CC BY
30
Сеид Нушабе Баба гызы®
Азербайджанский педагогический колледж
О СИСТЕМЕ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ИНТЕГРАЛА В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ
КОЛЛЕДЖАХ
Summary
In this article are examined the considerations of system of sums by studying originals and integrals in pedagogical colleges
Курс алгебры и начала анализа педагогического колледжа относится к общеобразовательным дисциплинам и изучается в объеме программы средней школы, но по другому учебному плану. Этот курс имеет большое значение для будущих учителей начальных классов как один из основных курсов, способствующих расширению их математического кругозора. На школьных отделениях колледжа (специальность № 2001 -«Преподавание в начальных классах общеобразовательной школы») математика изучается в течении четырех лет. На изучение курса алгебры и начала анализа относится 234 ч. на первом и втором курсе - по 3 ч в неделю.
Наша цель в этой статье рассмотреть методические рекомендации о системе задач первообразных интегралов, при изучении которых учащиеся педагогических колледжов сталкиваются с трудностями. Предварительно дадим распределение учебного времени в
№ п/п Содержание материала. Время на его изучение(часы)
1. Первообразная 1
2. Основное свойство первообразной 1
3. Три правила нахождения первообразной 1
4. Площадь криволинейной трапеции
Упражнения 3
5. Письменная работа 1
6. Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. 2
7. Интеграл с переменным верхним пределом 1
8. Упражнения на вычисление интегралов. 2
9. Письменная работа 1
10. Решение задач с физическим содержанием 2
11. Вычисление площадей фигур. 3
12. Упражнение на применение первообразной, интеграла и
производной 4
13. Письменная работа 1
Интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождения и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. Это понятие и построенный на его основе метод применяется сегодня в самых различных областях научно-практической деятельности человека, в том числе в физике, химии, биологии, экономике, технических дисциплинах и т.д. Широкие приложения интеграла побудили включить соответствующий раздел в действующую школьную, в том числе и в педагогических училищах программу по математике, которая предполагает наряду с раскрытием сути понятий первообразной и интеграла ознакомить также учащихся и с некоторыми их приложениями. Такое ознакомление повышает интерес школьников к изучаемому
Y Сеид Нушабе Баба гызы, 2009 г.
материалу, положительно влияет на формирование у учащихся прикладного кругозора и правильного понимания места и роли математики в современном мире.
В формировании теоретических знаний по математике, умений и навыков очень важную роль играет применение в процессе обучения системы упражнений. Она используется практически на каждом этапе урока: при объяснении нового материала, при закреплении изученного, при проверке знаний учащихся и т. п. Например, для того что овладеть каким либо понятием курса математики, учащемуся необходимо не только знать существенные признаки этого понятия, но и уметь оперировать им, увязывать его с другими понятиями, применять на практике. Следовательно, для формирования понятия необходимо выполнение системы упражнений.
Система упражнений, построенная с учетом современных дидактических требований, способствует осознанному и прочному усвоению теоретического материала, выработке практических умений и навыков. Как справедливо отмечает профессор П.М.Эрдниев «...развитие методики математики идет по пути внедрения новых форм и видов математических упражнений, вызывающих у школьников большую мыслительную активность» [6].
В статье содержит рекомендации по применению дидактических материалов на отдельных уроках алгебры и начал анализа. Под дидактическими материалами понимаем систему упражнений, заданий, задач, вопросов, индивидуальных карточек -заданий, самостоятельных работ, выполняющих определенные дидактические функции. Например, в начале темы «Первообразная и интеграл» приведена система упражнений пропедевтического характера с целью подготовки обучаемых к изучению и сознательному усвоению нового материала; к этой же теме предлагаются упражнения на формирование понятия первообразной и на закрепление правил нахождения первообразных; далее приводится самостоятельная работа обучающего характера, которая должна помочь учащимся овладеть умением находить площадь фигуры с помощью интеграла.
Учащиеся также испытывают затруднения при ответе на вопрос о геометрическом
смысле интеграла. Нужно не только уделить особое внимание этому разделу теории, но и
1 1
включить в систему упражнений задания типа: найдите ( f (х)йХ , ( f (х)<^ (Рис 1).
- 3 -- 1
У
Рис 1.
Не всегда правомерно учащиеся применяют теорему о нахождении площади фигуры, ограниченной сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции.
Например, при решении задачи на нахождение площади фигуры, ограниченной линиями У = л/Х, У = 0, х = 4 даже сильные учащиеся сразу пользуются указанной теоремой, не сделав никаких дополнительных оговорок, и решение их обычно выглядит так: 4 2 3
S = [ = — х2
При этом они не обращают внимания на то, что функция у = V х не является непрерывной точке х = 0. Очевидно, что для обоснования решения ученик, интересующиеся математикой, мог бы сослаться на одностороннюю непрерывность функции у = 4х в точке х0 = 0.
Среди умений находить первообразные функции, формируемых при изучении темы «Первообразная и интеграл», наибольшие затруднения и наибольшее число ошибок вызывает нахождение первообразной сложной функции при условии, что внутренняя функция линейная. Зачастую учащиеся не знают, как приступить к выполнению упражнений типа: найдите первообразную функцию f (х) = (3х - 1)4. Для осознанного выполнения подобных упражнений учащиеся должны овладеть следующими двумя элементами знаний: уметь представить данную функцию как композицию известных функций и знать теорему о первообразной сложной функции (с линейной внутренней функцией). Чаще всего, зная теорему, они забывают или не умеют определить (распознать), композицией каких функций является данная функция. Преодолеть эти трудности помогает целенаправленная система упражнений на повторение.
Для формирования умения находить площадь криволинейной трапеции важно, чтобы учащиеся хорошо усвоили соответствующую теорему. В связи с этим в систему упражнений, включены задания, в которых указаны все необходимые данные для нахождения площади криволинейной трапеции, и учащимся нужно только непосредственно применить эту теорему. Следующая за системой упражнений самостоятельная работа контролирующего характера, имеющая своей целью проверить усвоения содержание теоремы, предполагает, что учащиеся должны проследить выполнение ее условий для данных конкретного задания и применить заключение, т.е. найти площадь фигуры как приращение заданной первообразной.
При решении задачи на нахождение площади фигуры, ограниченной линиями, можно выделить для учащихся несколько этапов: изображение линий. заданных своими уравнениями; нахождение первообразной некоторой функции; отыскание (в случае необходимости) концов рассматриваемого в задаче отрезка; вычисление приращения первообразной.
Для закрепления умения находить площадь некоторой фигуры предлагается самостоятельная работа обучающего характера, содержащая подробный план решения задания.
Вариант 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х2 и у = 0 (Рис 2.)
у 4
¡1
и О ЬК X
Рис 2.
Указание: площадь заштрихованной фигуры вычисляется по формуле Я = F(Ъ) - F(а), где F -первообразная функции /(х) = 4 - х2 План решения:
1. Запишите первообразную функции /(х) = 4 - х2.
2. Найдите концы отрезка [ а, Ъ\
3. По формуле Я = F(Ъ) - F(а) определите площадь
4. Запищите ответ.
Вариант 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = - х2 + 2х, у = 0 и У= 0 (Рис 3.)
Рис 3.
1. На рисунке заштрихуйте заданную фигуру .
2. Запишите первообразную функции у = - х2 + 2х
3. Найдите концы отрезка [ а, Ъ\
4. По формуле Я = F(Ъ) - F(а) вычислите площадь криволинейной трапеции, где F -первообразная функция
5. Запищите ответ.
Особенность системы упражнений теме «Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница» состоит в том, что они помогают предотвратить наиболее типичные ошибки, допускаемые
при ее изучении. Кроме того, здесь представлены упражнения, в которых вычисление интеграла служит не самоцелью, а промежуточным звеном при сравнении значений алгебраических выражений или при решении линейных уравнений (неравенств). Установление связи нового материала с изученным ранее очень полезно: оно позволяет учащимся рассматривать вычисление интеграла не как обособленную операцию курса, а увязывать ее с имеющимися сведениями.
По карточкам заданиям для обучающей самостоятельной работы на закрепление формулы Ньютона-Лейбница учащиеся вычисляют интеграл по предложенному плану решения.
Известно, что прочные, стойкие и гибкие знания формируется тогда, когда они применяются с ранее приобретенными знаниями и навыками. Именно таким образом вновь формируемые умения включаются в систему знаний и умений учащихся. К тому же решение задач, требующих применения и ранее полученных знаний, существенно помогает закреплению изученного и способствует формированию важного умения применять знания в различных ситуациях.
На уроках по математике будут полезны задачи, в которых нахождению первообразной (вычислению интеграла) предшествовало бы упрощение или преобразование формулы, задающей функцию. Таковы следующие задачи.
1. Найдите какую-нибудь первообразную для заданной функции:
а) f (х) =
X 2л/х~-
2
31 х1'5
б) g(х) = 2sin хХ cos X ' 4 4
2. Вычислите интеграл,
подынтегральной функции:
предварительно выполнив необходимые преобразования
а)
СОБ'
п
х--
3
- БШ
п
х--
3
dх
i _
б) J л/х2 + 6х + 9dх
в)
г)
-1
1 х3 + х2 + х + 1
йх
-1 х2 + 1
2 / а п \
х - 6 х - 7
- +
х2 - 9 9 - х2
(х + 3) йх
Дополнительного времени, как и дополнительных знаний, для рассмотрения приведенных задач фактически не требуется. Их решение целесообразно связать с повторением.
тт
Литература
1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса средней школы / Под.ред. проф.С.С.Мирзоева. Баку: Чашыоглы, 2008.
2. Балк М.Б., Пискарев Ф.Ф. О некоторых приложениях понятия интеграла в школьном курсе математики // Математика в школе,
3. Канин Е.С. О системе задач для изучения интеграла //Математика в школе, 1982, №3.
4. Маркушевич А.И. Интеграл в школьном курсе математики // Новое в школьной математике. М.: Знание, 1972.
5. Петраков И.С. Преподавание алгебры и начал анализа. Пособие для преподавателей педучилищ. М.: Просвещение , 1979.
6. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. М.: Просвещение, 1978.
