О разрешимости трехмерной разностной задачи Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55 М.С. Апанович

Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В.Ф.Войно-Ясенецкого

О РАЗРЕШИМОСТИ ТРЕХМЕРНОЙ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

В работе исследуется разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора с постоянными коэффициентами. Задача Коши формулируется для полиномиального разностного оператора n переменных и для n=3 доказано легко проверяемое достаточное условие разрешимости задачи Коши.

Ключевые слова: задача Коши, полиномиальный разностный оператор, разрешимость, ассоциированная матрица.

M.S. Apanovich

Krasnoyarsk State Medical University named after Prof.

V.F. Voino-Yasenetsky

ON THE SOLVABILITY OF A THREE-DIMENSIONAL CAUCHY PROBLEM

We study the solvability of the Cauchy problem for a polynomial difference operator with constant coefficients. The Cauchy problem is formulated for a polynomial difference operator of n variables and for n = 3 an easily verifiable sufficient condition for the solvability of the Cauchy problem is proved. Key words: Cauchy problem, polynomial difference operator, solvability, associated matrix.

Введение

Пусть f функция целочисленных аргументов f : Z + ^ C и Sj - оператор сдвига по j -ой переменной, т.е. Sjf (tx,..., tn ) = f t,..., t}. _, t}. +1, t ]+l,..., tn), j = 1,2,...,n . Если a = (a1 ,...,an ) - мультииндекс, то |a| = a1 +... + an, Sa = S|.. .S^" . Для двух мультииндексов a = (a1,..., an), р = (в1,..., Pn) неравенство a<P означает, что a}- <Pj, j = 1,2,..., n. Рассмотрим разностный полиномиальный оператор вида

P(S)= 2 c a S1 , (1)

0<a<m

где са - коэффициенты (постоянные) оператора. Если a = (a1,..., an ), то будем обозначать

mn f Л

'a = (a1,..., an_1) и тогда оператор P(S) можно записать в виде P(S) = 2 I 2caa Sa SI .

an =0 V0<'a<' m J

mn f Л mn

Многочлен P(' z, zn ) = 2 I 2 ca a 'z a z^" =2 Pj ('z~)z1" будем называть характе-

an =0 V' 0<'a<'m J an=0

ристическим многочленом для разностного оператора P(S) , а его степень по переменной zn -порядком разностного оператора.

В целочисленной решетке Z + выберем точку x = (x1,..., xn_1,0) и обозначим

П'Х = {t е R+ :'0 <' t <' x} (n _ l) -мерный параллелепипед в гиперплоскости tn = 0.

Зафиксируем точку в = (в1,..., вп _1, mn ) е Z + , '0 <' в <'m такую, что коэффициент cр Ф 0, и рассмотрим множество Пр^ ={'t еП^ :'в <'t <'x_'m+'в}. Обозначим L = (nx \ Пр'm )х [0, xn ] множество, на котором будем задавать начальные данные и сформулируем задачу

найти решение разностного уравнения

P(S)f (x) = g(x), x е П = П, х [0, xn ], (2)

удовлетворяющее условию

f (x)=^(x), x е L, (3)

где g (x) и (p(x) - заданные функции целочисленных аргументов.

Задачу (2) - (3) назовем задачей Коши для полиномиального разностного оператора (1).

В монографии [1] для полиномиального разностного оператора порядка тп = 1 исследована устойчивость однородной двухслойной линейной разностной схемы с постоянными коэффициентами. В работе [2] исследована разрешимость задачи (2) - (3) для п = 2. С точки зрения теории разностных схем это многослойные неявные разностные схемы. В этой работе доказаны критерий разрешимости и простое достаточное условие разрешимости. В работе [3] исследована корректность задачи (2) - (3) для п = 2 и доказано легко проверяемое достаточное условие корректности.

В данной работе исследуется разрешимость задачи (2) - (3).

Теорема. Если для коэффициентов разностного оператора (1) выполняется условие

м>

(4)

афр,ап =тп

то задача (2) - (3) для любых g (х) и (р(х) имеет единственное решение.

Теорема доказывается в работе для п = 3, однако, есть достаточные основания считать, что она справедлива для любого п .

Ассоциированная матрица и разрешимость задачи Коши

Для доказательства основной теоремы воспользуемся методом, который был применен в работе [4] для п = 2, а именно: введем для трехмерного разностного полиномиального оператора понятие ассоциированной матрицы, свойства которой играют важную роль в разрешимости задачи Коши (2)-(3).

Рассмотрим многочлен Рщ (г1,22) - составляющую старшей степени характеристического многочлена Р(г1, г 2, г3) по переменной г3 и переобозначим коэффициенты этого многочлена двух переменных следующим образом:

Ч.о,о С в

0,0 С в ,в2,т3 и Ч-а1 ,-а2 С в -а1 ,в2-а2,т3

= С ,

для а таких, что

- т1 +Д <а1 < Д , - т2 +в <а2

тогда матрица из коэффициентов многочлена Рт (г1, г2) имеет размеры (т1 + 1)х(т2 +1) и вид

Ч ,^Х2

<4,1

Ч-

К, ,0

V Ч- -

у ^ 'х1 . 'х2

Ч-1Л2

Ч-1,1

Ч-1,0 Ч-1,-1

Ч-1

-1,-г.

Ч

0,Ь.

Ч0,1 Св,т3 = <0,0

0,-1

Ч

0,-1,.

Ч1, Ч

Ч

Ч

Чу-1

Ч^Х1 ,^Х2

Чк, ,1 Чкч ,0 Ч*ч ,-1

Чкч ,-1x2 )

Определение. Ассоциированной с задачей (2) - (3) матрицей будем называть блочную ленточную матрицу бесконечного порядка вида:

Т =

(т Т1 . • ч 0 0

Т-1 Т0 ■ т • Ч; -1 0

Т-1 т "X +1

0 т- ■ 'Х1 т0 т1

0 0 т-1 т0

V •

С

а

х2

где Т - квадратные матрицы размерности (m2 +1) х (m2 +1), построенные по коэффициентам много-

члена Рщ (z1, z 2), вида

Т =

Яио q,i

Яг,-1 Яг,0

ч,

г ,-1x: 0

о

о

о ч

о ^

ч

Яг,0 Яг,1 Яг,-1 Яг,0

г = -/ ,...,-1,0,1,...,к .

Отметим, что ширина ленты матрицы Т равна т1 +1.

Свойства ассоциированной матрицы Т играют решающую роль в проблеме разрешимости задачи (2) - (3). Матрица Т теплицева и каждый ее блок Т , * = —¡х , -1,0,1,...,кпредставляет собой также теплицеву матрицу (см., например, [5]), т.е. на всех диагоналях матрицы, параллельных главной диагонали и на самой главной диагонали, элементы матрицы одинаковы.

Известно (см. [6]), что если для блочной матрицы А = ||а.|, состоящей из матриц А., выполнены блочные условия Адамара

А-

- Ё Kl > 0,г = 1,2,...,

(5)

1=1, 1

то А - невырожденная матрица. Здесь А - норма матрицы А .

Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Задача (2) - (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ассоциированная с этой задаче матрица Т невырожденная.

В работе [4] данная лемма доказана для n = 2, для n = 3 доказательство вполне аналогичное.

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы нам потребуется следующая оценка для нормы обратной мат-

n

рицы. Пусть IBIL =max ^ максимум-норма матрицы В и обозначим через

Ш 1

Ri (в)= |ЬЙ| — ^b l, 1 = 1,2,..., n, величину диагонального преобладания в каждой строке, а также положим

R (В) = min R (В). Так как R* (в) > 0 , то В - матрица с диагональным преоб-

ладанием, а для нормы матрицы В с диагональным преобладанием справедлива оценка (см. [7, 8])

В-

<

1

R (B)'

(6)

Величина диагонального преобладания в J - ой строке ассоциированной с задачей (2) - (3) матрице Т равна Rj (т) = TJ — ^ TjI , s = 1,2,... и R* (т) = min Rj (т). Так как при выпол-

i

нении условия (4) матрицы Т*, * = —.¡^,..., — 1,0,1,..., к являются матрицами с диагональным преобладанием, то для них справедлива оценка (6), поэтому имеем Т* 1 > Я,* (Т), где

0

зо

R*(Т ) = - S \qh] |,i = 4,,..., -1,0,1,...,kXi.

j=-'x2, j

Блочные условия Адамара в данном случае равносильны неравенству

kx2 kxi I

- S Kl > S (q.-lx2

qo^l- S qo,j | >

j=-lx2, j *0 i=-lx1 ,i^0

+ ■■■ + Щи-А + qJ + qJ + ■■■ +

q^

из которого следует, что

qo,o >

kxi i \ kx2

S кч2 + ■ ■ ■+qi,-A+Ы+Kl+- + q^2 )+ S Щ

x2

j=-lx2, j^0

o, j

т.е. условия Адамара (5) выполнено, матрица Т невырожденная и в силу леммы задача (2)-(3) имеет единственное решение.

В качестве примера применения теоремы рассмотрим полиномиальный разностный оператор, возникающий в теории разностных схем при аппроксимации двумерного уравнения теп-

ди д2и д 2и

дг дх2 ду2

лопроводности = 7ТГ + 2 неявной разностной схемой

n+1 n n+1 о n+1 . n+1 n+1 о n+1 . n+1

u , — u , u ,,— 2u ,+ u ,, , u , 1— 2w ,+ u ,,,

m,l m,l m-1,l m,l m+1,l + m,l-1 m,l m,l+1

т к К

В обозначениях данной работы эта схема примет вид

(h2xh2y + 2zh2y + 2Tl )f (x, x2, x3 +1)- h2x h2yf (x, x2, x3 )- zh2yf (x -1, x2, x3 +1)--ih2f (x1 +1,x2,x3 + \)-Th2xf (x1,x2 -1,x3 +1)-zhx;f (x1,x2 +1,x3 +1) = 0,

т.е.

^0,0,1 = h2x h2y + 2zhy2 + 2zh2, C-1,0,1 = C1,0,1 = -Thy , C0,1,1 = C0,-1,1 = -Tx ,

1 в качестве в возьмем в = (0,0,1).

Легко проверяется, что условие (4) теоремы

|С0,0,11 > 1,0,1 + Н,0,11 + |c0,1,11 + |С0,-1,11

выполнено, следовательно, задача (2)-(3) имеет единственное решение.

Автор считает, что в данной работе новым является утверждение теоремы для размерности большей двух.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ№18-31-00232 Литература

1. ФедорюкМ.В. Асимптотика: Интегралы и ряды / М.В. Федорюк. - Москва: Наука, 1987.

546 с.

2. Рогозина М.С. Разрешимость разностной задачи Коши для многослойных неявных разностных схем / М.С. Рогозина // Вестник СибГАУ. 2014. Т. 55. № 3. С. 126-130.

3. Apanovich M.S. Correctness of a two-dimensional Cauchy problem for a polynomial difference operator with constant coefficients / M.S. Apanovich // Journal of Siberian Federal University. 2017. V.10. № 2. P. 199-205.

4. Рогозина М.С. О разрешимости задачи Коши для полиномиального разностного оператора / М.С. Рогозина // Вестник НГУ. 2014. Т. 14. № 3. С. 83-94.

5. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы: Алгебраическая теория / И.С. Иохвидов. - Москва: Наука, 1974. 263 с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - Москва: Наука, 1967. 575 с.

)

7. Taussky O. A recurring theorem on determinants / O. Taussky // The American Mathematical Monthly. 1949. V. 56. N 10. P. 672-676.

8. Ahlberg J. H. Convergence properties of the spline fit / J. H. Ahlberg, E.N. Nilson // J.SIAM. 1963. V. 11. N 1. P. 95-104.

Сведения об авторе

Марина Степановна Апанович

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры медицинской кибернетики и информатики «Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В. Ф.Войно-Ясе-нецкого» Министерства здравоохранения РФ Россия, Красноярск Эл. почта: rogozina.marina@mai¡.ru

About the author

Marina Stepanovna Apanovich

Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Medical Cybernetics and Informatics

Krasnoyarsk State Medical University named after

Prof. V.F. Voino-Yasenetsky

Russia, Krasnoyarsk

Е-mail: rogozina. marina@mail. ru

УДК 517.1/.18 V.M. Belov1, A.M. Sukhotin2, Ya.I. Shmakov2

1 Tomsk Agricultural College 2National Research Tomsk polytechnic university

ALTERNATRIVE ANALYSIS, CRITERIUM OF BIJECTIVITY AND SOME DOGMAS

In our paper we prove that any mapping f: N —A, with AdN, does not be an injective one, i. е. (AcN) -(A~N)). We proved Euclidean 8th axiom: "The Whole is more than its own Part". This theorem opens a new path to the solution of D. Gilbert's two parts first problem on the continuum. A generalization of the concept of k-countability of infinite sets completes our article. Key words: Continuum-hypothesis, Peano 's axioms, criterion of a bijectivity, sequence of natural numbers, countable set, exact-permutation, a-chain, an infinite set.

1. Introduction. Every mathematical discipline has two languages: the mathematical and the meta-language. By G. Cantor each set is determined by its "not equal and distinguishable" elements, therefore this (as in each alphabet of language) hasn't equal elements, by default. The non-strict inequalities <, > and the non-strict inclusions С, з contain, at least on one side, the variable elements. Let (А, В) be a pair of sets, then there exists [1, Sec. 8] a pair (F, G) of all functions, given on A, B, respectively, such that

Vf 6 F3(A^B): (D(f) С A)&E(f) С В, Vg 6 G3(B ^ A): (D(g) С B)&E(g) С A.

However, the concept of "one-to-one function" allows an incorrect replacement of non-strict inclusions with equalities (by default more often).We use known mathematical texts in this report and we follow the Paul Cohen's forecast about continuum-hypothesis (CH) [2, IV.13]: «A point of view which the author feels may eventually come to be accepted is that CH is obviously false». Linear independence (dependence) is the main concept of the linear space En. "If there is a finite quantity of vector in the basis, the space is said to be finite dimensional and its dimension is equal to the quantity of vectors in its basis. Otherwise, it is infinite dimensional. For an infinite dimension space a basis usually means a sequence of elements x1, x2,... such that every x is uniquely expressible in form x = ^^ a-i^i (meaning that the limit as n becomes infinite x — ^^ atxt is zero)" [3, p. 27]. The basis Bn of En contains n linearly independent vectors and the set with n + 1 vectors in En are linearly dependent and there does not exist any injective mapping of basis Bn+1 in En+1 into the basis Bn in En. Below we shall generalized easily those statements onto infinite-dimensional linear space Em. A mapping ф: A ^ В is said to be injective one, or an injection, if either

a = q holds ф(а) = p(q), or p(a)?ty(q) ^a^q. (1)

Instead of "the f is injective one" one speaks [4, II.3.7] also, that "the f is one-to-one function" or "the f is 1-1-correcpondence" [5]. The mapping ф: A ^ В which has ф(^) = В is said to be either "as