О смежности дробных и целочисленных вершин многогранника задачи коммивояжера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2004, вып. 13, с. 80-??

УДК 519.1

О СМЕЖНОСТИ ДРОБНЫХ И ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКА ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

И.В. Уразова

In given paper some properties concerning adjacency of vertices of poly tope of Humiltonian cycles are shown.

Важное место в дискретной оптимизации играет задача о коммивояжере. Большое количество исследований посвящено многограннику этой задачи, то есть выпуклой оболочке векторов инциденций гамильтоновых циклов графа. В этой работе рассмотрены некоторые свойства, касающиеся смежности вершин многогранника гамильтоновых циклов.

Введем необходимые понятия и обозначения. Пусть Кп — (К, іД-полньїй неориентированный граф без петель и кратных ребер с множеством вершин V и ребер Е, \V\ = п. Для всякого G С Кп через VG и EG обозначим соответственно множество вершин и ребер графа G. При этом для ребра е Є Е будем использовать запись ш;, где д, v Є V- пара инцидентных ребру е вершин. Циклом (простым циклом) в Кп называется связный однородный степени 2 подграф. Цикл называется гамильтоновым, если он проходит по каждой вершине графа ровно один раз. Циклы будем задавать последовательным списком ребер. Степенью относительно G произвольной вершины и Є V назовем величину do(u) = dEG(u) = \5g(u)\.

Через RE обозначим пространство вектор столбцов, координаты которых соответствуют элементам множества Е. Вектором инциденций произвольного графа G С Кп называется вектор х° Є RE, такой что х^ — 1, если е Є EG и х^ = 0, если е ^ EG. Обозначим через 'Н-множество всех гамильтоновых циклов полного графа. Под многогранником гамильтоновых циклов будем понимать выпуклую оболочку их векторов инциденций, то есть

Рп = conv{xH Є Re\H Є

Пусть с — аддитивный вещественный функционал на Е. Обозначим этой же буквой вектор с — (се : е Є Е') Є RE, полагая се = с(е). Тогда для R С Е

© 2004 И.В. Уразова

E-mail: [email protected]

Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.

81

имеем c{R) — ^2eeRce = ^2eeEcexR = cTxR. Таким образом, вещественный функционал с, определенный на множестве вершин единичного куба, можно продолжить до линейного функционала с(х) = стх,х Є RE.

Рассмотрим следующую экстремальную задачу:

mm{cTx\x Є р«] ні

Если известен полиэдр М [5], соответствующий многограннику РП1 то задача

(1) может быть записана как задача линейного программирования (ЛП)(см. [2]).

min{cTx\x Є М} (2)

Решив ее, мы получим решение задачи (1). Такую постановку симметричной ЗК будем называть полиэдральной.

Для многогранника гамильтоновых циклов Рп часто используется полиэдральная релаксация [5] вида

Мп = {х Є Re\Ax = 2, б < х < ї},

где И-матрица вершинно-реберных инциденций графа Кп (строки матрицы соответствуют вершинам графа, столбцы - ребрам), 2,0 и Ї- вектор-столбцы с п компонентами равными 2, 0,1 соответственно.

Две вершины смежны в Рп, если они принадлежат одному ребру многогранника Рп-

Известно ,что Мп имеет нецелочисленные вершины. Опишем их структуру

[2] . Для точки х Є Мп обозначим:

Сх - граф дробности точки х - индуцирован множеством ребер ЕС% — {е Є

Е’ф < хе < 1},

Тх - граф единиц точки х -3 индуцирован множеством ребер ЕТх — {е Є Е\хе = 11-

Теорема 1. [2] Точка х Є Мп является вершиной полиэдра Мп тогда и толь-

ко тогда, когда она целочисленна, либо ее граф дробности Ся и граф единиц Тя удовлетворяют условиям:

1) Сх есть объединение четного числа простых вершинно-непересекающихся

нечетных циклов, причем для любого е Є ЕСх имеет место Хе = 1;

2) дт£{и) = 1 для всех и Є VCx и drs{u) = 2 для всех и Є V \ УСЯ-

Пусть Xі, х2 Є Мп - пара различных точек. Введем следующие обозначения: R(x1,x2)={e Є Е\х\, х2 Є {0,1}, xl + х2 = 1},

R(x\x2)=E \ {R(x\x2) U E(Cxi U С^)},

82

И. В. У разова. О смежности дробных и целочисленных вершин...

U(x\x2)={u eV\V(CpUCx2)\STxl = 5тх2},

Gxi}X2 - компоненты связности графа, индуцированного множеством ребер R(x1,x2), не содержащие вершин из V(CX 1 U Схі).

Теорема 2. [2] Пусть ж1, ж2 Є Мп - вершины, Щх1^2) = 0. Тогда х1 и х2

смежны в Мп, если и только если

\V(Cxi U Сх2)\ = \E(Cxi U Сх2)\ - 1. ■

Теорема 3. [2] Пусть афт2 Є Мп - вершины, R(x1,x2) ф 0, Сх\ UСх2 - набор

простых вершино-непересекающихся циклов. Справедливы следующие утверждения:

1) если т2)| + \U(x1,x2) \ = \ V(Cxi U Cxi) \ + 1, то вершины х1 и х2 смеж-

ны в Мп тогда и только тогда, когда Gxцх2 либо пуст, либо является парой простых нечетных циклов с одной общей вершиной;

2) если \R(xl,x2)\ + \U(xl,x2)| = \V(Cxi U Сх2)\, то вершины смежны в Мп

тогда и только тогда, когда Gxi>x2 - четный цикл. я

Используя, описанные выше результаты в работе были исследованы свойства многогранников Рп и Мп, касающися количества вершин многогранника Рп, смежных с дробными вершинами полиэдра Мп.

Замечание 1. Если вершины х Є Рп и х Є Мп смежны, то R(x,x) = 1.

Доказательство. Для существования смежных целочисленных вершин с данной дробной необходимо и достаточно выполнение критериев теоремы 3 [2]. Общее число смежных целочисленных вершин (гамильтоновых циклов) складывается из вершин, получаемых исключением ребер из Тх и вершин, получаемых добавлением ребер в графе Тх. Рассмотрим подробнее процесс исключения и добавления ребер.

Пусть т-дробная вершина, т-целочисленная, R(x, х) = 0. Вершины х и х смежны =^> (по теореме 2[2]) |V(CX U Сх) | = |Е(СХ U Сх) \ — 1. Очевидно, что Сх = 0, то есть |V(CX U Сх)\ = 6 и |Е(СХ U Сх)\ = 6 для любой дробной вершины. Таким образом, для вершин многогранников Мп и Рп невозможен случай, когда R(x,x) = 0. Рассмотрим смежность вершин по Теореме 3.[2], когда R(x,x) Ф 0. Так как для исследуемых Мп и Рп всегда \U(x,x) \ = \V(CX U Сх) |, то возможен только случай, когда R(x,x) = 1. Таким образом, чтобы построить целочисленную вершину х Є vertPn (гамильтонов цикл), смежную с дробной вершиной х Є Мп необходимо исключить из ЕТХ,либо добавить к ЕТХ одно ребро. Рассмотрим, когда эта процедура не дает гамильтонов цикл.

Пусть Сх = Ci U С2 и щ,щ,щ Є VCi,Vi,v2,v3 Є VC2, щуі, u2v2, u3v3 Є ETX, при ЭТОМ UiU2,U2U2 Є ЕС\, V\V2, V2Vz Є ЕС2. (cm. рис. 1)

1) Покажем, что в этом случае, удалив ребро u2V2 невозможно построить гамильтонов цикл. Так как и\,и2,щ и v\,V2,v3 принадлежат разным

Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.

83

О

о

м.

U

3

О

О

ft

ft,

о

Рис. 1.

циклам графа С7, то исключение ребра U2V2 приведет к построению ребер їі\їі2і щщ, V\V2•) V2V3 в графе ЕТ%. А так как в ЕТ% имеются ребра щуі и щу3, то имеем ЦИКЛ U1U2U3V1V2V3, то есть возникают две несвязные компоненты, одна из которых есть цикл U1U2U3V1V2V3• Таким образом, удалив ребро U2V2 невозможно построить вершину х Є vertPn, смежную с дробной вершиной х Є vertMn.

2) Аналогичным образом нетрудно показать, когда процедура добавления ребра не даст гамильтонова цикла. Перечислим эти случаи:

• добавление ребра к ЕТх, инцидентного вершинам одного из пары циклов в Сх — Сі и с2]

• добавление ребер щуі и U3V3]

• добавление ребра, инцидентного вершинам щ, г^з, гц, Уз и вершинам, смежным с ними.

Полученные ниже свойства, касаются лишь частного случая смежности вершин многогранников Рп и Мп, а именно, когда дробная вершина х Є vertMn имеет граф дробности = С\ U (72, такой что \VCi \ = |П(72|.

Предложение 1. Пусть х Є vertMn,n > 7, \ VCx\ =6 и существует цепь в графе Тхч соединяющая все вершины V\VCx- Тогда х смежна ровно с восемью вершинами многогранника Рп.

Доказательство. Используя замечание 1, заметим, что ребра, входящие в цепь графа Т% удалять нельзя, так как вершины, принадлежащие множеству V\ VCx станут висячими, что не даст гамильтонов цикл. Поэтому возможны только две целочисленные вершины, получаемые удалением ребер Т^, невходящих в цепь. Аналогично, добавить ребра можно только к вершинам графа С7, так как степень вершин в гамилбтоновом цикле равна двум. Таким образом, получаем восемь целочисленных вершин, смежных с данной дробной. ■

84

И. В. У разова. О смежности дробных и целочисленных вершин...

Следствие 1. Пусть х Є vertMn,n > 8, \VCx\ — би существуют вершини v,u Є V \ VCx, смежные с вершинами только одного из пары циклов графа Сх- Тогда х смежна ровно с четырьмя вершинами многогранника Рп.

Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 1 рассмотрим процедуру исключения и добавления ребер в Тх- Понятно, что таких вершин как v будет две и ребро , соединяющее две оставшиеся вершины в С$ • Это следует из определения структуры нецелочисленных вершин и условия. Так как \VСх\ = 6, то процесс исключения и добавления одного ребра в данном графе Т% приведет к возникновению двух несвязных циклов. Поэтому, добавить можно только ребра, инцидентные вершинам графа С% и вершинам и и v. А таких вершин четыре. ■

Для анализа смежности вершин в более общем случае, а именно, когда граф Сх есть пара вершинно-непересекающихся циклов одинаковой длины, то есть \VCx\ = 4ft+ 2,Є N введем обозначение Д - общее число вершин РП1 смежных с дробной вершиной X из Мп.

Предложение 2. Пусть х Є Мп, Сх~ пара вершинно-непересекающихся циклов одинаковой длины, то есть \VCx\ — 4ft + 2, ft Є N. Пусть граф Т^ содержит только ребра, инцидентные вершинам разных циклов в Сх и для любой и Є Тх сІТх(и) = 1, t - число ребер u2V2, удовлетворяющих следующим условиям: если Є VC\, щ, r2,r3 Є ПС2, U\Vi, Є то

UiU2lu2U2 Є ECi,ViV2,V2Vs Є ЕС2• Тогда справедливо следующее неравенство

Доказательство. Заметим, что если \VCx\ — 4ft + 2, к Є N, то в условиях утверждения \ЕТх\ — 2ft + 1. Число смежных целочисленных вершин складывается из количества вершин, получаемых последовательным удалением и добавлением ребер из графа ЕТх. Рассмотрим следующие возможные случаи: 1) t — 0. Тогда из замечания 1 следует, что из ЕТх исключить можно 2ft + 1 ребер. Теперь к каждой из вершин, инцидентных ребрам графа добавим

по одному ребру. Понятно, что этих ребер будет 2(2ft + 1). Следовательно, количество смежных целочисленных вершин

2)t ф 0. Тогда из замечания 1 следует, что исключить можно 2ft + 1 — t ребер графа ЕТх• Нетрудно заметить, что при построении целочисленных вершин (гамильтоновых циклов) можно добавить не менее, чем 2(2ft + 1) ребер, но не

более, чем

(4к+2)(4к+1)

2

(4ft + 2) — (2ft + 1) ребер. Таким образом, Л \ ^ Т ^ Щ + 2)(4к + 1)

2 ft ТІ — t Т 2(2ft Т 1) ^ С Сі

2

(4ft T 2) — (2ft T l) — t

Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.

85

Так как |УС^| = 4к + 2, то получаем

+ imi = -«</,< ~ч -imi- НД - *

|VCj|2 - 3|V'C,|

— t

Утверждение доказано.

Следствие 2. Если в условии утверждения 1 существуют р вершин, принадлежащих множеству V \ УСх, то

3

2

\VCz\ - t - 2р < Е <

— t — 2р

Следствие 3. Пусть х Є vertMn, |К(Л| = 6, градб содержит только t ребер, инцидентных вершинам разных циклов графа С%. Тогда 1% — 6 + t.

Литература

1. M.Grotshel, M.W.Padberg. Polyhedral theory//Ed. by E.L.Lawer, J.K.Lenstra, A.N.G.Rinnooy Kan, D.B.Shmoys. - The Traveling Salesman Problem. John Wiley, Sons Ltd., 1985.

2. Симанчев Р.Ю. Структура нецелочисленных вершин релаксации многогранника k-факторов. // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ. 1998. Вып.1. С.20-26.

3. Симанчев Р.Ю. Смежность вершин многогранника k-факторов. //Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ. 1998. Вып.2. С.39-50.

4. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир, 1991. Т.1,2.

5. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники. Графы. Оптимизация. М.: Наука, 1981.

м