CC BY
8
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 159-168
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 2,
pp. 159-168 https://mmi.sgu.ru
https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-159-168
Научная статья УДК 517.925
О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы
сшитого седло-узла
В. Ш. Ройтенберг
Ярославский государственный технический университет, Россия, 154023, г. Ярославль, Московский
проспект, д. 88
Ройтенберг Владимир Шлеймович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, vroitenberg@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-1293-7998, АиЙогГО: 421907
Аннотация. В статье рассматриваются динамические системы на плоскости, задаваемые непрерывными кусочно-гладкими векторными полями. Такие системы используются в качестве математических моделей реальных процессов с переключениями. Важной задачей является нахождение условий рождения периодических траекторий при изменении параметров. В работе описана бифуркация рождения периодической траектории из петли сепаратрисы сшитого седло-узла — аналог классической бифуркации петли сепаратрисы седло-узла гладкой динамической системы. Рассмотрим однопараметрическое семейство {Х£} непрерывных кусочно-гладких векторных полей на плоскости. Пусть — точка на линии переключения. Выберем локальные координаты х, у, в которых имеет нулевые координаты, а линия переключения задается уравнением у = 0. Пусть векторное поле Х0 в полуокрестности у ^ 0 (у ^ 0) совпадает с гладким векторным полем Х+ (Х—), для которого точка является устойчивым грубым узлом (грубым седлом), а собственные подпространства матрицы линейной части поля в не совпадают с прямой у = 0. Особая точка называется сшитым седло-узлом. Существует единственная траектория Ь0, а-предельная к — выходящая сепаратриса точки . Предполагается, что она также ш-предельна к г0, причем входит в по ведущему направлению узла поля Х+. Для типичного семейства при изменении параметра е сшитый седло-узел либо распадается на грубые узел и седло, либо исчезает. В работе доказано, что в последнем случае из контура Ь0 и {г0} рождается единственная периодическая траектория поля Хе — устойчивый предельный цикл.
Ключевые слова: непрерывная кусочно-гладкая динамическая система, фазовая плоскость, бифуркация, сшитый седло-узел, предельный цикл
Для цитирования: Ройтенберг В. Ш. О рождении предельного цикла из петли сепаратрисы сшитого седло-узла // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 159-168. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-159-168
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2 Article
On generation of a limit cycle from a separatrix loop of a sewn saddle-node
V. Sh. Roitenberg
Yaroslavl State Technical University, 88 Moskovskii prospekt, Yaroslavl 150023, Russia
Vladimir Sh. Roitenberg, vroitenberg@mail.ru, https://orcid.org/0000-0002-1293-7998, AuthorlD:
421907
Abstract. The article considers dynamical systems on the plane, defined by continuous piecewise smooth vector fields. Such systems are used as mathematical models of real processes with switching. An important task is to find the conditions for the generation of periodic trajectories when the parameters change. The paper describes the bifurcation of the birth of a periodic trajectory from the loop of the separatrix of a sewn saddle-node — an analogue of the classical bifurcation of the separatrix loop of a saddle-node of a smooth dynamical system. Consider a one-parameter family {Xe} of continuous piecewise-smooth vector fields on the plane. Let z° be a point on the switching line. Let's choose the local coordinates x,y in which z° has zero coordinates, and the switching line is given by the equation у = 0. Let the vector field X0 in a semi-neighborhood у ^ 0 (у ^ 0) coincide with a smooth vector field X+ (X-), for which the point z° is a stable rough node (rough saddle), and the proper subspaces of the matrix of the linear part of the field in z° do not coincide with the straight line у = 0. The singular point z° is called a sewn saddle-node. There is a single trajectory L0 that is a-limit to z° — the outgoing separatrix of the point z0. It is assumed that L0 is also w-limit to z0, and enters z° in the leading direction of the node of the field X+. For generic family, when the parameter e changes, the sewn saddle-node either splits into a rough node and a rough saddle, or disappears. In the paper it is proved that in the latter case the only periodic trajectory of the field Xe is generated from the contour L0 U {/°} — a stable limit cycle.
Keywords: continuous piecewise smooth dynamical system, phase plane, bifurcation, sewn saddle-node, limit cycle
For citation: Roitenberg V. Sh. On generation of a limit cycle from a separatrix loop of a sewn saddle-node. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 2, pp. 159-168 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-159-168 This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Введение
Исследование бифуркаций фазовых портретов динамических систем было начато А. А. Андроновым в 1930-е гг. Бифуркация рождения предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла гладкой динамической системы на плоскости была описана в работе А. А. Андронова и Е. А. Леонтович [1]. Случай фазового пространства любой размерности был рассмотрен Л. П. Шильниковым в [2]. Для динамических систем, задаваемых разрывными кусочно-гладкими векторными полями в Rra, рождение периодической траектории из петли сепаратрисы особой точки типа сшитый седло-узел было получено в [3]. Теории локальных и нелокальных бифуркаций кусочно-гладких динамических систем посвящено большое число научных работ (см., например, [4-7]. Несомненный теоретический и прикладной интерес представляет изучение бифуркаций динамических систем, задаваемых непрерывными кусочно-гладкими векторными полями. Здесь изучены в основном локальные бифуркации [8]. В частности, описаны
бифуркации особой точки О = (0,0) типа седло-узел, «сшитой» из седла и узла гладких векторных полей, заданных соответственно в верхней и нижней полуплоскостях плоскости К2.
В настоящей работе рассматривается бифуркация петли сепаратрисы такой точки. Доказывается, что при исчезновении особой точки рождается единственная периодическая траектория.
1. Непрерывные кусочно-гладкие векторные поля на плоскости
Пусть замкнутая область М на плоскости К2 с Сг+1-гладкой (г ^ 1) границей ОМ представлена в виде объединения Сг+1-гладких двумерных компактных подмногообразий Мк (к = 1, 2,..., п) с краем дМк, причем М. П М^ = дМ. П дМ) при г = ]. Пусть Хг(Мк) — банахово пространство Сг-векторных полей на Мк с Сг-нормой [9], которую обозначим || ■ || к. Непрерывным кусочно-гладким векторным полем в области М с разбиением V = {М1,М2,...,Мп} назовем такое непрерывное векторное поле X : М ^ ТМ = Кп , что для любого к = 1, 2,..., п Хк := X\Мк е X(Мк). Множество X(М, V) таких векторных полей с нормой ||Х||г := тах \\Х \Мк \\к является банахо-
к=1,..,п
вым пространством. Множество 5 := и дМ.\ П дМ) и его компоненты называются
линиями переключения.
Векторное поле X е Х (М, V) удовлетворяет условию Липшица. Поэтому для любой точки г0 е тЬМ существует единственная траектория, начинающаяся в этой точке, — отображение д(г0, ■) : I ^ М, где I — максимальный промежуток, содержащий нуль, для которого д(г0,0) = г0 и —д(г0,Ь) = X(д(г0,Ь)) при всех Ь е I. Как обычно, множество точек Ь = {х = д(г0,Ь): £ е I} также будем называть траекторией.
2. Формулировка результатов
Будем рассматривать семейство {^"е}|е|<<5 векторных полей Х£ е Х(М, V), г ^ 3, зависящих от параметра е е (-8,8), и предполагать, что отображение
(-¿>,й) э е^ Х£ е X(М, V)
— С 1-гладкое. Тогда для всех к = 1, 2,... ,п отображения
Мк х (-8,8) э (г,е) ^ Хк£ (г) е К2
— Сг-гладкие. Согласно теореме Уитни [10, с. 587-599], векторные поля Х^ := Хе \Мк можно продолжить до векторных полей Х^к на М так, чтобы отображения
М х (-8,8) э (г, е) ^ Х^(г) е К2
также были Сг-гладкими.
Пусть векторное поле Х0 имеет особую точку на линии переключения. Элементы разбиения V, содержащие эту точку, обозначим М+ и М-. Пусть Х± := Х£ |М± . Предположим, что линейный оператор ¿Х+(г°) имеет различные отрицательные собственные значения, а соответствующие собственные подпространства трансверсальны касательной к дМ+ в точке линейный оператор ¿X-(г°) имеет собственные значения противоположных знаков, а соответствующие собственные подпространства трансверсальны касательной к дМ- в точке г0. Точку в этом случае назовем сшитым седло-узлом. Она имеет один устойчивый параболический сектор и два
Рис. 1. Сшитый седло-узел и петля его сепаратрисы
Fig. 1. The sewn saddle-node and its separatrix loop
гиперболических сектора (рис. 1). Граничная траектория между двумя гиперболическими секторами называется выходящей сепаратрисой, а две граничные траектория между параболическим и гиперболическими секторами — входящими сепаратрисами. Бифуркации сшитого седло-узла описаны в [8].
Выберем в окрестности и0 точки локальные Сг+1-координаты ), < 1, ^ | < 1, в которых имеет нулевые координаты, и0 ПМ+, и0 ПМ-и I := и0 П Б задаются соответственно условиями 0 ^ х2 < 1, —1 < ^ 0 и 22 = 0, а и о не содержит других особых точек. В этих координатах
X (z) = Р± (zi,z2,£)d/dzi + P2 (zi,z2,£)d/dz2,
где - Cr-функции, Pf"(0) =0 (i = 1, 2),
P+(zi, 0,s) = P~(zi, 0,e),
det dX + (z0) = det(dP+(0)/dz,) > 0, Вследствие (1) определители
det dX (z0) = det(dP~(0)/dz,) < 0.
(1) (2)
A± =
dP± (0)/dzi дР±(0)/де дР2± (0)/dz1 dpf(0)/de
совпадают: А+ = А =: А. Их величина не зависит от способа продолжения векторных полей X± до векторных полей X± .
По теореме о неявной функции получаем, что при е, достаточно близких к нулю, в окрестности и0 векторное поле Х± имеет единственную особую точку z±(e) с координатами (Ь±(е),ю±(е)), где Ъ±(^), 6 Сг,
h±(0) = v±(0) = 0, dv±(0)/де = -A/ det(dP±(0)/dz,)
(3)
Предположим, что А = 0. Без ограничения общности можно полагать, что А > 0. Тогда из (2) и (3) получаем, что существует такое 50 > 0, что
sgn v±(e) = ^ sgn е для всех е е (—д0 ,д0).
(4)
Если д0 выбрано достаточно малым, то из (4) следует, что векторное поле Х£ в окрестности и0
— не имеет особых точек при е 6 (0,50);
— имеет единственную особую точку — сшитый седло-узел 2±(0) = z0 при е = 0;
— имеет ровно две особых точки — грубый узел z+(£) 6 тЪМ+ и грубое седло Z-(£) 6 ЫМ- при £ 6 (—50,0).
Предположим теперь, что у векторного поля Х0 выходящая сепаратриса Ь0 сшитого седло-узла z0 трансверсальна линии переключения 51, ^-предельна к z0, но не совпадает ни с одной из входящих сепаратрис (см. рис. 1). Обозначим Г0 := Ь0и{^0}.
Если число 6 € (0,^о) достаточно мало, то при £ € (-5,0] в достаточно малой окрестности гомоклинического контура Г0 нет особых точек, отличных от z±(е), и нет замкнутых траекторий.
Опишем бифуркации в окрестности контура Г0 при £ > 0. Нам понадобится следующее
Определение. Пусть Ае, £ € [0,е0), —подмножества некоторого топологического пространства. Множество А0 — топологический предел множеств Ае при £ ^ 0 ( lt Ае = А0), если для любой окрестности U множества А0 найдется такое е* € (0,е0),
что Ае с U для всех £ € (0,е*).
Теорема. При сделанных относительно семейства |е|<<5 предположениях существуют такие окрестность V(Г0) контура Г0 и число 6 € (0, £0), что для любого £ € (0,5) векторное поле Хе> имеет единственную замкнутую траекторию Ге, принадлежащую V(Г0). Эта траектория — устойчивый гиперболический предельный цикл, ее топологическим пределом при е ^ 0 является Г0.
Доказательство теоремы приведено в разделах 3-5.
3. Локальная функция соответствия по траекториям поля
По условию линейный оператор dX+(z0) имеет собственные значения < < 0. Без ограничения общности можно считать, что координаты z1,z2 выбраны так, что
P+(z1, Z!, 0) = z1 + o(\z|), P2+(z1, z2, 0) = az! + Z2 + o(\z|), где а< 0.
В координатах х\ = z^ — h+ (е),х2 = z2 — v+(e)
X (z) = Q:+(x1 ,х2, е)д/дх1 + Q+ (х1, х2,е)д/дх2,
Q+ (х1, Х2,е) = Х+Х1 + Х1 qn(х1 ,Х2,е) + Х2qn(x1 ,Х2, е),
Q+ (х1 ,Х2, е) = ах1 + А+ Х2 + Х1 q21(x1 ,Х2, е) + ^22 (х1 ,Х2, е),
(5)
(6)
где qij — Сг-1-функции, ^(0) = 0, i,j = 1, 2.
Обозначим Щк := {(х1 ,х2) : 0 < х2 < й, \х11 < кх2} (рис. 2). Из (5) и (6) получаем, что при достаточно малых й > 0, к > 0 и 0 < 61 < 50 функция
Я(х1 ,Х2,е) := (х1,Х2,е)/Я2 (х1 ,Х2,е)
е,к.
определена для £ е (—51,61), (х1 ,х2) е К\ Поскольку Х+ /Х+ > 1, то при этом ±Я(±кх2 ,х2 ,е) > к. Но тогда решение х1 = р(х2,и,е) дифференциального уравнения ^/dx2 = Я(х1 ,х2,е), удовлетворяющее начальному условию ф(й,и,е) = и с \и\ < Ы, определено при всех х2 е (0,^].
Производная ф'и (х2,и,е) удовлетворяет уравнению в вариациях
dx2
4>'ч = Кг (<P(X2,U,£),X2,£)^'и
Рис. 2. Конус Щк, дуги Т} и Т},
функция ft
Fig. 2. The cone K}k, the arcs T¿ and T2, the function f¡
d
и начальному условию ^и(й,и,е) = 1. Поэтому
№
р'и(х2,и,е) = екр I П'Х1 (р(£,и,е),£,е) (7)
><1
Выберем число 7 так, что 1 < *у < /Х+. Используя (5) и (6), запишем И'Х1 в
виде
. А+А+Ж1 + Х131(Х1,Х2,£)+ Х2в2(х1,Х2,е) /оч
ДХ1 (х1,х'2,е) = (оь + Хъ + ъъь, *2,е) + х«*Ь,ъ,е))2' (8)
где 8г — Сг-1-функции, 5г(0) = 0, г = 1, 2. Считая й, к и ^ достаточно малыми, из (8) получаем следующую оценку:
П'Х1 (х1,х2,е) ^ 'у/х2 при е 6 (—^1,^1), (х1,х2) 6 К£Лк.
Отсюда и из (7) имеем
0 <<р'и(х2,и, е) ^ Ы^. (9)
Обозначим Т1 и Т^ дуги, задаваемые в координатах (х1,х2), соответственно условиями х2 = с1, |ж1| ^ Ы и х2 = —V+(е), |ж1| ^ —ку+(е). Поскольку сепаратриса Ь0 не совпадает с входящей сепаратрисой сшитого седло-узла г0, то она входит в г0 по ведущему направлению, соответствующему собственному значению А+. Поэтому й можно выбрать так, чтобы Ь0 пересекала дугу Т0 во внутренней точке, ^-координату которой обозначим £0. Фиксируем к и ¿. Выбрав достаточно малым, будем иметь Уе 6 (0, 0 < — у+(е) < й. Функция и м- /}(и) := у(—у+(е),и, е) является функцией соответствия по траекториям поля Хе,£ 6 (0,между дугами Т1 с М+ и Т2 С I. Для ее производной получаем из (9) следующую оценку:
0 < (Ц)'(и) ^ К(е)Г/^. (10)
4. Локальная функция соответствия по траекториям поля Хе—. Функция последования
По условиям теоремы матрица (дР-(0)/д) имеет собственные значения разных знаков, а соответствующие собственные подпространства трансверсальны прямой х2 = 0. Поэтому найдется такое 62 6 (0, что при е 6 (—62,62) матрица (дР-(Ъ_(е), ь_(е), е)/дх^) имеет собственные значения \_(е) и \-(е) (А-()<0 <А-(е)) и соответствующие собственные векторы (а^е), — 1)т и (а2(е), 1)т (а 1(е) > 0, а2(£) > 0), Сг-1-гладко зависящие от е. Тогда в координатах (¿\, ¿1), задаваемых равенствами
2а = Ъ_ (е) + ^ (е)^ + а,2(е)г2, 22 = У_(е) — ¿1 + ¿2,
получаем
Х-(г) = (А^е) ¿1 + С1 (¿1,^2, е))д/д%1 + ^(е) ¿2 + 02(^1,^2, е))д/дг2,
где ск ( к = 1, 2) — Сг-1-функции, обращающиеся в нуль вместе со своими первыми производными по ¿1 и ¿2 при ¿1 = ¿2 = 0, на дуге I = Б П и0 (22 = 0) имеем ¿2 = — ь_(е) + ¿1, а условие 2 6 и0 П М_ (22 ^ 0) равносильно неравенству
¿2 ^ — (с) + ¿1.
При достаточно малых 10 > 0 и 83 6 (0,82] локальные инвариантные многообразия седла г_(е) при всех е 6 (—53,83) задаются в координатах (¿1 ,г2) уравнениями ¿1 = Wl(¿2, е), ¿2 6 (—10,10) и ¿2 = W2(¿1, е), ¿1 6 (—10, /0), где Шк 6 Сг-1,
тк(0,е) = (тк)'т(т,е) \т=о =0, к = 1, 2 [9]. Замена уг = ¿1 — ,е), = ¿2 — ^2(¿1 ,£) является диффеоморфизмом, который можно сделать сколь угодно близким к тождественному в С1 -топологии, выбрав достаточно малые и 53. При каждом 10 число 53 можно выбрать столь малым, что при £ е (—53,53) дуга I пересекается с окрестностью П- = П-е точки г-(е), заданной неравенствами \г1 \ < 10, \г2\ < 10 (рис. 3). Поэтому можно считать, что и 53 таковы, что V £ е (0,53) I П П- имеет уравнение Уч = Ф(У1 ,е), где
<ф(0,е) < -v-(е)/2 < 0, 0 <ф'у 1 (У1 ,е) < 2,
а условие г е П- П М_ равносильно неравенству у2 < ф(у1 ,е). В окрестности П-
х-) = (Х1(е) + Г1 (У1, Уч,£))У1 д/ду1 +
+ (\- (£) + Г2(У1, У2,е))У23/ду2, (13)
где гк е Сг~2, гк(0,0,е) = 0, к = 1,2, и можно считать, что
А- (£) + П (yi, у2 ,£) > ° Л-(е) + Г2(yi, у2,£) < 0.
(11) (12)
Из (13) получаем, что производная функции у2 — ф(у1 ,е) по направлению векторного поля Х£ равна
(14) Рис. 3. Окрестность седла z (s). Дуги Т2 и Т?, функция /¡2
Fig. 3. A neighborhood of the saddle z~(s). The arcs Xf and T?, the function ff
(Х2(£) + Г2 (УъУ2 ,£))У2 — Ф'У1 (У1 ,£)(^1 (£) + П (У1, у 2 ,£))У1.
Ввиду (11) и (14) можно считать, что при выбранном 53 в точках IПП- с координатой у1 < 0 она положительна, т.е. поле Хе, £ е (0,53), в этих точках направлено внутрь М+. Поскольку в точках дуги Т^ поле Хе направлено внутрь М_, то все точки Т2 имеют положительную координату у1. Так как для координат х1 ,х2 точек Т^ имеем х2 = —у+(е), \х1\ < —ку+(е), а ^(0) = 0, то можно считать, что при £ е (0,£3) Т'2 С П- и существует такая постоянная С > 0, что
0 <у1 < Се для координаты у1 любой точки Т2. (15)
Переход от параметра х1 (\х1 \ < —ку + (е)) на дуге Т2 к параметру задается возрастающей аффинной функцией = (г1 — к-(е) + ау-(е))/(а1 (е) + а2(е)). Переход от параметра на Т^ к параметру у1 задается равенством у1 = — (—V- (е) + ,е). Поэтому переход от параметра х1 к параметру у1 имеет вид у1 = уе(х1), где (Х1 ,£) ^ уе (Х1) — Сг-1 -функция, (уе)' (Х1) > 0.
Обозначим Т3 дугу, заданную в координатах у1 ,у2 условиями у1 = 10/2, \у2\ < I, где 0 < I < 10 .В качестве параметра на Т3 возьмем координату у2. При £ = 0 сепаратриса Ь0 поля Х0 трансверсально пересекает дугу ТЗ в точке с координатой у2 = 0. Так как Ь0 трансверсально пересекает и дугу Т^ в ее внутренней точке, а также трансверсальна 5, то при достаточно малых I и 54 е (0,53) для любого £ е [0,54] определено отображение по траекториям поля Хе дуги Т3 в дугу Т^, ставящее в
соответствие точке с координатой у2 = v точку с координатой xi = f?(v), при этом отображение (v, е) м- f?(v) принадлежит классу Сг"2.
Обозначим Wf*' объединение дуг положительных полутраекторий поля Х£, начинающихся в точках Т? и кончающихся в точках Т£1. При достаточно малом 84 для любого е Е (0,84) множество U(k,d, l0,l, s) := K£d k U П-£ U является окрестностью петли Г0.
Траектория поля Хе, начинающаяся в точке окрестности П- с координатами Vi, у2, 0 < yi < I, |у2\ < I, пересекает дугу Т? в точке с у2-координатой Y(yi, у2, е), где Y — Сг_2-функция. Из [11, п. 13.8, замечания 2 и 3] следует, что
Y(Уъ У2, £) = С^УХ1£)У2 + v(Уи У2, £), (16)
где \(£) = -\-(£)/\-(£) > 0, с, Г] ЕСl, с(е) > 0,
\дг+г'П (Vi, У2, e)/dyldy21 ^N 0 ^ i+j^ 1, (17)
аа> 0, N > 0 — некоторые постоянные.
Функция f2(у\) := Y(у1,ф(yi, е), е) задает отображение дуги Т^ в дугу Т? по траекториям поля Х£ (см. рис. 3). Мы можем считать, что 84 < 1. Из (16), (17), (12) и (15) получаем, что найдется такое число Ni > 0, что при всех е Е (0, #4) в области определения функции f2
(f2)'(yi) ^ Ni£x(£) ^ Ni. (18)
При е Е (0, ¿4) функция fe := f? о f^ о уе о Ц : [—кd,kd] м [—кd,kd] задает отображение дуги Т'} в себя по траекториям векторного поля Х£. Из оценок (10),
(18), ограниченности производных функций у£, f? и равенства limv+(£) = 0 следует,
£^0
что при достаточно малом 8 Е (0, ¿4] V е Е (0,8) 0 < (fe)'(xl) < 1/2. Поэтому функция последования f£ имеет единственную неподвижную точку (устойчивую гиперболическую) С(£). Через соответствующую точку дуги Тпроходит устойчивая гиперболическая замкнутая траектория Г£ поля Х£.
5. Окрестность V(Г0)
Построим окрестность V(Г0), о которой идет речь в теореме. При достаточно малом 86 Е (0,85) найдется окрестность V*(r0) контура Г0, содержащаяся в любой окрестности U(k,d, l0,l, е), £ Е (0,86). Выберем число а > 0 так, чтобы —кd < — а < £0 < £0 + а < kd. Поскольку контур Г0 состоит из С1-гладких дуг с концами на линиях переключения и трансверсальных этим линиям, то, взяв а достаточно малым, можно построить окрестность V(Г0) с V*(r0) контура, ограниченную двумя замкнутыми кусочно-гладкими кривыми j+ и j_, пересекающимися с дугой Т^ только в точках соответственно А+ и А- с х1-координатами — а и + а. Используя теорему о неявной функции, получим, что 86 можно выбрать так, что при е Е (0,86) дуга Т1 пересекается с кривой 7+ (j_) в единственной точке А+ (А-).
Выбрав достаточно малые положительные числа d, l0, l и 8 Е (0,86), по ним для любого е Е (0, £) можно построить окрестность U(k,d, l0,l, £) контура Г0 аналогично окрестности U (k,d, l0,l, £) так, чтобы U (k,d,l0,l, £) с V (Г0). Векторное поле Х£ при £ Е (0,8) имеет в U(k,d, 10,1, £), а потому и в V(Г0) замкнутую траекторию Г£. Так как часть дуги Т1 между точками А+ и А- разбивает V(Г0) на две односвязные области, не содержащие особые точки поля, то Г£ пересекает дугу Т1. Но при £ е (0, £) Г£ — единственная замкнутая траектория поля Х£, пересекающая дугу Т£1. Следовательно, Г = Г£ — единственная замкнутая траектория поля Х£, содержащаяся в V(Г0).
Покажем, что И Г£ = Г0. Зададим окрестность и(Г0) сепаратрисного конту-
£—
ра Г0. Выбрав достаточно малые d, l0, I и 8* е (0,8), будем иметь при всех е е (0,8*)
U(k,d,l0,l,e) С U(Г0)ПV(Г0). Векторное поле Х£ при е е (0,8*) имеет в U(k,d,l0,l,e),
а потому и в U(Г0) П V(Г0) замкнутую траекторию Г£. Следовательно, It Г£ = Г0.
£—0
Теорема доказана.
Список литературы
1. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра // Ученые записки Горьковского государственного университета. 1939. Вып. 6. С. 3-24.
2. Шильников Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Математический сборник. 1963. Т. 61 (103), № 4. С. 443-466.
3. Ройтенберг В. Ш. О рождении устойчивых замкнутых траекторий разрывных векторных полей // Математика и математическое образование. Теория и практика : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. Ярославль : Изд-во ЯГТУ, 2002. С. 19-23.
4. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Москва : Наука, 1985. 224 с.
5. di Bernardo M., Budd Ch. J., Capneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-smooth Dynamical Systems. London : Springer, 2008. 483 p. (Applied Mathematical Sciences, vol. 163). https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4
6. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // Journal of Differential Equations. 2011. Vol. 250, no. 4. P. 1967-2023. https://doi.org/10.1016/j-.jde.2010.11.0163
7. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «сшитый трехкратный фокус» // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. № 2 (42). С. 18-31. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-2
8. Simpson D. J. W. Bifurcations in Piecewise-Smooth Continuous Systems. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2010. 256 p. (World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, vol. 70). https://doi.org/10.1142/7612
9. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. Москва : Мир, 1986. 301 с.
10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. Москва : Физматгиз, 1962. Т. 1. 607 с.
11. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.
References
1. Andronov A. A., Leontovich E. A. Some cases of dependence of limit cycles on a parameter. Uchenye zapiski Gor'kovskogo gosudarstvennogo universiteta [The Bulletin of Gorky State University], 1939, iss. 6, pp. 3-24 (in Russian).
2. Shilnikov L. P. Some cases of generation of period motions from singular trajectories. Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya, 1963, vol. 61 (103), no. 4, pp. 443-466 (in Russian).
3. Roitenberg V. Sh. On generation of stable closed trajectories of discontinuous vector fields. Matematika i matematicheskoe obrazovanie. Teoriya i praktika [Mathematics and mathematical education. Theory and practice]. Iss. 3. Yaroslavl, YaGTU Publ., 2002, pp. 19-23 (in Russian).
4. Filippov A. F. Differentsial'nye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'iu [Differential Equations with Discontinuous Right-hand Part]. Moscow, Nauka, 1985. 224 p. (in Russian).
5. di Bernardo M., Budd Ch. J., Capneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-smooth Dynamical Systems. Applied Mathematical Sciences, vol. 163. London, Springer-Verlag, 2008. 483 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4
6. Guardia M., Seara T. M., Teixeira M. A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems. Journal of Differential Equations, 2011, vol. 250, no. 4, pp. 1967-2023. https://doi.org/10.1016/j-.jde.2010.11.0163
7. Roitenberg V. Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of triple sewn focus type. University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. Mathematics, 2017, no. 2 (42), pp. 18-31 (in Russian). https://doi.org/10.21685/ 2072-3040-2017-2-2
8. Simpson D. J. W. Bifurcations in Piecewise-Smooth Continuous Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, vol. 70. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2010. 256 p. https://doi.org/10.1142/7612
9. Palis J., de Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction. New York, NY, Springer, 1982. 198 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5 (Russ. ed.: Moscow, Mir, 1986. 301 p.).
10. Fichtenholz G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniya [Course of Differential and Integral Calculus]. Moscow, Fizmatgiz, 1962. Vol. 1. 607 p. (in Russian).
11. Shilnikov L. P., Shilnikov A. L., Turaev D. V., Chua L. O. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics (Part II). World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A, vol. 5. River Edge, N.J., World Scientific, 2001. https://doi.org/10.1142/4221 (Russ. ed.: Moscow, Izhevsk, 2009. 548 p.).
Поступила в редакцию / Received 25.08.2021 Принята к публикации / Accepted 09.02.2022 Опубликована / Published 31.05.2022
