О решении одной теплофизической системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 ББК 22.116.6

Андрей Геннадьевич Батухтпин,

кандидат технических наук, доцент, Забайкальский государственный университет, 672039, Россия, г. Чита, ул. Александре-Заводская, 30,

e-mail: batuhtina_ir@mail.ru Ирина Юрьевна Батухтина, кандидат физико-математических наук, доцент, Забайкальский государственный университет, 672039, Россия, г. Чита, ул. Александре-Заводская, 30,

e-mail: batuxtina_irina@mail.ru

О решении одной теплофизической системы линейных

дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными

коэффициентами

Рассмотрена теплофизическая система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Получено решение в виде конечной суммы экспоненциальных функций с коэффициентами, которые определяются из рекуррентных соотношений. Полученное решение может быть использовано при решении определённого класса инженерных и экономических задач (теплотехнических, транспортных, информационных).

Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения первого порядка, рекуррентное соотношение, задачи теплофизики.

Audrey Gennadevich Batukhtin,

Candidate of Technical Science, Associate Professor,

Transbaikal State University, 30 Aleksandro-Zavodskaya St., Chita, Russia, 672039

e-mail: batuhtina_ir@mail.ru Irina Yuryevna Batukhtina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Transbaikal State University, 30 Aleksandro-Zavodskaya St., Chita, Russia, 672039 e-mail: batuxtina_irina@mail.ru

On the Solution of Thermo-Physical System of Linear First Order Differential Equations with Constant Coefficients

Thermo-physical system of linear first order differential equations with constant coefficients is considered. It was obtained by the solution as a finite sum of exponential functions with coefficients that are determined by the recurrence relations. The resulting solution can be used in solving a certain class engineering and economic problems (thermal, transport, information).

Keywords: linear differential equations of the first order, recurrence relations, problem of thermo-physics.

Известно [1-5], что достаточно широкий класс инженерных и экономических задач (теплотехнических, транспортных, информационных, задач технико-экономической оптимизации) сводится к системе дифференциальных уравнений вида

6

© Батухтин А. Г., Батухтина И. Ю., 2015

Физика. Математика. Техника. Технология

у[(х) - А\У\(ж) = О!1У0 + Рг, у[{х) - А1Уг{х) = щу^г(х) +

Уп(х) - Апуп(х) = апУп- 1О) + Рп,

(1)

при начальных условиях

Уг\х=0 = уЬ * = 1,

(2)

где для задач тепловых сетей х - время; Уг(х) - искомая температура сетевой воды на концах участков тепловых сетей; А¿, щ, Рг, уо, у® — заданные постоянные, причем А{ ф А^ при г ф 3 и Аг ф 0. Уравнения (1) являются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами, которые решаются по стандартной схеме. Отсюда получаем

Уг{х) = е

АгХ

рх

¿о

(3)

С учетом экспоненциального вида функции у\{х) решение (3) приводится к виду

Уг(х) = еА'Х' * = 11 та' ¿=0

(4)

где Ао = 0, - постоянные. Сравнивая в системе (1) коэффициенты при функциях еА^х (4), для постоянных а^ при г ф 3 получим рекуррентные формулы:

^гЩ—1 7

I - - — -—

"г]

Ау А{

3 = 1,...,»- 1,

счо

а-гЩ-Х 1 + Рг

А;

(5)

при этом коэффициенты ац определяются из начальных условий (2):

О-И — У г ®гг—1

Що-

(6)

Отметим, что полученное решение вида (3)-(6) можно непосредственно применять в более сложных моделях [3].

Из равенств (5) следует, что случаи А{ = Aj при г ф 3 и Аг = 0 требуют дополнительного исследования.

Список литературы

1. Горячих Н. В., Батухтин А. Г. Использование факторного анализа для оптимизации режимов работы систем теплоснабжения // Промышленная энергетика. 2013. № 9. С. 26-30.

2. Басс М. С., Батухтин А. Г., Требунских С. А. Методические вопросы оценки эффективности систем централизованного теплоснабжения // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2013. № 2. С. 80-84.

Ученые записки ЗабГУ 3(62) 2015

3. Батухтин А. Г., Калугин А. В. Моделирование современных систем централизованного теплоснабжения // Вестник ИрГТУ, 2011. Т. 55. № 8. С. 84-91.

4. Батухтин А. Г. Оптимизация отпуска теплоты от ТЭЦ на основе математического моделирования с учётом функционирования различных типов потребителей: автореф. дис. ... канд. техн. наук: Улан-Удэ.: ВСГТУ, 2005. 16 с.

5. Батухтин А. Г., Маккавеев В. В. Применение оптимизационных моделей функционирования систем теплоснабжения для снижения себестоимости тепловой энергии и увеличения располагаемой мощности станции // Промышленная энергетика. 2010. № 3. С. 7-8.

References

1. Goryachikh N. V., Batukhtin A. G. Ispol'zovanie faktornogo analiza dlya optimizatsii rezhimov raboty sistem teplosnabzheniya // Promyshlennaya energetika. 2013. № 9. S. 26-30.

2. Bass M. S., Batukhtin A. G., Trebunskikh S. A. Metodicheskie voprosy otsenki effektivnosti sistem tsentralizovannogo teplosnabzheniya // Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. 2013. № 2. S. 80-84.

3. Batukhtin A. G., Kalugin A. V. Modelirovanie sovremennykh sistem tsentralizovannogo teplosnabzheniya // Vestnik IrGTU, 2011. T. 55. № 8. S. 84-91.

4. Batukhtin A. G. Optimizatsiya otpuska teploty ot TETs na osnove matematicheskogo modelirovaniya s uchetom funktsionirovaniya razlichnykh tipov potrebitelei: avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk: Ulan-Ude.: VSGTU, 2005. 16 s.

5. Batukhtin A. G., Makkaveev V. V. Primenenie optimizatsionnykh modelei funktsionirovaniya sistem teplosnabzheniya dlya snizheniya sebestoimosti teplovoi energii i uvelicheniya raspolagaemoi moshchnosti stantsii / / Promyshlennaya energetika. 2010. № 3. S. 7-8.

Статья поступила в редакцию 10.04-2015