CC BY
9
УДК 517.928
Антоновская О.Г.
доцент кафедры математики ННГАСУ, г. Нижний Новгород, РФ Бесклубная А.В. доцент кафедры математики ННГАСУ, г. Нижний Новгород, РФ
О СИНХРОНИЗАЦИИ КВАЗИГАРМОНИЧЕКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА В СЛУЧАЕ
НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕНИЯ
Аннотация
Применение линейных схем к исследованию нелинейных колебательных процессов может привести к определенным не только количественным, но и качественным ошибкам, поэтому возникает необходимость решения именно нелинейной проблемы. К настоящему времени разработан математический аппарат для исследования колебаний достаточно близких к линейным. Так в предлагаемой работе рассматривается возможность исследования методом приближенных точечных отображений близкой к гармоническому осциллятору системы, отвечающей случаю нелинейного трения среды. Приводятся явно заданные функции последования точечного отображения, при построении которого используются асимптотические методы, а также результаты их изучения.
Ключевые слова
Нелинейная колебательная система, фазовое пространство, синхронизация, квазигармонический осциллятор, малый параметр, метод точечных отображений, асимптотические методы исследования.
Antonovskaya O.G.
associate professor of mathematics department of NNSASU,
Nizhny Novgorod, Russia Besklubnaya A.V.
associate professor of mathematics department of NNSASU,
Nizhny Novgorod, Russia
ON QUASI-HARMONIC OSCILLATOR SYNCHRONIZATION FOR THE CASE OF NON-LINEAR FRICTION
Annotation
The use of linear schemes for non-linear vibration processes study may bring to some not only quantitative, but qualitative errors. So the necessity to study even non-linear problem arises. At present mathematical apparatus of studying close to linear vibrations is worked out. In offered work the possibility of the system close to harmonic oscillator study by approximate point mappings method is examined for the case of nonlinear friction of environment. Obviously set consequence functions are adduced for point mapping, constructed with the help of asymptotic methods, and also the results of its study.
Key words
Non-linear vibration system, Phase space, Synchronization, Quasi-harmonic oscillator, Small parameter,
Point mappings method, Asymptotic methods of study.
Трудно назвать область техники, где не возникали бы колебательные движения [1, с. 9]. Собственно, колебания - это процесс изменения какой-либо величины во времени, при котором имеет
место ее попеременное увеличение и уменьшение. Колебания материальных систем, различных по своей физической природе, различны по характеру протекания, степени периодичности, причинам возникновения. Но всем им присущи некоторые общие закономерности. Обнаружение и изучение колебательных закономерностей различной природы составляют основные задачи теории механических колебаний [8], [11]. Следует отметить, что в ряде случаев механические колебания вредны (и именно они привлекли внимание инженеров к теории колебаний). И для некоторых отраслей техники основным при изучении колебательных процессов является разработка борьбы с колебательными движениями (вибрациями). С другой стороны все шире используются технологические процессы, основанные на использовании искусственно возбуждаемых колебаний [11, с. 7-8], а, значит, наоборот разрабатываются методы наиболее целесообразного использования колебательного движения для различных задач. То есть теория механических колебаний позволяет решать разнообразные технические задачи, имеющие большое практическое значение [12, с. 8].
Влияние трения на вынужденные колебания, происходящие вдали от резонансных режимов, обычно невелико и при практических расчетах им пренебрегают [11, с. 122]. Однако вблизи резонанса учет трения становится необходимым. При любой вынуждающей силе анализ таких колебаний достаточно прост при условии, что трение в системе линейное. Значительно сложнее исследовать колебания систем с нелинейным трением (даже при простейшей - гармонической вынуждающей силе) [11, с. 140]. И приходится довольствоваться лишь приближенным решением [1, с. 172], [9, с. 80-81], [11, с. 140-141].
В настоящей работе будут рассматриваться вынужденные колебания в среде, сопротивление которой пропорционально второй степени скорости и мало. Задача решается методом приближенных точечных отображений [2], [4], [6]. Ставится актуальный вопрос о применимости на практике полученных результатов.
Рассмотрим квазигармонический осциллятор
3
X + X = -/(фх + — Г/ЮС | X | +Лс0Б1;), (1)
8
0 < / << 1, А > 0 , 77 > 0, или, при введении у = X ,
3
х = у, у = -/(фх + ~7лу | у | +Лс0Б1). (2)
8
Наиболее важным является вопрос о существовании у системы (2) 2п -периодического решения.
Точечное отображение Т, приближающее с точностью /л2 отображение Т, порождаемое траекторией системы (2) на секущей поверхности X = [X /(2^)]2^ фазового пространства X, у, X [5], [10, с. 205-210], построенное согласно методике, описанной в [4, с.5-6], [6], в рассматриваемом случае - это
~ = Хо - /477хоЛ/С2 + Уо2 ) -&оЪ (3)
У = Уо-/^[фхо + У о л/ х2 + У2 + А]. (4)
Здесь х0 = х(о), у0 = у(о), ~ = х(2ж), у = у(2ж). И, согласно [10, с. 186-191], вместо задачи
нахождения -периодического решения системы (2) рассмотрим эквивалентную задачу - нахождение простой неподвижной точки отображения Т .
Неподвижные точки приближающего отображения (3)-(4) Т будут определяться формулами
х* = -(£4)/(72г2 +ф2), у* = -(гц4)/(72г2 +ф2), (5)
где г = (х*)2 + (у*)2 > о находится в силу уравнения
г 2[ф2 +72г2] = А2. (6)
у * у *
(5) получаем из известного условия х = х0 = X, у = у0 = у .
(6) всегда имеет только один корень г > 0 (] > 0). Причем при г ^ +0 . А значит, все
резонансные кривые являются разомкнутыми (рис. 1), г(0) = ^А / Т] есть максимум г(£).
Устойчивость 2ж -периодического решения системы (2) определяется характером устойчивости соответствующей неподвижной точки в эквивалентной задаче. Для исследования устойчивости неподвижных точек точечного отображения Т будем рассматривать характеристический полином
Рисунок 1 - Вид резонансных кривых при r = 1.
P(z) = (z-(1-3цтщт / 2))2 + (/)2 (%2 — r 2r2 / 4) . (7)
Корни (7) действительны при | % |<| rr | / 2 и являются комплексно-сопряженными при | % |>| rr |/2, а граница Nm, отвечающая появлению пары комплексно-сопряженных корней, будет представлять собой две полупрямые
r = ±2%/r (r > 0). (8)
Устойчивость неподвижной точки отображения (3)-(4) будет меняться при переходе одного из корней характеристического уравнения через значения 1 или -1, либо пары корней через значения Zj 2 = cos ф ± i sin ф , | zl2 |= 1. Соответствующие бифуркационные границы будут иметь следующий вид.
Граница N+ (z = 1) определяется уравнением
2r2r2 +%2 = 0 . (9)
Этому уравнению отвечает единственная точка плоскости параметров: % = r = 0 . Граница N_ (z = — 1) в предположении, что /Ф 0, определяется уравнением
(2 - 3 /г / 2)2 + (/ж)2(Е2 — r 2r2 / 4) = 0. (10)
Канонический вид уравнения (10) показывает, что это эллипс с центром в точке % = 0
r = 3/(2/mr) и главными диаметрами 42/(2/71) по % и 1/(2/7r) по r, целиком лежащий в области | / 2 .
Для границы Nф имеем
(1 - 3/7rrr / 2)2 + (/7)2(Е2 — r2r2 /4) = 1. (11)
Подобно (10), исследование уравнения (11) позволяет установить, что граница N^ в случае ее существования представляет собой куски эллипса с центром в точке % = 0 r = 3/(4/7r) и главными
диаметрами по % и 3/(4/]) по г, принадлежащие области | % |>| ]]г |/2. Границы
N, N, N стыкуются в точках с г = 4/(3/п), а границы N, N еще и в точке % = г = 0 .
Исследование положения границ N, N, N (9)-( 11) бифуркации корней (7) на фазовой плоскости позволяет получить картину ^-разбиения при малых / (рис. 2). Границы N, N,N приведены с
соответствующей штриховкой в сторону выхода корней характеристического уравнения из единичного круга. Однократная штриховка соответствует бифуркации корней на действительной оси, двойная -бифуркации комплексно-сопряженных корней. Область В=0 есть область устойчивости.
Изучая уравнения границ N, N, N при изменении малого параметра получаем, что область устойчивости - ограниченная при любом конечном, пускай и малом / . Причем эта область расширяется, когда / ^ +0 . Для решения вопроса о существовании неподвижных точек точечного отображения Т с некоторым характером устойчивости при А =свт1 и различных % (а значит, и 2п -периодического решения исходной системы) необходимо наложить картину границ ^-разбиения для заданного / на плоскость с резонансной кривой, соответствующей заданному А (см. рис. 3).
£
Рисунок 2 - Примерный вид границ Б-разбиения.
Рисунок 3- Взаимное расположение резонансных кривых и границ области устойчивости
при /лп = 0,4 и ] = 1.
Кроме того, отметим, что для нелинейностей, входящих в выражения функций последования точечного отображения Т имеет место соотношение
OoVX2 + Уо )2 + (Wx02 + У0 )2 =^2(x02 + У02)2, (12)
2 2
причем выражение (12) при X2 + У2 ^ стремится к бесконечности быстрее, чем сама величина
2 2
X0 + У2 . Отсюда следует, что бесконечность для приближенной модели всегда устойчива, а устойчивый режим в случае его существования в ограниченной части фазовой плоскости имеет ограниченную область притяжения. Причем область его притяжения расширяющуюся при ju ^ +0 [3].
В заключение хочется отметить, что поведение системы (2) исследовалось с помощью асимптотического метода, каковым является метод приближенных точечных отображений, поскольку при построении приближенного точечного отображения [4], [6] используется метод Ван-дер-Поля [1, с. 653], [9, с. 371]. То есть актуальным является вопрос о возможности практического применения полученных результатов, что означает необходимость обоснования метода приближенных точечных отображений. Проблема обоснования асимптотических методов может рассматриваться с различных точек зрения. Можно, например, искать условия, при выполнении которых разность между точным решением и его асимптотическим приближением при малых значениях ju становится малым на достаточно большом, но все же конечном интервале времени [1, с.663-670], [11, с. 451]. А можно поставить задачу о совпадении (обычно локальном, но иногда и глобальном) разбиений фазовых пространств рассматриваемых моделей при малых значениях ju [1, с. 670-675]. Подобное обоснование метода приближенных точечных отображений, как метода асимптотического, дано в работах [4, с. 8188], [8], Более того, использование результатов этих работ дает возможность оценки величины малого параметра, позволяющего делать достоверные выводы о поведении исходной системы по результатам приближенного исследования [4, с. 123-135].
Список использованной литературы:
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.
2. Антоновская О.Г., Бесклубная А.В. К исследованию квазигармонического осциллятора с нелинейностью, обладающей насыщением. // Международный научно-исследовательский журнал. 2020. № 2(92). С. 10 -18.
3. Антоновская О.Г., Бесклубная А.В. О влиянии характера нелинейности на результаты исследования синхронизации квазигармонического осциллятора методом приближенных точечных отображений. // Международный научно-исследовательский журнал. 2021. № 1(103). Часть 1. С. 22-29.
4. Антоновская О.Г., Горюнов В.И. Метод точечных отображений в задачах нелинейной динамики. Гамбург: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 140 с.
5. Антоновская О.Г. Метод последовательных приближений в оценке близости приближенного и точного точечных отображений при учете неизохронности процессов в динамике систем ИФАПЧ. // Вестник ННГУ, Нижний Новгород. 2013. № 5(1). С. 210-212.
6. Антоновская О.Г. О влиянии насыщения нелинейности на результаты исследования принудительной синхронизации методом приближенных точечных отображений. // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. 1999. № 2(21). С. 198-208.
7. Антоновская О.Г. О приближенном исследовании близкого к тождественному точечного отображения плоскости в плоскость. // Математическое моделирование и оптимальное управление: Вестник ННГУ, Нижний Новгород. 2004. № 1(27). С. 63-69.
8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980. 408 с.
9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
10. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.
11. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.
© Антоновская О.Г., Бесклубная А.В., 2022
