О собственных значениях спектральной задачи для одного уравнения четвертого порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Planck M., Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum. // Annalen der Physik, 1901. 4, 553.

7. Крауфорд Ф. Берклеевский курс физики. T. 3: Волны. М.: Мир, 1965. 529 с.

8. Эйнштейн А. О развитии наших взглядов на сущность и структуру излучения. // Собр. научных трудов. Т. 3. М.: Наука, 1966. С. 181-195.

9. Etkin V. Rethinking Plank's radiation law. // Global Journal of Physics, 5(2), 2017. 547-553.

10. Planck M. Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums. // Naturwissenschaften. 31 (14-15), 1943. 153-159.

11. Эткин В.А. О потенциале и движущей силе лучистого теплообмена. // Вестник Дома ученых Хайфы, 2010. Т. ХХ. С. 2-6.

12. Etkin VA. On Wave Nature of Matter. // World scientific news, 69, 2017. 220-225.

13. Герц Г.Р. Исследования о распространении электрической силы. М.-Л., 1938.

14. СтолетовА.Г. Введение в акустику и оптику. М.: Моск. Ун-т, 1895. 325 с.

15. Etkin V.A. Improving the efficiency of analysis method of dimensions. // The scientific method. 4, 2017. 32-37.

16. ЛандауЛ.Д., ЛившицЕ.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1973.

17. Де Гроот С.Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: «Мир», 1964.

18. Спасский Б.И. История физики. Том 2. Часть 2-я. М.: Высшая школа, 1977.

19. Шрёдингер Э. Ann. Phys. Bd. 79, 1926, S. 361, 489; Bd. 80, 1926, S. 437; Bd. 81, 1926. S. 109.

20. Etkin V.A. To the synthesis of classical and quantum physics. // World scientific news. 102, 2018. 101-115.

О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ Oруджев Э.Г.1, Амирова Л.И.2 Email: Orudzhev17132@scientifictext.ru

'Оруджев Эльшар Гурбан оглы - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; 2Амирова Лейла Икрам кызы - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе рассматривается пучок дифференциальных операторов 4 -го порядка с кратными корнями главного характеристического полинома. Найдены асимптотические представления по спектральному параметру решений исследуемого дифференциального уравнения. Эти решения содержат только положительные степени спектрального параметра в Биркгофском разложении. В общем случае решения разлагаются по дробным степеням параметра. Построена функция Грина краевой задачи, полюсами которой являются собственные значения. Изучены асимптотические расположения этих значений в комплексной плоскости. Получено, что они сконцентрированы вдоль определённых логарифмических кривых, уходящих в бесконечность, выписаны представления асимптотических собственных значений. Ключевые слова: пучок дифференциальных операторов, собственные значения, функция Грина, квазиполиномы, логарифмические кривые.

ON EIGEN VALUES OF A SPECTRAL PROBLEM FOR A FOURTH ORDER EQUATION WITH MULTIPLE CHARACTERISTICS Orudzhev E.G.1, Amirova L.I.2

'Orudzhev Elshar Gurban - Doctor of mathematical science, Professor, Chief of Department; 2Amirova Leyla Ikram - PhD of mathematical science, Associated Professor, MATHEMATICAL ECONOMY DEPARTMENT, BAKU STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: the paper deals with a bundle of 4th order differential operators with multiple roots of the main characteristic polynomial. Solutions of the differential equation under investigation contain only positive degrees of the spectral parameter in the Birkhoff expansion. Generally the solution is decomposed in fractional powers of the parameter. Green's function of the boundary value problem is constructed which has its own meaning. Asymptotic disposition of these values in complex plane is considered. Established that they are concentrated along definite logarithmic curves going to infinity which written asymptotic representation of values.

Keywords: bundle of differential operators, eigen values, Green function, quasi polynomials, logarithmic curves.

УДК 517.927

2000 Mathematics Subject Classifications: 35L20, 47F05, 58J50

Рассмотрим спектральную задачу для уравнения

id2 \2 d2v , лйу

) У+ (W+

+(Я2 а (х)+ЯЬ (х)+с (х) ) у = 0 , (1)

при краевых условиях

У (0) = у ' (0) = у( 1) = у '( 1) =0 , (2)

где

р(х) е С2 [ОД], q(x) е С2 [ОД], r(x) е С1 [ОД], а(х) е С2 [ОД], b(х) £ С 1 [0, 1] , с (х) е С [0, 1] , Я- спектральный параметр.

Подобные задачи были рассмотрены в [1], при условии, что

Р ( х) = q (х) = а (х) = 0. Там же замечено, что для единственности классического решения

начально-краевой задачи I (х,-^, i-^ и = / надо задавать все четыре начальных условия по

времени £. Это приводит к изучению четырехкратной разложимости собственных и присоединенных функций задачи (1),(2). Но эти вопросы там не были затронуты. А в работе [2] краевые условия (2) рассмотрены для бигармонического уравнения, где указано, что краевая задача почти регулярна порядка 2 в смысле данной работы, но не были изучены асимптотические расположения собственных значений и не затронуты вопросы четырехкратных разложений. Асимптотика решений подобных к (1) уравнений были изучены в [3], где условия на коэффициенты такие, что обеспечивают асимптотику только для уравнений с главными членами.

В данной работе, следуя работам [4, 5], находятся асимптотические представления по параметру фундаментальных систем решений уравнения (1), изучаются асимптотические распределения собственных значений, а для исследования четырехкратного разложения по собственным и присоединенным функциям будет посвящена отдельная статья авторов. 1. Асимптотика решений по параметру уравнения (1).

т, —

Дифференциальное уравнение (1) с помощью замены = Я^у^+1 , fc = 0 , 3 можно привести к системе

£ = [Яа( « (х) +1а(" « (х) +^а(" 2)(х) +^а (" 3 )(х) ] У, (3)

где

а ( «( х) = I , а ( " «( х) = I

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

Ь(х) —г(х)

а ( "2 )( х) = I 0 0 0 0 I , а ("3)(х) =

-q(x) -р(х) 0,

0 0 0 0\

0 0 0 0 \

0 0 0 0 I ■

■с(х) 0 0 0/

Характеристическое уравнение в смысле Биркгофа-Тамаркина [3] имеет два корня в1 = £ , в2 = — £, кратности каждого из которых равны двум. Пусть Т такая матрица, что Т-га(^Т = ¿10 0 \ 0 10 о \

0 0— £ 0 I'

-оо-г/

/г 1 1 1 \

„ „ I 1 +1 -I 1 - (

Из этого условия находим, что Т = 1 . ^ ^ 21 1 I '

\ ( —3 — 1 I —3 + 1/ Производим замену У = Т ■ 2 ( хД). Тогда для 2 ( хД) имеем следующую систему:

= [ЯГ-^МГ + + 4г_1а("2) (х)Г +

йх V л

+ ±Т~ 1а(-3 ) (х) Т] г, (4)

где

Т-^-^МТ = А^1\х),Т~1а^2\х)Т = А(~2\х), Т^а^Ш = А^~3\х), элементы А(- 1)( х) , £ = 1 , 3 определяются формулами: = ¿[-(4 - 40а(х) - ¿(4 - 40 <700 + (4 - 40р(х)]; (ж) = ¿["(4 - 4()а(х) - (1 + 0(4 - 40<?(х) - (2* - 1)(4 - 40р(х)]; = ¿[-(4 - 40а(х) + ¿(4 - 40<700 + (4 - 40р(х)]; А(^\х) = ¿[-(4 - 40а(х) - (1 - 0(4 - 40<?(х) - (4 - 40(-2( - 1)р(х)]; Д^ОО = ¿[4а(х) + 4(д(х) - 4р(х)]; Л^15(х) = ¿[4а(х) + 4(1 + 0<?00 + 4(2( - 1)р(х)]; Л^ОО = ¿[4аОО - 4(<?(х) - 4р(х)];

(*) = ¿[4а(х) + 4(1 - 0<?(х) + 4(—2( - 1)р(х)]; Л^ОО = ¿[-(4( + 4)а(х) - ¿(41 + 4)(?(х) + (4( + 4)р(х)]; Л^15(х) = ¿[-(4( + 4)а(х) - (1 + ¿)(4( + 4)(?(х) - (4( + 4)(2( - 1)р(х)]; Л^15(х) = ¿[-(4( + 4)а(х) + ¿(4( + 4)(?(х) + (4( + 4)р(х)];

= ¿[-(41 + 4)а(х) - (1 - 0(4« + 4)<7(х) - (4* + 4)(-2* - 1)р(х)]; А^(х) = ¿[4а(х) + 4(<?(х) - 4р(х)]; А<£\х) = ¿[4а(х) + 4(1 + ¿)<7(х) + 4(2« - 1)р(х)]; А(4~31}(х) = ¿[4а(х) - 4(<?(х) - 4р(х)]; 44°(*) = ¿[4а(х) + 4(1 - ¿)<?(х) + 4(—2( - 1)р(х)]; А(~12\х) = ¿[-(4 - 4()Ь(х) - ¿(4 - 4()г(х)]; а(1~22)М = ¿["(4 - 40Кх) - (1 + 0(4 - 40г(х)]; Л^2)(х) = ¿[-(4 - 4()Ь(х) + ¿(4 - 4()г(х)]; А(-2\х) = ¿[-(4 - 40Ь(ж) - (1 - 0(4 - 40г(х)]; А(~12\х) = ¿[4 Ь(х) + 4(г(х)]; Л^2)(х) = ¿[4Ь(х) + 4(1 + 0г(х)]; Л^2)(х) = ¿[4Ь(х) - 4(г(х)]; ^242)(*) = ¿№(х) + 4(1 - ¿)г(х)]; Л^2)(х) = ¿[-(4( + 4)Ь(х) - ¿(4( + 4)г(х)];

А(~2)(х) = —[-(4( + 4)Ь(х) - (1 + 0(41 + 4)г(х)]; 16

4:2)(х) = —[-(4( + 4)Ь(х) + I (4-1 + 4)г(х)]; 16

Л342)00 = ¿[-(41 + 4)Ь(х) - (1 - 0(41 + 4)г(х)];

Л[~2\х) = ¿[4Ь(х) + 4 ¿г(х)];

(ж) = ¿[4Ь(х) + 4(1 + Ог(х)];

= ¿[4Ь(х) - 4(г(х)]; « = ¿[4Ь(х) + 4(1 - Ог(х)];

« = ¿["(4 - 4£)с(х)]; = -¿(4 - 40с(х);

М = "¿С4 " 40с(х); А[~3\х) = -¿(4 - 40с(х); А(2~3\х)=±С(ХУ, А(2-23\Х)=±С(Х); А(2~3\Х)=±С(ХУ, ^"43)(х) = ^С(Х);

4~13)« = -¡О + 1М*); = + 1)с(х);

*33

(-з)г^ - .

Л^М = -к1 + 1 )с(х); = + 1)с(х);

Л^3)(х) = ±с(х); 4"23)(х) = ¿с(х); Л^3)(х) = ±с(х); А^3\х) = ±с(х). Отыскивая формальные решения системы (4) в виде

1{х,Х) =

^Гл-^ООе^ ^Д"^«^ ^Д-^Й'Ме"^

v=0 v=0 v=0 v=0

^Гл-^ООе"* ^Д^Ч*)^ ^Д"^«^ ^Л^Ме'

у=0

I

у=0

2

(5)

после подстановки в (4), сокращая на е± и сравнивая одинаковые степени Я, получим следующие группы уравнений относительно неизвестных коэффициентов д^, V = 0 , сю , ( ,_/ = ОД.

Уравнения первой группы получаются сравнением коэффициентов Я1:

о о.

,(0) _ ,

-

= О

а 2

= о,

(0) _

= О,

= 0, д£\-0-д™1-д™=0

"(0) = 0, 0 = 0:

^12 ' ^12 ' $22

524 (-0 - ^ = 0 ^ = (-0 - ^ - ^ = О

^¿-^(-0-^=0 0, ^¿-^(-0 = 0 д(о)1_д(о)Ы)_д(о)=0

5зз}(-0 - 5з?(-0 - = 0 => = О,

я&Ч-О - ^(-0 " = 0 = О, 0 0 \

О

о

\ о

- д™ = о, 814 = о, 9% = О-

= о.

^з)(-0-^°з)(-0 = о,

^4)(-0-^4)(-0=0.

дЮ =

О

о

№

сг

о о

о б" о /

Уравнения второй группы получаются сравнением коэффициентов :

йх312 +312 1

-д^^-д^ =о.

- = О,

^ " = О,

5^4-0 - - = 0 => = 5и(-0 - = 0

-

(1) -

.(1); - ,

№ =

5м (-0 - гЯ'г - д(24 = 0 => = о

а^-д^-О-д^ =о

^ = о-

= о-

0« г " 0« (-0 = 0 17

= О,

?33 (

Л1) С

й _ л5" ~ 921

(о) _ „(«

а

Ъз (

^34 (

-

?43

5« ("0-5« ("0=0,

(-0-5« (-0=0.

а

дт =

со

и 5«

о

V о

йх912 922 ■ йх933 943 ■ йх934 944

5« 5« О О

о о

о

5™

а

Группируя коэффициенты при X , получаем следующую систему группы уравнений:

+ 5^ --5% -= О,

+ 912' — 912' — й,22'> — ^11 = 0. д[з(~0 ~ д[з^ ~ 923 ~А13 ^9зз = о.

(!) „М; _ „М; _ и (-!)„№ _ ,

,(2)

(2)

(1X^21 +521''' д21^ ^21 — О,

~1^д22 + д22 ^ ~ д2.2^- — ^21 = о.

йх

Д2)

(2)

1 ("1)^(0)

5з2^' 5з2^( 0 д\.2 ^31 ^12^ — 0.

~(2)

(2)

1 (-!)„№ _ ,

а

¿5^ + 5^(-0 - 5^(-0 - д% ~4» а

йх

?33 ( ~(2) /

?33 ( -,(2) /

ЙЗГ

¿5« + ^(-0 - 5®(-0 - -« =

?43 ,(2)

Д2)

а

йх

а

9% + 5ЙЧ-0 - 5ЙЧ-0 - « =

тЫ? + 5^(-0 " -А™д™ = 0.

Д2)

(2) /

1)^(0)

йх

Из этих уравнений имеем:

= .,(2) _

23 (0) »33

2(

(-1)

514 — ^ |2£Л13

йх2

а2

йх2

а2

йх2

-А

№ =

С-1)1 „(0)

23

Л-1)

23 (0) 21 д34 -

=

-1 Л23 ^ ¿'зз'1

д 34,

0(2) _±Л("1)о(0) »41 2( 41 11 '

542 2(^41 '

5ц < 5З2 = _ 4 ^ + ^41

5™ 21 5ц = о. ах911 "^11 5ц — 5г1 >

5™ — ^21 512 = о. йх912 512 — 522 '

5® 43 »33 = о. йх933 ~^зз 5зз — 543 '

5® 43 »34 = о. -а йх934 _у433 534 — 544 ■

5™;

Сравнение коэффициентов при Я 2 нам дает следующие системы групп уравнений: + 911^ ~ 911 ^ ~ 921 ~ ^11 ~ ^12 ^821 — ^11 ^911 = О, ¿¿912 + 912 ' ~~ 512 ' ~~ 922 ~ Ац 912 ~ ^12 922 ~ ^11 912 ~

а

йх

-ТГ913 +913 (-0 - 913 1 9гз ^13 9зз А14 943 ^13

("2)5®=0,

9% + ~ д№ ~ д% - А^'д^ - А

,(3)

(3)

1("1)0(1) 14 »44

^13 }5З4 —

¿¿921 +921^- ~921^ ~ ^21 ^11'' — ^22 ^921 ~ ^21 '^ц'' = 0,

+ 5г2 ' _ 5г2 ' _ ^21 512 — ^22 5г2 _ ^21 512 — ^5гз + 9гз ~ 9гз I ~ ^23 9зз ~ ^24 543 — ^23 5зз —

(¿X

524^ +5г4^( 0 524^' ^23 ^9з4 ^24 ^944 ^23 ^9з4 ~

ах9з1+9з11 931^ 0 5« ^31'^ц'* ^32 ^521^ ^31 '^ц'* — 0<

йх

а

9з2 + 9з2 ' 5З2 ( 0 ^31 512 ^32 522 ^31 512

ЗГ5зз +5зз ("О -5зз ("О " " 543 ^33 533 34 543 ^33

йх

а

("2)5™ = О,

,(3)

(3)

34 »44

4з )5З4) ~~

а

йх

а

911 ^42 ^г^ ^41 ^ц — О,

512 ^42 522 ^41 912

(1х943 + 543^( 0 5« ( 0 ^43 ^9зз ^44 ^943 ^43 ^9зЗ ~

~^944 + 544^( 0 ~д44^~0 — ^43 ^34 ~ ^44 ^44^ _ ^43 ^9з4 =

Эти группы уравнений в свою очередь дают следующие системы уравнений и представлений:

5ц А21 5ц

Л2

— о(1) -Л(_1)о(1) -«12 21 »12

й2

г!„2 9зз ^43 5зз

(-1)„(1) _

ах2 Ш2

а

934 ^43 534

.„М _ - 4

йх 11 11 11

— а(2) - А^ ат - А (1х 33 33 33

534 ^33 534 ^

(-1)„(1).

йх

А^+А^]

а

А^+А^Л

J йх а

№ +

ЛЛ11 +Л21

— о(0) +

—Л(_1) + А

.сьЛ1 +Л21

(-2)

4-Я

а

(0)

44 ]сгх а

^5зз +

(-1)

+ А

Л33 + 44 1

J йх

5™ +

ЛЛ33 +Л«

(-2) 43

(-2)

-1) 12

-1) 12

а

5ц ^ц 5ц 5г1

(-2)„(0) _ „(з)

сЬГ

^512 — ^11 512 — 522 '

а

-1) " (0)_л(-2) (0) _ (3)

34 (Их 33 33 33 «43'

(0) _ .(-2) (0) _ (3) .

34 (Цх ЗА 33 34 44 '

е

5™;

5« 2£

— о(2) -Л(_1)о(1) -Л(_1)о(1) -Л("2)о(0) йх 41 41 11 42 21 41 11

3?2 21 3з1 21

Зз2 21

о(3) = -923 21

а?4 = ^

о(3) = -313 21

3?4 = ^

— о(2) -Л(_1)о(1) -Л(_1)о(1) -Л("2)о(0)

¿[X 42 41 »12 42 »22 Л41 »12

~^3з1 + 541 ~ А31 Зц ~ А32 921 ~ А31 9ц ~^3з2 + 542 ~ А31 912 ~ А32 922 ~ А31 912

— о(2) -Л(_1)о(1) -Л(_1)о(1) -Л("2)о(0)

23 23 »33 24 »43 л23 »33

— о(2) -Л(_1)о(1) -Л(_1)о(1) -Л(_2)о(0)

¿[X 24 23 »34 24 »44 л23 »34

+ 52з — ^13 5зз — ^14 543 — ^13 5зз

.(¿Х

914 +524 ^13 534 ^14 544 ^13 5з4

После сравнения коэффициентов при X 3 находим группы уравнений:

4 2

^5® 921

йх9[32 922

¡=1 4

¡=1 2

- У - А'-,"д<$ = 0.

(3)

(¿X

й йх

а

91з

= о.

¡=1 4

¡=3 4

(3)

5м'

2^5«

¡=1 4

¡=1 2

йх^22 ^¡г'1 '>5ц') ^21 ~~

(3)

(¿X

а

йх

а

923

'2£

5ц ^гз 5зз ~~ О,

¡=1 4

¡=3 4

- = 0;

4 2

~^3з1 ~ ^9з1 ~ 941 ~ ^^з; ^и? ~

1=1 1=1

й 4 2

¿¿Зз2 ~ 2'5З2) _ 5« - ^^з; ^312 ~ ^^з; ^Во? ~ ^31 ^ 9\г = 0> 1=1 1=1

й 4 4

~^3зз ~ З43 ~ ^^з; )з{3) ~ ^^з; '>5ц'> — ^зз ^Ззз =

1=1 1=3

"4М = 0;

1=1 1=3

Л 4 2

йх

1=1 1=3

4 4

¡=1 ¡=3

$ + - £ А™д%> - £ - = О,

¡=1

4

¡=1 2

,("2) (1) ,(-3) _(0) _ .

+ 2~ № -А^'дХ = О,

1=1 1=1

ах9^ X

- > А^дП

¡=1 4

4з ^Узз ~

¡=з

4

¡=1 ¡=3

Из этих и предыдущих групп уравнений находим следующие неоднородные уравнения 2-го

(2) (2) (2) (2) , - (4) (2)

порядка относительно и представления функций :

1х2 +

У11 21 «11 - [Л11 22 ] «11 12 ¿х2Уи +

а

+

(-2)

¡¿х 12 + Л11 22 'а

йх

йх

("2)1 „(1) 21

9ц +

С1х 11 22 11 4 23 ^1Л31

"1

а(-1)л(-1) 2( 24 41

а2

(-3)

_!__4-

1 = 1,2.

йх23з1 43 У32 -[А33 +А44 +Л31 ^31 +

,(-2) , .(-2)

^33 ^44 +^4З'|5З;

а

+

— 4- 4- А

34 + Л33 44

'А/-1) +1 л(_1) - Л(_1)

¡¿х 33 +4Л41 ^1Л13 23

"(-1)/-1) .(-1)1 „(0) ( _ зд

а

а

(-1)+л(-2)

42 23

(4) _ Л (3) _ ,(-1) (2) _ ,(-1) Л (1) _ ,(-2) (1) _ ,(-2) ± (0)

«21 — У11 Л11 У11 12 (¿хУи 11 У11 12 с1х 11

+

а

1х

12 Л11

(и

2^31 ^ + ^41 ^

>1 с-Л С-1) С-З)

14 41 Л11

Аналогичным образом находятся остальные коэффициенты д ( . Продолжая процесс, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я" 1/, V > 4, можно определить все коэффициенты матрицы (5).

Из (5) можно написать следующие представления решений системы уравнений (3):

(6)

I

(с=3 к

УпШ) = [д™(х) +-лГк=1У(к11'(х) +^П=1У(к,

4 4

IV . IV

у и ОД) =

¿Ял: / _

,1 = 3,4

Здесь функции Яг(х,Я) , (х,Я) , I = , I = 0 ,4 ограничены при достаточно больших значениях и непрерывны по .

Покажем, что представления (6) составляют фундаментальную систему частных решений

уравнения (1). Из замены = Яу2 1 имеем, что

йугг

Лу21

йх

а из = Яу3 1 имеем у3 1 = Я 2 й У1 1 . Далее из ^^ = Яу4 1 находим

ЛУзг йх

У21 =Л _

у41 = Я"3 1 . Непосредственной подстановкой в (1) убеждаемся, что у! 1 является решением. Аналогично проверяется, что остальные функции также являются решением уравнения (1). Для проверки независимости этих решений заметим, что если у ( х,Я) фундаментальная матрица системы (3), то

должно быть и этот детерминант для нашего уравнения отличен от нуля.

/ УцОД) уОД) У13ОД) У14ОД) \

^¿у(хД) =

д_1 йу^хМ д_1 йу12(хМ д_1 йу13(хМ д_1 йуи(хМ

йх йх йх йх

Д-2 й2угг(хЛ) Д-2 Л2у12(хЛ) Д-2 д-2 ^УмС^Д)

йх2 УиЬ йх3

* 0.

йх2 йх2 йх2

I 1-3 Л3Угг(*Л) д_3 й3у12(хМ д_3 сг3у13(а:,Я) д_3 сг3у14(а:,Я) ^ йд;3 йд;3 йх3 йх3 '

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Дифференциальное уравнение (1) в каждой из полуплоскостей

имеет фундаментальную систему частных решений, допускающих асимптотические представления (6).

2. Собственные значения задачи (1)-(2).

Решение неоднородного уравнения (1) с правой частью / (х) , удовлетворяющее краевым условиям (2) записывается в виде:

УОД) = J д f(Odf,

где

Д(А) =

^i(yi) У2(У1)

tf3(yi) y4(yi)

t/2(y2) y3(y2)

y4(y2)

^(Уз) У2(Уз) Уз(Уз) У4(Уз)

UM У2(У4) Уз(У4) f4(y4)

(7)

(8)

Д(х, f. Я) =

gix.f.X) У1(хД) у2(хД) Уз(хД) у4(хД) fite), и2(д)х

и3(д)х Д(А)

и4(g)х

(9)

(10)

tfi(y)=y(0). t/2(y)=y'(0), t/3(y) =y(i), t/4(y)=y'(i)

5(х,<?Д) = ± Zi=iyfe(x,A)W4fc(f,l)/2W(f,l), +если f < x, — если f > x

^ (х, О - определитель Вронского от фундаментальных систем решений, VK4 хД) - алгебраическое дополнение элементов (4, fc) в VK ( хД) . Непосредственный подсчет показывает, что Д (Я) имеет вид: д(Я) = е-2 [ (4Яг _ 2 ) е2 а + е4я + (П)

Производим замену (Я = z и рассмотрим выражение

Д (г) = е- 2г [ ( _4z2 _ 2 ) e2z + e4z + 1] . (12)

Построим на плоскости две криволинейные полосы , определенные неравенством Vx: \Re(z + lnz)\ < Съ V2: I Rе ( z — inz)| < q. В полосе имеет место

|—4z2g2z| _ |4g2inzglz| _ |g2(z+inz)| _ g2fle(z+inz)

|g4z| _ |g4z+4inz-4inz J _ |g4fle(z+inz) J . j^-41nzj — q4Re(z+lnz) . 1

В полосах соответственно имеет место .

Геометрическое изображение точек z, расположенных в l определяются так: Re(z + Inz) = С, z = х + iy, Re[x + iy + ln(x + iy)] + i(arg(x + iy)) = C,

x + ln,Jx2 + у2 = С , 1Jx2 +y2 = ec~x

i

9 C-x „ Г C-x „]2 C-Xr

у2 = е 2 — х 2 , y = ±l ег — х 2 I =+е»[1 + о ( 1)] , m = 1.

А теперь обозначим область между полосами Vi,V2 через Uь область слева от полосы через и область справа от полосы через , определенных неравенствами: U^.Reiz + Inz) > С1( fie(z - inz) < -С1( U0:Re(z + Inz) < -C1( U2:Re(z - Inz) > Q

Рис. 1. Геометрическое изображение

Существуют положительные постоянные Сц, С2 , такие, что ни один нуль, для которых I г | > С2 не лежит в облястях ( к = 0 , 1,2 ) .

В полосе К2 справедливо: — С! < IIе(г — (пг) < Сь \-4г2е22\ = \22е2х+21пх-21пх^ = е2С . д^) _

\е2х\ = е42+41п2~41п2 = е4С ■ 0(г4).

В секторе — Сх < IIе (г — (пг) < С1 нули л(т) асимптотически совпадают с корнями

+ е4г = 0.

уравнения Отсюда

e4z(l - 4z2e~2z) = 0 => 1 - 4e2lnz~2lnz = о => => 1 - 4е-20-гпг) = о , z-lnz = t, 1 — 4е"2£ = 0 =>

=> t = -ln- — kni => z — Inz =-In-— kni,

2 2

zx + iz2 — lnz2 — iargz = — kni => argz -> Щ,

zx — lnz2 = —Ini, z2 — argz = —kn => z2 = —kn ± ^,

Zi = —In— + In —kn + -1 2 L — 2

= + in [_fejr ++ i [-for ±

(2)

Точно таким же образом получим, что нули г^ , расположенные в полосе К2 , являются

г® = 1п2 + in [-kn + [~кп ± , к = ±1, ±2.....

значит имеются две серии собственных значений:

j(i) -

= [-/от+f] - i [in [feTT +-Ц] +0(1), fe = ±1, ±2,... (13) 2 2 2

л® = - г

in2 + In for +

:f]]+0(l).

к = ±1, ±2,...

Теорема 2. Краевая задача (1)-(2) имеет бесконечное число собственных значений, описывающихся асимптотическими формулами (13).

Список литературы / References

1. Гасымов М.Г., Магеррамов А.М. Прямые и обратные спектральные задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных пучков на конечном отрезке. // Дифференциальные уравнения, 1987. № 6. Стр. 960-971.

2. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1983. Вып. 9. Стр. 190-229.

3. Вагабов А.И. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с кратными характеристиками по параметру. // ДАН СССР, 1985. Т. 283. № 5. Стр. 1047-1050.

4. Оруджев Э.Г. О краевых задачах для дифференциального уравнения четвертого порядка, полиномиально зависящего от спектрального параметра. // Доклады АН ССР, 1989. Т.ХЬУ. № 10. Стр. 7-11.

5. Оруджев Э.Г. Краевые задачи для дифференциальных уравнений четного порядка с кратными характеристиками. // Доклады Академии наук России, 1999. Т. 368. № 1. С. 14-17.

ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С ОДНИМ КРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КОРНЕМ Зульфугарова Р.Т. Email: Zulfuqarova17132@scientifictext.ru

ЗулфугароваРена Тахир - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе рассмотрена краевая задача для произвольного уравнения четного порядка со спектральным параметром, полиноминально входящим и в уравнение, и в краевые условия. Особенностью данной задачи является то, что характеристические уравнение в смысле Биркгофа-Тамаркина имеет единственный кратный корень. Здесь найдены достаточные алгебраические условия на коэффициенты уравнения, при выполнении которых дифференциальное уравнение имеет Биркгофскую асимптотику решений. Выделен класс регулярных краевых условий. Для них получена оценка функции Грина вне малой окрестности собственных значений при больших по модулю значениях спектрального параметра. Для достаточного порядка гладких функций, обращающихся в нуль на концах рассматриваемого интервала вместе с производными определенного порядка, найдена формула 2п-кратного разложения по собственным и присоединенным функциям.

Ключевые слова: спектральная задача, функция Грина, собственные значения, характеристический корень, формула кратного разложения.

THE DIFFERENTIAL EQUATION OF AN EVEN ORDER WITH ONE MORE THE BRIEF CHARACTERISTIC ROOT Zulfuqarova R.T.

Zulfugarova Rana Tahir - PhD of mathematical science, Associated Professor, MATHEMATICAL ECONOMY DEPARTMENT, BAKU STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: the article is considered that a boundary value problem for an arbitrary equation of even order with a spectral parameter which included polynomials in both the equation and the boundary conditions. The main of this problem is that the characteristic equation in the sense of Birkhoff -Tamarkin has a single multiple root. We have found sufficient algebraic conditions for the coefficients of the equation under which the differential equation has the Birkhoff asymptotic of solutions. Selected the class of regular boundary conditions. Obtained estimation for the Green function outside a small neighborhood of eigenvalues for large modulo values of the spectral parameter. For sufficiently smooth functions that vanish at the ends of the interval under consideration, together with derivatives of a certain order, a formula second is found - a multiple expansion in associated functions. Keywords: spectral problem, Green function, eigenvalues, characteristic root, multiple decomposition formula.

УДК 517.927