CC BY
21УДК 004.021: 004.312.4: 004.421.6: 004.414.2
О СПОСОБАХ ПОСТРОЕНИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОМПОНЕНТНОЙ СЕТИ ПЕТРИ С ИНГИБИТОРНЫМИ ДУГАМИ ДЛЯ АНАЛИЗА ЕЕ ИСХОДНОЙ ДЕТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ПЕТРИ
© Е. А. Лукьянова
Киевский национальный университет им. Т. Г. Шевченко,
г. Киев e-mail: lukyanovaea@mail.ru
Abstract. The algorithm of creation of a component Petri net with ingibitor arcs (CNj-nets) is resulted. Possible methods of creation CNj-nets are considered on examples. An established fact of usage of the component analysis of CNj-nets for research of properties of detailed model of researched system.
Введение
Исследование процессов и систем любой сложности эффективно проводить путем построения и изучения свойств их моделей. С самого начала для выполнения такого подхода необходимо построить качественную модель исследуемой системы. Такой моделью может быть избрана компонентная модель Петри (CN^еть) [1], [2], являющаяся оптимальным расширением сетей Петри для построения моделей систем с параллелизмом, характеризующихся большим количеством взаимодействующих процессов и их значительной размерностью. Построение компонентной сети Петри позволяет перейти от исходной детальной модели к упрощенному описанию, гарантирующему надёжность выводов о свойствах детальной модели исследуемой системы [3] и получить важную информацию о структуре и динамическом поведении моделируемой системы.
Применение ингибиторных дуг при моделировании систем сетями Петри, предложенное в [4, 5] и рассмотренное в [6], позволило отмечать срабатыванием перехода факт изменения разметки с ненулевой на нулевую, что обеспечило возможность проверки места сети на отсутствие фишки. Такие сети называются ингибиторны-ми сетями. Ингибиторная сеть представляет собой сеть Петри, дополненную специальной функцией инцидентности Fj : P х T ^{0,1}, которая вводит ингибиторные дуги для тех пар (p,t), для которых Fj(p,t) = 1. Переход t ингибиторной сети может сработать, если каждое его входное место p, соединённое с t дугой кратности W(p,t), содержит не менее W(p,t) фишек, а каждое входное место, соединённое с t ингибиторной дугой, имеет нулевую разметку.
Использование ингибиторных дуг при построении СЫ-модели может значительно сократить размеры модели системы за счёт использования самой ингибиторной дуги, как дуги-условия, и получения дополнительной возможности выделения составных компонент в СЫ-сети.
Целью данной работы является обоснование использования ингибиторных дуг при моделировании распределённых параллельных систем СЫ-сетями, описание этапов построения компонентной сети Петри с ингибиторными дугами, демонстрация на простых, но содержательных моделях, возможных способов построения компонентной сети Петри с ингибиторными дугами. Формулировка условий проверки свойств детальной модели Петри с помощью её более компактной модели — компонентной сети Петри с ингибиторными дугами (СЫ/-сети).
1. ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПОНЕНТНОЙ СЕТИ ПЕТРИ С
ИНГИБИТОРНЫМИ ДУГАМИ
Компонентная сеть Петри с ингибиторными дугами (СЫ/-сеть) — ориентированный граф, описываемый множеством:
СЫ/ = (Р, Т, Р, Р/, Ш, Ш/, Мо),
где Р — конечное множество мест, Т — конечное множество переходов, понимаемые в терминах компонентных сетей Петри (Р = Р\ У Р2, Т = Т\ У Т2, где Р\ и Т\ соответственно конечные множества компонент-мест и компонент-переходов, Р2 и Т2 — соответственно конечные множества мест и переходов, понимаемые в обычном смысле мест и переходов сетей Петри, оставшиеся после выделения компонент-мест и компонент-переходов, Р С Р х Т У Т хР — отношение инцидентности между местами и переходами, Р/ = Р х Т — отношение инцидентности между местами и переходами (множество дуг вида (pí,tj)), которые являются ингибиторными, Ш : Р ^ Ы \ {0}, Ш/ : Р/ ^ 1 — функции кратности дуг, М0 — начальная разметка сети.
На основе отношений инцидентности Р и Р/, функций кратности дуг Ш и Ш/, для СЫ/-сети введём функцию инцидентности I : (Р х Т) и (Т х Р) ^ Ы, которую определим следующим образом:
{п, если (ж, у) € Р Л Ш(ж, у) = п;
0, если (ж, у) € Р/,ж € Р,у € Т Л Ш/(ж, у) = 1;
0, если (ж,у)€Р, (ж,у)€Р/.
Функция I(р^,^-) при наличии ингибиторной связи принимает значение 0, т.к. в этом случае срабатывание перехода происходит без движения фишек.
Рис. 1. Детальная модель Петри, моделирующая задачу о пяти философах
Введение функции инцидентности позволяет задать СN1 -сеть с помощью её матрицы инцидентности А = (а^), целочисленные значения а^ которой фиксируют изменения в CNJ-сети и вычисляются равенством: а^ = I(tj,'Рг) — I(pi,tj). При этом уравнение А • х = d, где d = М^ — М0, М0, М^ — соответственно начальная и конечная разметки CNI-сети, обеспечивает структурный анализ CNI-сети [7].
2. Алгоритм ПОСТРОЕНИЯ С^-СЕТИ
Возможны следующие способы построения CNI-сети: 1) от детальной (подробной) ингибиторной сети путем выделения составных компонент перейти к CNJ-сети; 2) от детальной (подробной) модели перейти к CNI-сети через построение CN-сети.
Эффективность применения нужного способа построения CNI-сети зависит от моделируемой задачи. Поэтому выбор способа построения CNI-сети осуществляется ещё на этапе проектирования детальной модели. Проектируемая детальная модель исследуется на возможность использования условия проверки на 0 и выделения составных компонент (компонент-мест Ср и компонент-переходов С^). Если оба условия в указанном порядке выполнимы и построение ингибиторной сети Петри значительно улучшает детальную модель (уменьшает её размеры), позволяя затем выделять
Рис. 2. Ингибиторная сеть Петри, моделирующая задачу о пяти философах
составные компоненты, то применим первый способ. Этот подход хорошо иллюстрируется на моделях задачи о пяти философах (Рис. 1, 2, 3).
Если выполнение условий в любом порядке не влияет на эффективность построения модели, то применим второй способ построения СЫ/-сети, который позволяет дополнительно получить переходную модель (СЫ-сеть) исследуемой системы. В этом случае построение СЫ/-сети сопровождается небольшой перестройкой СЫ-сети, не меняющей организацию модели, например, использование механизма семафора или добавление некоторых уточняющих участков в сети, позволяющих применить инги-биторные дуги и выделить либо дополнительные составные компоненты, либо укрупнить уже имеющиеся составные компоненты за счет дополнительного вовлечения в компоненты мест и переходов сети.
Построение СЫ/-модели согласно первому способу реализуем на модели задачи о пяти философах, размышляющих в саду и утоляющих голод в столовой за круглым столом с пятью местами и с пятью вилками, при условии, что кушать философ может имея обязательно две вилки: в левой и в правой руке. Эта задача представляет собой систему параллельных, взаимодействующих и конкурирующих за доступ к общим неразделяемым ресурсам процессов. На Рис. 2 представлена модель задачи о пяти
Рис. 3. С N1-модель с составными компонентами Р* и Т**, показанными соответственно на Рис. 4, 5
Рис. 4. CNI-модель с составными компонентами Р* и Т**, показанными соответственно на Рис. 4, 5
Рис. 5. Компонента-переход Т** в С^ модели задачи о пяти философах с Рис. 3
философах в виде ингибиторной сети Петри. В этой сети условием проверки на 0 является условие взятия вилки левым соседом.
В полученной ингибиторной сети возможно выделение следующих составных компонент: пяти одинаковых компонент-мест Р*, представленных на Рис. 4 и пяти
Рис. 6. СЫ/-модель задачи о пяти философах с компонентами-переходами ¿* и ¿**(, показанными соответственно на Рис. 7, 8
Рис. 7. Компонента-переход ¿* в СЫ/ модели задачи о пяти философах с Рис. 6.
Рис. 8. Компонента-переход в СЫ/ модели задачи о пяти философах с Рис. 6.
одинаковых компонент-переходов Т**, представленных на Рис. 5. Выделяя указанные компоненты в ингибиторной сети (Рис. 2) легко перейти к СЫ/-модели задачи о пяти философах, которая показана на Рис. 3.
В рассматриваемой ингибиторной сети (Рис. 2) возможно выделение других составных компонент — пяти компонент-переходов ¿* и пяти компонент-переходов ¿**, показанных соответственно на Рис. 7, 8. При выделении компонент-переходов ¿* и ингибиторная сеть (Рис. 2) представляется СЫ/-сетью, показанной на Рис. 6.
Рис. 9. СИ-модель ЖДС
Рис. 10. СИ/-модель ЖДС
Рис. 11. Компонента-переход Т* в СИ-модели ЖДС
Рис. 12. Компонента-место Р* в СИ/-модели ЖДС
Второй способ конструирования С И/-сети продемонстрируем при построении модели тупиковой железнодорожной станции (ЖДС) с двумя входными колеями и пятью внутренними путями. На рис. 9 показана СИ-модель рассматриваемой ЖДС, в которой места р\, р8 — условия наличия поездов для входа и выхода со станции, места рю, Ри — условия обеспечивающие исключение конкуренции для поездов на входе и выходе со станции, переходы ^ и ¿8 (¿2 и ¿д) — события, отражающие вход и выход поездов со станции по одной из колей. Рассматриваемая СИ-модель получена из соответствующей модели Петри выделением пяти одинаковых компонент-переходов Т* (Рис. 11). Компонента Т* моделирует процесс прибытия и отправления поезда с ¿-го пути станции и вместе с местом рг (г = 3 — 7) реализует в модели параллельные процессы системы — функционирование одной колеи ЖДС.
В представленной СИ-модели ЖДС использование ингибиторных дуг возможно. Пусть ингибиторная дуга — дуга-условие обеспечивает условие приоритета на
выход поезда со станции (переходы ^ и ¿2 сработают при условии отсутствия фишек (поездов) в месте р8), а значит не позволяет зайти на тупиковую станцию поездам пока есть хотя бы один поезд на выход. Тогда участок СЫ-модели ЖДС, показанный на Рис. 12, представится компонентой-местом Р**, а условия, определяемые в сети местами р10 и ри, обеспечатся применением соответствующих ингибиторных дуг. Тем самым переход от СЫ-модели ЖДС к СЫ}-модели ЖДС (Рис. 10) будет осуществлён.
3. Использование СЫ/-модели для анализа исходной детальной модели Петри
Основные характеристики, устанавливаемые для исследуемой системы, отражаются структурными свойствами её модели Петри. Это живость, достижимость, ограниченность, непротиворечивость, повторяемость, консервативность. Так, для инги-биторной сети Петри, компонентная сеть которой СЫ/-сеть, задача, установления структурных свойств, решается согласно подходу, предложенному в [1, 3] и имеет место утверждение.
Утверждение. Наличие у ингибитормой сети Петри структурных свойств можно определить ограничившись только компонентным анализом её СЫ/-сети.
Доказательство данного утверждения основано на правилах и теоремах [1], [3], устанавливающих структурные свойства детальной модели с помощью анализа компонентной сети Петри и её Ср и С4 компонент. Тогда, инвариантность СЫ/-сети, при соблюдении условия живости для С компонент и совместности систем линейных неоднородных диофантовых уравнений отвечающих Ср компонентам, есть достаточное условие инвариантности исходной ингибиторной сети Петри.
Более того, введение ингибиторных дуг, являющихся дугами-условиями, в модель системы (если это в модели возможно), не нарушает динамику модели, не изменяет параллельных последовательностей выполнений и вычислений, а представляет конструктивное улучшение сети. Так, используя фундаментальное уравнение сети [8] и технику Тб'б'-алгоритма [9, 10], для моделей задачи о пяти философах (Рис. 1, Рис. 2, Рис. 3) найдём инварианты, соответствующие числу срабатывания переходов сети Петри, сохраняющих разметку. Это Т-инварианты. По Т-инвариантам устанавливаются такие структурные свойства сети, как, например, непротиворечивость, повторяемость, живость. Количество Т-инвариантов для всех рассматриваемых моделей задачи о пяти философах равно пяти.
Таким образом, использование ингибиторных дуг позволяет получить более наглядные и компактные модели: ингибиторную сеть Петри для исходной детальной
модели или CNj-сеть для CN-сети, которые являются адекватными моделями исходной исследуемой системы. Имеет место теорема.
Теорема 1. Сеть Петри, являющаяся детальной моделью параллельной распределённой системы, инвариантна, если для её CNi-модели выполняются следующие условия: CNi-модель инвариантна, Ct компоненты живы, а системы линейных неоднородных диофантовых уравнений, отвечающие Cp компонентам совместны.
Выводы
При анализе модели, основанного на матричных методах, использующих фундаментальное уравнение сети Петри, решение которого даёт сетевые инварианты, являющиеся мощным инструментом исследования структурных свойств сетей Петри, приходится сталкиваться со сложностью решения фундаментального уравнения. Сложность, которого в общем случае экспоненциальна. Это делает анализ модели практически неосуществимым.
Применение ингибиторных дуг в моделях систем с параллелизмом явилось эффективным инструментом, позволяющим получить модели меньших размеров, в результате возможного многократного использования ингибиторных дуг, обусловленного параллельностью протекающих в таких системах процессов. Поэтому, применение CNi-сети в качестве модели системы позволяет значительно сократить модель системы, во-первых, за счёт использования ингибиторных дуг, во-вторых, в результате выделения составных компонент, которые в свою очередь могут быть дополнительно выделены или укрупнены благодаря применению ингибиторных дуг. При этом компонентный анализ CNi-сети даёт достаточное условие для установления инвариантности исходной детальной модели, а предложенный алгоритм построения CNi-сети предоставляет возможность построить CNi-сеть для любой параллельной распределённой системы, если условие проверки на ноль для её возможно.
Список литературы
1. Лукьянова Е. А. О компонентном анализе параллельных распределённых систем / Е. А. Лукьянова // ТВИМ, - 2011. - № 2. - С. 71-81.
2. Лукьянова Е. А. О структурных элементах компонентной сети Петри / Е. А. Лукьянова // Про-блеми програмування, — 2012. — №2-3. — С. 25-32.
3. Лукьянова Е. А. Исследование однотипных структурных элементов CN-сети в процессе компонентного моделирования и анализа сложной системы с параллелизмом / Е. А. Лукьянова, А. В. Дереза // Кибернетика и системный анализ, 2012. — №6. — С. 20-29.
4. Agerwala T. A complete model for representing the coordination of asynchronous processes / T. Agerwala // In: Hopkins Computer Research. Report 32. Baltimore, — 1974.
5. Agerwala T. Comments on capabilities, limitations and "correctness" of Petri nets / T. Agerwala, M. Flynn // In: Proc. Of First Annual Symposium on Computer Architecture. New York. — 1973. — P. 81-86.
6. Котов В.Е. Сети Петри / В. Е. Котов. — М.: Наука, 1984.
7. Лук'янова О. О. Про прискорення обчислень знаходження структурних iHBapiaHriB при компонентному аналiзу CNj-мереж / О. О. Лук'янова // Вшник Кшвського нацюнального ушверси-тету iменi Тараса Шевченка. — 2012. — №2. — С. 155-160.
8. Мурата Т. Сети Петри: Свойства, анализ, приложения / Т. Мурата // ТИИЭР. — 1989. — т.77, №4. — С. 41-85.
9. Крывый С. Л. О некоторых методах решения и критериях совместности линейных диофантовых уравнений в области натуральных чисел / С. Л. Крывый // Кибернетика и системный анализ. — 1999. — №4. — С. 12-36.
10. Крывый С. Л. Алгоритмы решения систем линейных диофантовых уравнений в целочисленных областях / С. Л. Крывый // Кибернетика и системный анализ. — 2006. — №2. — С. 3-17.
Статья поступила в редакцию 01.12.2012
