О спектральном разложении произвольного кососамосопряжённого оператора в гильбертовом кватернионном бимодуле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

О СПЕКТРАЛЬНОМ РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОСОСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА В ГИЛЬБЕРТОВОМ КВАТЕРНИОННОМ БИМОДУЛЕ

© Карпенко И. И., Тышкевич Д. Л.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

факультет математики и информатики

пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: dtyshk@inbox.ru, i_karpenko@inbox.ru

Abstract. In the article the spectral decomposition of a skew-selfadjoint linear operator (including the unbounded case) acting on a quaternion Hilbert bimodule is obtained. Earlier the last results on this topic concerning infinite dimensional quaternion spaces had been obtained even in the beginning of 80's (see Viswanath K. Normal operators on quaternionic Hilbert spaces // Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. — v. 162. — p. 337-350). We essentially develop ideas and results presented in Viswanath's work and in our earlier works.

Введение

Анализ как ранних так и последних публикаций показывает, что имеется хоть и не тотальный, но достаточно устойчивый интерес к кватернионной тематике. Особенно это касается тех или иных сторон дифференциального исчисления и функционального анализа в гильбертовых модулях и бимодулях. Это, в первую очередь, связано с изучением квантовой механики и квантовой теории поля в кватернионной формулировке (см., например, [1] - [5] и ссылки на литературу в этих источниках).

Основной целью данной работы является построение спектрального представления произвольного (в том числе неограниченного) кососамосопряженного оператора, действующего в кватернионном гильбертовом бимодуле, В случае ограниченного нормального оператора спектральное представление было аннонсировано нами в докладе [6] и построено в работе [7]. Результаты нашей статьи [7] и данной работы существенно развивают результаты работы [8].

Цель, сформулированная выше, определяет следующую постановку проблемы. Построить такое спектральное представление (как ограниченного так и неограниченного) кососамосопряженного оператора, которое наследовало бы основные черты соответствующего разложения (коео)еамоеопряжённого оператора в комплексном пространстве: наличие ортогональной (кватернионно линейной) спектральной меры, исчезающей вне спектра оператора, интегральное разложение по элементарным (косо) самосопряжённым операторам (скалярные операторы в комплексном случае). В такой постановке (включая сюда случай неограниченных операторов) данная проблема оставалась нерешённой.

Для удобства читателя, хорошо знакомого со спектральной теорией комплексно линейных операторов, но мало осведомленного по части кватернионов, мы приводим в сжатом виде всю информацию о кватернионах, необходимую для понимания представленных результатов.

О теле н и е^содержащих 2^мерных подполях н

Итак, главное кольцо, модули над которым изучаются в данной работе - тело кватернионов Н, т.е. вещественная алгебра размерности 4 с базисом {1, i,j, к} и правилами умножения

г2 = —1 = к2 = ^1 к) = к jk = i ki = j ji = —к kj = —i ik = —j

Для любого gel существуют такие (единственные) qo, qi, q2, q% G R, что q = qo+ + q\i + q2j + q?jk (вещественное представление кватерниона q). Число qo называется вещественной частью кватерниона д, и по отношению к последнему обозначается через Req. Полезна также векторная форма записи кватерниона: q = qo + q, где q = qii + q2j + Язk - векторная или мнимая часть q (кватернион, совпадающий со своей векторной частью, называется мнимым или векторным). Так, например, векторная форма произведения кватернионов q и р есть не что иное как хорошо известная формула умножения qp = qoPo^ (q, р) + ([<f, p]+PoQ+Qop) ■ Здесь (•, •) -обычное скалярное произведение в Н относительно ортонормированной четвёрки {l,i,j,k}, а [•, •] - векторное произведение в 3-мерном подпространстве векторных кватернионов R(i,j, к)1.

Сопряженный кватернион к q определяется как q := q0^ qii — q2j — q^k, при этом

з

отображение q —q является инволюцией в Н, и qq = qq = ijj G R, Модуль \q\

t=о

кватерниона q определяется равенством = (qq)1/<2, превращая таким образом H в нормированную алгебру2. Мнимый кватернион, по модулю равный 1 называют мнимой единицей.

В таком случае множество комплексных чисел С можно рассматривать как вещественную подалгебру в I: С = R(l,i), Вложение С в Н позволяет получить комплексное (или симплектическое) представление кватернионов, А именно, если q = q0 + qii + q2j + Чзк, то q = (qQ + qii) + (q2 + q3i)j = zi + z2j, где zb z2 G C.

На самом деле С служит всего лишь частным примером поля в Н, являющегося расширением R, Всюду в данной работе такие поля мы будем обозначать буквой F, Поле F - коммутативная и ассоциативная R алгебра с делением и размерности, большей 1, поэтому из теоремы Фробениуса следует, что размерность F есть в точности 2, и F изоморфно С,3

^Нам приятно напомнить, что современный векторный анализ исторически происходит из ква-терниоппого, и классическое обозначение ортов 3-мерного пространства в физике происходит от обозначений для кватернионных единиц, введённых Гамильтоном.

2Инволюция К-алгебры определяется как К,—линейное отображение I, удовлетворяющее соотношениям 12(а) = а, 1(аЬ) = 1(Ь)1(а). Отметим, что в теле кватернионов существуют инволюции, для которых ^ К при любом невещественном д.

^Обратим здесь внимание читателя на следующий замечательный феномен, присущий телу кватернионов и касающийся соотношений между понятиями «равенство» и «изоморфизм». Хотя каждое такое поле Г и изоморфно С, и поэтому с точки зрения алгебры является «неинтересным», но

Поле F однозначно определяется принадлежностью к нему некоторого невещественного кватерниона. Действительно, пусть q е F \ R, Запишем этот кватернион

1

в векторной форме: q = q0 + q. Тогда q = q — q0 e F \ {0}, Положим / := — q.

\ i\

Система {1,/} линейно независима, и, следовательно, образует базис 2-мерной R-алгебры F, Эти рассуждения показывают, что любые два невещественных элемента поля F имеют пропорциональные векторные части, что является необходимым и достаточным условием коммутирования кватернионов с соответствующими векторными частями. Поэтому всякое поле в Н, удовлетворяющее описанным выше условиям, можно охарактеризовать как максимальное коммутативное расширение некоторого множества попарно коммутирующих кватернионов из Н4, Кроме того, упомянутое необходимое и достаточное условие приводит к тому, что соответствующая мнимая единица / определяется полем F с точностью до знака. Далее мы будем предполагать что каждому полю F такой кватернион / сопоставлен однозначно (аксиома выбора здесь избегается, например, выбором ориентации ортов l,i,j,k в Н),

Так как для кватерниона q = а + bf £ F (о, b £ R) в силу равенства / = —/ имеем q = а — bf, то, очевидно, отображение в (а + Ы) := q осуществляет изометрический изоморфизм полей С и F, Отображение в можно записать и в следующей, полезной для дальнейшего, форме. Класс сопряжённости кватерниона q Е Н определяется как K(q) := {vqv \ v £ Н, = 1}, Нетрудно заключить отсюда, что для мнимого кватерниона q его класс сопряжённости K(q) представляет собой «мнимую сферу» {xi + yj + zk | х, у, z е R, х2 + у2 + г2 = \q\2}. Таким образом, для мнимой единицы /, порождающей поле F (в смысле, указанном выше), существует такой (единственный) кватернион и £ Н, |и| = 1, что / = um, поэтому отображение в можно записать как

9{z) = uzü, z е С, (1)

Рассматриваемое на всём Н, отображение в будет представлять собой внутренний автоморфизм EL За этим автоморфизмом (однозначно) определяемом по г и /, мы и закрепим в дальнейшем обозначение в.

Рассмотрим теперь Н как вещественное евклидово пространство (см, выше с, 60), Выберем некоторый кватернион ф, ортогональный кватернионам 1,/ и по модулю равный 1, Тогда ф2 = (ф,ф) = —1; кватернион /ф(= [/, ф]) ортогонален кватернионам 1, /, ф, при этом /о = [}', ф] = —[ф, /] = —ф/, откуда (fof = ^ 1. Таким образом, четвёрка {1,/, ф, /ф} образует R-базие в Н, состоящий из 1 и трёх мнимых единиц. Такой базис позволяет определить однозначное разложение q = qo + qif + (12Ф + Яз!Ф-, которое (аналогично комплексному разложению) приводит к разложению относительно поля F: q = (q0 + qif) + (q2 + = щ + и^ф, где и\, G F. Заметим, что

оно представляет собой уникальную «копию» С в Н, что становится весьма существенным для анализа. В частности, наша теория дифференцируемости функций кватернионного переменного ([9]) основана именно на «игре» этими свойствами.

4Или же как совокупность всех кватернионов, коммутирующих с некоторым фиксированным невещественным кватернионом.

выбор соответствующего кватерниона ф для поля F далеко неоднозначен5, однако в дальнейшем мы будем предполагать, что каждому полю F однозначно сопоставлен некоторый кватернион ф, удовлетворяющий описанным выше условиям6. В таком случае кватернион щ = qo + qif по отношению к исходному кватерниону q будем обозначать Fld(q) (F-часть q)J

Линейные операторы в гильбертовых кватернионных бимодулях

О кватернионных бимодулях и линейных операторах в них. Пусть Н — ква-тернионный бимодуль8. Тогда II можно рассматривать как бимодуль и над полем F и над полем вещественных чисел, обозначая его в этих случаях Hv и Нж соответственно9. В Нж структуры левого и правого модуля совпадают; Hv мы рассматриваем как правый модуль, употребляя в этом случае для Hv и Нж естественную терминологию «линейное пространство».

Оператор А, действующий в кватернионном гильбертовом бимодуле //. называется правосторонне линейным, если A{xq + ур) = (Ax)q + {Ау)р для любых р, q £ Н и любых векторов х,у £ Н. Соответствующим образом определяются левосторонне линейные операторы, В наших исследованиях кватернионных бимодулей мы склонны отдавать приоритет правому умножению на скаляр, поэтому в дальнейшем правосторонне линейные операторы будем называть просто линейными10 или же кватернион-но линейными, когда требуется подчеркнуть однородность оператора по Н в отличие от возможной его однородности лишь по F или по R, Таким образом, наряду с ква-тернионно линейными операторами в бимодуле II будем рассматривать 7 .пшенные и вещественно линейные операторы.

Если Н — нормированный бимодуль (т.е. норма в Н однородна по обоим умножениям), то обычным образом вводятся понятия ограниченного оператора и нормы оператора в //. Отметим, что с той же нормой Hv и Нж становятся нормированными

5Так, например, для С всевозможные кватернионы ф однозначно определяются выбором и € [0,27г) в формуле ф = (cosa))i + (sino))k.

6Акспомы выбора здесь можно избежать используя элементарные геометричекие соображения для конструктивного однозначного выбора ф по F.

7Когда F = С, то согласно традиции Очасть кватерниона q обозначается через Com(q).

8Т.е. Н есть одновременно левый и правый ШЕ-модуль, причём левое и правое умножения в Н связаны условием ассоциативности: V/i g Н Vq,p £ Н (qh)p = q(hp). Это пока только определение Н-бимодуля. В кватернионном бимодуле должна дополнительно выполняться аксиома Vr 6 К Vftg Я rh = hr (ср. [10, 12]). «Хитро» определяя (с одной из сторон) действие вещественного числа на вектор, можно строить примеры ШЕ-бимодулей, которые не являются кватернионными бимодулями.

^Носитель остаётся прежним, обедняется инструментарий.

10Это предпочтение обусловлено не столь эстетическими сколь аналитическими соображениями. Дело в том, что при построении матричного исчисления для правосторонне линейных операторов в конечномерном кватернионном бимодуле соответствующая оператору А матрица А будет действовать на координатный вектор-столбец х слева - Ах - как и в классическом случае комплексно линейных операторов. Соответствующее матричное сопоставление для левосторонне линейных операторов выглядит менее прозрачно. Это связано, разумеется, с некоммутативностью «косого» поля (skew field) EHL

линейными пространствами, поэтому, в частности, запасы ограниченных операторов в II. Нг и Нш совпадают.

На кольце всех линейных ограниченных операторов в II введём структуру вещественной алгебры, определяя операцию умножения оператора А на вещественное число а естественным образом: (аА)х := (Ах)а ( = а(Ах)). Полученную алгебру обозначим через Ь[Н].

В свою очередь, совокупности У линейных операторов в модуле Нг и вещественно линейных операторов в пространстве Нж также образуют алгебры над соответствующими числовыми полями. Обозначим эти алгебры через Ь[НГ] и Ь[НЖ] соответственно. Очевидно, имеют место строгие теоретико-множественные включения Ь[Н] С Ь[НГ] С Ь[НЖ].

Особо выделим необходимые в дальнейшем следующие элементарные алгебраические свойства оператора правого умножения Щх := хд (х Е Н), д ЕШ:

1° Кд Е ЦНШ] (д Е Н);

2° В^ч = В^(р,дЕ Н);

3° НдА = АНЯ для всех А Е Ь[Н] (9е1);

4° - тождественный оператор;

5° А Е Ь[НГ} & ЕЯА = АЕЯ для любого дЕ¥.

Пусть в — рассмотренный выше изометрический изоморфизм (1) поля Ж и поля С с соответствующим связующим кватернионом и. Рассмотрим отображение

(-)(,!):= /,'„,1/^. АЕЬ[НЖ]. (2)

Предложение 1. Имеют место следующие факты,

О - (внутренний) автоморфизм алгебры Ь[НЖ]. (3)

в(Ег) = Пт, г ЕС. (4)

О (ЦНС]) = ЦНГ]. (5)

(-)(,!) = А, А Е Ь[Н]. (6)

Доказательство. Линейность и однородность О элементарно следуют из 1°, Так как |и| = 1, то и = и 1. и из 2°, 4° следует равенство ¡\- = />'„ 1: отсюда, в свою очередь, следует оставшаяся часть (3) - мультипликативность О, Равенство (4) элементарно следует из 2°, Далее, пусть д е I - произвольный фиксированный элемент, г = 0 1 (д) и А Е Ь[НС]. Тогда

/.%(-)(Л) = (-)(/,',)(-)(,!) Ш О (ЕгА) = О (АЕг) = ... = 0(А)Кд ,

откуда из 5° заключаем, что (—)(. 1) е Ь[НГ]. Включение в (5) слева направо доказано, Обратное включение доказывается подобными рассуждениями. И, наконец, если А Е Ь[Н], то согласно 3°

в(А) = Н„АН- = ,1/,= АНУД-1 = А.

□

Замечание. Таким образом, отображение 0 представляет собой (внутренний) автоморфизм вещественной алгебры Ь[НЖ], оставляющий на своих местах кватернионно линейные операторы и переводящий С линейные операторы в У линейные.

О гильбертовых кватернионных бимодулях и линейных операторах в них.

В дальнейшем мы будем рассматривать гильбертов кватернионный бимодуль Н со скалярным произведением (•, •) (т.е. полный относительно нормы, порождённой (•, •)). В определении скалярного произведения, также как и в определении линейного оператора, мы предполагаем приоритет правого умножения на скаляр. Поэтому будем требовать выполнения аксиомы однородности относительно правого умножения на скаляр:

(щ,у) =

в то время как для левого умножения должно выполняться правило переноса скаляра11:

(<1х,у) = (х,7[у) (х,у Е Н, ?еН).

Пространство Нг также будет гильбертовым относительно согласованного скалярного произведения (х, := ¥Ш((х, у)), а пространство Нж — относительно скалярного произведения (х, у) о : = Ке(я;, у). Скалярные произведения вЯи Нг связаны формулой

(1г, д) = (/г, д)г - (1гф, д)г ф. (7)

Ясно, что нормы вектора в пространствах //. Нг и Нж совпадают (скалярный квадрат - вещественное число). Это, в свою очередь означает, что исходное скалярное произведение в Н порождает одинаковые топологии в пространствах Н, Нг, Нж.

Также стоит отметить, что полнота //. Нг, Нж относительно норм, порождённых соответствующими скалярными произведениями, обеспечивает полноту соответствующих структур Ь[Н], Ь[НГ], Ь[НЖ].

Так как в кватернионных гильбертовых модулях имеет место лемма Рисса для ограниченных линейных функционалов12, то каждый ограниченный оператор А е Ь[Н] имеет сопряженный к нему оператор А* е Ь[Н], также как и в комплексном случае определяемый равенством (Ах, у) = (х,А*у) (Ух, у £ Н). Аналогично вводится понятие сопряженного оператора в алгебрах Ь[НГ], Ь[НЖ]. Определение сопряженного к неограниченному оператору также ничем принципиально не отличается от соответствующего определения в комплексных модулях. Понятным образом определяются самосопряжённые и нормальные операторы (ограниченные и неограниченные).

Замечание. Сопряженные операторы к оператору А е Ь[Н] во всех модулях II. Нг, Нж совпадают. Действительно, если оператор А* является сопряженным к А в модуле //. то на основании определения скалярных произведений в пространствах Нг, Нж

ПВ работе [12] нами показано, что правило переноса скаляра в рамках остальных аксиом эквивалентно однородности нормы относительно левого умножения на скаляр.

12Математический фольклор (например, [1, 8]). Доказательство этого результата состоит в аккуратном переносе классических рассуждений.

оператор А* будет сопряженным к А также в Hv, Нж. Единственность сопряженного оператора позволяет сделать необходимый вывод,

В случае гильбертовых кватернионных бимодулей наряду с классом самосопряженных операторов важную роль играют кососамосопряжённые операторы, удовлетворяющие равенству А* = —А. Важно отметить, что если в комплексных гильбертовых пространствах от самосопряженного оператора к кососамосопряженному можно перейти домножением на мнимую единицу, то в кватернионных гильбертовых бимодулях нельзя, говорить о линейном однородном, соответствии между классами самосопряженных и кососамосопряжеппых операторов. Поэтому эти классы нор-

1 ч

мальных операторов качественно различны, .

Наличие скалярного произведение в гильбертовом модуле II задаёт структуру В* алгебр11 на L[H] и L[HR] и структуру С* алгебры1"' на Ь[НГ]. В связи с этим для дальнейшего имеет большое значение приводимый ниже простой результат (предложение 2), для доказательства которого полезно рассмотреть дополнительные аналитические свойства оператора правого умножения:

6° |Д,а;|| = |д||М| (деШ, х е Н); 7° В* = Вт, (де Н).

Свойство 6° есть ничто иное как переформулировка однородности нормы относительно правого умножения на кватернион, а 7° следует из цепочки

(Bqx, у)о = Re{xg, у) = Ее((ж, у)д) = Re(g{x, у)) = Ее((ж, уд)) = (х, Вду)0 .

Предложение 2. Справедливы следующие утверждения,

1, 0 изометрический *-автоморфизм В* алгебры Ь[НЖ].

2, 0 - изометрический *-изоморфизм С*- алгебр Ь[НС] и Ь[НГ].

Доказательство. Действительно (|и| = 1 и оператор правого умножения биективен),

6°

||0(А)|| = sup \\ВиАВйх\\ = sup ЦАДй^Ц = \\А\\

т.е. 0 - изометрическое отображение; далее

(в(А)У = В^А*В*и 7= В„ А' В- = в(А*)

т.е. 0 сохраняет операцию *, Таким образом, вместе с (3) предложения 1 это завершает доказательство, □

Замечание. Предложение 2 позволяет всякий результат, верный для операторов из L[HC] (сформулированный на базе внутренней аксиоматики операторной банаховой алгебры), автоматически переносить на операторы из L[HV],

13И это служит одним из оснований (по меньшей мере, математическим) для построения и изучения кватернионных вариантов квантовой механики и квантовой теории поля, где кососамосопряжённые операторы выступают в качестве наблюдаемых (см. [3]).

14Напомним, что Д*-алгебра - это вещественная банахова алгебра с инволюцией *, для которой ||а*а|| = ||а||2 для любого элемента а алгебры (см., например, [10]).

15См. предыдущую сноску и сноску 3 на с. 60.

О спектре линейного оператора в кватернионном бимодуле. Группу обратимых операторов в алгебре Ь[НЖ], обратный к которым лежит в Ь[НЖ], обозначим через СЬ[НЖ]. Такие операторы можно назвать непрерывно обратимыми. Число д ЕШ назовем резольвентной точкой оператора А, действующего в бимодуле Н (в общем случае А е £[#*]), если А- ВдЕ СЬ[ЯЖ].

Множество регулярных точек составляет резольвентное множество р(А) оператора А, а оператор В,е,зл(д) = (А — д Е р(А), есть резольвента этого оператора16 (в точке о).

Предложение 3. Пусть А Е Ь[НС] и в, 0 - отображения (1), (2), Тогда для г е р(А)

в(ВезА(г)) = ВезА(в(г)). Доказательство. Элементарно следует из (3) - (6) предложения 1, □

Множество а (А) = Н \ р(А) есть спектр оператора А.

Спектр кватернионно линейного оператора А непуст ([12, сл. 8]), и если д Е су(А), то К (о) С а(А) (аналогичное утверждение, естественно, справедливо и для р(А)).

Замечание 1. Последнее означает, что кватернионы входят в спектр линейного оператора не «единично», а «целыми классами сопряжённости» — феномен, отсутствующий в каком-либо виде в комплексном линейном анализе, и на который было обращено внимание довольно давно (для собственных значений; см., например, [1, 8]), Здесь стоит ещё указать на следующие факты. Известно, что два кватерниона принадлежат одному классу сопряжённости тогда и только тогда, когда равны их вещественные части и совпадают модули векторных частей17, в силу чего из приведенных выше рассуждений следует справедливость эквиваленции ц Е су (А) -ФФ- д е <^(.1). И последнее. Можно показать, что для любого К-содержащего 2-мерного поля I в I и для любого д 6 Н класс сопряжённости К (о) содержит ровно одну пару взаимно сопряжённых кватернионов из Ж; поэтому для любого кватернионно линейного оператора А и любого такого поля Ж а (А) П Ж ф 0.

Можно рассмотреть ([12, § 4]) следующую классификацию спектра для линейных операторов, действующих в бимодуле Н. Кватернион д Е су ( А) принадлежит

1, точечному спектру оператора А, если кег(А — В,д) ф {0};

2, остаточному спектру оператора А, если кег(А — В,я) = {0}, ^(Л. — В,я) ф Нж;

3, непрерывному спектру оператора А, если кег(А — В,д) = {0}, ^(Л. — В,д) = Нж, но оператор (А — неограничен в Нж

16Мы обозначаем резольвенту оператора А в точке д через Не8л(д), надеясь, что у читателя не возникнет недоразумений по поводу такого обозначения в связи с его схожестью на обозначение вычета в теории аналитических функций. На наш взгляд, существует большая опасность спутать обозначение для резольвенты Н(д) с оператором правого умножения на кватернион д, обозначение которого в виде Нд традиционно.

17Данный несложный результат представляется фольклорным, и мы затрудняемся привести ссылку на первоисточники.

(через обозначен образ оператора A), Точечный, непрерывный и остаточный

спектры оператора А обозначаются соответственно через ар(А), аг(А), ас(А). Точечный спектр линейного оператора, в свою очередь, делится на следующие подмножества, называемые соответственно устойчивым и неустойчивым спектром:

as(A) = {qe ар(А) | ЩА - Rq) ф Я9'} ; аи(А) = {q е ар(А) \ - Rq) = П \ .

Для каждого частного вида спектра оператора А е L[H] также имеет место утверждение о вхождении «классами сопряжённости» ([12, сл. 7]): если q е <7k(Á), то K(q) С (Jk(A)-, кроме того, <7^(Л)* = (к е {s,u,r,c}) ([12, предл, 15]; см, также

конец замечания 1; здесь для множества кватернионов ,5^* = {q \ q £ . / }•).

Замечание 2. Отметим ещё один любопытный и важный спектральный феномен, присущий кватернионному случаю. Для любого А Е Ь[НЖ] спектр оператора А и его сопряжённого А* совпадают! Более точно ([12, теор. 4]),

aa{A*) = оа{А)-, аи(А*) = аг{А)- ас(А*) = °с(А)-, аг(А*) = аи(А).

И напоследок отметим некоторые спектральные свойства нормальных операторов. Как и в комплексном случае, для нормального оператора N au(N) = ar(N) = 0 ([12, теор, 5]), Спектр самосопряжённого оператора состоит из вещественных чисел, а кососамосопряжённого - из мнимых кватернионов ([12, предл, 17]),

1, Спектральное разложение кососамосопряжённого оператора в

кватернионном гильбертовом бимодуле

Пусть А - (кватернионно линейный) кососамосопряженный и, вообще говоря, неограниченный оператор, действующий в гильбертовом кватернионном бимодуле //. с плотной областью определения D(A).

Положим о-®(А) := сг(А) П F (срез спектра полем F),

Предложение 4. 0(гг -(А)) = о-®(А).

Доказательство. Из упомянутого выше свойства q £ &(А) К (q) С а (А) имеем равенство 0(а(А)} = (т(А), откуда

в(ас(А)) = в (а (А) П С) = в (а {А)) П в(С) = а(А) П F = av(A).

□

Вспомогательные спектральные результаты для симплектического образа.

На мнимой оси f := {af а 6 1} поля F естественным образом вводится мера Лебега //: множество А С f считается измеримым тогда и только тогда, когда Л/ С R измеримо по классической лебеговой мере, и ¡л(А) есть по определению лебегова мера множества Af. Аналогичным образом переносится с I на f (с сохранением всех свойств) и произвольная операторная мера. Этот процесс для дальнейшего мы вкратце назовём переносом, меры.

Лемма 1. Пусть А - кососамосопряженный оператор, действующий в гильбертовом кватернионном бимодуле Н. Тогда существует однозначно определённая, регулярная счётно аддитивная самосопряжённая спектральная мера Е-р: ® (f) —L[HV], связанная, с оператором, А соотношениями:

Ev(a) = О, а П аг(А) = 0 (а е ®(f)) ; (8)

D(A) = {heH\ j\q\2{Ew{dq)h, h) < oo} ; (9)

aw(A)

Ah = lim RqEv(dq)h, h e D(A). (10)

п—ьоо

[-nf,nf]

Доказательство. Суть доказательства заключается в следующем: а) рассматривая А как действующий в II (т.е. симилектический образ А) классический результат для произвольного (в том числе и неограниченного) самосопряжённого оператора (см., например, [11, теор.ХП.З]) элементарным образом переносим на кососамосопря-жённые операторы (переносом спектральной меры), используя связь между этими классами операторов в комплексных пространствах через домножение на мнимую единицу; б) затем переносим этот результат из поля С на поле F при помощи отображений (1), (2), После шага а мы получим существование однозначно определённой соответствующей спектральной меры Ее, заданной на борелевеких подмножествах мнимой оси комплексной плоскости, которая связана с оператором А соотношениями (в нотации правого модуля):

(8') Ес(а) =0, аП ас(А) = 0 • (9') D(A) = {h е Н | J\z\2(Ec{dz)h, h) < oo} ;

„ сгс(А)

(10') Ah= lim RzEc{dz)h, h e D(A).

в—s-oo J

[—ni,ni]

(Шаг б). Положим Ег(а) := ©(£c(0_1(a:))), ot £ ®(f), В силу предложения 2 отображение ®(f) —L[HV] является регулярной счётно аддитивной самосопряжённой спектральной мерой. Свойство (8) элементарно следует из (8'), предложения 4 и определения Е^. Далее,

\z\2\\Ec{dz)h\\2 6= I \e(z)\2\\e(Ec(dz))Ruh\\2 пре='4 J\q\2\\Ev(dq)Ruh\\2,

ас(А) (гс (Л) аТ (А)

откуда получаем

Ruh е D(A) & J\q\2{Er(dq)h, h) < oo.

ar(A)

Из последней эквпваленцип следует (9), так как область определения кватернионно линейного оператора есть кватернионно линейное многообразие.

И, наконец, в силу непрерывности оператора правого умножения, для х £ D(A) получаем (10) в крайних членах цепочки

Ah = R„AR„h il=] R„ lim IiH ■((!';) h\, h = lim II i„ 1{.. 11„ 11„ F. • (<1; )R„ h =

n—s-oo J n—s-oo J

[—пг,пг

(IM2)

n—*oo I " ' v ' ' n—*oo

lim Rf)tz\Q(Ec(dz))h= lim RqEw(dq)h,

i_1.лл I \ / v / ^_/

nf,nf]

Единственность спектральной меры Еу, удовлетворяющей соотношениям (8) - (10) следует из биективности 0 и единственности Ее, удовлетворяющей (8') - (10'). □

Как обычно, Е-р будем называть (Ж-линейным) разложением единицы (на Г) кососамосопряжённого оператора А.

Лемма 2. Пусть Ер - разложение единицы оператора А из теоремы 1, и (о/, Ь/) -открытый интервал оси £ (а, Ъ е К, а < Ъ). Тогда имеет место сходимость

Ew((af,bf)) = lim lim — /J / (ResA.(s + rj) — ResJs — rj)) fj,(ds). (11)

^ ' ß_Tj—>-+0 /

[(a+S)f, (b-S)f]

в сильной операторной топологии алгебры, L[HV].

Доказательство. Пусть A := ARj,. Тогда A - самосопряжённый оператор в L[HC] с разложением единицы Ее. В таком случае мы можем применить следующую известную формулу, выражающую спектральную меру открытого интервала (о, b) Cl через резольвенту оператора A (в нотации правого модуля):

Ес((а, Ь)) = ^lim lirn^ J (ResA(t — rji) — ResA(t + r]i)) fj,(d,t). (12)

[a+S,h-S]

(в смысле сильной сходимости операторов; ср. [11, теор, XII. 10]). Отсюда для кососамосопряжённого оператора А получим:18

/•."•((г//, bi)) = ^limo lirn^ к J (Res a(s + v) ~ Rcsa{s — rj)) ß(ds)

[(a+S)i,(b-S)i]

(здесь уже Ее н // перенесённые меры). Далее, применяя к последней формуле отображение 0 так же, как и при доказательстве теоремы 1 (с учётом предложения 3), получим формулу (11). □

18Обычно справа в формуле типа (12) фигурирует контурный интеграл по отрезку [а + 8, Ь — как по (гладкой) кривой с началом в а + 6 и концом Ь — 8 (например, [11, теор. XII. 10]), равный интегралу Лебега формулы (12) при интегрировании по [а + 6, Ь — 5] как по (измеримому) множеству в случае самосопряжённого оператора. Однако при переходе к соответствующей формуле для кососамосопряжённого оператора необходимо помнить про первоначальный «контурный» смысл преобразуемого интеграла, чтобы правильно учесть знак.

Следствие 1. Если Е^ - разложение единицы для кососамосопряженного оператора А, то для, любого множества а е выполняется, равенство

Ег(а)Вф = ВфЕг(^а). (13)

Доказательство. В силу соотношения

В,е,зл(д)Яф = В,фВ,е8л(д) (д с £)

(см, свойства 2°, 3° с, 63) имеем:

+ г])^В,е,зл(8 — г]))В,ф = Вф^Вез + г]) — Вез,4(5 — г])) =

= Ва(В( -з >( —* + Г]) — В1-3 —* — //)),

откуда (в силу непрерывности Вф) для любых достаточно малых //. 6 > 0 следует равенство

(¡(т,л + ч) - - ,)) щ = я, (/(лв,,(, + Ч) - л«л(. - ,)) М) ■

и -Ь

где '•= [(о + 5)/, (Ь — 6)/]. Из последней формулы согласно (11) леммы 2 следует равенство

Ег((а/,Ы))ВФ = Д^(-(а/,Ь/))

для любых вещественных о и Ь, а < Ь. Последнее в силу регулярности и счётной аддитивности Ег, непрерывности Вф влечёт (13) для любого борелевского подмножества а оси £, □

Спектральная пара кососамосопряжённого оператора. Пусть Ег - Ж линейное разложение единицы из леммы 1, и = {г/ г ^ ()}• неотрицательная полуось поля Ж, Рассмотрим операторнозначную функцию Е: 25(Г+) —Ь[НГ]

, I /'.'.(п) - /•.':(-П). 0 ^ П. , .

^ /-. .•(<>) — /-. ,•(-<>) - /•..({О}-), о е п

Лемма 3. Функция Е обладает следующими свойствами:

1, Е(а) е Ь[Н] (а е ®(Г+));

2, Е(а) - ортопроектор в Н (а е 95(Г+));

3, /'.'({. ) = Iа:

4, Е регулярна и счётно аддитивна (в сильной операторной топологии);

5, Е обладает свойством, ортогональности:

Е(а)Е(/3) = Е(а П /3) (а, ¡3 е ® (Г+)).

Доказательство.

Свойство 1. Непосредственно из следствия 1 получаем, что /•.", ({()}•) является ква-терниоппо линейным оператором, и, кроме того,

(Ег(а) + Ег(^а))Вф

= Ва(Е) + Ег(а)).

Отсюда следует, что отображение Е(а) является однородным относительно любого кватерниона (см, свойства 1°, 3°, 5° на с, 63),

Свойство 2. Покажем, что Е{а) является самосопряженным оператором в Н. Действительно, оператор .Ер({0}) является самосопряженным по условию (в Ь[НГ], следовательно, и в Ь[Н]), а (см, (7))

((Ег(а) + /-.',•(-<>))/>. д) = ((Ег(а) + /-.'.-(-о ))/>. //), - (Кф(Ег(а) + Е¥(-а))Н, д). ф =

= (/г, (Ег(а) + Ер(-а))д)¥ - ((Ер(-а) + Е¥{а)){Нф), д)г ф = = (/г, (Ег(а) + Е¥(-а))д)¥ - (1гф, (Е¥(а) + Е¥(-а))д)¥ф = (/г, (Ег(а) + Е¥(-а))д)

для любых векторов д,И Е Н и множеств а £ 95 (Г+). Равенство Е(а)2 = Е(а) тривиально следует из свойств операторов Е¥(±а) (а е 95(Г+) \ {0}).

Свойства 3, 4, 5 элементарно следуют из соответствующих свойств разложения единицы Е¥.

□

Операторнозначную функцию Е, удовлетворяющую условиям 1-5 леммы 3, назовем (кватернионно линейным) разложением единицы на (кососамосопряжённого оператора А, если это касается последнего). Рассмотрим оператор

./ = /,7(/-;,(г ) - // (г )). (15)

где Г = {г/ | т < 0} - отрицательная полуось поля Ж, Оператор •/ - ^-линейный; кроме того, применяя следствие 1, получим:

= /»"./ (// (Г ) - //,(г ))/»',;, = ЩНФ(ЕГ(^) - //,(Г )) =

= ) - / / ( Г )) = КфК1(ЕГ(^) - / / ( Г )) = /,',;,./.

Следовательно, оператор ./ принадлежит алгебре Ь[Н] (см, 1°, 3°, 5° с, 63),

Далее, простая проверка показывает, что оператор - кососамосопряжённый, удовлетворяет равенству ,]2 = — / и имеет «единственную» (см, замечание 1) «точку» спектра: <т(<7) = = К{}'). Такой оператор из Ь[Н] будем называть операторной мнимой единицей19. Операторная мнимая единица (15), как легко убедиться, обладает следующими свойствами:

^({0}) = ^({0})^ = ^^({0}) ; (16)

ЗЕ(а) = Я(а) 7 = Е1(Ег (а) - Ер (-а)) (а е ®(Г+ \ {0})) ; (17)

а Е 95 (Г+ \ {0})

Ег(а) = } £({0}), а = {0} (18)

[р+У)Е(-а),

где

Р±У) := 1(/я ± (19)

Пару (Е, 7) назовём спектральной парой кососамосопряжённого оператора А.

19В комплексном гильбертовом пространстве существуют лишь две операторные мнимые единицы - ±г/.

Руководствуясь свойствами (16) - (17), рассмотрим определение, не зависящее от оператора А.

Определение 1. Пусть Е - кватернионно линейное разложение единицы на f+; J - операторная мнимая единица в Ь[Н]. Пару (Е, J) назовём спектральной парой, если J коммутирует с Е (т.е. JE(a) = E(a)J, а е ®(f+)).

Замечание 3. Если {/•.'../) - спектральная пара, то, очевидно, проекторы /'. (./) коммутируют с Е.

Предложение 5. Операторы P±(J) из (19), определённые по произвольной операторной мнимой единице J, являются взаимно дополнительными и взаимно ортогональными самосопряжёнными проекторами в L[H]V. При этом выполняется равенство

RqP-(J) + R-qP+(J) = R-4fJ (я е f). (20)

Доказательство. Состоит в непосредственных вычислениях, □

f (14)(15)

Предложение 6. Отображение Ew (Е , J ) является биекцией между множеством всех У линейных разложений единицы на f и множеством всех спектральных пар.

Доказательство. Тот факт, что область значений f лежит во множестве всех спектральных пар, является содержанием леммы 3 и равенств (16) - (17), Сюръектив-ность и инъективность f заключены в формуле (18) (с учётом замечания 3), которая определяет )" 1 (заметим лишь, что после определения согласно (18) Er однозначно доопределяется затем на оставшиеся а из ®(f) по аддитивности), □

Спектральная теорема для кососамосопряжённого оператора. Следствием осуществлённых выше построений является следующая теорема - основной результат данной работы.

Теорема 1. Пусть А - кососамосопряжённый оператор, действующий в гильбертовом кватернионном бимодуле Н, F - произвольное Ж-содержащее 2-мерное поле. Тогда существует такая однозначно определённая, спектральная пара (E,J), связанная, с оператором, А соотношениями:

Е(а) = 0, а П aF+ (А) = 0 (а е f+)) ; (21)

D(A) = {heH\ J\q\2{E(dq)h,h) <оо}-, (22)

<tf+(.4)

Ah = lim IR_qfJE(dq)h , h e D(A). (23)

n—*ooJ

[0 ,nf]

Доказательство. Меру E строим по мере Ev леммы 1 согласно (14); оператор J строим согласно (15), Как было показано выше, (E,J) будет спектральной парой оператора А.

Соотношение (21) непосредственно следует из (8) и определения меры Е. Равенства (22), (23) вытекают соответственно из равенств (8), (10) леммы 1 применением формул (16) - (18), предложения 5 и свойств интеграла. Единственность спектральной пары обеспечивается предложением 6, □

Следствие 2. Всякий кососамосопряжённый оператор, действующий в гильбертовом кватернионном бимодуле Н может быть представлен в виде А = JA, где J -мнимая операторная, единица, a, A - неотрицательный самосопряжённый оператор, коммутирующий с J.

A

оператор

Ah= lim ÍR_qfE(dq)h , h e D(A).

n—*ooJ

[0 ,nf]

□

Замечание 4. Если оператор А ограничен, то в формулировке спектральной теоремы 1 равенство (22) опускается, а формула (22) может быть заменена на формулу

А= J R-qfJE(dq)

и

(в смысле равномерной сходимости операторов). Это следует из того, что в лемме 1 равенство (9) может быть опущено, а предел (10) может быть заменён на соответствующий операторный интеграл по всей оси £ (ср. [11, гл.Х]),

Замечание 5. И напоследок обсудим вопрос о зависимости спектральной пары (.Е, J) от выбора поля Ж,

Пусть Жх и Ж2 порождаются мнимыми единицами Д и Д соответственно. Будучи мнимыми единицами, кватернионы Д. Д. сопряжены в мультипликативной группе Н*, т.е. существует такой нормированный кватернион и, что Д = й/2и (см, с, 61), Рассмотрим оператор Дез.д^! + г]), где 5 = ¿Д, г] е К. Так как

51 + Г] = ¿Д + Г] = й(£Д + Г])и = й(з2 + Г])и,

где 52 = / д. то RS1+T| = /»\,/»'„... „/»\, . Тогда

/>'< * |(>1 + г]) = (А - /)'.,, .1 ={А- RuRS2+r]Rwy1 = RuR.esА{$2 + //)/>'-,

и, следовательно, на основании леммы 2

ЕГ1 ((оД, ЬД)) = ^Ещ ((о/2, bf2))Rй.

Таким образом, для любого Е

ЕГ1 («х) = Я^Е^ (а2)Дй ,

где а2 = "<> |й. Теперь, если мы обозначим через Е\.; /-.'•_> разложения единицы кососамосопряжённого оператора А, порожденные спектральными мерами Е¥1 и Ещ соответственно, то для всякого «1 е ®(Гх+)

С учетом линейности оператора £"2(0:2) (см, лемму 3) имеем равенство

Ei(ai) = Е2(а2).

Что касается операторных мнимых единиц J1; J2, то, как показывают простые вычисления, они совпадают:

Ji = Rfl (£fi (fi+) - EVl (fi-)) =

= l\„l\ fJ\-l\„{E(fi+) — Ev,2 (f| ))/>'- = I h,-1-21 h = -¡-i •

Следовательно, с точностью до изометрии между мнимыми осями полей можно утверждать, что спектральная пара кососамосопряженного оператора определяются в целом однозначно.

Заключение

Таким образом, построено спектральное представление произвольного косо-самосопряжённого оператора. Основным результатом, статьи является теорема 1 о существовании и единственности спектральной пары кососамосопряжёппо-го оператора. Исследована зависимость спектральной пары от выбора 2-мерного K-содержащего поля, на неотрицательной оси которого определено разложение единицы кососамосопряжённого оператора. Перспективы дальнейших исследований в этом направлении мы связываем с построением функциональной модели для произвольного (в том числе неограниченного) нормального оператора а также с приложениями спектральной теории для исследования конкретных операторов квантовой механики и квантовой теории поля в кватернионной формулировке,

список литературы

1. Finkelstein D., Jauch J.M., Schiminovich S., Speiser D. Foundations of quaternion quantum mechanics //J. Math. Phys. - 1962. - v. 3. - P. 207-220

2. De Leo S., Rotelly P. Translation between quaternion and complex quantum mechanics // arXiv:hep-th/9401009 vl. - 1994. - P. 1-15.

3. Adler S. L. Quaternionic quantum mechanics and quantum fields. - Oxford University Press. - 1995. -586 p.

4. De Leo S., Ducati G. Quaternionic differential operators // arXiv:math-ph/0005023v3. - 2002. -P. 1-25.

5. Березин А. В., Курочкин Ю. А., Толкачев E. А. Кватернионы в релятивистской физике. - М.: Едиториал УРСС. - 2003. - 200 с.

6. Karpenko 1.1., Tyshkevich D. L. Spectral decomposition of a normal operator in a quatenionic Hilbert bimodule // Book of abstracts, The Banach Center Conference Analysis and Partial Differential Equations (In honor of Professor Bogdan Bojarski), June 18-24, 2006, Mathematical Research and Conference Center, Poland, B§dlewo. - 2006. - P. 21-22

7. Карпенко И. И., Сухтаев А. И., Тышкевич Д. Л. Спектральное представление нормальных операторов в кватернионных гильбертовых бимодулях / / Учёные записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика.» - 2006. - Т.19(58), № 1. - С. 3-20

8. Viswanath К. Normal operators on quaternionic Hilbert spaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1971. -v. 162. - p. 337-350

9. Карпенко И. И., Сухтаев А. И., Тышкевич Д. Л. Об одном подходе к дифференцированию функций кватернионного переменного / / Учёные записки Таврического национального университета им. В. II. Вернадского, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика.» — 2004. -Т. 17(56). Ш. - С. 30-37

10. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. - М. : Мир. - 1986. - 543 с.

11. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория // М.: Мир. - 1966. -1064 с.

12. Карпенко И. И., Тышкевич Д. Л. Спектральные свойства линейных операторов над гильбертовыми кватернионными бимодулями // Математичш Студп. - 2008. - Т. 30, .V" 1. - С. 67-82

Статья поступила в редакцию 11.05.2010