CC BY
9
УДК 519.8
А. Долгий, *А.В. Еремеев
Ecole des Mines de Saint-Etienne, г. Сэйнт Этьен, Франция
*Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Омск, Россия
О СЛОЖНОСТИ ОПТИМАЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ОБ ОДНОМЕРНОЙ УПАКОВКЕ В КОНТЕЙНЕРЫ
Генетические алгоритмы (см., например, [4,10]) являются рандомизированными эвристическими методами поиска экстремума, основанными на аналогии с генетическими механизмами в живой природе. Различные их модификации получили широкое применение в исследовании операций, распознавании образов, искусственном интеллекте и других областях.
Работоспособность генетических алгоритмов существенно зависит от выбора оператора кроссинговера, где комбинируются элементы родительских решений при построении реше-ний-потомков. Задача оптимальной рекомбинации (ЗОР) состоит в отыскании наилучшего возможного результата кроссинговера при заданных двух родительских решениях задачи оптимизации. Результаты, содержащиеся в [2,5,9] и других работах, дают экспериментальное подтверждение целесообразности решения ЗОР в операторах кроссинговера. Особый интерес представляют NP-трудные задачи оптимизации, для которых ЗОР полиномиально разрешима. Впервые такие задачи обнаружили E. Balas и W.Niehaus, предложившие эффективный оператор кроссинговера для задачи о наибольшей клике [5].
В настоящей работе рассматривается сложность ЗОР для известной NP-трудной задачи об одномерной упаковке в контейнеры [1]. Задан размер контейнера A и k целых чисел a1,...,ak, представляющих собой размеры предметов, ai DA, i=1,...,k. Требуется разместить предметы в минимальное число контейнеров, чтобы сумма размеров предметов в каждом контейнере не превышала величины A.
Сформулированная задача может быть представлена в виде задачи целочисленного линейного программирования различными способами [3]. Рассмотрим один из них.
Пусть булева переменная у- является индикатором использования контейнера с номером j, j=1,...,k, а булева переменная xij - индикатором упаковки предмета i в контейнер j при
i,j=1,...,k. Требуется найти □ j DI
k y при условиях min
□ x D1, i—i i] ’
j-П
i D1,..., k,
к
□aixjJ □ A, j D1,..., k,
i D1
y j □ Xj, i D1,..., k,
j Щ..^k,
Xj, у] □□□ i □1,..., k, j □ 1,..., k.
Заметим, что для кодировки решений данной задачи достаточно указать лишь матрицу назначений (xij), так как вектор (y1,... ,yk), соответствующий такой матрице, вычисляется однозначно. Далее будем предполагать, что решения задачи об одномерной упаковке в контейнеры кодируются посредством ^□^-матрицы назначений.
ЗОР для задачи об одномерной упаковке в контейнеры с таким способом кодировки решений формулируется следующим образом. Пусть задано два родительских решения, закодированных матрицами назначений ( p (1) ), ( p( 2) ). Добавим к ограничениям исходной зада-
j
чи условие «фиксации» переменных: Xj= p(1)
V
при всех i,j, таких что
p
(1)
j
Р •
(2)
j
Теорема 1. ЗОР для одномерной задачи об упаковке в контейнеры NP-трудна.
Доказательство теоремы проводится с использованием метода, разработанного при доказательстве NP-трудности ЗОР для задачи об одномерном булевом рюкзаке [8].
Ввиду теоремы 1, отыскание алгоритмов полиномиальной трудоемкости для решения рассматриваемой ЗОР представляется неперспективным, и поэтому целесообразно использование неполиномиальных методов направленного перебора. Задача об одномерной упаковке в контейнеры содержится как частный случай в целом ряде задач размещения и составления расписаний, а значит полученный результат может использоваться при анализе сложности ЗОР для этих задач. В частности, из теоремы 1 вытекает NP-трудность ЗОР для задачи балансировки автоматизированной линии механической обработки [7].
В работе [6] нами предложен генетический алгоритм для задачи балансировки автоматизированной линии механической обработки, показавший свою конкурентоспособность в сравнении с другими известными алгоритмами решения данной задачи. В генетическом алгоритме [6] успешно используется оператор ЦЛП-кроссинговера, основанный на решении ЗОР с помощью методов частично-целочисленного линейного программирования из пакета CPLEX.
Работа поддержана грантами РФФИ 12-01-00122 и 10-01-00598.
Библиографический список
1. Гэри, М. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон. - М. : Мир, 1982. - 416 с.
2. Еремеев, А. В. О задаче составления расписаний с группировкой машин по технологиям / А. В. Еремеев, Ю. В. Коваленко // Дискрет. анализ и исслед. операций. - 2011. - T. 18, № 5. - С. 54 - 79.
3. Канторович , Л. В. Рациональный раскрой промышленных материалов / Л. В. Канторович, В. А. Залгаллер. - Новосибирск : Наука, 1971. - 299 с.
4. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилинский, Л. Рутковский. - М. : Горячая линия-Телеком, 2006. - 452 с.
5. Balas, E. Optimized crossover-based genetic algorithms for the maximum cardinality and maximum weight clique problems / Balas E., Niehaus W. // Journal of Heuristics. - 1998. -Vol. 4, № 2. - P. 107 - 122.
6. Dolgui, A. MIP-based GRASP and genetic algorithm for balancing transfer lines / Dol-gui A., Eremeev A., Guschinskaya O. // Matheuristics. Hybridizing Metaheuristics and Mathematical Programming / Ed. by Maniezzo V., Stutzle T., Voss S. - Berlin : Springer-Verlag, 2010. -P. 189 - 208.
26
27
7. Dolgui, A. Approaches to balancing of transfer lines with blocks of parallel operations : ргерп^ № 8 / Dolgui A., Guschinsky N., Levin G. - Minsk : Institute of Engineering Cybernetics of Academy of Sciences of Belarus, 2000. - 42 p.
8. Eremeev, A. V. On complexity of optimal recombination for binary representations of solutions / Eremeev, A. V. // Evolutionary Computation. - 2008. - Vol. 16, № 1. -P. 127 - 147.
9. Glover, F. Fundamentals of scatter search and path relinking / Glover F., Laguna M., Marti R. // Control and Cybernetics. - 2000. - Vol. 29, № 3. - P. 653 - 684.
10. Holland, J. Adaptation in natural and artificial systems / Holland, J. - Ann Arbor : Uni-
versity of Michigan Press, 1975. - 183 p.
