CC BY
9УДК 53:372.8
О РОЛИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ В ВУЗОВСКОМ КУРСЕ ФИЗИКИ
Г. В. Егоров
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского»
В статье рассматривается история возникновения вариационных принципов в физике, анализируется роль вариационных принципов в процессе познания природы. В работе приводятся примеры, подтверждающие эвристическую роль вариационных принципов в процессе физического познания, аргументируется возможность применения принципа множественности и единства моделей при изучении вариационных принципов в курсе физики.
Ключевые слова: преподавание физики, методология, вариационные принципы, принцип множественности и единства моделей.
Вопросы методологии науки играют важную роль в процессе обучения физике. В ходе формирования современной физической картины мира у студентов вузов, обучающихся по направлению «Физика», необходимо добиваться четкого понимания модельного характера физической науки и важности правильного выбора модели в ходе решения физической задачи. Ранее автором было предложено использование принципа множественности и единства моделей в процессе преподавания физики [1]. В настоящей работе проводится анализ той роли, которую играют в физике вариационные принципы, и аргументируется возможность применения принципа множественности и единства моделей при рассмотрении вариационных принципов в курсе физики.
В ходе развития механики был установлено, что в основу ее изложения могут быть положены вариационные принципы. Преимущество вариационных принципов состоит в том, что из них сразу получаются уравнения движения механической системы, не содержащие неизвестных сил реакции связей. Достигается это тем, что эффект действия связей на механическую систему учитывается не заменой их неизвестными силами (силами реакции связей), а рассмотрением тех возможных перемещений или движений, которые точки этой системы могут иметь при наличии данных связей.
Вариационные принципы механики по форме подразделяются на дифференциальные и интегральные. К дифференциальным принципам, характеризующим свойства движения для любого данного момента времени, относится, например, принцип возможных перемещений. Интегральными принципами, характеризующими свойства движения на любых конечных промежутках времени, являются принципы наименьшего действия в формах Гамильтона - Остроградского, Лагранжа, Якоби и др.
Исторически первым вариационным принципом был принцип наименьшего времени Ферма в геометрической оптике. Еще Герон Александрийский показал, что закон отражения света можно вывести из принципа кратчайшего пути. Однако уже в случае преломления света этот принцип явно нарушался. П. Ферма в 1662 г. предположил, что световой луч избирает путь, на прохождение которого он затрачивает наименьшее время. Так был сформулирован первый экстремальный принцип: «Истинный путь светового луча отличается от всех возможных путей тем, что время движения вдоль него минимально» [2].
На этом примере можно видеть основную черту, присущую всем вариационным принципам. Они имеют общий и универсальный характер. Например, зная принцип Ферма, можно рассчитать любую оптическую систему, не нуждаясь ни в каких других законах геометрической оптики - все они являются лишь следствием этого единственного принципа.
Содержанием любого вариационного принципа является утверждение об экстремуме (минимуме или максимуме) некоторой величины. Расчет реальной траектории движения рассматривается как отыскание «истинного» пути среди всего множества возможных.
Основная проблема, стоявшая перед учеными, заключалась в том, чтобы найти эту минимизируемую величину.
Еще Г. Галилей начал применять первый из вариационных принципов механики -принцип возможных (виртуальных) перемещений. Первым, кто понял общность этого принципа и его полезность для решения задач статики, был И. Бернулли. Этот принцип впоследствии получил обоснование, существенное развитие и применение в «Аналитической механике» Ж. Лагранжа, считавшего его одним из важнейших принципов механики.
Принцип возможных (виртуальных) перемещений гласит:
Механическая система находится в равновесии в некотором положении тогда и только тогда, когда сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, на всяком возможном перемещении, выводящем систему из рассматриваемого положения, равна нулю в любой момент времени:
£ т = о.
I
Долгое время оставалось неясным - какая же величина должна принимать экстремальное значение в случае истинной траектории движения частицы. В 1744 году французский ученый П. Мопертюи представил Парижской Академии работу, в которой предлагался новый универсальный принцип механики - принцип наименьшего действия. Истинное движение отличается от всех возможных тем, что для него минимальна величина действия, которое Мопертюи определил равным mvs, где т - масса, V - скорость, а £ - путь, который проходит тело. Принцип Мопертюи в том же 1744 году уточнил Л. Эйлер, показавший, что истинной траектории движения тела соответствует минимум величины | туйь [3].
Идеи Мопертюи и Эйлера развил Жозеф Луи Лагранж, который придал вариационному исчислению современный вид и распространил принцип наименьшего действия на произвольную механическую систему, а не только на систему свободных материальных точек. Тем самым было положено начало аналитической механике. Лагранж использовал функционал действия в форме 12Т&, где Т - кинетическая энергия системы.
В дальнейшем развитие вариационных принципов связано с именами многих выдающихся ученых - Гаусса, Журдена, Якоби и др., но наиболее часто в механике встречается принцип экстремального действия в форме, которую придали ему У. Гамильтон и М.В. Остроградский. Функционал действия, принимающий экстремальное значение в случае истиного пути механической системы, в этом случае записывается в виде:
Здесь <К0>0 " лагранжиан системы, который равен Ь = Т~и, где Т -
кинетическая энергия, и - потенциальная энергия системы, q - обобщенная координата, с[ -производная обобщенной координаты по времени (обобщенная скорость), I - время. Принцип экстремального действия в форме Гамильтона-Остроградского является наиболее общим. Он включает установленные ранее вариационные принципы в качестве частных случаев.
Развитие физической науки показало, что с помощью вариационных принципов можно сформулировать основные положения различных физических дисциплин [3]. Например, в основу изложения неравновесной термодинамики могут быть положены принцип наименьшего рассеяния энергии, сформулированный впервые Л. Онсагером, и принцип наименьшего производства энтропии, который был установлен И. Пригожиным [4]. Эти принципы позволяют установить физическую величину, которая при стационарном неравновесном процессе имела бы экстремальное значение, подобно тому, как равновесное состояние термодинамической системы характеризуется максимальной энтропией.
Принцип Онсагера утверждает:
При возможности развития процесса по нескольким различным направлениям, реализуется тот из них, который обеспечивает минимум рассеяния энергии.
Согласно принципу минимального производства энтропии Пригожина: Стационарное состояние системы, в которой происходит необратимый процесс, характеризуется тем, что скорость возникновения энтропии имеет минимальное значение при данных внешних условиях, препятствующих достижению системой равновесного состояния.
В 1965 г. И. Дьярмати показал, что в отличие от принципа Онсагера принцип минимального производства энтропии Пригожина справедлив только для стационарных процессов и в этом случае он эквивалентен принципу наименьшего рассеяния энергии. Дьярмати предложил более общую формулировку вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, из которой вытекают и принцип Онсагера, и принцип Пригожина [4].
Анализируя применение вариационных принципов, можно выделить три основных фактора, определяющих ту роль, которую эти принципы играют в физике:
1. Использование вариационных принципов во многих случаях существенно упрощает решение задач по физике. Типичный пример — это применение принципа виртуальных перемещений в аналитической статике.
Пример 1. Петля, сделанная из гибкой тяжелой цепи массой т, надета на гладкий прямой круговой конус, высота которого Ь а радиус основания г (см. рис. 1). Цепь покоится в горизонтальной плоскости (ось конуса направлена вертикально). Найти силу натяжения цепи. [5]
Решение. Выберем такое виртуальное перемещение цепи, при котором она опускается на малое расстояние Н вниз по вертикали параллельно самой себе. Потенциальная энергия её при этом уменьшится на mgH. Радиус же цепи при таком перемещении увеличится на а. Легко видеть, что увеличение радиуса цепи и её смещение вниз связаны а г
силу
соотношением
Если
натяжения цепи
Н И
обозначить через Т, то виртуальная работа силы натяжения при рассматриваемом виртуальном перемещении цепи равна \2ж(Я + а )- 2лЯ]Г = 2лаТ (Я - радиус цепи). Но из принципа виртуальных перемещений следует, что виртуальная работа силы Т равна изменению потенциальной энергии цепи, т. е. 2жаТ = mgH. Отсюда следует, что сила
mgH _ \x\gh
натяжения нити равна:
Т = ■
2ла 2жг
Пример 2. Однородный гладкий стержень АВ длиной 21 и весом Р опирается концом на гладкую вертикальную стенку и одной из своих точек лежит на краю С неподвижного стола (см. рис. 2) Определить угол ф, который образует стержень со столом в положении равновесия, если расстояние от стенки до стола равно а. [6]
Решение. Положение стержня определяется всего одним параметром - углом ф и, следовательно, система имеет одну степень свободы. На стержень действует единственная активная сила - сила тяжести, имеющая вертикальное направление. Подсчитывая работу этой силы на возможном перемещении системы и приравнивая ее нулю в соответствии с принципом виртуальных перемещений, получаем:
-PSys = 0
гДе У =
fi--a л
— sin р - координата центра тяжести системы. v cosp)
Дифференцируя выражение для возможного перемещения ys по углу ф и подставляя полученный результат в выражение для работы на возможном перемещении Sys, получим:
-P (-atg2р +1 cos р - а) 8р = 0
Так как Sp отлично от нуля при произвольном возможном перемещении, то будет равно нулю выражение, стоящее в скобках. Следовательно, условие равновесия системы имеет вид:
-atgLp+1 cosp-а = 0 Решая полученное уравнение, находим:
3 а cos р = —
Очевидно, что это решение имеет смысл только в случае, если выполняется условие
а < i.
2. На основе вариационных принципов было сделано большое число выдающихся открытий в различных областях физики. Вариационные принципы в этих случаях сыграли ключевую эвристическую роль. Типичные примеры - создание волновой квантовой механики Шредингером, получение уравнений гравитационного поля в общей теории относительности Эйнштейном и др. Л.С. Полак в предисловии к книге К. Ланцоша пишет: «Из вариационных принципов нельзя вывести физическую картину мира, но они могут служить путеводной нитью для нахождения верных путей в сложных лабиринтах событий и процессов природы» [7].
Использование вариационных принципов позволяет выявить глубинные связи, которые существуют между различными физическими понятиями и явлениями. Во многих случаях выявление таких связей способствует установлению новых закономерностей и законов. Эвристическая роль вариационных принципов несомненна.
В качестве примера, иллюстрирующего эвристическую роль вариационных принципов, рассмотрим процесс создания волновой квантовой механики Э. Шредингером. В своих рассуждениях Шредингер использовал оптико-механическую аналогию и вариационные принципы. Оптико-механическая аналогия - это сходство траектории движения частицы в потенциальном силовом поле с траекторией световых лучей в оптически неоднородной среде. Траектория материальной точки и траектория светового луча совпадают при определенном соответствии потенциальной энергии и переменного в пространстве показателя преломления среды. Этот факт был теоретически открыт выдающимся ирландским математиком и физиком У. Р. Гамильтоном (1805-1865) еще в 1834 году, а в начале 20 столетия он оказал существенное влияние на установление связи между волновой оптикой и волновой квантовой механикой.
Покажем как из вариационных принципов и оптико-механической аналогии можно прийти к уравнению Шредингера. Будем следовать при этом краткому изложению, приведенному в книге Ферми [8]. Траектория движения частицы может быть определена из принципа наименьшего действия Мопертюи-Эйлера, который можно записать в виде:
JVE - Uds = min. Здесь Е - полная энергия системы, а U - потенциальная энергия.
Траектория луча определяется из принципа наименьшего времени Ферма J ^ = min, где V -фазовая скорость волны.
Из сопоставления этих принципов следует, что должно выполняться соотношение
—-Д—г = /(у),[ЩУ)-Щ, где/(у)и е(у)- некоторые функции частоты. Вид этих У (ух)
функций можно установить из условия, что скорость материальной точки Умт =. —у/ Е — и
\ т
эквивалентна групповой скорости волнового пакета У =
(у — dv{ У.
Выполняя
преобразования и вводя обозначение dE = И, получаем выражение для фазовой скорости
dv
v Иу 1 -
волны в виде V = .— , или иначе, переходя к циклической частоте,
у!2т -4Иу—и
1
422т VНю—и
Монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению
частное решение которого имеет вид:
= 0 , (1)
У дг2 w
ц/ = <ре ш = (ре п . (2)
Таким образом, волновая функция щ представляет собой произведение двух функций: координатной части волновой функции р и экспоненты, зависящей только от времени.
Подставляя это решение в волновое уравнение, получаем:
т ю2
+ ю р = 0.
Учитывая выражение для фазовой скорости (1), имеем:
7т
У2(р + =^-{П(о-и)(р = 0.
т- 1 дщ ,
Если учесть, что юр =---(это следует из выражения (2)),
- дг
то получаем временное уравнение Шредингера:
_2 2т дщ 2т п
у2щ + ^"НТ ^тт ищ = 0.
п ы п
Это уравнение обычно записывают в виде:
& 2т
В случае стационарных полей, когда решение уравнения Шредингера имеет вид:
/Й— = -—У2у/ + иу/.
ц/= ере ш = (ре п ,
получаем стационарное уравнение Шредингера:
й2 ,
--V <р + и<р = Е<р.
2т
Мы видим, что использование вариационного принципа Мопертюи-Эйлера совместно с оптико-механической аналогией позволяет установить вид уравнения Шредингера -основного уравнения квантовой механики.
3. Вариационные принципы играют важную методологическую роль в физике. Они
обладают высокой степенью общности. Используя эти принципы можно делать
фундаментальные обобщения, справедливые в различных разделах физики.
Это утверждение можно проиллюстрировать простым примером [2]. Отвечая на вопрос, почему камень, брошенный под углом к горизонту, движется по параболе, можно указать на квадратное уравнение равнопеременного движения, которое представляет собой следствие второго закона Ньютона для тела, движущегося под действием постоянной силы тяжести. С другой стороны, эта парабола может рассматриваться и как геодезическая линия - решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна для движения в сильных гравитационных полях, но только для случая слабых полей. В то же время и законы Ньютона и уравнения Эйнштейна, как и многие другие важные положения физической науки, могут быть выведены из принципа наименьшего действия с определенной формой лагранжиана. Таким образом, существует несколько уровней объяснения данного явления, каждый из которых может служить исходным постулатом. Однако рассмотренные модели обладают разной степенью общности. Уравнения равнопеременного движения относятся лишь к узкому классу явлений, т.к. второй закон Ньютона описывает движение тел лишь в достаточно слабых полях и с невысокими скоростями, уравнения Эйнштейна лишены этих ограничений, а принцип наименьшего действия применим ко всем формам механического и электромагнитного движений и, следовательно, обладает наибольшей степенью общности.
Подробно применение вариационных принципов при решении физических задач изучается в курсах теоретической механики, электродинамики, квантовой механики и т.д., однако целесообразно знакомить студентов с такими принципами уже при изучении курса общей физики. Применение принципа наименьшего времени в геометрической оптике, принципа возможных перемещений в статике позволяет расширить кругозор учащихся и помогает им глубже осознать единство физических законов и множественность моделей, которые можно использовать для объяснения физических явлений. Усвоив суть принципа множественности и единства моделей, студенты могут шире взглянуть на проблему поиска адекватных методов для решения той или иной физической задачи. Следовательно, этот принцип не только способствует более глубокому пониманию физических закономерностей, но и является действенным инструментом в процессе решения физических задач.
Список литературы
1. Егоров Г.В. О множественности и единстве моделей в физике // Вестник БГУ. -2012. - №1. - С. 296.
2. Голицын А., Левич А.П. Вариационные принципы в научном знании // Философские науки, 2004, № 1. - С. 105-136.
3. Полак Л.С. Вариационные принципы механики: Их развитие и применение в физике. - М.: Книжный дом «Либроком», 2010. - 600 с.
4. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика: Теория поля и вариационные принципы. - М: Мир, 1974. - 304 с.
5. Фейнман Р. Лейтон Р., Сэндс М. Задачи и упражнения с ответами и решениями к вып. 1-4. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 280 с.
6. Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике. Ч.2. Аналитическая статика. Динамика точки. - М.: Издательство МГУ, 1974. - 136 с.
7. Ланцош К. Вариационные принципы механики. - Физматгиз, 1965. - 408 с.
8. Ферми Э. Лекции по квантовой механике. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 248 с.
Сведения об авторе
Егоров Геннадий Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики, ФГБОУ ВО «Брянский
государственный университет им. академика И.Г. Петровского», e-mail: gennadyegorow @yandex. ru.
ON THE ROLE OF VARIATIONAL PRINCIPLES IN UNIVERSITY PHYSICS COURSE
G. V. Egorov
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article discusses the history of variational principles in physics, examines the role of variational principles in the process of cognition of nature. In the examples, confirming the heuristic role of variational principles in the process of physical cognition, the article argues for the possibility of applying the principle of plurality and unity of models in the study of variational principles in physics.
Keywords: physics teaching, methodology, variational principles, principle ofplurality and unity of models.
References
1. Egorov G.V. O mnozhestvennosti i edinstve modeleyj v fizike // Vestnik BGU. - 2012. -№1. - s. 296.
2. Golicihn A., Levich A.P. Variacionnihe principih v nauchnom znanii // Filosofskie nauki, 2004, № 1. - s. 105-136.
3. Polak L.S. Variacionnihe principih mekhaniki: Ikh razvitie i primenenie v fizike. - M.: Knizhnihyj dom «Librokom», 2010. - 600 s.
4. Djyarmati I. Neravnovesnaya termodinamika: Teoriya polya i variacionnihe principih. -M: Mir, 1974. - 304 s.
5. Feyjnman R. Leyjton R., Sehnds M. Zadachi i uprazhneniya s otvetami i resheniyami k vihp. 1-4. - M.: Editorial URSS, 2004. - 280 s.
6. Berezkin E.N. Reshenie zadach po teoreticheskoyj mekhanike. Ch.2. Analiticheskaya statika. Dinamika tochki. - M.: Izdateljstvo MGU, 1974. - 136 s.
7. Lancosh K. Variacionnihe principih mekhaniki. - Fizmatgiz, 1965. - 408 s.
8. Fermi Eh. Lekcii po kvantovoyj mekhanike. - Izhevsk: NIC «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2000. - 248 s.
About author
Egorov G. V. - PhD in physical and mathematical Science, Associate Professor of Department of Experimental and Theoretical Physics, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: gennadyegorow@yandex.ru.
