CC BY
47
элементов 10, 11, 12 отсутствуют, но есть сигнал на входе органа выдержки времени 23. По истечении заданной выдержки времени, выбираемой по условию селективности с защитами смежных линий, на выходе органа 23 появляется сигнал, который через орган сигнализации 24 поступает на исполнительный элемент 18. Выключатель линии отключается с выдержкой времени.
При КЗ «за спиной» защиты (при обратном направлении мощности КЗ) на выходах одного или всех ИОТ и пороговых элементов ПЭ могут появляться сигналы. Однако сигнал на исполнительный элемент ИЭ не поступает, так как сигналы на выходах всех ИОМ отсутствуют.
В Ы В О Д
Предложенный принцип выполнения токовой направленной защиты линии благодаря введению принципа адаптивности позволяет уменьшить число измерительных органов тока, повысить защитоспособность и увеличить быстродействие.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Ф е д о с е е в, А. М. Релейная защита электрических систем / А. М. Федосеев. - М.: Энергия, 1976. - С. 154-159.
2. Г е л ь ф а н д, Я. С. Релейная защита распределительных сетей / Я. С. Гельфанд. -М.: Энергоатомиздат, 1987. - С. 232-234.
3. Ф е д о с е е в, А. М. Релейная защита электроэнергетических систем / А. М. Федосеев, М. А. Федосеев. - М.: Энергоатомиздат, 1992. - С. 223-231.
Представлена кафедрой
электрических станций Поступила 5.05.2007
УДК 621.3.061
О СОБСТВЕННЫХ ЧИСЛАХ МАТРИЦЫ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Докт. техн. наук САФАРЯН В. С.
ЗАО «Научно-исследовательский институт энергетики» (Республика Армения)
Уравнение состояния цепей с сосредоточенными параметрами представляется в виде
X г = АХ г + В\\ г , (1)
где для линейных и постоянных во времени цепей: А - квадратная матрица с постоянными элементами; W - вектор входного сигнала; Х - вектор состояния цепи, компонентами которого являются напряжения на емкостях и токи в индуктивностях [1].
Элементы матриц А и В постоянны и определяются параметрами элементов цепи и ее конфигурацией. Матрицу А назовем матрицей уравнений состояния цепи. Точка над переменной означает производную по времени.
Если заданы начальное состояние цепи при ( = О (Х0 =Х(0)), а также форма входного сигнала для ( > О, то состояние цепи по (1) определяется однозначно [1].
Преимущества уравнения состояния цепи (1) заключаются в том, что ряд концепций системно-теоретического характера легко применяется к электрическим цепям, а также эта форма применима к нелинейным и (или) изменяющимся во времени электрическим цепям.
Рассмотрим линейные и инвариантные во времени электрические цепи. Предположим, что электрическая цепь не содержит контуров, состоящих только из емкостей, и сечений, состоящих только из индуктивностей. При этом порядок матрицы А равен числу элементов цепи, накапливающих энергию [1].
Свободное состояние цепи описывается линейной однородной системой дифференциальных уравнений:
X = АХ;
X 0 = Х0. к '
Собственные значения >ч. Х2. ..., А„ матрицы А называются собственными частотами цепи [1]. В общем случае собственные частоты цепи могут быть также и сопряженно-комплексными, так как матрица А с действительными элементами несимметрична [2]. Известно также [1], что Яс Л, <0, I = \.п. и компоненты вектора состояния цепи являются затухающими:
п _
X, г1 ^^КувЧ, 1=\,п, (3)
м
где К зависит от начального состояния, параметров и топологии цепи.
Характер затухания компонентов вектора состояния и энергетические процессы (обмен и рассеивание) зависят от типа корней (простые, кратные, сопряженно-комплексные) характеристического многочлена матрицы А.
Целью настоящей работы является формализация составления матрицы состояния и исследование собственных чисел для монотонных электрических цепей.
Приведем некоторые определения.
Монотонной (Ь или С) назовем электрическую цепь, состоящую из однотипных реактивных элементов и активных сопротивлений. Дерево (дополнение) графа электрической цепи назовем Л-типа, если его ветви содержат только активные сопротивления (Л-ветви). Л-контур (сечение) - это контур (сечение), образованный только Л-ветвями.
Рассмотрим монотонную Ь-цепь. Все дальнейшие рассуждения сопровождаем рассмотрением примера цепи на рис. 1.
Поскольку в монотонной ¿-цепи все сечения содержат хотя бы одну Л-ветвь, можно утверждать, что монотонная ¿-цепь имеет хотя бы одно Л-древо. Если Л-деревьев несколько, значит, монотонная ¿-цепь содержит Л-контур. В приведенном примере выберем дерево с ветвями гх, г2, г3 (ветви с сопротивлениями Ль Л2, Л3 не могут быть в дереве) и составим систему методом контурных токов:
¿171 + + А\ + гг14 = 0; ¿24+ Я2+Г2 72 +Г274 =0 ¿3/3 + Я3+г3 /3 + Г374 = 0;
7} + г2 + гз + г4 74 + 7^ + Г272 + Г373 = 0.
(4)
Рис. 1. Монотонная ¿-цепь и ее граф
Исключая ток /4, получим:
М + ~ ^12г2 ~ ^13г3 - 0; 13/3 ЛзА ./^32^2 ^ -/^33/3
(5)
б
а
4
Г А"-А"- Г 7 Г
где +гг +-; Л, =--г = г1 + г2 + г3 +г4.
г г
В матричной форме систему уравнений (5) представим в виде
ьД+нэх=о, (6)
где Ь - диагональная матрица индуктивностей; Яэ - эквивалентная матрица контурных сопротивлений; Х - вектор токов индуктивностей. Сопоставляя (6) и (2), получим
А = -1^КЭ (7)
Матрицы Яэ и Ь являются симметричными и положительно определенными, а матрица их произведения - несимметричной. Покажем, что матрица А подобна некоторой симметричной матрице, т. е. ее собственные числа действительные.
Принимая в качестве матрицы преобразования Т = Ц2. получим С = Т 1.К Т-1=42 Ь'К, I 1 -I 1
т. е. симметричная матрица С подобна матрице (-А). Покажем, что симметричная матрица С - положительно определенная. Для любого ненулевого вектора Х имеем
X' ь(;2и,ь(;2 х=>" я ,>•><),
так как матрица Ыэ положительно определенная, а у = 2Х.
Таким образом, можно утверждать, что собственные числа несимметричной матрицы А - действительные и отрицательные.
Исходя из изложенного выше, приведем алгоритм формирования матрицы состояния для ЯЬ-цепей:
1. Выделяется в цепи произвольное Я-дерево (отсутствие Я-дерева означает, что нарушено условие независимости токов в индуктивностях).
2. Составляется матрица контурных сопротивлений для полученной системы независимых контуров закорачиванием индуктивностей в ветвях дополнения.
3. Исключаются те контуры, токи которых не являются индуктивными, и получается эквивалентная матрица контурных токов.
4. Составляется уравнение состояния цепи: Х = АХ, где Х-вектор токов в индуктивностях; А = -Ь^Яэ; Ь - диагональная матрица индуктивностей; Яэ - эквивалентная матрица контурных сопротивлений.
Рассмотрим монотонную С-цепь (рис. 2). Предположим, что монотонная С-цепь не содержит контуров, состоящих только из емкостей.
«1
Л-ветвь, можно утверждать, что монотонная С-цепь имеет хотя бы одно «-дополнение. Если Л-дополнений несколько, значит, монотонная С-цепь содержит Л-сечение. В приведенном примере выберем дополнение с вет-
вями г, Г (ветви с сопротивлениями Я\ и Я2 не могут быть в дополнении) и составим уравнение для сечений:
+ 1//^ + \/г2 + 1/г; щ + 1/^+1/^ иг+ 1/^+1/^ и2+\/г2и3=0; 1/г3 + 1/г2 + и2 + 1/^+1/^ + 1/^+1/^ и2+\/г2и3=0; С2м2 + 1/Л2 + 1/г2 + 1/гг и2 + 1/^+1/^ + 1/^+1/^ иг+\/г2и3=0; С3й3 + \/г2и3 + 1//"2м1 + \/г2иг +\/г2и2 =0.
Исходя из принципа дуальности, как и в рассмотренном случае, устанавливаем, что для монотонной С-цепи матрица уравнений состояния имеет только действительные (отрицательные) собственные числа.
Рассмотрим численный пример (рис. 3).
а б
Я1 I
¿1 ,
«1 I
11.
Рис. 3. Электрическая цепь численного примера
Значения параметров цепи на рис. 3 следующие; г1 = Я1 = 1 Ом; г2 = = «2 = 2 Ом; Гз = «3 = 3 Ом; ¿1 = 1 Гн; ¿2 = 2 Гн; ¿3 = 5 Гн.
Выбирая в качестве «-дерева ветви с сопротивлениями гь г2 и г3, составляем матрицу контурных сопротивлений для схемы рис. 3б, которая получается из схемы рис. 3 а закорачиванием индуктивностей:
Я =
Я1 + гг
~Г1 0 "2 -1 0
г1 + г2+г3 ~гъ = -1 6 -3
~гъ Я2+г3_ 0 -3 5
Матрицу состояния электрической цепи получаем по формуле (7):
А = -
Я1 + гг /А
о
-1/А
-Г2+Г3
-г3/Ь3
0
г1+г2+г3 ¡1.2
-1^11-2
Я2+г3 /Ь3
-2 1 0 0,5 -3 1,5 0 0,6 -1
Составляем характеристический многочлен матрицы А и определяем ее собственные числа:
А3 + 6А2 + 9,6А, + 3,7 = 0; \ =-3,644; к2 =-1,788; Х3 =-0,569.
Следовательно, все собственные числа матрицы А действительные и отрицательные.
¿
2
Я
я
¿
0
В Ы В О Д Ы
1. Разработан алгоритм формирования матрицы уравнения состояния монотонных цепей, который сводится к следующему:
а) в монотонной ¿(С)-цепи выделяется произвольное Л-дерево (дополнение). Отсутствие Л-дерева (дополнения) в монотонной ¿(С)-цепи означает, что нарушено условие независимости токов (напряжений) в индуктив-ностях (емкостях);
б) составляется матрица контурных сопротивлений (сечений проводи-мостей) для полученной системы независимых контуров (сечений) закорачиванием индуктивностей (размыкание емкости) в ветвях дополнения (дерева);
в) исключаются те контуры (сечения), контурные токи (напряжение сечений) которых не являются индуктивными токами (емкостными напряжениями), и получается эквивалентная матрица контурных токов (проводи-мостей сечений);
г) составляется уравнение состояния цепи Х = АХ, где X - вектор токов в индуктивностях (напряжений на емкостях); А = -Ь^Яэ; А = -С^Сэ; МС) - диагональная матрица индуктивностей (емкостей); Яэ(Сэ) - эквивалентная матрица контурных сопротивлений (проводимостей сечений).
2. Показано, что собственные числа несимметричной матрицы уравнений состояний для монотонной цепи действительные.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Д е з о е р, Ч. А. Основы теории цепей / Ч. А. Дезоер, Э. С. Ку. - М.: Связь, 1976. -286 с.
2. Г а н т м а х е р, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1967. - 575 с. Представлена Ученым советом Поступила 5.05.2006
УДК 621.311.017
О ПОИСКЕ ЗОН ОПТИМАЛЬНОЙ РАБОТЫ АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ И ТРАНСФОРМАТОРОВ
Канд. техн. наук, доц. ГОНЧАР А. А.
Белорусский национальный технический университет
В литературе по электротехнике появляются материалы, посвященные поискам зон оптимальной загрузки одних из основных элементов систем электроснабжения - силовых трансформаторов и асинхронных двигателей [1-9].
Цель настоящей публикации - критическая оценка используемых методик, а также некоторые комментарии к результатам и рекомендациям, полученным на основании принятых ими методик. Означенные поиски «оп-тимумов» по разным критериям прежде всего связаны с величиной сум-
23
