Научная статья на тему 'О сходимости итерационных процессов компромиссно-равновесного ценообразования на товарных рынках'

О сходимости итерационных процессов компромиссно-равновесного ценообразования на товарных рынках Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

CC BY
60
16
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Учет и статистика
ВАК
Область наук
Ключевые слова
CИСТЕМА КОМПРОМИССНО-РАВНОВЕСНЫХ ЦЕН / ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС / СЖИМАЮЩЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА / КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ / SYSTEM OF COMPROMISE-EQUILIBRIUM PRICES / ITERATIVE PROCESS / CONTRACTING MAPPING / FIXED POINT / CONVERGENCE CRITERION

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Жильцов Евгений Викторович, Хомяков Сергей Валентинович

В рамках концепции компромиссного анализа экономики представлено исследование сходимости итерационных процессов компромиссно-равновесного ценообразования в системе товарных рынков. На основе принципа сжимающих отображений доказана сходимость итерационных процессов и получено условие существования неподвижной точки в моделях компромиссно-равновесных цен. Проведен экономико-математический анализ критерия сходимости.I

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

n the framework of compromise economic analysis the research of convergence of iterative processes of compromise-equilibrium pricing in the system of the commodity markets is presented. On the basis of a principle of contracting mappings convergence of iterative processes is proved and the condition of existence of a fixed point in models of the compromise-equilibrium prices is received. The economic-mathematical analysis of criterion of convergence is carried out.

Текст научной работы на тему «О сходимости итерационных процессов компромиссно-равновесного ценообразования на товарных рынках»

Жильцов Е.В., Хомяков С.В.

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ КОМПРОМИССНО-РАВНОВЕСНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ НА ТОВАРНЫХ РЫНКАХ*

В ряду концепций системного ценообразования, учитывающих межотраслевую структуру национальной экономики, особое место занимает концепция компромиссно-равновесных цен, опирающаяся на интере-сополагающий принцип анализа и моделирования стоимостных отношений [1, 2]. Компромиссно-равновесные цены замечательны тем, что при них конфликтные интересы экономических агентов в результате взаимного компромисса оказываются согласованными в смысле конкурентоспособного предложения и платежеспособного спроса. Кроме того, система компромиссно-равновесных цен отличается тем, что она является социально-сбалансированной и может рассматриваться в качестве системы эталонных цен национальной экономики.

Модели компромиссно-равновесного ценообразования органично сочетают в себе идеи компромиссного и межотраслевого анализа. Важной особенностью моделей компромиссно-равновесных цен является их нелинейность, которая при численном расчете системы цен учитывается построением итерационных процессов. Исследование сходимости таких итерационных процессов позволяет получить критерий сходимости и вместе с этим условие существования неподвижной точки в компромиссно-равновесных экономических системах.

1. Моделирование компромиссно-равновесного механизма ценообразования в системе взаимосвязанных товарных рынков

Будем рассматривать экономическую систему, включающую п взаимосвязанных товарных рынков. Модель рыночного компромисса на рынке 7-го товара имеет вид (7 = 1,2,...,п ) [1, 2].

Р* = arg max

Р

V Р

Б'

Л

Р; - С; (Р)

(1)

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-06-00448-а).

7 * =

7 Р *

)

(2)

где Б 7 — сумма денежных средств на

рынке 7-го товара; Б' = м/ = МёТ] — минимально необходимая прибыль на капитал / , задействованный в -й отрасли, при норме рентабельности капитала М и

п

капиталоемкости &7 ; с 7 = £ йцР1 + —

/=1

себестоимость единицы -й продукции; а7 — затраты в натуральных единицах /-го

продукта на единицу 7-го продукта; и 7 —

удельные затраты труда на единицу 7-го

р *

продукта, — компромиссно-

*

равновесная цена, — компромиссно-

равновесный объем купли-продажи.

Далее будем предполагать, что процессы приобретения предметов труда, производства и реализации продукции осуществляются в рамках одного и того же периода времени. В этом случае себестои-

п

мость С} =Х а7Р1 + определяется

/=1

при текущих ценах Р* [2].

Тогда, решая задачу оптимизации (1), получим следующую модель компромиссно-равновесных цен (7 = 1,2,...,п )

(р*рЧЁЖ=С](Р*)-^, (3)

V / 7~> п' Л }\ !, Г~

Р = С

1 } }

Б] - Б.'А ^ '1

7

Б

где Ф7 =—7—-, А7 = 1 - а7 — коэффици-

]

ент Кардаша.

Из формулы (3) можно получить наглядную структуру компромиссно-равновесной цены (7 = 1,2,...,п )

^=¿7* +^+р*^ ,

/=1

где р- - — эндогенно формируемая

прибыль в цене, ф - — доля прибыли в

цене [1, 2].

При компромиссном равновесии предполагается, что реализуется априори известный равновесный объем купли-

продажи

У

]

У

0

0

mm

У, У-).

где У- — максимально возможный по производственным мощностям объем предложения на --ом товарном рынке, У- — объем насыщения спроса на -ом товарном рынке. Тогда необходимые денежные средства на рынке -го товара ищутся в виде

& - {р- )= р- У- . С учетом фиксированного У0 , из формулы (2) можно выразить ко -

эффициент Кардаша следующим образом (- = 1,2,...,п ) [1, 2]

ф

= 4

1 + .

1 + -

О

*-2

(4)

Нелинейность процесса компромиссно-равновесного ценообразования, описываемого формулами (3) и (4), обусловлена

тем, что параметры с - и ф- сами зависят

от вектора цен Р .

Вычислительную проблему, связан-

р*

ную с тем, что при расчете цен - параметры с и ф определяются при тех же ценах, можно учесть следующим образом: себестоимость с -, а следовательно, и ко -

эффициент Кардаша ф рассчитывать в

ценах предыдущего периода Р . Тогда для

исчисления системы компромиссно-равновесных цен по модели (2) можно организовать следующий итерационный процесс (- = 1,2,...,п )

1°. с?) ((к) ^а-Р^ + s J 1=1

2°. фГ ())

1 + „ 1 +

(к)

V --

3°.Р

р -(к+1) (р - (к) )= с (к) (р -(к) )_

(6) (7)

По сути, итерационный алгоритм (5)-(7) формализует метод простых итераций (последовательных приближений) для определения системы компромиссно-равновесных цен. С точки зрения математической экономики, сходимость итерационного процесса (5)-(7) определяет существование в экономической системе неподвижной точки, играющей большое значение для моделей экономического равновесия [3, 4, 5], в том числе и для моделей компромиссно-равновесного ценообразования. В таких моделях вопрос о существовании экономического равновесия сводится к вопросу отыскания неподвижных точек. При анализе условий существования неподвижной точки в нелинейной модели (3) наибольший интерес представляет установление области значений начальных цен р ( ),

начиная с которых с помощью итеративного механизма (5)-(7) можно прийти к ком -

р*

промиссно-равновесным ценам .

2. Исследование сходимости итерационного процесса и условий существования неподвижной точки на основе принципа сжимающих отображений

Вопрос о сходимости итерационного процесса (5)-(7) для исчисления системы компромиссно-равновесных цен можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки отображения некоторого пространства в себя. Одним из простейших и в то же время наиболее важных критериев существования и единственности неподвижной точки является принцип сжимающих отображений. Согласно принципу сжимающих отображений, всякое сжимающее отображение имеет одну и только одну неподвижную точку [6, 7, 8].

Для того чтобы воспользоваться принципом сжимающих отображений, преобразуем формулу (3) путем подстановки в

нее выражений для с- и ф- . В результате

получим нелинейное отображение вида (j = 1,2,...,n )

Pj = F(pj) = 7

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(8)

Введем в рассмотрение метрическое пространство с метрикой

рю(Р', P") = max

1< j < n

P' - P"

jj

р , р"

е . Отображение Р пространства Д^, в себя имеет неподвижную точку,

если Р (р ) = р . Для того чтобы отображение Р было сжимающим, достаточно выполнения условия |Р | < 1 [6, 7, 8].

Теорема 1 (достаточное условие сходимости итерационного процесса компромиссно-равновесного ценообразования).

Пусть имеется итерационный процесс вида (- = 1,2,...,п )

(9)

: = 1,2,.... v '

Pj(k+1) = т1д J + 4£a,jP(k) + 4s j +Jjj I , k = 1,2.

Тогда для существования неподвижной точки р достаточно, чтобы процесс

(9) начинался со значения р(0), удовлетворяющего условию (- = 1,2,. ., п )

Ж] Ау , ( - а„)2

< ■

ygj А у + 4 £ ар^ + 4s j a jj

-. (Ю)

1=1

Доказательство. Конкретизируем достаточное условие сжимаемости для нелинейного отображения (8) (- = 1,2,...,п )

( I-п--Л

FPj =■

^gjАj + Iix/i + 4sj ^^gjАj

А j + 4£aIJpI + 4Sj

г Л

= a,

1 +

Hg,А

J J

Hg, А j + 4 £ a,Pl + 4s

1=1

u^ , j

Условие

Р 1< 1

будет иметь вид

(- = 1,2,...,п )

1 +

Ж,А

j j

Mgj А, + 4 £ ajP + 4s

i=1

i 1

Исходя из того, что параметры модели неотрицательные величины, последнее неравенство после преобразований запишется в виде (- = 1,2,...,п )

(1 - а л )

Hg,А

j j

<-

Hgj А j + 4 £ a, Pi + 4s,

_J

a

1=1

Теорема доказана.

Следовательно, на основе соотношения (8) можно организовать сходящийся итерационный процесс, начиная с некото-

р (0)

рого вектора начальных цен р , удовле-творяющего условию (10).

Примечание. На первый взгляд может показаться, что условие сходимости получено для отдельно взятого --го товарного рынка и не учитывает взаимосвязь всех товарных рынков. Однако на самом деле итерационный процесс компромиссно-равновесного ценообразования строится таким образом, что цены на отдельных товарных рынках оказываются взаимосвязан-

п

ными через параметры с- = X а1-р + ^-

I=1

[2]. Поэтому критерий сходимости для итерационного процесса (9) в обобщенном виде можно записать так:

max

1< J < n

(

\

1 +

Hgj А

j j

Hgj А, + 4 £ ajP,(0) + 4s,

i=1

< 1.

Таким образом, показано, что для существования неподвижной точки отображения (8) в виде вектора компромиссно-

равновесных цен р достаточно, чтобы в начальном состоянии параметры экономической системы удовлетворяли условию (10).

2

1

<

a

1=1

a

a

3. Содержательный и экономико-математический анализ условия существования компромиссно-равновесных цен

Помимо математического содержания критерия сходимости, при выполнении которого итерационный процесс сходится к неподвижной точке, особый интерес представляет его экономическая интерпретация, позволяющая выявить соотношение между отдельными параметрами модели.

Выполняя равносильные элементарные преобразования, условие сходимости (10) можно привести к виду (7 = 1,2,...,п)

2a/J < 1 - j

(И)

где д/ ф j 0 — доля прибыли в цене для j-й

отрасли в начальном состоянии; а 77 — величина внутриотраслевого оборота в 7-й отрасли.

Если умножить обе части неравенства (11) на ), то получим (7 = 1,2,...,п )

2 pPJJ

Ф(0) < j

a Р(0) ajjPj -(12)

Тогда экономическая интерпретация условия (12) может быть следующей: для сходимости итерационного процесса компромиссно-равновесного ценообразования (9) и существования неподвижной точки достаточно, чтобы в начальном состоянии половина прибыли в цене 7-й отрасли была меньше разности между ценой и внутриотраслевыми затратами в этой же отрасли.

Углубленный экономико-

математический анализ критерия сходимости (11) дается в следующей теореме.

Теорема 2 (об экономическом содержании критерия сходимости).

Для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий (7 = 1,2,...,п ):

1) 2

< X hij + 4i;

j=1 j &

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2) 2

2W

m

< X a

i =1 i & j

+ s,

Доказательство.

1) На основе балансовых соотношений модели межотраслевого баланса (МОБ), условие сходимости (11) можно интерпретировать с позиции производства и распределения продукции как в ее материально-вещественной, так и в стоимостной форме.

Рассматривая во взаимосвязи I и II квадранты таблицы МОБ, отражающие материальный баланс, имеем (- = 1,2,...,п) [9]

п

Х = X х7 + У-,

7=1

п хи V ■

1 = X—+—,

7=1 х- х-

1 = + Чг,

7=1

где — коэффициенты распределения,

показывающие долю продукции -й отрасли, направляемой на производственное потребление в 7-ю отрасль; Ч- — доля конечной продукции, произведенной в -й отрасли.

Тогда, при условии, что - = а-- [9], из (11) получим (- = 1,2,...,п)

<X hy + qi - hii, 2 j=1

< Xhj + qt . 2 j =1

j=1 j

(13)

Отсюда следует, что, согласно (13), для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы для начального состояния экономической системы половина доли прибыли в компромиссно-равновесной цене i-й отрасли была меньше доли продукции этой же отрасли, направляемой на производство в другие отрасли и на конечное потребление.

2) Учитывая взаимосвязь I и III квадрантов таблицы МОБ, отражающих баланс затрат, имеем (j = 1,2,...,n ) [9]

n

xj =X xj + zj, i =1

п хи 2 7

1 =Х ^ + ,

=1 х 7

х

1 = X ~7 + г7,

-=1

где а 7 — затраты -го продукта на единицу 7-го продукта в стоимостном выражении; г7 — доля добавленной стоимости, создаваемой в 7-й отрасли.

Выделяя в структуре добавленной стоимости затраты на оплату труда и прибыль, последнее выражение примет вид

(7 = 1,2,...,п )

п

1 =Х + $7 + т7,

-=1

где $7 — доля затрат на оплату труда в 7-й

отрасли, т7 — доля прибыли в цене на продукцию 7-й отрасли.

Тогда при условии, что а77 = а77 [9], из (11) получим (7 = 1,2,...,п )

2Л/-7 <Ха7 + + т7 - а7 ,

=1

-(0) - т7 <Х а7 + .

=1 7

(14)

Следовательно, согласно (14), для сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы величина разности между половиной доли прибыли в компромиссно-равновесной цене и долей прибыли в цене, заложенной в исходный МОБ, для 7-й отрасли была меньше доли суммарных производственных затрат этой же отрасли с исключенными внутриотраслевыми затратами. По сути, левая часть критерия сходимости (14) отражает стоимостную разба-лансированность экономической системы в начальном состоянии по отношению к компромиссно-равновесному состоянию. Теорема доказана.

Отметим, что в теореме 2 критерий сходимости был представлен в двух формах, что позволило его интерпретировать с разных сторон. В частности, с помощью математических преобразований критерию сходимости удалось придать оригинальное

содержательное значение как разбаланси-рованности экономической системы в начальном состоянии по отношению к компромиссно-равновесному состоянию.

В то же время, из условия (11) видно,

.(0)

что от соотношения параметров д/—7 и

а 77 зависит принципиальная возможность

получения системы компромиссно-равновесных цен. В следующей теореме сформулирован качественный признак сходимости, основанный на структурном виде матрицы коэффициентов прямых затрат

А = Ь}.

Теорема 3 (о качественном признаке сходимости).

Для заведомой сходимости итерационного процесса (9) достаточно, чтобы выполнялось условие ^ (а77 ) < 0,5 .

Доказательство. Для наглядности доказательства представим критерий сходимости (11) в виде области сходимости на

графике в координатах 7

На рис. 1 показана область сходимости, задаваемая условием

—7 ) < 2(1 — а77 ) и ограничением

0 < — 7 ) <1. Из рис. 1 видно, что при 0 < а77 < 0,5 значение коэффициента

-(0) 0 <-(0) < ! 7 лежит в пределах 0 7 1 , а

V

следовательно, и 0 < ( ^ < 1. При 0,5 - а77 < 1

область сходимости сужается и 0 < д/—(0) < 2(1 — а77 ) (коэффици-

ент д^- ( ^ попадает в область «ограниченного» компромисса). Другими словами, в интервале 0 < а 77 < 0,5 на коэффициент

V

т(0)

7 не накладываются дополнительные ограничения сверху, кроме требования

V

- 7 ) < 1. Теорема доказана.

Рис. 1. Область сходимости Следствие 1. Если матрица прямых затрат

А = к}

такова, что выполняется сходимость

то

условие max (a,, ) < 0,5

1< J <n

итерационного процесса (9) не зависит от

P (0)

вектора начальных цен P .

Следствие 2. В области сходимости находятся такие значения параметров

4

Ф f, a

jj

, при которых саморегулируе-

мый конфликтно-компромиссный рыночный механизм может привести экономическую систему к единственной неподвижной точке в виде вектора компромиссно-

равновесных цен р .

Таким образом, в данной статье рассмотрен модельный инструментарий компромиссно-равновесного ценообразования и построен численный алгоритм для определения системы компромиссно-равновес-

ных цен. В ходе исследования условий существования неподвижной точки доказана теорема о сходимости и проведен качественный анализ критерия сходимости. Представление критерия сходимости в виде области сходимости позволило установить, что отрасли, у которых коэффициент прямых затрат ап > 0,5, попадают в область

«ограниченного» компромисса. Последнее означает, что цены на товарную продукцию --й отрасли определяются в большей степени внутрипроизводственными затратами этой же отрасли нежели затратами предметов труда других отраслей. Поэтому повышение специализации отраслей и ослабление межотраслевых связей может привести к невозможности достижения компромиссно-равновесного состояния во всей системе отраслевых рынков.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.