CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 2 Физико-математические пауки 2009
УДК 519.714
О СЛОЖНОСТИ ОДИН РАЗ ЧИТАЮЩИХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОГРАММ
Р. Г. Мубаракзяч юв
Аннотация
Упорядоченные один раз читающие ветвящиеся программы представляют собой удобное средство описания логических схем. булевых функций. Вместе с тем не только детерминированные. по и вероятностные с ограничением па ошибку упорядоченные один раз читающие ветвящиеся программы имеют неприемлемо большой (экспоненциальный) размер для ряда известных функций. Для вероятностных один раз читающих ветвящихся программ экспоненциальные пижпне оценки сложности известны лишь при очепь сильных ограничениях. В даппой статье эти ограничения частично снимаются за счет перехода к ветвящимся программам, определяемым графом порядка. Для этих вычислительных моделей удается доказать экспоненциальные пижпне оценки сложности.
Ключевые слова: булева функция, бинарная ветвящаяся программа, класс сложности. пижпяя оценка сложности вычислений.
1. Основные определения
Определение детерминированных ветвящихся программ хорошо известно [1]. Эта модель определяется ориентированным ациклическим графом, у которого каждая вершина, за исключением двух выходов (стоков), соответствует некоторой переменной и имеет две исходящие дуги, помеченные нулем и единицей. Для фиксированных значений переменных вычисление начинается в единственной начальной вершине, идет по дугам в соответствии со значениями переменных и возвращает значение, которым помечен выход. Если на каждом пути каждая переменная встречается не более одного раза, то программа называется один раз читающей (ВР1). Кроме того, если переменные читаются в каком-то определенном порядке, то программа называется упорядоченной ВР1, или ОВВВ.
Ветвящаяся программа называется недетерминированной, если в ней допускаются недетерминированные узлы, то есть узлы, из которых выходят две непомеченные дуги. При наличии в ветвящейся программе вероятностных узлов, для которых выходная дуга определяется с вероятностью 1 /2, ветвящаяся программа называется вероятностной [2]. Для е, 0 < е < 1/2, будем говорить, что вероятностная ветвящаяся программа В (1 — е)-вычисляет функцию Н, если В выдает к(х) с вероятностью не менее 1 — е для каждого входа х. Такое вычисление называется (1 — е)-вычислением, или вероятностным с ограничением на ошибку, равным е
называть их просто вероятностными.
На вероятностные и детерминированные программы естественным образом распространяются понятия ВР1 и ОВВВ. Под сложностью (или размером) ветвящейся программы подразумевается количество ее детерминированных узлов. Под сложностью вычисления (или реализации) функции понимается минимальная сложность вычисляющей ее программы в соответствующем классе.
Пусть M - некоторый класс ветвящихся программ, например, OBDD, BP1 и т. д. Тогда класс булевых функций, вычислимых детерминированными (недетерминированными) программами полиномиального размера типа M, обозначим P-M (NP-M). Пусть BPPе-M - класс функций, (1 — е)-вычнслпмых вероятностными ветвящимися программами типа M полиномиального размер а. Тогда BPP-M = = U BPPе-M. Отношения между классами сложности P, BPP, NP в контек-
0<е<1/2
OBDD OBDD
численное умножение» {MULTn) сложна для вероятностных OBDD [5]. Функция MU LTn определяется на переменных x0,..., xn-1, y0,..., yn-1 ка к n-й бит произведения
(xo . . .Xn-l) х (yo .. .yn-i).
BP1
Определение 1. BP1 P на n переменных X назовем BP1 с большой OBDD частью (для краткости BP1 (OBDD)), если существует подмножество X' С X переменных мощности O(log2 n) и значения d переменных из X' такие, что подпрограмма P после фиксирования значений переменных из X' равными d является OBDD на X \ X
В [6] нам удалось получить высокие нижние оценки сложности вероятностных один раз читающих ветвящихся программ с большой OBDD частью для различных функций, в частности и для функции MULTn. Было доказано также, что
BPP-OBDD С BPP-BP1 (OBDD) С BPP-BP1.
В настоящей статье рассматриваются ветвящиеся программы, определяемые графом порядка. Исследуется сложность реализации функций соответствующими ветвящимися программами.
2. Ветвящиеся программы, определяемые графом порядка
OBDD
в силу того, что они представляют собой сильно ограниченный класс ветвящихся программ, обладающих рядом удобных для исследования свойств. В [7, 8] независи-
OBDD
чтения переменных, а графа чтения переменных.
Определение 2. Граф G, называемый графом чтения переменных, является одни раз читающей ветвящейся программой, имеющей один сток, причем на
BP1 B G
бора значений входных переменных xi,..., xn, если переменная х* читается в B перед переменной xj , то x* читается в G перед переменной xj (заметим, что путь G
Ветвящиеся программы, имеющие граф чтения переменных, в англоязычной литературе называются graph-driven, и для их обозначения используется префикс gd. Обозначим программу, определяемую графом чтения G, через G-BP1.
G
док, в котором будут читаться переменные, если зафиксировать их значения. Для OBDD n
выходящие из одной вершины, ведут в одну и ту же вершину. Любая детермини-BP1 G
G
лировать ветвящимися программами, в частности проверять их эквивалентность.
При расширении возможностей ветвящихся программ (при переходе к недетерминированным или вероятностным программам) соответствие некоторому графу порядка представляется сильным ограничением. Для недетерминированных (веро-BP1
и тех же значениях переменных они могут читаться в зависимости от недетерминированного (вероятностного) выбора в различном порядке. Тем не менее в силу сложности исследования таких классов возникает необходимость сужения даже класса gd-ирограмм.
Определение 3. Недетерминированная один раз читающая ветвящаяся про-BG рованной (well-structured), если существует отображение / множества вершин B на множество вершин G такое, что каждая вершина v в B и ее образ /(v) в G помечены одной и той же переменной. Кроме того, для любого набора значений входных переменных xi,... ,xn : если вычисление в B проходит через вершину v, то вычисление в G проходит через вершину /(v).
Это означает, что переход в хорошо структурированной программе не только соответствует G (как для gd-программ), но и определяется упомянутым отображением. Для gd-программы B вершина v, достижимая та различных наборах а и Ь, может соответствовать различным вершинам G. Дело в том, что хотя перемен-B v v
разном порядке. В зависимости от недетерминированного (вероятностного) выбора B
должен однозначно определяться значениями прочитанных переменных.
Б. Боллиг получила результаты о соотношении классов сложности, образован-
BP1
чтения переменных дерево [9] (заметим, что класс BP1 ( OBDD) является обобщением этих программ), и показала, что умножение сложно и для таких ветвящихся программ. Затем в соавторстве с другими исследователями [10, 11] результат был
BP1
3. Вероятностные ветвящиеся программы, определяемые графом порядка
Представляет интерес следующий факт:
Лемма 1. Пусть B - вероятностная gd-BP1 от n переменных с графом чтения G, (1 — е) -вычисляющая функцию / для некоторого е е [0,1/2). Тогда существует хорошо структурированная вероятностная G-BP1 R, в которой вероятностные вершины расположены до чтения любой детерминированной переменной, (1 — е') -вычисляющая фун кцию / для произвольного е' е [е, 1/2). При этом размеры (количество вершин) программ связаны неравенством |R| < < O(n)|B|.
B
пути до финальной вершины равно m. Тогда существует множество выборов вероятностных переходов {ai, a2,... at}, t < 2m, каждый из которых фиксирует детерминированную G-BP1 на детерминированных переменных. Обозначим множество соответствующих G-BP1 через Q = {B1;B2,.. . Bt}, t < 2m.
Для произвольного r выберем случайным образом независимо r программ из Q G BP1 R
мы расположены вероятностные узлы, образующие дерево, листья которого соответствуют корням выбранных программ. Для фиксированного набора значений переменных {x1, x2,... xn} = у обозначим через PR(y) вероятность того, что полу-R / y P(y)
ность того, что PR(y) для случайно выбранной программы R больше е' е [е, 1/2). Известно [12], что P(y) те превышает с(е, е')г для некоторого фиксированного с(е,е') < 1. Пусть r > nlogc(ee/)(1/2). Тогда P(y) < (1/2)n.
Представим себе прямоугольник, разбитый иа вертикальные и горизонтальные полосы одинаковой ширины. Вертикальные полосы соответствуют всевозможным
/ 2n
R
рых P^(y) больше е'. Заштрихованной может быть менее (1/2)n площади любого столбца. Следовательно, найдется горизонтальная полоса без заштрихованных
R
но неравенство |R| < r|B|. Так как r можно взять равным [nlogc(e) е/)(1/2)J , то |R| < O(n)|B|.
R
сти располагаются вероятностные вершины и они образуют дерево. Каждый лист этого дерева порождает подграф, являющийся детерминированной G-BP1. Со-
R
эти подграфы не пересекались. Тогда свойство хорошей структурированности для R выполнится. □
BP1
дующее.
Лемма 2. Пусть B - хорошо структурированная вероятностная G'-BP 1 от nG
B G BP1
размеры (количество вершин) программ связаны неравенством |G| < 2(n — 1)|B|.
Доказательство. Удалим из G' вершины, для которых отсутствуют в B вершины, соответствующие функции хорошей структурированности. Если дуга ведет в удаляемую вершину v, перенаправим ее в любой неудаляемый потомок w вер-v
впть w. В результате размер полученного из G' графа те более чем |B|. Поскольку в графе порядка на каждом пути от корня до стока читаются все переменные,
v w ( v, w)
вершины с пометками тех переменных, которые не прочитаны на путях от корня vw
OBDD n — 1
получаем требуемую оценку . □
Из доказанных лемм вытекает
Следствие 1. Пусть B - вероятностная gd-BP1 от n переменных с графом чтения G, (1 — е) -вычисляющая функцию / для некоторого е е [0,1/2).
G
G'-BP1 R, в которой вероятностные вершины расположены до чтения любой детерминированной переменной, (1 — е') -вычисляющая функцию / для произвольного е' е [е, 1/2). При этом размеры (количество вершин) программ связаны неравенством |G'| < O(n2)|B|.
Теорема 1. Функция MULTn от 2n переменных Z = X U Y экспоненциально сложна для вероятностных один раз читающих ветвящихся программ, имеющих граф чтения.
Доказательство. Доказательство теоремы практически полностью совпадает с доказательством для недетерминированного случая [10]. Детали этого доказательства довольно сложны, поэтому рассмотрим лишь основные идеи.
Рассматривается подфункция MULTn Функции MULTn, осуществляющая перемножение лишь нечетных чисел (xn_i = yn_i = 1). Рассмотрим множ єства A, B, Y двоичных целых чисел, имеющих не более чем n разрядов, причем Y содер-
M
извольных чисел а Є A, b Є B, у Є Y элемент матрицы M на пересечении строки, соответствующей а, и столбца, соответствующего (b, у), раве н MULTn (a + b, у). M
размера s которой определяется соотношениями, зависящими от мощностей мно-A, B, Y
{ai,..., as} С A, {bi,..., bs_1} С B и число у Є Y, что
MULTn (a* + bj, y) = 1 ^ i < j.
Данный поиск далеко не тривиален и ие сводится (как в случае более простых
y
фактически является сложением «частей» первого сомножителя, и, соответственно, необходимо определить, осуществляется ли при сложении «перенос» разряда или нет. Заметим, что для оценки s те важно, каковы множества A, B, Y, существенны лишь их мощности.
Пусть f - некоторая функция от n переменных X, а (Xi, X2) — разбиение X. Рассмотрим некоторую функцию fi от перемениых X. Пусть для любого вектора Х2 значений перемени ых из X2 множество вект оров xi значений переменных из Xi таких, что па (xi, Х2) функци и f и fi совпадают, имеет мощность не менее чем є2|Хі1. Тогда fi называется функцпей, є-близкой к f. Фильтром F множе-XX любое из этих подмножеств с X2 , получаем (Xi, X2)-разбиение X, Xi = X \ X2.
F X F ( Xi , X2 )
разбиения X верно следующее. Для любой функции fє-близкой к f, сложность коммуникационного вероятностного (Xi, X2)-протокола (вычислители читают переменные из Xi и X2 соответственно) не мен ее чем l. Тогда либо сложность вероятностной G-BP1 B, вычисляющей f, не менее чем 21 + 1, либо размер G более чем 1/е.
BG
GX
Xi - тех переменных, которые прочитаны до этого ребра, и X2 - оставшихся. Найдется ребро е, количество путей до которого не менее чем 2|Xl|/|G|. Рассмотрим следующее коммуникационное вычисление функции f', когда вычислители читают переменные из Xi и X2 соответственно. Первый вычислитель запускает B па путях до е и передает пометку вершины B второму вычислителю, то есть не более чем log2 |B| бит. Второй вычислитель продолжает вычисление на B, начиная с полученной вершины. На других входах значение вычисляемой функции несущественно. Вычисляемая функция будет є-близкой к f, и ее коммуникационная
l
Для MULTn множество переменных Разбито на X и Y. Фиксируются числа є и к, зависящие от n, и фильтр F, содержащий подмножества мощности к.
Для любой е-близкой к MULT* фуикции / верно следующее. Ассоциированное с F разбиение соответствует коммуникационному вычислению, когда первый вычислитель читает переменные из X1, Y1, а второй - из X2, Y2 • Из теоретикомножественных соображений можно зафиксировать значения переменных из Y1 так, что количество возможных значений переменных из X1, на которых функции MULT* и / равны, те менее чем е2й/2. Получаем коммуникационную матрицу, строки которой соответствуют данным значениям X1, а столбцы - всевозможным значениям X2, Y2. Подобрав нужные значения е и к, можно получить экспоненциальную нижнюю оценку на размер s треугольной подматрицы.
Как известно [5], предположение о полиномиальной вероятностной вычислимости функции д, имеющей большую треугольную подматрицу, приводит к выводу о полиномиальной вероятностной коммуникационной вычислимости любой /
д x1
д
x1
x1
с необходимой вероятностью.
Так как размер s подматрицы экспоненциален и существуют функции, имеющие вероятностную коммуникационную сложность большую, чем логарифм от количества переменных, то получаем противоречие с предположением о полиноми-MULT
программах, имеющих граф чтения. □
Summary
R.G. Mubarakzjanov. Он t.lie Complexity of Randomized Read-ouce Branching Programs.
Ordered binary decision diagrams are a well known computational model. Graph-driven read-once branching programs presented in this paper generalize this model. Exponential lower bound of the complexity of such programs for integer multiplication is proven.
Key words: Boolean function, binary branching program, complexity class, computation complexity lower bound.
Литература
1. Wegener I. Branching Programs and Binary Decision Diagrams: Theory and Applications.
SIAM Monographs 011 Discrete Mathematics and Applications. Philadelphia, USA: Soc. Ind. Appl. Math., 2000. 408 p.
2. Ablayev F., Karpinski M. On the power of randomized ordered branching programs //
Proc. ICALP!96. LNCS. Springer, 1996. No 1099. P. 348 356.
3. Ablayev F., Karpinski М., Mubarakzjanov R. On BPP versus NP U coNP for Ordered
Read-Once Branching Programs // Tlieoret.. Comp. Sci. 2001. V. 264. P. 127 137.
4. Ablayev F. Randomization and nondet.erminism are incomparable for ordered read-once branching programs // Proc. ICALP!97. LNCS. Springer, 1997. No 1256. P. 195 202.
5. Ablayev F., Karpinski M. A lower bound for integer multiplication 011 randomized read-once branching programs // Electronical Colloquium 011 Computational Complexity: ECCC TR98-011. Trier: Trier University 1998. URL: http://www.occc.uui-t.rier.de/ ЕССС/.
6. Мубараквяиоо Р.Г. Нижпио оцепки сложности вероятностных бинарных программ с
большой упорядоченной частью // Изв. вузов. Матем. 2006. Л'! 6. С. 86 94.
7. Gergov J., Meinel С. Efficient Boolean manipulation with OBDDs can be extended to FBDDs // IEEE Trans, on Computers. - 1994. - No 43. - P. 1197-1209.
8. Sieling D., Wegener I. Graph driven BDDs a new data structure for Boolean functions // Theoret. Comp. Sci. 1995. No 141. P. 283 310.
9. Bullig B. Restricted nondeterministic read-once branching programs and an exponential lower bound for integer multiplication // RAIRO Theoretical Informatics and Applications. 2001. No 35. P. 149 162.
10. Bullig B., Woelfel Ph. A lower bound technique for nondeterministic graph-driven read-once branching programs and its applications // Proc. of MFCS. LNCS. Springer. 2002. No 2420. P. 131 142.
11. Bullig B., Waack S., Woelfel Ph. Parity graph-driven read-once branching programs and an exponential lower bound for integer multiplication // Proc. of IFIP 2nd Int. Conf. on Theoretical Computer Science. 2002. P. 83 94.
12. Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for tests of a hypothesis based on the sum of observations // Ann. Math. St.at. 1952. No 23. P. 493 509.
Поступила в редакцию 16.03.09
Мубаракзянов Рустам Гамирович кандидат физико-математических паук, доцент кафедры теоретической кибернетики Казанского государственного университета. Е-шаП: rustamQksu.ru
