang M., Liu P. Evaluation of composite positional error based on superposition and containment model and geometrical approximation algorithm // Measurement. 2016. Vol. 94. P. 441-450.
3. Taguchi G. Quality engineering in Japan // Communications in Statistics Theory Methods. 1985. Vol. 14 (11). P. 2785-2801.
4. Nielsen H. S. The ISO Geometrical Product Specifications Handbook. Find your way in GPS. Denmark: ISO/ Danish Standards. 2012. 378 p.
5. Glukhov V. I. Geometrical Product Specifications: Alternative standardization principles, coordinate systems, models, classification and verification // 2014 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines. DOI: 10.1109/Dynamics.2014.7005655.
6. Glukhov V. I., Zlatkina O. Y., Ivleva I. A. Geometrical product specifications: A structure of linear dimensions tolerances // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering 2016. Vol. 124. P. 1-8. DOI: 10.1088/1757-899X/124/1/012011.
7. ISO 17450-1:2011. Geometrical product specifications (GPS) - General concepts - Part 1: Model for geometrical specification and verification.
8. Варепо Л. Г., Паничкин А. В. Расчет коэффициентов переноса вязкой несжимаемой жидкости на подложку между контактируемыми цилиндрическими поверхностями: программа для ЭВМ. М. : ФИПС, 2016. № 2016617873 от 15.07.2016 .
9. Panichkin A. V., Varepo L. G., Trapeznikova O. V. The numerical calculation of the viscous incompressible fluid transfer between contacting surfaces // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016. Vol. 124. P. 1-6. DOI: 10.1088/1757-899X/124/1/012106.
10. Panichkin A. V., Varepо L. G. Numerical Calculation of Total Radial Forces and Rotary Moments from the Cylinders Surface // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 858. P. 1-7. DOI: 10.1088/17426596/858/1/012025.
11. Varepo L. G., Panichkin A. V., Trapeznikova O. V., Nagornova I. V. Computer visualization of automatized calculation the factors of mass transfer the viscous incompressible liquid with contact width variation // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1050. P. 1-6. DOI: 10.1088/1742-6596/1050/1/012093.
УДК 531.8: 621.865.8
О СПОСОБАХ ЗАДАНИЯ ОРИЕНТАЦИИ РАБОЧЕГО ОРГАНА МАНИПУЛЯТОРА РОБОТА
ABOUT WAYS OF THE TASK OF ORIENTATION OF THE WORKING BODY OF THE ROBOT MANIPULATOR
В. Г. Хомченко
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
V. G. Khomchenko
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. В статье на основе использования матриц поворота 3*3 и одной из систем углов Эйлера предложен подход, расширяющий возможные способы задания ориентации предмета манипулирования, а следовательно, и требуемую ориентацию рабочего органа манипулятора робота при обслуживании им технологического оборудования. Предложен алгоритм выявления полного множества допустимых комбинаций (сочетаний) углов между осями базовой системы координат и системы, связанной с предметом
манипулирования, однозначно задающих требуемую ориентацию рабочего органа манипулятора в выбранном пространстве декартовых координат. Получено 54 способа задания ориентации на основе матриц поворота 3*3 и шесть - на основе углов Эйлера. Данные сочетания задаваемых углов позволяют упростить сопряжение систем координат, связанных с предметом манипулирования и с рабочим органом манипулятора робота.
Ключевые слова: предмет манипулирования, рабочий орган манипулятора робота, ориентация, матрица поворота 3*3, углы Эйлера.
Б01: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-76-81
I. Введение
Промышленные роботы являются одними из основных средств автоматизации при создании роботизированных технологических комплексов в составе гибких производственных систем. При выполнении роботом основных технологических операций или при обслуживании им технологического оборудования рабочий орган манипулятора должен быть ориентирован в соответствии требуемым угловым расположением предмета манипулирования. Система координат, связанная с предметом манипулирования или используемая при описании технологических операций, должна быть соответствующим образом согласована с системой координат рабочего органа манипулятора. Особенно это важно при обслуживании металлорежущего оборудования с числовым программным управлением [1], в котором (в оборудовании) используется достаточно разнообразное расположение систем координат, связанных с инструментом, с обрабатываемой заготовкой, а также с направлением их движений [2].
В робототехнике для задания требуемой ориентации рабочего органа манипулятора в пространстве декартовых координат наиболее часто используются либо наддиагональные элементы (направляющие косинусы) матрицы поворота 3*3, либо система углов Эйлера [3], применяемая в астрономии и включающая в себя углы прецессии, нутации и собственного вращения.
В случае применения наддиагональных элементов в качестве заданных выступают три угла: два угла, фиксирующие положение оси системы координат 0с7схсус, определяющей требуемое угловое положение предмета манипулирования, относительно осей х0 и у0 некоторой базовой или инерциальной системы координат Ос^оХоуо и угол между осями х0 и ус названных систем координат (рис. 1).
Рис. 1. Задание ориентации предмета манипулирования (рабочего органа манипулятора) в инерциальном пространстве углами х0Л7с, у0'л^с и Хэлус
В практике проектирования робототехнических систем в зависимости от постановки технологических задач могут быть заранее известными, а следовательно, и наиболее удобными для задания другие сочетание углов.
К этому необходимо добавить, что простым переобозначением осей координат не всегда можно воспользоваться, поскольку они часто оказываются жестко связанными со звеньями (в том числе и со схватом) робота
или с теми или иными осями элементов обслуживаемого роботом технологического оборудования [1]. Например, при использовании широко известных специальных систем координат Денавита-Хартенберга [4, 5] ось хС системы координат, связанной со схватом, должна быть направлена обязательно перпендикулярно оси z системы координат, расположенной на предыдущем звене манипулятора, которая, в свою очередь, направляется по оси вращения или параллельно направляющей последней кинематической пары в зависимости от ее вида. Предварительный же пересчет заранее известных по технологическому процессу углов ориентации предмета манипулирования с целью получения соответствующих им значений углов в названных общепринятых системах не всегда приемлем из-за неоднозначности тригонометрических функций, и может привести к дополнительным неопределенностям, погрешностям или даже ошибкам в ориентации схвата манипулятора.
II. Постановка задачи
В связи с этим в настоящей статье с целью расширения возможностей разработчиков в части задания требуемого углового положения (ориентации) предмета манипулирования, а следовательно, и схвата робота, ставится задача выявить полное множество допустимых комбинаций (сочетаний) углов между осями принятой базовой системы координат O0z0xoyo и системы 0czcxcyc, однозначно определяющих ориентацию предмета манипулирования в выбранном пространстве декартовых координат.
III. Теория
Чтобы воспользоваться матрицей поворота 3*3 для дальнейших расчетов положения и ориентации рабочего органа манипулятора, в ней из девяти углов должны быть известны три угла. При этом остальные шесть могут быть найдены из системы шести соответствующих уравнений [6]. В этом случае теоретически возможное число сочетаний углов, которые должны быть заданы, рассчитывается как число сочетаний из девяти по три:
C93= 9!(3!(9-3)!)-1= 84.
Однако не все сочетания имеют содержательный смысл с точки зрения задания ориентации и могут быть использованы для этого.
Как отмечалось выше, одним из распространенных способов задания ориентации предмета манипулирования, используемым в робототехнике, является назначение углового положения его осей координат наддиаго-нальными элементами матрицы поворота 3*3. Следует отметить, что такой подход, по нашему мнению, достаточно нагляден и удобен с инженерной точки зрения и может быть обобщен на другие возможные сочетания углов, которые подлежат заданию (должны быть известны).
Обобщение данного подхода на все содержательные случаи задания ориентации предмета манипулирования можно произвести, воспользовавшись следующим алгоритмом:
а) задание ориентации одной из трех осей координат предмета манипулирования относительно двух осей из трех базовой системы координат (фиксация двух ориентирующих степеней свободы предмета манипулирования);
б) задание ориентации одной из двух оставшихся осей координат предмета манипулирования относительно одной из трех осей базовой системы (фиксация оставшейся третьей ориентирующей степени свободы предмета манипулирования).
Как известно, матрица M0c поворота 3*3 имеет следующий вид:
Мое =
С(ХоЛХс) С(ХоЛУс) С(ХоЛ7с) С(уолХс) С(уолУс) С(уол7с) С(7оЛХс) С(7оЛУс) С(7оЛ7с)
где символ С есть тригонометрическая функция «Cosinus»; х0ЛхС, ..., z0Az С - углы между осями x0, yo, z0 базовой системы координат и осями хС, yc, zc координат, связанными с предметом манипулирования (рабочим органом манипулятора).
Выявим возможные варианты задания ориентации схвата в соответствии с принятым выше алгоритмом.
Положение оси хС схвата может быть задано относительно любых двух осей системы координат 00x0y0z0, то есть - комбинацией двух углов из первого столбца матрицы М0С. Следовательно, существует три варианта задания положения оси хС, что можно отразить следующими представлениями матрицы поворота 3*3 (см. ниже первые столбцы формул (1), (2) и (3); в них косинусы углов, подлежащие заданию, выделены полужирным шрифтом и подчеркнуты):
Мое =
С(Х0лХс) С(ХоЛУс) С(Х0Л7С) С(УоЛХс) С(уолус) С(уол7с) ЛХС) С(70ЛУС) С(7ОЛ7С)
С(го-
(1)
М =
С(ХоЛХс) С(Х0ЛУС) С(Х0Л7С)
С(у,
0'ХС) С(уо
ЛУС) С(уо^с)
C(ZoЛXc) С(70ЛУС) С(70Л7С)
(2)
Мое =
С(ХОЛХС) С(Х0ЛУС) С(ХСЛ7С) С(УолХс) С(у0луе) С(уол7е) C(ZoЛXc) С(70ЛУС) С(70Л7С)
(3)
Как отмечалось, такое задание углов лишает систему двух ориентирующих степеней подвижности.
Для полной определенности в ориентации предмета манипулирования теперь достаточно задать положение оси уе или оси 7е относительно любой из трех осей базовой системы координат, воспользовавшись одним из шести углов, значения направляющих косинусов которых расположены во втором и третьем столбцах матрицы Мое (как пример, в матрице (1) в качестве такового угла принят угол хоЛуе; в формуле (1) он выделен полужирным шрифтом и подчеркнут). На рис. 2 представлен вариант задания ориентации предмета манипулирования, соответствующий углам, выделенным в матрице (1).
Рис. 2. Задание ориентации рабочего органа манипулятора углами хоЛхс, уоЛхе и хоЛуе
Следовательно, при использовании оси хс в качестве первоначально заданной имеется 18 вариантов задания ориентации предмета манипулирования: девять при использовании 2-го столбца матриц (1) - (3); девять при использовании 3-го столбца матриц (1) - (3). Проводя аналогичные рассуждения в отношении осей уе и 7е, можно получить еще 36 вариантов задания ориентации предмета манипулирования:
- для первоначального задания положения оси уе следует использовать какое-либо сочетание двух углов, из расположенных во втором столбце матрицы Мое (задание ориентации осей хс или 7е в этом случае производится углами, находящимися в первом и третьем столбцах этой матрицы):
Мпп =
С(ХОЛХС) С(ХоЛуе) С(ХСЛ7С) С(уоЛхс) С(уоЛуе) С^С) С(7оЛХС) С(7оЛуе) С^С)
Мое =
С(ХоЛХс) С(ХоЛус) С(ХоЛ7с) С(уоЛхе) С(уоЛуе) С^С) С(7оЛХС) С^Луе) С(7оЛ7е)
Мое =
С(ХоЛХс) С(ХоЛУс) С(ХоЛ7с) С(уолХс) С(уолус) С(уол7с) С(7оЛХс) С(zолyс) С(7оЛ7с)
- для первоначального задания положения оси 7С следует использовать какое-либо сочетание двух углов, из расположенных в третьем столбце матрицы М0С (задание ориентации осей ус или Хс производится углами, находящимися в первом и втором столбцах данной матрицы):
М0С =
М0С =
М0С =
С(ХоЛХс) С(Холус) С(хо^с)
С(уолХс) С(уолус) С(yолZс)
С(7оЛХс) С(7оЛус) С(7оЛ7с)
С(ХолХс) С(Холус) С(xолZс)
С(уолХс) С(уолус) С(уол7с)
С(7оЛХс) С(7оЛус) С(ZоЛZс)
С(ХоЛХс) С(ХоЛус) С(ХоЛ7с)
С(уолХс) С(уолус) С(уо^с)
С(7оЛХс) С(7оЛус) С(ZоЛZс)
Таким образом, при принятом подходе содержательными вариантами задания ориентации предмета манипулирования являются 54 варианта из 84-х возможных их комбинаций.
Другим распространенным методом задания ориентации рабочего органа манипулятора является использование углов Эйлера [2] (рис. 3). Обобщим метод Эйлера на другие возможные варианты задания ориентации рабочего органа манипулятора.
Рис. 3. Задание ориентации предмета манипулирования углами Эйлера
Как известно, задание ориентации предмета манипулирования по методу Эйлера предусматривает последовательный поворот предмета манипулирования на следующие три угла (рис. 3):
- поворот на угол прецессии ХоЛХс вокруг оси 7о;
- поворот на угол нутации вокруг повернутой оси ХС;
- поворот на угол собственного вращения ХсЛхСС вокруг повернутой оси 7С.
Подобные эволюции можно выполнить, оперируя другими осями координат. Поворот на угол прецессии можно совершать помимо оси 7о, также вокруг осей хо и уо, а углы нутации и собственного вращения - поочередно вокруг двух других осей подобно тому, как это принято в исходном варианте. В результате дополнительно к основному способу задания ориентации предмета манипулирования можно получить еще пять возможных способов.
Укажем все шесть возможных способов задания ориентации предмета манипулирования, получаемые на основе методики Эйлера.
Вариант 1(основной): данный вариант описан выше и представлен на рис. 1.
Вариант 2:
- поворот на угол прецессии х^хс вокруг оси 7о;
- поворот на угол нутации вокруг повернутой оси ус;
- поворот на угол собственного вращения уСЛуСС вокруг повернутой оси 7С.
Вариант 3:
- поворот на угол прецессии 70л7С вокруг оси у0;
- поворот на угол нутации усЛуе вокруг повернутой оси 7е;
- поворот на угол собственного вращения zCЛzCC вокруг повернутой оси уе.
Вариант 4:
- поворот на угол прецессии zоЛzC вокруг оси у0;
- поворот на угол нутации уоЛуе вокруг повернутой оси хе;
- поворот на угол собственного вращения хсЛхее вокруг повернутой оси уе.
Вариант 5:
- поворот на угол прецессии уоЛуе вокруг оси Хо;
- поворот на угол нутации хоЛхе вокруг повернутой оси уе;
- поворот на угол собственного вращения уеЛуее вокруг повернутой оси хе.
Вариант 6:
- поворот на угол прецессии уоЛуе вокруг оси хо;
- поворот на угол нутации хоЛхе вокруг повернутой оси zC;
- поворот на угол собственного вращения zCЛzCC вокруг повернутой оси хе.
В качестве примера использования предложенного подхода можно привести системы координат, представленные на рис. 1 и 2 и иллюстрирующие возможность задания ориентации предмета манипулирования при любом произвольном наиболее удобном с технологической точки зрения расположении относительно него системы координат 0^схеуе.
IV. результаты
Предложен алгоритм, позволивший выявить все возможные комбинации способов задания требуемой в соответствии с технологическим процессом ориентации предмета манипулирования, а следовательно, и рабочего органа манипулятора робота при реализации им соответствующих перемещений, а именно: 54 - на основе использования направляющих косинусов матрицы поворота 3*3 и шесть - на основе методики Эйлера.
V. Обсуждение результатов
В предлагаемой работе с использованием предложенного подхода к анализу сочетаний направляющих косинусов матрицы поворота и возможных последовательностей поворота координат, аналогичных углам Эйлера, удалось выделить из всех теоретически возможных сочетаний содержательные сочетания направляющих косинусов и полное множество сочетаний углов, подобных углам Эйлера.
VI. Выводы и заключение
Предложенные в данной статье способы задания ориентации предмета манипулирования позволяют расширить область применения промышленных роботов при обслуживании ими технологического оборудования, а также упростить сопряжение их (роботов) систем координат с системами координат этого оборудования, что особенно важно при планировании движений рабочего органа манипулятора робота в рабочей зоне станков с числовым программным управлением при автоматизации их загрузки и разгрузки.
Список литературы
1. Камышный Н. И. Автоматизация загрузки станков. М.: Машиностроение, 1977. 288 с.
2. ГОСТ 23597-79. Станки металлорежущие с числовым программным управлением. Обозначение осей систем координат и направлений движений. Общие положения. Введ. 1980-07-01. - М.: Изд-во стандартов, 1980. 14 с.
3. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Основы управления манипуляционными роботами: учеб. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н, Э. Баумана, 2004. 480 с.
4. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989. 624 с.
5. Шахинпур М. Курс робототехники. М.: Мир, 1990. 527 с.
6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: АСТ: Астрель, 2006. 991 с.
