CC BY
8
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки
Том 23, № 122
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-154-157 УДК 517.929.7
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЧЕТНОГО ПОРЯДКА
«с М. Ж. Алвеш1), С.М. Лабовский2'
1"1 Университет им. Эдуардо Мондлане СР 257. Мозамбик, г. Мапуто, Площадь 25 июня, 257 Е-та11: mjalves.moz@gmail.com 2- ФГБОУ ВО «Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова» 117997, Российская Федерация, г. Москва, Стремянный пер., 36 Е-та11: labovski@gmail.com
Аннотация. Получены условия базисности системы собственных функций для функционально-дифференциального оператора четного порядка при специальных краевых условиях. Установлена эквивалентность ряда классических утверждений, в том числе утверждения типа В ал л е-Пуссен а, а также положительности соответствующего квадратичного функционала.
Ключевые слова: квадратичный функционал; теорема Балле-Пуссена; функционально-дифференциальный оператор; спектр
1. Задача и обозначения
Рассматривается задача { и = / при краевых условиях
и(к)(0)=0, к=0,...,т 1, (1)
и{к\1) = 0, к = т,... ,2т 1, (2)
где функционально-дифференциальный оператор ( определяется равенством
г
{и{х) := ( 1)ти(2т) и(з)г(х,с1з), х /1 :=[0,1\, (3)
о
(т^Т), / / £2(0, Г), ¿2(0, I) - множество функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу на [0, /].
Задача является частным случаем задачи, рассмотренной в |1|. Она может быть получена вариационным способом из квадратичного функционала )и, и , билинейный функционал определяется равенством
/
)и,у := и(тМт) Ах (4)
0 1x1
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЧЕТНОГО
155
Интеграл в (3) - интеграл Стилтьеса, вместо г (ж, ¿в) может быть написано (¡яг(х, з). Функция г (ж, >} может рассматриваться как обычная неубывающая или же как мера. Отметим, что в частном случае (дискретная мера) получим уравнение с отклоняющимся аргументом, если
/ оо
и(з)г(а:,¿з) = [ р4(а;)и(й$(а;)).
о У ,
Предполагаем, что г (ж, Я при почти всех х / I не убывает на для любого в / I функция г{ хз) интегрируема по Лебегу, у) = у) ск определяет симметрич-
ную меру на I ОI (т- е. £(е Од) = О) )■ '
Другие обозначения:
= \¥к {к —>0) - множество функций и, имеющих абсолютно непрерывную на [0,1] производную г/,'0' = и. Форму )щ V рассматриваем в множестве функций
из для которых ^^ ц(™) ^ с1х < е .
= И'0 - множество функций из Цгт~1} удовлетворяющих краевому условию (1), а также условию [и, и] < е , где
г
[и,у\ := и(т)и{т)дх. о
И'0 является гильбертовым пространством относительно [и, г;].
2. Результаты
Теорема 1. Спектральная задача {и = Хи при краевых условиях (1), (2) имеет полную и ортогональную в И'о и в ¿2(0,/) систему собственных функций {ии = X к = 0,1,2,..., Ао > А1 > хх<, А& оо е . Для А, отличного от собственных значений, краевая задача (и Хи = / имеет единственное решение при любой / / Ь2(0,1).
Определим «урезанный» оператор { ¡, равенством
г
{„и :=( 1 )т«(2га) и(з)г(х,сЬ), х / [и,1\, (5)
V
и краевое условие
и(Ч(®-) = 0, к = 0,...,т 1. (6)
Решение задачи ( 1)тогА(2т) = (1),(2), удовлетворяет при г условиям
-^0(£=0,...,т 1), ( 1)*-гаи(*> -^0 (к = т,...,2т 1). (7)
Следующее утверждение обобщает некоторые результаты из [2].
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:
1. Квадратичный функционал )и, и положителен в множестве \¥0.
2. При любом и / [0. /) «урезанная» краевая задача { ии = 0, (6),(2), имеет только нулевое решение.
156
M. Ж. Алвеш, С. M. Лабовский
3. Наименьшее собственное число Л0 спектральной задачи {и = \и при краевых условиях (1),(2) положительно.
4. Краевая задача { и = /, (1),(2), однозначно разрешима, и ее решение положительно при любой неотрицательной ненулевой f.
5. Существует v / \У2т~г, удовлетворяющая (7), дающая неотрицательную невязку { V = ф О, и удовлетворяющая условию и^2т~г\1) £ 0.
Утверждение о существовании неотрицательной функции v, дающей неотрицательную невязку составляет содержание так называемой теоремы Валле-Пуссена [3] о дифференциальном неравенстве. В данном случае - это частный случай теоремы, полученной в [1]. Использование конкретных пробных функций v позволяет получать эффективные оценки-условия положительности функционала (положительности первого собственного числа). Например, полагая v(x) = (ж + e)m-a5 (е > 0), получим следующее достаточное условие положительности первого собственного числа:
\s + sr-°4sr(x,s) > ((2m9J)!!)2(^ + ^)-m-°-5-о z
В частном случае, когда *^u(s)dsr(x: s) = p(x)u(x), получим оценку
(2m l)!!)2
которая при т= 1 совпадает с известной оценкой р(х) > 1/(4(ж + t)2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лабовский С.М. О положительных решениях линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 4. С. 578-584.
2. Labovskiy S. On spectral problem and positive solutions of a linear singular functional-differential equation // Functional Differential Equations. 2013. Vol. 20. № 3-4. P. 179-200.
3. Ch. J. de la Vallée-Poussin. Sur l'équation différentielle lineare du second ordre // J. Math. Pures et Appl. 1929. Vol. 9. № 8. P. 125-144. JFM 55.0850.02.
Поступила в редакцию 22 марта 2018 г. Прошла рецензирование 25 апреля 2018 г. Принята в печать 5 июня 2018 г. Конфликт интересов отсутствует.
Алвеш Мануэль Жоаким, Университет им. Эдуардо Мондлане, г. Мапуту, Мозамбик, профессор кафедры математики, e-mail: mjalves.moz@gmail.com
Лабовский Сергей Михайлович, Российский экономический университет им. Г. В. Плеханова, г. Москва. Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
высшей математики, e-mail: labovski@gmail.com
Для цитирования: Алвеш М.Ж., Лабовский С.М. О спектральной задаче и положительных решениях для функционально-дифференциально го уравнения четного порядка // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 154-157. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-154-157
О СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЧЕТНОГО
157
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-154-157
ON THE SPECTRAL PROBLEM AND POSITIVE SOLUTIONS FOR A FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE EVEN ORDER
M.J. Alves1), S. M. Labovskiy2)
Eduardo Mondlane University 257 Praca 25 de Junho, Maputo CP 257, Mocambique E-mail: mjalves.moz@gmail.com 2) Plekhanov Russian University of Economics Stremyanny Lane, 36, Moscow 117997, Russian Federation E-mail: labovski@gmail.com
Abstract. Basic properties of the system of eigenfunctions for even order functional differential equation under special boundary conditions are obtained. Equivalence of a serie of classical affirmations is established. Among them are the Vallee-Poussin affirmation and positivity of the corresponding quadratic functional. Keywords: quadratic functional; Vallee-Poussin theorem; functional differential operator; spectrum
REFERENCES
1. Labovskiy S.M. O polozhitel'nykh resheniyakh lineynykh funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy [On positive solutions of rectilinear functional differential equations]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations, 1984, vol. 20, no. 4, pp. 578-584. (In Russian).
2. Labovskiy S. On spectral problem and positive solutions of a linear singular functional-differential equation. Functional Differential Equations, 2013, vol. 20, no. 3-4, pp. 179-200.
3. Ch. J. de la Vallee-Poussin. Sur l'equation differentielle lineare du second ordre. J. Math. Pures et Appl., 1929, vol. 9, no. 8, pp. 125-144. JFM 55.0850.02. (In French).
Received 22 March 2018
Reviewed 25 April 2018
Accepted for press 5 June 2018
There is no conflict of interests.
Alves Manuel Joaquim, Eduardo Mondlane University, Maputo, Mozambique, Ph. D., Full Professor of Mathematics Department, e-mail: mjalves.moz@gmail.com
Labovskiy Sergey Mikhailovich, Plekhanov Russian University of Economics, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the High Mathematics Department, e-mail: labovski@gmail.com
For citation: Alves M. J., Labovskiy S.M. O spektralnoy zadache i polozhitelnyh resheniyah dlya funkcionalno-differen-cialnogo uravneniya chetnogo poryadka [On the spectral problem and positive solutions for a functional-differential equation of the even order]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 154-157. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-154-157 (In Russian, Abstr. in Engl.).
