О решении обобщенных линейных векторных уравнений в идемпотентной алгебре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г. А. Леонов

О ПРОБЛЕМЕ КОЛОНИУСА—ХИНРИХСЕНА—ВИРТА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДВУМЕРНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Здесь будет показано совпадение старших показателей Ляпунова и Флоке для классов двумерных линейных управляемых систем. Тем самым здесь для важного в теории управления случая будет решена проблема, сформулированная Ф.Колониусом, Д. Хинрихсеном и Ф. Виртом [1].

Рассмотрим систему

dx

— = {A + u{t)BC)x, (1)

где A — постоянная n х n-матрица, B и C — постоянные n х 1 и 1 х n-матрицы (т. е. век-

тор-столбец и вектор-строка), u(t) —кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию

к1 < u(t) < к2, Vt е R1. (2)

Здесь ki и k2 — некоторые числа.

Напомним, что старшим ляпуновским показателем системы (1) называется число

А(м(-)) = sup lim — In \x(t, z)\.

|z| = 1 t

Здесь x(t, z) —решение системы (1) с начальными данными x(0, z) = z.

Старшим показателем Ляпунова класса систем (1) с функциями, удовлетворяющими условию (2), назовем число (или +то)

Ль = sup A(u(-)),

u

где супремум берется на множестве кусочно-непрерывных функций u(-), удовлетворяющих условию (2).

Старшим показателем Флоке класса систем (1) с периодическими, кусочно-непрерывными функциями, удовлетворяющими условию (2), назовем число (или +то)

Лр = sup A(u(-)).

u

Здесь супремум берется на описанном выше множестве всех периодических функций.

Заметим, что здесь рассматривается класс функций со всеми периодами.

Здесь мы покажем, что для n = 2 в предположении полной управляемости и наблюдаемости системы (1) имеет место равенство

Ль = Лр. (3)

Для доказательства этого факта будет применен метод двумерных систем сравнения [2-4].

© Г.А.Леонов, 2006

Введем в рассмотрение передаточную функцию системы (1) Ш (р) = С (А — рі )-іВ

_і ар + Ь

р2 + ар + в ’

где а, Ь,а, в — некоторые числа.

Заметим вначале, что для решения сформулированной выше задачи не умаляя общности можно принять, что кі =0, к2 = к > 0 и что система (1) абсолютно устойчива при условии (2). В самом деле, произведя замену

х = г exp(vt),

получим систему

г = (А — VI + п(Ь)ВС)г (4)

с передаточной функцией Ш (р + V).

Поскольку при больших V матрица А — VI — гурвицева и

— + РІеТУ(ко + и) >0, Уш Є Д1, к

согласно круговому критерию [3, 5] система (4) абсолютно устойчива. При этом показатели Ляпунова и Флоке примут вид Лр — V и Лр — V.

Ясно также, что из абсолютной устойчивости системы (1) следует, что

а > 0, в > 0, а + ак > 0, в + Ьк > 0. (5)

Не умаляя общности можно также принять, что а > 0 и Ь > 0 при а = 0. Предположим также, что

Ь2 — ааЬ + а2 в = 0. (6)

Это неравенство эквивалентно полной управляемости пары (А, В) и полной наблюдаемости пары (А, С).

Введем в рассмотрение множества

Пі = {х2 > 0, ахх + Ьхі > 0}с {хі, Х2},

П2 = {х2 > 0, ах2 + Ьхі < 0} с {хі, х2}

и линейные системы

хі х2 (7)

х 2 = —Хх2 — цхі.

В дальнейшем будем рассматривать систему (7) с А = а, ц = в на Пі и с А = а + ак, ц = в + Ьк на П2.

Рассмотрим решения хі(і),х2(і) и жі(і), х2(і) этих систем с начальными данными

хі(0) = —1, хі(0) = 1, х2(0) = Х2(0) = 0.

Приведем теперь необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости системы (1) в предположении (5) и (6) на коэффициенты передаточной функции Ш(р). Лемма 1. Если

ах2(і) + Ьхі (і) =0, Vї > 0

или

ах2(ї) + Ъх\(і) = 0, Vї < 0,

то система (1) абсолютно устойчива.

Рассмотрим теперь случай существования чисел Т > 0 и т < 0 (рис. 1), для которых выполнены соотношения

ах2(Т) + Ъх]_(Т) = 0,

ах2(ї) + Ъх2(Ь) =0, Vі Є (0, Т),

ах2(т) + Ъх\(т) = 0,

ах2(і) + Ьх2(і) =0, Vі Є (т, 0).

Лемма 2. Если х2(Т) < х2(т), то система (1) абсолютно устойчива.

Если х2 (Т) > Х2(т), то система (1) не является абсолютно устойчивой.

Для доказательства лемм 1 и 2 приведем систему (1) к виду

х1 х2, (8)

х2 = —ах2 — рхі — и(ї)(ах2 + Ьхі).

Существование линейного неособого преобразования, приводящего систему (1) к

виду (8), следует из условия (6) и совпадения передаточной функции системы (8) с

функцией Ш(р) [3, 5].

Рассмотрим далее систему (7) с А = а — є, ц = в на Пі ис А = а + ак — є, ц = в + Ък на П2. Здесь є —достаточно малое положительное число.

Хорошо известно, что система (7) эквивалентна уравнению

<1Р

= -\F-fjxd. (9)

ах і

Рассмотрим некоторое решение системы (8) хі(і),х2(і), для которого ї > 0, х2(і) = Ш(хі(і)) > 0.

Ясно, что

х2(і) —аР(х і(і)) — І3х\(і) — и{і){аР{х\(і)) + Ьх\(і))

і’і (і) ^(жі(#)) <

^ —\Р(хі(і))—і-іхі(і) сІР(х)

< Р(хі(і)) = сіх

Здесь мы использовали условие (2).

Из полученной здесь оценки следует, что кривая Х2 = Р(хі) трансверсальна по отношению к векторному полю системы (8). При этом решения системы (8) «прошивают» кривую Х2 = Р(хі) «сверху вниз» (рис. 2).

Г(х,)

х(0 \ г'

*1

Рис. 2.

Теперь для того, чтобы доказать лемму 1 достаточно рассмотреть следующее семейство вложенных друг в друга замкнутых кривых, непрерывно зависящих от положительного параметра с (см. рис. 3):

Х2 = Р(х1, с) на [-с, с],

Р(с, с) = 0

Р(х1, с) —решение уравнения (9),

Х2 = Р(х1, -с) на [-с, с],

Р(-с -с) = 0

Р(х1, -с) —решение уравнения (9),

{Х1 = с, Х2 е [Р(с, -с), 0]}, |х1 = -с, Х2 е [0, Р(-с, с)]}.

*7

ч

-с \ с -V

Рис. 3.

Это семейство кривых трансверсально при Х2 =0 по отношению к векторному полю системы (8).

При этом решения системы (8) «прошивают» эти замкнутые кривые «снаружи внутрь».

Существование описанного здесь семейства замкнутых трансверсальных кривых доказывает абсолютную устойчивость системы (8).

Для доказательства абсолютной устойчивости при выполнении неравенства Х2 (Т) < Х2(т) рассмотрим случай Ь > 0 и построим следующее семейство вложенных друг в друга, замкнутых кривых, непрерывно зависящих от параметра с> 0 (см. рис. 4):

Х2 = Р(х1, с) на [сж1(т), с],

Р(с^ с) = °

Р(х1, с) —решение уравнения (9),

Х2 = Р(х1, -с) на [-с, сх1(Т)],

Р(-с -с) = °

Р(х1, -с) —решение уравнения (9),

Х2 = -Р(—х 1, -с) на [-сх1(Т), с],

Х2 = -Р(—х 1, с) на [-с, -сх1(т)],

{ах2 + Ьх1 = 0, Х1 е [сх1 (т), сх1(Т)]},

{ах2 + Ьх1 = 0, Х1 е [-сх1(Т), -сх1(т)]}.

Это семейство кривых при Х2 = 0 трансверсально по отношению к векторному полю системы (8). При этом решения системы (8) «прошивают» эти замкнутые кривые «снаружи внутрь».

Существование описанного выше семейства замкнутых трансверсальных кривых доказывает абсолютную устойчивость системы (8).

Случай Ь < 0 рассматривается аналогичным образом.

Рассмотрим теперь случай Х2(Т) > Х2(т). Здесь определим функцию п(і):

() =

к при і Є (т2к,Т2к+і),

0 при г е (т2к+1,т2к+2).

Числа т^ определяются следующим образом: то = 0,т = Т, т2 —такое, что

Х1(т2) > 0, Х2 (т2) = 0,

Х2(г) > 0, Vг е (т1,т2).

Здесь Х1(г),Х2(г) —решение системы (8) с начальными данными

Х1(0) = -1, Х2 (0) = 0.

Число тз определим так, что

ах2(тз)+ Ьх1(тз) = 0, ах2(г) +Ьх1(г) = 0, Vг е (т2,тз).

Число Т4 определим так, что

Хі(т4) < 0, Ж2(Г4)=0, Х2(г) < 0, Vг Є (тз,Т4),

(см. рис. 5), и так далее.

*2

х(гх)

х/о/

1 Х,(о) ]х/& лг,

\ ф.)

ах}+ Ьх = 0

Рис. 5.

Легко видеть, что ... < Хі(т8) < Хі(т4) < Хі(0). Следовательно

Ііт Хі(т,-) = то.

Таким образом, система (8) не является абсолютно устойчивой.

Итак, леммы 1 и 2 доказаны.

Напомним, что не умаляя общности, мы рассматриваем абсолютно устойчивую систему (1). Сделаем теперь замену

х = у ехр(рі)

так, чтобы при всех р > К система

у=(А - р1 + и(г)ВС)у (10)

была абсолютно устойчивой, а при р = К система (10) не являлась абсолютно устойчивой.

Из лемм 1 и 2 следует, что система (10) с р = К, преобразованная к виду (8), обладает следующим свойством: либо система (7) с А = а, ц = в на Пі и с А = а + ак, ц = в + Ьк на П2 обладает в полуплоскости {х2 > 0} лучом Ь = {х2 = Кхі,К < 0} целиком состоящем из состояний равновесия (рис. 6), либо для решений Хі(г),Х2(г) и Хі(г), Х2 (г) этой системы с начальными данными хі(0) = -1, Хі(0) = 1, Х2(0) = Х2 (0) = 0 справедливо равенство

Х2 (Т) = Х2(т)

(см. рис. 7).

В первом случае также, как при доказательстве леммы 1, строим семейство, кривых, изображенных на рис. 3. Отличием от предыдущих рассуждений является лишь

Рис. 6.

Рис. 7.

тот факт, что здесь вместо трансверсальности имеется более слабое соотношение при Х2{Ь) = Е(х^)) > 0:

хо (1) с!Е(х)

=х1{г)

Х1 (£) ё,х

Однако выполненное на всем семействе кривых, заполняющих все пространство Я2\{0}, оно позволяет доказать ограниченность любого решения системы (8).

Применяя аналогичную схему к случаю Х2(Т) = Х2(т), получим, что решения системы (8) не смогут покинуть области (см. рис. 8), ограниченные кривыми Х2 = Е(х1, с) на [сж1(т), с],

Х2 = Е(х1, —с) на [—с, сх1(Т)],

Х2 = —Е(—Х1, —с) на [—сХ1(Т), с],

Х2 = —Е(—Х1,с) на [—с, —сХ1(т)].

Рис. 8.

Таким образом, Ль < Я.

Однако легко видеть, что в первом случае (рис. 6) имеем для системы (1) либо при п(Ь) = 0, либо при п(Ь) = к соотношение Х(п(-)) = Я.

Во втором случае (рис. 7) при Ь > 0 определим 2(Т — т)-периодическую функцию п(Ь) следующим образом:

1(г) =

к при £ € (0, Т)

0 при £ € (Т,Т — т)

к при £ € (Т — т, 2Т — т)

0 при £ € (2Т — т, 2Т — 2т).

Ясно, что для этой периодической системы Х(п(-)) = Я. Аналогичные рассуждения верны и для случая Ь < 0.

Из приведенных здесь рассуждений вытекает следующий результат.

Теорема. Если выполнено неравенство (6), то для системы (1) при п = 2 имеет место равенство (3).

Заметим, что для системы (1) аналогичным образом решается задача о совпадении младших показателей Ляпунова и Флоке, которые определяются как величины

соответственно на классах функций п(-), удовлетворяющих условию (2), и на классах периодических функций п(-), удовлетворяющих условию (2).

Заметим также, что различные сужения классов функций п(-), удовлетворяющих условию (2), приводят к нарушению равенства (3). Так, например, для уравнения

при любых a, b и к имеем А = 0.

Summary

G. A. Leonov. The Colonius—Hinrichsen—Wirth problem for linear two-dimensional control systems.

The Colonius—Hinrichsen—Wirth problem on the coincidence of leading Lyapunov and Floquet exponents for linear two-dimensional control systems is solved.

Литература

1. Colonius F., Hinrichsen D, Wirth F. Lyapunov exponents and robust stabilization // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory. New York: Springer, 1999. P. 83-88.

2. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Teubner. Stuttgart. 1992.

3. Leonov G. A., Ponomarenko D. V., Smirnova V. B. Frequency-domain methods for nonlinear analysis. Theory and applications. Singapore: World Scientific, 1996.

4. Leonov G.A., Burkin I.M., Shepelyavi A.I. Frequency methods in oscillation theory. Dor-

drecht: Kluwer, 1996.

5. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of stationary sets in control systems

with discontinuous nonlinearities. Singapore: World Scientific, 2004.

Статья поступила в редакцию 27 января 2005 г.

X = (sin ln t + cos ln t)x

легко видеть, что А = 1, а для уравнения

X = (a sin kt + b cos kt)x