Научная статья на тему 'О скорости звука в двухфазной и двухкомпонентной среде'

О скорости звука в двухфазной и двухкомпонентной среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
111
108
Поделиться
Ключевые слова
СКОРОСТЬ ЗВУКА / ПУЗЫРЬКИ ПАРА / ДАВЛЕНИЕ

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Вилка Чаича М.Б., Юнусова С. , Шикин Г. Н.

Получено выражение для скорости распространения малых возмущений (скорости звука) в среде, состоящей из жидкости, пузырьков пара и частиц металла. При этом сделано предположение, что рассматриваемая система находится с состоянии термодинамического равновесия, пузырьки пара и частицы металла распределены в жидкости однородно, металл несжимаем ( = 0), размеры пузырьков и металлических частиц, а также расстояние между ними значительно меньше длины звуковой волны.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Вилка Чаича М.Б., Юнусова С., Шикин Г.Н.,

On Sound Velocity in Two-Phase and Two-Component Medium

We have obtained an expression for the velocity of propagation of small perturbations (sound velocity) in the medium consisting of fluid vapour bubbles and metal particles. In addition, we have assumed that the system is in thermodynamical equilibrium, vapour bubbles and metal particles are distributed homogeneously, the metal is incompressible ( = 0), the bubble and particle sizes and the distance between them is much smaller than sound wave length.

Текст научной работы на тему «О скорости звука в двухфазной и двухкомпонентной среде»

УДК 541.13

О скорости звука в двухфазной и двухкомпонентной среде М. Б. Вилка Чаича, С. Юнусова, Г. Н. Шикин

Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Получено выражение для скорости распространения малых возмущений (скорости звука) в среде, состоящей из жидкости, пузырьков пара и частиц металла. При этом сделано предположение, что рассматриваемая система находится с состоянии термодинамического равновесия, пузырьки пара и частицы металла распределены в жидкости

/аР п\

однородно, металл несжимаем (— = и), размеры пузырьков и металлических частиц, а

ар

также расстояние между ними значительно меньше длины звуковой волны. Ключевые слова: скорость звука, пузырьки пара, давление.

Обозначим через а и /3 долю общего объёма, приходящуюся на паровую фазу и металлическую компоненту в элементарном объёме смеси. Тогда часть объёма, занимаемая жидкостью, определяется величиной (1 — а — 0). В этом случае плотность смеси р выражается через истинные плотности жидкости (рж), пара (рп) и металла (рм) следующим образом [1]:

р = арп + Ррм + (1 — а — /3)рж. (1)

Отметим, что металлическая компонента как несжимаемая занимает фиксированную часть общего объёма жидкой и паровой фаз могут изменяться за счёт сжимаемости. При этом будем считать, что отношение масс жидкости и пара в элементарном объёме сохраняется, что означает отсутствие фазового перехода жидкость-пар:

оуп (1-а-р)

Т-— = const, рп = const-рж. (2)

(1 - а - р)рж а

Из (2) следует, что 0 < а < 1, 0 < ¡3 < 1.

В [2,3] показано, что равенство (2) выполняется только в том случае, когда скорость пузырьков пара относительно жидкости равна нулю.

Наряду со средней плотностью смеси р введём среднее давление Р, определяемое равенством, аналогичным (1):

Р = аРп + рРм + (1 — « — Р)Рж, (3)

где Рп, Рм, Рж — давление в пузырьке пара, металлической компоненте и жидкости соответственно.

При термодинамическом равновесии двух фаз давление пара в пузырьке Рп связанно с давлением в жидкости Рж равенством [4]:

Рп = Рж + Щ, (4)

где R — радиус парового пузырька, а — коэффициент поверхностного натяжения.

Если нам известно термическое уравнение состояния пара в пузырьке

Рп = f (Уп,Т),

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2010 г.

где Уп — объем пузырька, Т — температура пара в пузырьке, то поскольку К = з ж В?, из него можно определить радиус парового пузырька К как функцию давления Рп, которая является функцией давления в жидкости Рж. Подставляя из (4) в (3), получаем следующее выражение для Р:

р = (1 - Р)Рж + рРм + a•

(5)

Продифференцируем равенство (1) по Р, учитывая, что Р = const, = 0:

dp

dР ~dP„ dР

dpn dPn , ,л dрж dPж , , ч da

a— — + (1 - a - P) + (Рп - Рж) dp •

(6)

Если (1) рассматривать как эффективную плотность среды, а Р (3) её давле-

2

ние, то величина ) = с определяет квадрат скорости малых возмущений в

^Р 5

среде. Поскольку

dpn dPn

d^ dPж

(7)

где сп и сж — скорости малых возмущений в паре и жидкости соответственно, то (6) можно представить в виде:

1 a dP„

с2 - с2 dP +(1 a ^ сЖ dP +(рп р.

1 dPж

da 'dP •

(8)

Из (5) находим Рж в виде

(1 - 13)

[р - рРм - аЩ

подставляем в (4) и находим Рп как функцию Р:

Рп

(1 - /3)

(р - рРм + (1 - a - р);

(9)

(10)

где а зависит от Р, Р зависит от Рп.

dPn

Дифференцируем (10) по Р и находим -^-р :

dPn dP

1 _ 2а aa

1 R dP

((1 - 0) + (1 - p - a)a^)

(11)

Дифференцируем (9) по P и, учитывая (11), получаем выражение

(л 2ст da \ л i 2ст ан\

dPж _ у1 - ~r a"pj + д2 лк)

dP

((1 - 0) + (1 - a - fi) |2at)

d^ dP

(12)

Дифференцируем (2) по P и находим :

da a(1 - a - ¡3) dP = (1 - /3)

( 1 Л dR\\

\ Pnci РжсЖ \ R2 dPn J J

dp (13)

1

1

с

s

s

1

1

Вилка Чаича М. Б., ЮнусоваС., Шикин Г. Н. О скорости звука в двух .

163

Поскольку объем парового пузырька Уп = 4пЯ3, то

3 ' ёРп

(Ш.

Учитывая, что рассматриваемая система изолирована и при равновесии двух фаз одного и того же вещества давление является функцией температуры, изменение объёма парового пузырька, вызванное изменением давления, следует рассматривать как процесс адиабатический. Если ввести адиабатический коэффициент сжимаемости (не учитывание фазового перехода означает не учитывание

\( дУ\ ¿к

изменения температуры) р* = — тттт I , то —— можно представить в виде

у\др;; ¿Рп

Н Н Н

аРп = — 3 Ь, > 0 (14)

Из равенств (11), (12) и (13) с учётом (14) определяем ^Р-, "¡Рт, НР:

л 2а \ арп ¿а арп , .

= ^ — 3НН ар , НР = ^ "Нр; (15)

где

аРп = 1 аРж = л 2а „ \ аРп аа „ аРп

ар = л + ^ Р2, нр = \ зн

Рг = ((1 — Р) — (1 — а — Р) 3|,

^ = а11.-^ (- Л + А- 31" 31 &)) •

(1 - р) \ -п сп -жеж V 3Д' / /

Подставляем (15) в (8) и получаем выражение для обратной величины квадрата скорости звука в рассматриваемой среде:

^ а {1 (а + (1 — а — Д-п) +

2 (1 -Р) I с2 V У -

+^^ ((1 — « — ») + ")(1 — 3аА)} . (1«)

Рассмотрим предельные случаи.

1. а = 0, пузырьки пара в среде отсутствуют (в этом случае равенство (2) не существует). Тогда из (16) следует:

с2 = 1—р. (17)

Равенство (17) означает, что при наличии металлических частиц в жидкости скорость звука в смеси больше, чем в жидкости.

2. р = 0, а = 0; металлические частицы в жидкости отсутствуют, в выражении для давления пара в пузырьке не учитывается член лапласовского давления:

4 = а (а + (1 — а)) + ^ ((1 — а) + а^) . (18)

2 2п -п 2ж -ж

3. а = 0; в выражении для Рп отсутствует член лапласовского давления: 1 1 а -ж (1 - а - Р) -п

С2 = (1 - «2 { ^ + <1 — ° — ») -Г) + ^^ ((1 — ° — ») + °^ ^ . (19)

1

Поскольку рп ^ рж и сп ^ сж, основной вклад в (19) даёт первый член. Тогда

2

для с получаем следующее выражение:

с2 = (1 - № РпС2п _ (1 - РЖ , (20)

а ((1 - а - + а^ Рж а ((1 - а - /3) + а^ Рж '

поскольку в рассматриваемом случае Рп ~ рпсП и Рп = Рж при а = 0.

При грубой оценке с2 выражение (20) можно упростить, если пренебречь чле-Рп ~ 1

ном а— ^ 1, что приводит к равенству:

Рж

с2 = (1 - Р)2 Рж . (21)

а(1 - а - Р) рж ' v '

Для примера рассмотрим конкретные значения с. 1.

' Рж = 1бар,

Рж = 1г/см2, а = 0,1,

^ Р = 0, 01.

с = 33, 3 м/сек.

Из рассмотренного следует, что металлические частицы увеличивают, а пузырьки пара уменьшают скорость звука в жидкости.

Литература

1. Crespo A. Sound and Shock Waves in Liquids Containing Bubbles // The Physics of Fluids. — 1969. — Vol. 12, No 11.

2. Campbell I. J., Pitcher A. S. Shock Waves in a Liquid Containing Gas Bubbles // Proceedings of the Royal Society of London. — 1958. — Vol. 243, No 1235.

3. Hsieh D., Plesset M. S. On the Propagation of Sound in a Liquid Containing Gas Bubbles // The Physics of Fluids. — 1961. — Vol. 4, No 10.

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. — 736 с. [Landau L. D., Lifshic E. M. Gidrodinamika. — M.: Nauka, 1988. — 736 s.]

UDC 541.13

On Sound Velocity in Two-Phase and Two-Component

Medium

M. B. Wilka Chaicha, S. Yunusova, G. N. Shikin

Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198

We have obtained an expression for the velocity of propagation of small perturbations (sound velocity) in the medium consisting of fluid vapour bubbles and metal particles. In addition, we have assumed that the system is in thermodynamical equilibrium, vapour bubbles

and metal particles are distributed homogeneously, the metal is incompressible (= 0), the

bubble and particle sizes and the distance between them is much smaller than sound wave length.

Key words and phrases: speed of a sound, steam vials, pressure.