CC BY
7
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 3. С. 307-314
Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 3, pp. 307-314
mmi.sgu.ru https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-3-307-314, EDN: MXESPP
Научная статья УДК 517.968.23
О решении невырожденной краевой задачи типа Карлемана для квазигармонических функций в круговых областях
К. М. Расулов, Т. И. Михалёва0
Смоленский государственный университет, Россия, 214000, г. Смоленск, ул. Пржевальского, д. 4 Расулов Карим Магомедович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-2040-8447, AuthorlD: 531506 Михалёва Татьяна Игоревна, аспирант кафедры математического анализа, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-0698-3242, AuthorlD: 771333
Аннотация. В статье рассматривается краевая задача типа Карлемана для квазигармонических функций в произвольных односвязных областях, которая служит неформальной моделью дифференциальной задачи типа Карлемана для аналитических функций комплексного переменного. Представляется комплексно-аналитический метод решения рассматриваемой задачи в круговых областях, позволяющий устанавливать полную картину ее разрешимости и неустойчивость ее решений по отношению к малым изменениям носителя граничных условий. Ключевые слова: квазигармоническая функция, дифференциальная краевая задача типа Карлемана, комплексно-аналитический метод, круговая область, неустойчивость решений Для цитирования: Расулов К. М, Михалёва Т. И. О решении невырожденной краевой задачи типа Карлемана для квазигармонических функций в круговых областях // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 3. С. 307-314. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-3-307-314, EDN: MXESPP
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0)
Article
On a solution of a nondegenerate boundary value problem of Carleman type for quasiharmonic functions in circular domains
K. M. Rasulov, T. I. Mikhalyova0
Smolensk State University, 4 Przhevalskogo St., Smolensk 214000, Russia
Karim M. Rasulov, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-2040-8447, AuthorlD: 531506 Tatyana I. Mikhalyova, [email protected], https://orcid.org/0000-0002-0698-3242, AuthorlD: 771333
Abstract. This paper considers a Carleman type boundary value problem for quasiharmonic functions. The boundary value problem is an informal model of a Carleman type differential
problem for analytic functions of a complex variable.This paper presented a complex-analytical method for solving the problem under consideration in circular domains, which makes it possible to establish the instability of its solutions concerning small contour changes. Keywords: quasiharmonic function, differential boundary value problem of Carleman type, complex-analytical method, circular domain, instability of solutions
For citation: Rasulov K. M., Mikhalyova T. I. On a solution of a nondegenerate boundary value problem of Carleman type for quasiharmonic functions in circular domains. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2022, vol. 22, iss. 3, pp. 307-314 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-3-307-314, EDN: MXESPP This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0)
Постановка задачи
Пусть T+ — произвольная односвязная область на конечной плоскости C комплексного переменного z = х + гу, ограниченная простым гладким замкнутым контуром Ляпунова L, а Т- = C\(T+ U L), где C = C U {то}.
Напомним [1,2], что квазигармоническими функциями рода n(n £ N) в области Т+ называются функции комплексного переменного, задаваемые формулой
>- р 4 п.Г^. о
к—0
где АI = (—1)п кщп-ш, а (г) — аналитическая в области Т+ функция, называемая аналитической компонентой квазигармонической функции Ш(х).
Известно (см., например, [3,4]), что функции вида (1) являются регулярными в области Т+ решениями дифференциального уравнения
И + ^ - = 0 (2)
где ^ = 2 ^^ — г^, Ц = | ^^ + г^, п — некоторое фиксированное неотрицательное целое число.
Следуя [1,2], будем говорить, что квазигармоническая функция Ш(х) рода п(п ^ 1) принадлежит классу Qn(Т+) П Н(Ь), если в представлении (1) аналитическая компонента (г) € А(Т+) П Н(V), т.е. аналитическая функция ) непрерывно (в смысле Гёльдера) продолжается на контур Ь вместе со своими производными до порядка т включительно (здесь т — некоторое фиксированное неотрицательное целое число).
Рассматривается следующая краевая задача.
Задача СКП. Требуется найти все квазигармонические рода п функции Ш(х) принадлежащие классу Qn(Т+)ПН(п)(Ь) и удовлетворяющие на контуре Ь условию
W + [a(t)]- G(t)W +(t)+ g(t), (3)
условие Карлемана
где W+(t) = lim W(z), a(t) — прямой сдвиг контура, для которого выполняется
a[a(t)] - t, (4)
a G(t) и g(t) — заданные на контуре L функции, удовлетворяющие условию Гёльдера вместе со своими производными до порядка п включительно (т. е. G(t), g(t) G H(n) (L)), причем G(t) = 0, a' (t) = 0 и a' (t) G H (L).
Кроме того, всюду в дальнейшем будем считать, что функции G(t), g(t), a(t) удовлетворяют на контуре L следующим тождествам:
G[a(t)]G(t) = 1, G[a(t)]g(t) + g[a(t)] = 0. (5)
Сформулированную задачу йКп будем называть невырожденной задачей типа задачи Карлемана для квазигармонических функций рода п в области Т +, при этом соответствующую ей однородную задачу (д(I) = 0) назовем задачей йКП.
Сразу отметим, что в силу представления (1) краевое условие (3) можно переписать в виде
Ь *к =с{)ЬАк\1+^ +9()'
(6)
Но равенство (6) представляет собой краевое условие хорошо известной дифференциальной краевой задачи типа Карлемана относительно аналитической в области Т+ функции (х) (см., например, [5, с. 332]). Следовательно, по сути, задача йКп является неформальной моделью дифференциальной задачи типа Карлемана для аналитических функций комплексного переменного.
До сих пор в общем случае дифференциальные краевые задачи вида (6) в основном решаются методом интегральных уравнений (см., например, [5-7]). Однако метод интегральных уравнений не позволяет установить точные картины разрешимости и исследовать вопросы об устойчивости решений дифференциальных краевых задач.
В связи со сказанным выше в настоящее время актуальной проблемой в теории краевых задач комплексного анализа является отыскание новых подходов к решению дифференциальных краевых задач вида (6), которые были бы более «чувствительными», чем метод интегральных уравнений.
В последнее время математиками различных стран для исследования дифференциальных краевых задач широко используются так называемые комплексно-аналитические подходы (см., например, [4,8]), основанные на глубоких качественных аналитических свойствах рассматриваемых классов функций комплексного переменного и аналитической теории дифференциальных уравнений.
Основной целью настоящей статьи является построение конструктивного алгоритма комплексно-аналитического метода решения краевой задачи йКп в круговых областях, а также установление существенной зависимости картины разрешимости задачи йКп в круговых областях от величины радиуса рассматриваемой области. Ради краткости изложения далее ограничиваемся исследованием задачи йКп в случае, когда п = 2 и областью Т+ служит произвольная круговая область вида Т+ = [г : |г| < г},г> 0.
1. Комплексно-аналитический метод решения задачи ОК2 в круговых областях
Пусть Т+ = {х : < г} и Ьг = {I : Щ = г} — граница круга Т+. В случае п = 2 представление (1) принимает вид
d2^+ (z) 6z (z)
= ^ - T+ri-^df1 + 12Ш)2^1 Z€T+ (7)
где (z) — голоморфная (аналитическая) в круге T+ функция, принадлежащая классу A(T+ ) ПН(2)(Lr). Поэтому решения задачи GK2 будем искать в виде (7).
В силу (7) и с учетом того, что на окружности Lr = {t : |i| = г} выполняется соот-
_ 2
ношение t = у, в рассматриваемом случае граничное условие (3) можно представить так:
2 dV [g(t)j 6r2a(t) dy+ [o(t)\ 12r4
w t)] --T+72 Jt + V K0j =
i2 [«( t)j2G(t) (t) 6~r4 (z) + Т2Й ^^ +
( ( d2v+ (t) 6r4 dy>+ (z) + 12r4 \ 1
\\ dt2 1+Г-2 dz +(1 + r2 (t)Jj
г4 И М2 1 +г2 ^ (1 + г'2 )2
+ [»Ш2 д(г), г&ьг. (8)
Далее, вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в круге Т+ = {г : < г} функцию
Ф+(л *2 (г) 6г2z d<p+ (г) + 12г4
ф (z) = z ——--——2—---Ь^-—^^^), zeLr, (9)
dz2 1 + г2 dz (1 + г2 )2
граничное условие (8) представим в виде
Ф+ [a(t)j=Gi m+(t)+ 3i (t), t€Lr, (10)
где ^(Г) = 1МЫ, 91 (г) = [«(¿)|2д(г).
Заметим, что равенство (10) является граничным условием классической задачи типа Карлемана относительно аналитической функции Ф+^) класса А(Т+) ПН(Ьг) (см., например, [7, с. 172]).
Предположим, что задача типа Карлемана (10) разрешима и уже найдено ее общее решение Ф+(г). При таком предположении (с учетом (9) и (7)) для полного решения искомой краевой задачи йК2 остается найти аналитическую компоненту (х) искомой квазигармонической функции Ш(х), решив в классе А(Т+) ПН(2\ЬГ) следующее линейное дифференциальное уравнение Эйлера (см., например, [9, с. 136]):
М 6,^М+ 12И ^(,) = ф+ ), ^, (11)
dz2 1+ г2 dz (1+ г2 )2
где Ф+^) — общее решение задачи типа Карлемана (10).
Из проведенных выше рассуждений вытекает справедливость следующего основного результата.
Теорема 1. Для разрешимости краевой задачи йК2 в классе квазигармонических функций 2-го рода в круге Т+ = ^ : < г} необходимо и достаточно,
чтобы одновременно были разрешимы задача типа Карлемана (10) (в классе функций А(Т+) ПН(Ьг)) и дифференциальное уравнение Эйлера (11) (в классе функций А(Т+) ПН(2)(Ьг)). При выполнении этих условий решение краевой задачи йК2 в круге Т+ — {х : < г} сводится к последовательному решению задачи типа Карлемана (10) и линейного неоднородного дифференциального уравнения Эйлера (11), причем общее решение задачи йК2 можно задавать формулой
»'О - ^ - ^ + " (ГГ5)2''он!')-' - Т+, (12)
где 'о.н. (г) — общее решение неоднородного уравнения Эйлера (11).
2. О картине разрешимости задачи йК2 в круговых областях
Остановимся теперь на исследовании картины разрешимости рассматриваемой задачи йК2. Из теоремы 1 следует, что условия разрешимости задачи йК2 складываются из условий разрешимости задачи типа Карлемана (10) и линейного дифференциального уравнения Эйлера (11). Но, как известно (см., например, [7, с. 188]), в свою очередь, картина разрешимости краевой задачи типа Карлемана (10) зависит от величины индекса х1 — (Ь) — -1 ^)}Ьг — х + 4, где х —
А именно, если индекс х1 ^ 0, то задача типа Карлемана (10) безусловно разрешима, и ее общее решение задается формулой
Х1
Ф+( г) — г ^ Х+ (г)
± * + Ъм о иЬг ¿=0
-Т+ - (13)
где Щ(1) — решение интегрального уравнения Фредгольма вида
^^ Щт^т —__; (14)
[а(^)\Х+ [а®]
иьг 1а(т) — а(1) т — * здесь Х+ (х) — так называемая фундаментальная функция задачи типа Карлемана
Х1
(10) (см., например, [7, с. 182]), а ^ Д-Ж,-(%) — общее решение соответствующей
з=о
(10) однородной задачи типа Карлемана.
Если же индекс х1 < 0, то задача типа Карлемана (10) разрешима тогда и только тогда, когда выполняются — х1 — 1 условий разрешимости вида
т / 1 Г Щ [а(т)] 1 \ ^ ( 1 Г Щ [а(т)] 1 \
]Ьг г ) ' \2т ]Ьг тэ ) '
АЪГ-^ ") 2.....— $ — 1 (>5)
причем при выполнении условий (15) краевая задача (10) будет иметь единственное
Х1
решение, которое также задается формулой вида (13), где вместо ^ (%) нужно
=0
положить вполне определенную действительную постоянную.
Всюду в дальнейшем ради удобства индекс х1 задачи типа Карлемана (10) также будем называть индексом исходной краевой задачи йК2.
Таким образом, в случае когда индекс задачи йК2 x1 ^ 0, то выражение функции Ф+(х) в правой части дифференциального уравнения Эйлера (11) будет содержать ровно XI + 1 произвольных действительных постоянных ,...,рХ1. Значит, общее решение ^о н. (х) линейного дифференциального уравнения второго порядка (11) может содержать не более XI + 5 произвольных действительных постоянных. А, следовательно, общее решение исходной краевой задачи йК2, задаваемое формулой (12), в рассматриваемом случае также будет содержать не более XI + 5 произвольных действительных постоянных. Но поскольку при XI < 0 функция Ф+(х) в правой части дифференциального уравнения Эйлера (11) не содержит произвольных постоянных, то в этом случае общее решение исходной краевой задачи йК2, задаваемое формулой (12), будет содержать не более четырех произвольных действительных постоянных.
Из приведенных выше рассуждений следует, что число тХ1 линейно независимых (над полем К) решений однородной задачи при любом значении индекса XI не превосходит XI + 5, т. е.
X:
■ XI + 5, если XI ^ 0 тул ^ < (16)
Х1 ч если XI < 0.
3. О неустойчивости решений задачи в круговых областях по отношению к малым изменениям носителя краевых условий
Заметим, что общее решение фон.(г) неоднородного линейного дифференциального уравнения (11) имеет следующую структуру:
Ро.н.(г) = Ро (х)+^1(х), (17)
где (х) — общее решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения вида
2d2^+ (г) 6т2 г d^+ (г) 12г4
~ ,72 1_ь2 л 2^+ (*) = 0,* , (18)
dz2 1 + г2 dz (1 + г2 )2
а (г) — какое-нибудь частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (11).
Далее покажем, что при различных значениях величины радиуса г рассматриваемого круга Тг+ = {г : < г} однородное линейное дифференциальное уравнение Эйлера (18) будет иметь различное число линейно независимых (над полем К) решений, принадлежащих классу А(Т+) ПН(2)(Ьг). Для этого заметим, что однородное дифференциальное уравнение (18) будет иметь ненулевые решения, принадлежащие классу А(Т+) П Н(2)(Ьг), лишь при следующих трех значениях радиуса г: г = 1, г = ^2—/3 и г = ^2 + /3.
В самом деле, нетрудно проверить (см. также [9, с. 136]), что общее решение однородного дифференциального уравнения Эйлера (18) задается в виде
1 + 7г2 -V 1 + 14г2 + г4 1+7г2+У1 + 14Г2 + Г4
^0 2(1+г2) +С2г 2(1 + г2) , (19)
где С1 = а1 + г61, С2 = а2 + гЬ2 — произвольные комплексные постоянные.
Так как функция u1 (г) = 1+7г2-Л1++21)4г2 +г4 принимает целые неотрицательные
значения лишь при г = у/2 + у/3 и г = 1 (причем ^(\/2 + у/3) =2 и ui(1) = 1), то при С1 = 0(С2 = 0) функция вида (19) может принадлежать классу А(Т+ ) П H(2)(Lr) только при г = 1 или г = л/2 + -у/3.
Аналогично функция и2(г) = 1+7г2+^++2^2 +г4 принимает целые неотрицательные
значения лишь при г = л/2 — у/3 и г = 1 (причем ш2(у/2 - у/3) = 2;ш2(1) = 3), а значит, при С2 = 0(С1 = 0) функция вида (19) может принадлежать классу А(Т+) П H(2) (Lr) лишь при г = 1 или г = \/2 — у/3.
Таким образом, если г = 1, то общее решение однородного дифференциального уравнения (18), принадлежащее классу А(Т/~) ПН(2)(Lr), задается в следующем виде:
Ро (Z)=C1Z + C2Z3, (20)
где С1 = a1 + ib1, С2 = a2 + гb2 — произвольные комплексные постоянные.
Если же г = л/2 — у/3 или г = л/2 + у/3, то общее решение дифференциального уравнения (18), принадлежащее классу А(Т/~) ПН(2)(Lr), можно задавать в виде
^о (г) = Сг2, (21)
где С = a + гЬ — произвольная комплексная постоянная.
Поскольку при х1 ^ 0 правая часть линейного дифференциального уравнения (11) линейно зависит от х1 + 1 произвольных действительных постоянных, то некоторые из этих постоянных могут входить и в выражение функции ф1 (z), которая является частным решением этого дифференциального уравнения. Следовательно, в силу формул (12) и (17) можно сделать следующий важный вывод: при фиксированном значении индекса х1 = IndG1 (t) число mxi произвольных действительных постоянных, линейно входящих в общее решение краевой задачи GK2, существенным образом зависит от величины радиуса г рассматриваемой круговой области Т/ = {z : Izl < г}, а именно справедлива следующая формула:
!Х1 + 1, если г = 1, г = у/2 ±у/3,
Х1 + 5, если г = 1, (22)
Х1 + 3, если г = у/2 + у/3 или г = у/2 — у/3.
Как видно из формулы (22), при фиксированном значении индекса х1 = IndG1 (t) конкретная однородная краевая задача GK2 будет иметь наибольшее число линейно независимых (над полем R) решений в случае г = 1, т. е. в случае, когда рассматриваемая область является единичным кругом Т+ = {z : < 1}. Кроме того, из формулы (22) следует, что решения краевой задачи GK2, вообще говоря, неустойчивы по отношению к малым изменениям носителя краевых условий Lr = {t : Щ = г}. Здесь в случае г = 1, г = у/2 — у/3 и г = у/2 + у/3 возникает явление «резонанса», т.е. резкое изменение значения числа тХ1.
Список литературы
1. Расулов К. М. Метод сопряжения аналитических функций и некоторые его приложения. Смоленск : Изд-во СмолГУ, 2013. 188 с.
2. Rasulov K. M. On the uniqueness of the solution of the Dirichlet boundary value problem for queasiharmonic functions in a non-unit disk // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2018. Vol. 39, iss. 1. P. 142-145. https://doi.org/10.1134/S1995080218010237, EDN: PKGXIK
3. Bauer K. W. Über eine der Differentialgleichung (1 + zz)2WZZ ±n(n + 1 )W = 0 zugeordnete Funktionentheorie // Bonner Mathematische Schriften. 1964. № 23. S. 1-98.
4. Bauer K. W., Ruscheweyh S. Differential Operators for Partial Differential Equations and Function Theoretic Applications. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer-Verlag, 1980. 253 p. https://doi.org/10.1007/BFb0103468
5. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. Москва : Наука, 1970. 379 с.
6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Москва : Наука, 1977. 640 с.
7. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. Москва : Наука, 1977. 448 с.
8. Begehr H. Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations. Singapore : World Scientific Publishing, 1994. 273 p.
9. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1958. 474 с.
References
1. Rasulov K. M. Metod sopriazheniya analiticheskikh funktsiy i nekotorye ego prilozheniya [Conjugation Method of Analytic Functions and Some of Its Applications]. Smolensk, SmolSU Publ., 2013. 188 p. (in Russian).
2. Rasulov K. M. On the uniqueness of the solution of the Dirichlet boundary value problem for queasiharmonic functions in a non-unit disk. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2018, vol. 39, iss. 1, pp. 142-145. https://doi.org/10.1134/S1995080218010237
3. Bauer K. W. Über eine der Differentialgleichung (1 + zz)2Wzz ±n(n + 1)W = 0 zugeordnete Funktionentheorie. Bonner Mathematische Schriften, 1964, Nr. 23, S. 1-98.
4. Bauer K. W., Ruscheweyh S. Differential Operators for Partial Differential Equations and Function Theoretic Applications. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1980. 253 p. https://doi.org/10.1007/BFb0103468
5. Vekua N. P. Sistemy singuliarnykh integral'nykh uravneniy [Systems of Singular Integral Equations]. Moscow, Nauka, 1970. 379 p. (in Russian).
6. Gahov F. D. Kraevye zadachi [Boundary Value Problems]. Moscow, Nauka, 1977. 640 p. (in Russian).
7. Litvinchuk G. S. Kraevye zadachi i singuliarnye integral'nye uravneniya so sdvigom [Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift]. Moscow, Nauka, 1977. 448 p (in Russian).
8. Begehr H. Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations. Singapore, World Scientific Publishing, 1994. 273 p.
9. Coddington E. A., Levinson N. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill Companies, 1955. 429 p. (Russ. ed.: Moscow, Foreign Languages Publishing House, 1958. 474 p.).
Поступила в редакцию / Received 22.03.2022 Принята к публикации / Accepted 19.04.2022 Опубликована / Published 31.08.2022
