CC BY
9
УДК 621.384.64
О СОГЛАСОВАНИИ СГУСТКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ОКНОМ ВЫВОДА ПУЧКА ИЗ УСКОРИТЕЛЯ
В. Г. Куракин, П. В. Куракин
Для получения критерия согласования сгустка заряженных частиц с окном вывода пучка из ускорителя, заключающегося в минимизации эмиттанса выведенного через металлическую фольгу ускоренного пучка, используется функция распределения для рассеиваемой на ядрах фольги движущейся частицы. Приводятся методика построения фазового портрета рассеянного сгустка и критерия минимума его площади (эмиттанса). Выводится формула, связывающая эмиттансы падающего и рассеянного сгустков, а также уравнение эллипса, описывающего фазовый портрет согласованного сгустка.
Ключевые слова: эмиттанс, фазовый портрет, кулоновское рассеяние, функция распределения, огибающая.
Выводные окна в виде металлических фольг, разделяющих вакуумные объемы ускорителя и тракта транспортировки, обеспечивая достаточную прозрачность для пучка заряженных частиц, тем не менее ухудшают его характеристики. Основной механизм деградации пучка - многократное кулоновское рассеяние в материале фольги, которое приводит к увеличению поперечного фазового объёма выводимого пучка. Увеличение поперечного эмиттанса пучка существенно зависит от параметров падающего на фольгу пучка, конкретнее, от размеров и ориентации его фазового эллипса. Минимальное увеличение эмиттанса пучка имеет место при определённых отношении осей и ориентации фазового эллипса, что мы и покажем в настоящей работе.
Для заряда, движущегося с постоянной энергией в направлении оси x в однородной изотропной среде и испытывающего многократное кулоновское рассеяние на ядрах среды, имеет место следующее распределение вероятностей нахождения частиц для
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: vgkurakin@mail.ru.
каждой из взаимно-перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по оси х [1, 2]:
4
2\/3 1
Р(х, у, в)^у^в = _ 2 ехр
П ©2х2
0^х
в2-
3ув + 3у2
+ 2
¿удьв.
(1)
Здесь Р(х,у,в)^у^в - вероятность обнаружить заряд на глубине х в интервалах (у, у + ^у), (в, в + ^в) поперечных смещений и углов, составляемых скоростью заряда с осью х в каждой из указанных плоскостей, а
02 = ( —2 5 1 вер Хо
1 /4п\1/2
—, Е = — теС2 = 21 МэВ, а /
(2)
где в, р, с - соответственно приведённая скорость заряда, его импульс и скорость света, V е2 1 -
Х0 - радиационная длина, а = — ~--постоянная тонкой структуры, е, те - заряд
пс 137
электрона и его масса, П - постоянная Планка.
Согласно (1) события (у, в) равной вероятности на глубине х расположены на эллипсах, описываемых в системе координат п = у/х, в уравнением
3п2 - 3пв + в2 = / = со^,
(3)
где значение константы определяет относительное количество рассеиваемых частиц, охватываемых эллипсом. Среднее значение этой величины
/ > =
2^3 1
П 02х
(3п2 - 3пв + в2) ехр
4
02х
(3п2 - 3пв + в2)
^в = 102х, (4)
определяет эллипс, который естественно принять за фазовый портрет пучка, имеющего нитеобразную форму на входе в рассеивающую среду (поперечное распределение в виде ^-функции), а площадь эллипса рассматривать как эмиттанс, нормированный на толщину рассеивающей пластины
П
5 = = 02х.
л/3 2л/3 5
(5)
В более привычных в оптике пучков единицах измерения - радианы и миллиметры - площадь эллипса рассеяния равна
П 02х2 = (М 2 ^
2^3 5 2^3 V вср/ Хо'
(6)
Для заряда, падающего на мишень толщиной к в точке У под углом 0 << 1, имеет место следующее распределение вероятностей
Р (у е,у,*) = ^ х
£
4
х ехр
02
- 0)2 3(у - У - к0)(в - 0) 3(у - У - к0)2
к к2 'к3 ' " (7) Из последнего соотношения следует, что каждой точке У, 0 фазового портрета налетающего пучка соответствует элементарный эллипс рассеяния с центром в точке У + к0, 0 фазовой плоскости (у, в), а граница фазового портрета рассеянного пучка определяется огибающей к семейству эллипсов рассеяния с центрами, лежащими на эллипсе, описываемом уравнением
Л1(п - в)2 + А2(п - в)в + Азв2 = Г. (8)
Здесь коэффициенты А^ А2, А3, Г описывают фазовый эллипс падающего на мишень пучка
Ащ2 + А2пв + Азв2 = Г, (9)
где п = У/к.
С учётом отмеченного обстоятельства фазовый портрет рассеянного пучка определяется огибающей к семейству элементарных эллипсов рассеяния, а конкретнее -к эллипсам рассеяния, расположенных на кривой (8). Уравнение данной огибающей определяется методами дифференциальных уравнений и в общем случае описывает кривую порядка более второго. Для решения конкретной поставленной задачи мы не будем использовать стандартный способ, а воспользуемся более элегантным методом. Подвергнем фазовую плоскость сжатию в направлении большей оси элементарного эллипса рассеяния с коэффициентом сжатия к = (4 + \/Т3)/\/3 ~ 4.4, равным отношению большой и малой полуосей отмеченного эллипса. В сжатой плоскости элементарный эллипс рассеяния представляет собой окружность, а огибающая представляет собой кривую, проведенную через концы перпендикуляров к трансформированному эллипсу (8). Приращение площади, занятой рассеянными частицами в сжатой плоскости, легко вычисляется:
ДБ' = пЬ2 + ЬЬ'. (10)
Здесь Ь - малая полуось эллипса рассеяния, а Ь' - периметр эллипса (8) в преобразованной системе координат. Учитывая, что первый член в правой части данной формулы представляет собой элементарный эмиттанс рассеяния е' в преобразованной системе, а минимальное значение периметра Ь' из множества эллипсов с заданной площадью имеет место, когда эллипс превращается в окружность, получим, что минимальное значение периметра
Ь'шт = 2пЯ = 2^, (11)
где е' - эмиттанс заряженного сгустка до рассеяния в преобразованной системе координат. Окончательно имеем следующую формулу для минимального эмиттанса рассеянного пучка на сжатой фазовой плоскости
ее + 2л/е7е1 + е'.
(12)
Учитывая, что при переходе к штрихованной системе координат площади уменьшаются в к раз, а в соотношение (12) входят только площади, аналогичное равенство имеет место на исходной фазовой плоскости. В общем случае, как это следует из приведенных рассуждений, соотношение, связывающее эмиттансы падающего и рассеянного сгустков, удобнее переписать в виде
//Ё > У + /Е.
(13)
Рис. 1: Преобразование фазовой плоскости (сжатие) для вычисления эмиттанса рассеянного заряженного сгустка. Изображены справа: эллипс, описываемый уравнением (8) (штриховая линия), элементарные эллипсы рассеяния с центрами на эллипсе (8) и огибающая рассеянного пучка (сплошная линия). Слева та же картинка после сжатия фазовой плоскости.
Рис. 2: Положение на фазовой плоскости (г],9) элементарного эллипса рассеяния (1) и фазового портрета согласованного заряженного сгустка перед мишенью (2).
Процедура вычисления минимального эмиттанса рассеянного пучка демонстрируется рис. 1. Из предыдущих рассуждений следует, что для того, чтобы после прохождения
е
рассеивающей среды эмиттанс заряженного сгустка имел минимально возможное значение, необходимо, чтобы эллипс, служащий каркасом для элементарных эллипсов рассеяния и описываемый уравнением (8), был подобен элементарному эллипсу рассеяния. Простые вычисления дают, что это имеет место, если падающий пучок описывается в фазовом пространстве эллипсом
Назовём такой пучок согласованным. На рис. 2 в качестве примера приведены фазовый портрет падающего пучка и элементарный эллипс рассеяния. Заметим, что в реальности выполнить условие согласования и тем самым максимально возможным образом уменьшить деградацию пучка заряженных частиц удаётся далеко не всегда. Это связано с тем, что технически сложно согласованным образом сфокусировать пучок на мишень при больших (десятки мрад и больше) углах рассеяния в материале мишени. В этом случае для достижения минимальной деградации пучка приходится решать задачу на нахождение условного экстремума.
[1] Б. Росси, Частицы больших энергий. Перевод с английского (ГИТТЛ, Москва, 1955), 536 с.
[2] С. З. Беленький, Лавинные процессы в космических лучах (ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1948), 244 с.
3п2 + 3пв + в2 = Г.
(14)
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 18 апреля 2017 г.
