О спектральной задаче и положительных решениях функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Kunakovskaya O.V. EXISTENCE THEOREMS IN THE PROBLEM OF GENERALIZED EIGENVECTOR OF A PAIR OF NONLINEAR OPERATORS

The construction of topological indices of a pair (Fi,F2) of nonlinear operators in a Banach space is proposed. Properties of the indices are described. Variants of existence theorems for the problem F2(x) = = AFi (x) of generalized eigenvectors of pair of operators are given.

Key words: nonlinear operators; topological indices.

УДК 517.929

ON SPECTRAL PROBLEM AND POSITIVE SOLUTIONS OF A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

© S.M. Labovskiy

Key words: spectral problem; functional differential equation; quadratic functional.

For the singular functional differential operator

— (pu')' + piu — j(u(s) — u(x))dsr(x, s) — j u(s)dsq(x, s)

I I

spectral properties, positive definiteness of corresponding quadratic functional and positiveness of a Green function are considered.

Consider the forms

[u,v]= ku(l)v(l) + J (pu'v' + piuv) dx + 1 J (u(s) — u(x))(v(s) — v(x)) d£,

I I xI

and

M=luv]-!u(sHx> d*'

Ix I

x £ I = (0, l] , functional differential equation

pLu = —(pu1 У + p\u — J(u(s) — u(x))dsr(x, s) — J u(s)dsq(x, s) = pf, (1)

II

and the Sturm-Liouville boundary conditions

pu’v\x=0 = 0(Vv £ W), ku(l) + pu1 \x=l = 0 (2)

( W is a set, see below). It is assumed that k ^ 0 , the function p is a positive almost everywhere

on [0, l] , and 1/p is locally on (0, l] integrable, pi is nonnegative and locally on (0, l] integrable,

and

l s

ds

p(s)

0 0

Ip(x) dx<

2567

The functions £(x,y) =f r(s,y)ds are assumed to be symmetrical, £(x,y) = £(y,x), ^(x,y) =

X

= ^(y, x). The function r(x, y) is locally on (0, l] integrable for any y € (0, l] , and for almost all x does not decrease in y. Assume that r(x, l) — r(x, 0) is finite for almost all x . The function

q(x, y) is measurable in x for any y € (0, l] , for almost all x has bounded variation in y , and

this variation is locally on (0, l] integrable.

Let L2(I,p) be the space of square integrable on I with weight p functions.

Definition. W is the space of all locally on (0, l] absolutely continuous functions u, satisfying [u,u] < to ; if k = 0 , the function u is assumed to satisfy the boundary condition u(l) = 0 .

W is Hilbert space with the inner product [u, v] .

Suppose

i i

dx q(x, s)2

1 1 ds < oo

and

p(x) p(s)

00

l

dx <oo.

p(x)

0

Theoreml. The problem (1), (2) is Fredholm one.

Theorem 2. The spectral problem Lu = Au with conditions (2) has a complete in W system of orthogonal eigenfunctions, associated with eigenvalues A0 <Ai ^ ...

Suppose that ^ is positive measure (q(x,s) is non-decreasing in s ). Then Theorem 3. The following assertions are equivalent:

1. the quadratic functional {u,u} is positive definite,

2. the problem (1) is uniquely resolvable, and its Green function is positive in the square (0,l) x (0,l) ,

3. the inequality Lv = ^ ^ 0 , 0 , has positive in (0,l) solution,

4. the smallest eigenvalue of the problem Lu = Au is positive.

In the case of boundary condition u(l) =0 we have one more variant:

5. the problem

—(pu')+ piu — / (u(s) — u(x))dsr(x, s) — u(s)dsq(x, s) = 0,

J J(0,v]

(0,v]

pu'v\x=0 = 0(yv £ Wv), u(v) = 0

for any v £ (0, l] does not have nonzero solutions.

Remark. The equivalence of the first, forth and fifth assertions is valid without condition of positivity of ф .

Лабовский С.М. О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

2568

Для функционально-дифференциального оператора

-(,>иУ + ,„и - /(иМ - ФМ.Ф, - /ф),>,ф:, >)

I I

рассмотрены вопросы спектральных свойств, положительной определенности соответствующего квадратичного функционала, положительности функции Грина.

Ключевые слова: спектральная задача; функционально-дифференциальное уравнение; квадратичный функционал.

УДК 517.929, 517.93.935

ОБ ОДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ

С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© А.С. Ларионов, И.А. Никишина

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; краевая задача; разрешимость; математическая модель.

Рассматриваются краевые задачи для нелинейного функциональнодифференциального уравнения первого порядка. Получены достаточные условия разрешимости этих задач. Результаты применяются для исследования задач экономической динамики.

Пусть D = D[a,b] — банахово пространство абсолютно непрерывных функций x: [a,b] ^ R; Lp = Lp[a,b] — банахово пространство суммируемых со степенью p, 1 ^p< ж

функций z: [a,b] ^ R; L^ = L^[a,b] — банахово пространство измеримых и ограничен-

ных в существенном функций z: [a, b] ^ R. Предполагается, что во всех пространствах естественным образом введена полуупорядоченность.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение

(Lx)(t) = x(t) + a(t)xh(t) = f (t,xg(t)), t £ [a, b], (1)

где

(t) = ( ^(t)}, если r(t) £ [a, b],

У 1 0 , если r(t) £ [a, b]

в следующих предположениях: a £ Lp; h,g — измеримые функции, h(t) ^ t, g(t) ^ t при почти всех t £ [a,b]; функция f удовлетворяет условиям Каратеодори и, кроме того, для любого y ^ 0 существует функция bj £ Lp такая, что

sup \f (t, u) | ^ bj (t).

\u\^j

Пусть [v,z] —некоторый конусный отрезок в пространстве L^-

Будем говорить (см., например, [1]), что функция f удовлетворяет условию Li[v,z](KL2[v,z\), где v(t)= vg(t), v(t) = zg(t), если существует такая функция ri(t^r2(t)),

2569