CC BY
57
УДК 517.958
И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский, Д. Н. Тумаков О СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ СЛОИСТОГО УПРУГОГО КОМПОЗИТА
Ключевые слова: собственные колебания, слоистый композит, метод переопределенной граничной задачи.
Исследована задача о собственных гармонических колебаниях упругого слоистого композита. Проведен вычислительный эксперимент для случая трехслойного композита плексиглас-каучук-плексиглас.
Key words: eigen oscillations, layered composite, the over-determined boundary value problem method.
The problem on eigen harmonic oscillations of the elastic layered composite is considered. The calculating experiment in the case of three-layered composite plexiglas-caoutchouck-plexiglas is carried out.
Слоистые пластины, составленные из однородных слоев, широко используются в конструкциях различного назначения, в том числе в авиационной и космической технике [1], [2]. Механические свойства слоистых сред изучались, например, в монографиях [3], [4], [5]. В работе [6] рассмотрено поведение многослойной упругой геологической среды при распространении упругих возмущений.
Вопросам проектирования многослойных композиций посвящена работа [7]. Композитные материалы не только обладают высокой удельной прочностью и жесткостью, но они часто приобретают особые свойства, которые не наблюдаются у отдельных их частей. При определенных зависимостях между параметрами слоев, слоистый композит становится волноводной структурой, в которой могут распространяться акустические, электромагнитные или упругие волны.
Волноводные свойства слоистой упругой среды могут быть исследованы различными способами. Выбор метода зависит от того, как соотносятся друг с другом толщины слоев и длины упругих волн. При изучении акустических и упругих волн в природных слоистых средах чаще используются строгие математические модели [8], [9], [10]. При большом количестве периодически чередующихся тонких слоев целесообразно использовать асимптотический метод осреднения [11], [12].
В данной работе рассмотрена двумерная задача о собственных гармонических колебаниях упругой слоистой среды. Использован метод переопределенной граничной задачи [13]. Этот метод использовался ранее при исследовании собственных колебаний в упругих волноводах [14], [15] и при изучении свойств слоистого композита с периодическими включениями [16].
1. Постановка задачи
Пусть прямые у = 11-, ] = 0...П, 1 <Л1< ... < ЬП разделяют плоскость (х,у) на две полуплоскости йо : у < 1о, йП +1 : у > ЬП и конечное число полос
О : И- 1 < у < Ь-, - = 1...П . В каждой полосе и, может быть, в полуплоскостях, нужно найти
напряжения и перемещения и(Х)(х,у), и(у)(х,у), а<(/)(х,у), )(х,у), г(-)(х,у),
удовлетворяющие системе уравнений [16]
дох дг 2 п дг д°- 2
—x + — + po2ux = 0, — + —- + po2u„
dx dy x dx dy y
,. _ . dux . duy . dux .. _ . duy л
ax - (A + 2fj)—----------— = 0, Gy-A—-----------------------------------------------(A + 2j)~— = 0 (1)
dx dy dx dy
дих диу
т_ц^_Ц^ = о
ду дх
при р = р(-), X = X-), ц = Ц-), здесь р - плотность среды, X и ц - коэффициенты Ламе.
На границах у = 1- раздела слоев должны выполняться условия сопряжения. Пусть упругие среды находятся в полном контакте, тогда следы (предельные значения) функций их, и у, а у , т при у = 1- должны совпадать. Будем обозначать
и(ха(х), и^х), а(^(х), Т\х) следы искомых функций на границе у = Ь-_1 и и(хЬ)(х), иуЬ)(х), а(^(х), т, )(х) на границе у = 1- . Следовательно, при полном контакте слоев
и(-+1) = и (-) и(-+1) = и (-) а(-+1) = а( -) т(-+1) = Т (2)
иха - ихЬ’ иуа ~ иуЬ’ °уа ~ °уЬ' 1а ~ ТЬ' ^
При другом взаимодействии упругих сред, например, при скольжении с трением или
без трения, условия сопряжения (2) будут иными.
Условия на прямых у = 1 и у = 1!П также выбираются из физических соображений. Условия вида (2) сохраняются, если полуплоскости заполнены упругой средой, находящейся в полном контакте с прилегающими полосами. Если, например, полуплоскость О недеформируемая (жесткое основание), то
и(0 = о иуо,1=°. (3)
Если граница у = 1П полосы йП свободная (в полуплоскости йП+1 отсутствует упругое поле), то
а,1=о, ТП+1)=о. (4)
Кроме того, в полуплоскостях Оо и йП +1 решения системы уравнений (1) должны
удовлетворять дополнительно условиям на бесконечности.
В дальнейшем остановимся на следующем варианте задачи сопряжения. Будем искать ненулевые решения системы уравнений (1) в полосах й-, - = 1...П и в полуплоскости Оо,
удовлетворяющие условиям сопряжения вида (2) на прямых у = 1-, - = 1. П _ 1 и граничным
условиям (4) на прямой у = ЬП .
2. Связи между следами напряжений и перемещений
В каждой части волноводной структуры рассмотрим вспомогательную переопределенную граничную задачу. Предположим, что на границе области й- заданы
следы напряжений и перемещений и^), и(у), ау), т(-) (граничные функции). Сведем
исходную задачу сопряжения к линейной системе уравнений для определения всех граничных функций. Часть уравнений этой системы - условия сопряжения (2) и граничные условия (4), а остальные уравнения - необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенных задач.
Как показано в работе [18], переопределенная граничная задача для полосы й- имеет
решение тогда и только тогда, когда образы Фурье восьми граничных функций удовлетворяют четырем уравнениям
[Т ‘ ЧЫ£({) _ Р _ 2)и\1>({)] _
_ [Т'>(£)+А ‘ )(^>ст^Ь)с^> _ 2ц< ‘\Ы№) _ IР _ 2ц2 е1 ‘){а11- __1)=о,
[Т\$) _ а - +2'1Цу1 )(^)иха)(^) _ црш2 _ 2ц<г2)и<4)(^)]е,,1< - )(да- _1 _1)
112
_ аТ )(а) _ Ил(£ а$(£)+2/ц^х!- )(^)и х{)(£) _ р _ 2ц^2)и(уь)(^)] = о,
А- )а)1 _ь-_1) = о
- А )а)Т )(а)+а-а)+р - 2ца 2)ихь)(а)+2ца2 ) аи^а)]=о.
Здесь
ределенной
Систему уравнений (2), (4), (5), (6) можно преобразовать так, что количество уравнений и неизвестных функций существенно уменьшится. Идея такого преобразования предложена в работе [19]. Действительно, рассмотрим равенства (5) при - = 1. Выразим "нижние" следы (с индексом а) через "верхние" (с индексом Ь) и заменим первые нижние следы на нулевые верхние в соответствии с равенствами (2) при - = о . Подставим выражения нулевых верхних граничных функций в условия (6) и получим новые условия, связывающие первые нижние функции. Отсюда с помощью равенств (5) при - = 2 и равенств (2) при - = 1 получим связи
между вторыми нижними следами, и так далее, пока не дойдем до самого верхнего слоя йП .
3. Характеристическое уравнение
Множество собственных волн (мод) слоистого композита можно построить при дополнительном предположении, что зависимость всех искомых функций от координаты х
имеет вид е~'ах. В этом случае величина а играет роль спектрального параметра. Нужно найти такие значения а, при которых существуют ненулевые решения рассматриваемой
задачи сопряжения для системы уравнений (1). Так как образ Фурье функции е_1ах является 8 -распределением (дельта-функцией) ^2ж8(^ _а)[-], то в системе уравнений (2), (4), (5), (6) все искомые образы Фурье - такое же 8 -распределение, умноженное на неизвестные постоянные. Система уравнений для определения этих постоянных легко может быть получена из уравнений (2), (4), (5), (6), если все искомые образы Фурье граничных функций заменить на постоянные, а переменную а, где она еще осталась, заменить на параметр а. Тогда мы получим спектральную задачу: найти значения параметра а, при которых обращается в нуль определитель матрицы коэффициентов полученной системы линейных алгебраических уравнений.
В некоторых случаях удобно иметь дело с определителем системы линейных уравнений, полученной при переносе граничных условий с прямой у = Ьо на прямую у = 1!П (см. выше).
(6)
4. Вычислительный эксперимент
Был проведен вычислительный эксперимент. Найдены зависимости фазовых скоростей собственных волн от частоты колебаний для трехслойных волноводных структур, размещенных на полубесконечной подложке. В первом случае (рис. 1) на алюминиевой подложке чередуются слои плексиглас-каучук-плексиглас, толщина каждого слоя 1 мм.
3000
2000
1000
0 20 40 60 80 100 кНг
Рис. 1 - Фазовые скорости мод структуры плексиглас-каучук-плексиглас
Во втором случае (рис. 2) рассматривалась структура каучук-плексиглас-каучук, также на алюминиевом основании.
Рис. 2 - Фазовые скорости мод структуры каучук-плексиглас-каучук
Выбранные параметры сред представлены в табл.1.
Установлено, что на частоте 50 кГц в первом случае старшая мода является волноводной, ее энергия сосредоточена в центральном слое, а младшая - релеевская мода в подложке. Для второй структуры старшая мода - релеевская в верхнем слое, а младшая -релеевская в подложке (не проникающая в тонкие слои).
Таблица 1 - Параметры сред
Плотность, кг/м3 Скорость продольной волны, м/сек Скорость поперечной волны, м/сек
Алюминий 2700 б212 3058
Каучук 930 198 54
Плексиглас 1180 2б72 1284
Работа выполнена при поддержке РФФИ и АН РТ (проект 09-01-97009-р-поволжье-а).
Литература
1. Победря, Б.Е. Механика композиционных материалов / Б.Е. Победря - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 336 с.
2. Кристенсен, Р. Введение в механику композитов / Р. Кристенсен - М.: Мир, 1982. - 334 с.
3. Алфутов, Н.А. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов / Н.А. Алфутов, П. А. Зиновьев, Б.Г. Попов - М.: Машиностроение, 1984. - 446 с.
4. Васильев, В.В. Механика конструкций из композиционных материалов - М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.
5. Королев, В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс / В.И. Королев - М.: Машиностроение, 1965. - 272 с.
6. Кипоть, В.Л. Частотно-избирательные свойства стратифицированной геологической среды / В.Л. Кипоть, Д.Н. Тумаков // Георесурсы. - 2009. - №1. - С. 33-35.
7. Сугоняко, Д. В. Разработка многослойных композиций на основе полиэтилена и поливинилхлорида / Д.В. Сугоняко, А.Е. Заикин // Вестник Казан.. технол. ун-та. - 2008. - №5. - С. 130-134.
8. Бреховских, Л.М. Волны в слоистых средах / Л.М. Бреховских - М.: Наука, 1973. - 344 с.
9. Ewing, W.M. Elastic waves in layered media / W.M. Ewing, W.S. Jardetzky, F. Press - McGraw-Hill Book Comp., 1957. - 380 pp.
10.Петрашень, Г.И. Основы математической теории распространения упругих волн / Г.И. Петрашень // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып. XVIII. - Л.: Наука, 1978.
- 248 с.
11..Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко - М.: Наука, 1984. - 352 с.
12.Sanchez-Palencia, E. Non-homogeneous media and vibration theory / E. Sanchez-Palencia - Lecture Notes in Physics, vol. 127. Berlin: Springer-Verlag, 1980. - 398 pp.
13.Плещинская, И.Е. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции волн / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Ученые записки Казанского гос. ун-та. - 2005. - Т.147, кн. 3. - С.4-32.
14.Тумаков, Д.Н. Собственные колебания двух сопряженных полос / Д.Н. Тумаков Препринт ПМФ-06-04. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. - 26 с.
15. Тумаков, Д.Н. _Распределение энергии в плоском упругом волноводе / Д.Н. Тумаков Препринт ПМФ-06-02. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. - 30 с.
16.Плещинская, И.Е. Преобразование электромагнитного излучения слоистым композитом с тонкими проводящими периодическими включениями / И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - №11. - С. 147-153.
17.Гринченко, В.Т. Гармонические колебания и волны в упругих телах / В.Т. Гринченко, В.В. Мележко
- Киев: Наук. думка, 1981. - 284 с.
18.Плещинский, Н.Б. Отражение, преломление и дифракция двумерных упругих волн. Метод переопределенной задачи Коши / Н.Б. Плещинский Препринт ПМФ-04-01. Казань: Казанск. матем. об-во, 2004. - 34 с.
19.Махер, А. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения / А. Махер, Н.Б.Плещинский // Изв. вузов. Матем. - 2002. - №1. - С.45-56.
© И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected]; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной математики ПФУ, [email protected]; Д. Н. Тумаков - канд. физ.-мат. наук, доц. той же кафедры, [email protected].
