О разрешимости первой краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

А. И, Кожанов, И, И, Кулешова

Работа является продолжением работы [1] (в свою очередь, являющейся продолжением работ [2-4]).

Пусть В — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник В х (0, Т), О < Т < + то, а(х), ао(х), Ъ(х), Ъо(х) и /(х,Ь) — заданные при х € В, £ € [0, Т функции, А и В — операторы, задаваемые равенствами

д

Ли = — (а(х)их) + а$(х)и, дх

д

Ви= {Ь{х)ихх) + Ъа(х)и.

Краевая задача: найти функцию и(х,£), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Лщ + Ви = /(х,г) (1)

и такую, что для нее выполняются условия

и(х,0) = 0, х € В, (2)

и{о,г) = и{\,г) = их{о,г) = их( М) = о, о<г<т. (з)

Уточним, что в работе [1] рассматривалась краевая задача для уравнения (1) с заданием условия (2), а также условий

и(о,*) = и(м) = их^о,г) = иххХМ) = 0, о<г<т.

© 2006 Кожанов А. И., Кулешова И. И.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

а{х) е С(В), ъ(х) е с3(в), а0(х) е с(в), ъа{х) е с(ву,

а(х) ^ о, ^ о, а(х) — КХ ^ ^о > о, ао(х) ^ —ао < о,

^(Х ^ о при х е в-, |Ъ«(х)| < Соу/Щх)1 = 1,2, х е в Ъ(0)Ъ(1) >0.

Тогда если функция ¡(х, 1) такова, что ¡(х, е х, е

/(х,0) = 0 при х е В т0 краевая задача (1)-(3) имеет решение и(х,Ь) такое, что

и(х,г) е ь2(о,т-,шЦв)), щ(х,г) е Ь2(0,Т;Ш%(В)), Ъ{х)и хххх

и это решение единственно.

Доказательство. Пусть е — положительное число. Положим

д

аЛ х) = а(х) + е, Леи = — (а£( х)их) + а$(х)и,

дх

ЬЕи = Л£ Щ + Би + еихххххх-

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,1), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

ЬЕи = /(х,г) (1е)

и такую, что для пее выполняются условия (2), (3), а также условия

ихх(о,$ = ихх( 1,^ = о, 0<1<т. (зе)

Краевая задача (1е), (2), (3), (Зе) для фиксированного положительного числа е при выполнении условий теоремы имеет решение иЕ(х, такое, что

иЦх,г) е ъто(о,т-^Цв)), иЦх,г) е ь2(о,т-^Цв)), уеи{х,ь) е Ъ(о,т-№{В))

(см. [5]). Покажем, что для семейства решений |ит(х,~Ь)} имеют место нужные априорные оценки. Анализируя равенства

г г

Ьтитит Зх Зт = J ! /ит ЗхЗт,

ОБ ОБ

г г

Ьтитиет ЗхЗт = j j /иет ЗхЗт,

ОБ ОБ

г г

(Ьтит)ти% ЗхЗт = J ! /тиТ ЗхЗт,

ОБ ОБ

г г

(Ьтит)тиетт ЗхЗт = J J /тиетт ЗхЗт

ББ

и используя условия теоремы, нетрудно показать, что имеет место оценка

[[ит( х,г)}2 + [<( х,Щ2 + [и£х( х,Щ2 + [и£хг( х,г)У

Б

4х)I [<хг{х,Щ" +

г)У]Зх < N (4)

с постоянной N1, определяющейся лишь функцией /(х,1), коэффици-

Т

На следующем шаге рассмотрим равенство

г г

Ьти£хх ЗхЗт = J ! /иехх ЗхЗт.

ББ

Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга, используя уело-

вия теоремы и оценку (4), получаем неравенство

I'Мх м) Г <Ь + //нЫ2 ¿хат

) о в

г г (г

! У [uXxxx]2 ¿хат < 51 ! [иу2 ¿хат + Я2 + Язе < У 1>т) ]2

о в о в 1о

+ [uXxx( 1, X^ , X^ , т)]] ¿Т(5)

с произвольным положительным числом 5, числом N, определяющимся числами 5 и Т, функцией /(ж, £), коэффициентами уравнения (1), и числом N3, определяющимся числом Т, функцией /(ж,£) и коэффициентами уравнения (1). Повторяя далее соответствующие выкладки [1], нетрудно вывести неравенство

У 1[иЕхх]2 ¿хат + еУ J[uexxxx]2 ¿хат < +

О в V О

• [«^(О, т)] 2 + [uXxxx( ^ + КаЛт)] 2] ¿т(6)

вв

с числами N и N5) определяющимися лишь функцией /(ж, £), коэф-

Т

Рассмотрим равенство

1 x 1 x

У У ^Ь£ие{¿г&х = J ^ /(х,1) ¿х<1х.

о о

о о

Это равенство нетрудно преобразовать к виду

1

£и£хххх( = 6£и%хх( М)+6 J х2ъ(х)иехх( х,-Ь)дл

о

1 х 1

— J гЪ(г)и£гг( г,1)<1г<1х — J х?ат( х)иехг{ х,~Ь)3,х оо о

1 х 1 х

+ 3^ J г2ат(г)иехг(z,t)dzdx + J ^ /(г,~Ь) 3,г3,х. (7)

г г

:/[<,„,(!, т,Г ¿т « Н,,,^ * + * (8)

0 0 0 0 Умножим равенство (7) на функцию иЕхххх( и результат проипте-грируем по временной переменной от 0 до текущей точки. Используя неравенство Юнга и оценку (4), получим, что выполняется неравенство г г

£

о о

с постоянными N и N7, определяющимися лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х,£) и числом Т.

Для функций ит(х, £) вследствие граничного условия (Зт) выполняется неравенство

1 1

[и%хЛМ)Г < 61[иехххх(х,£)]2 ¿х + с{5) J [иих,г)] ¿х (9) о о

с произвольным положительным числом 6. Следствием данного неравенства, неравенства (8) и оценки (4) является неравенство г г 1

£ ! <ххх( 1,тНт < ! [ихххх] ¿Х^Т + Щ, (10)

0 0 0

в котором 6 — произвольное положительное число, число же N определяется, как и числа .N-N7, коэффициентами уравнения (1), функцией /(х, £) и числом Т. Суммируя неравенства (8) и (9), получим, что

г г 1

^J[[uXxxЛ 1>т)]2+ [uXxx( 1,т)]2] ¿т < 5е { J[uXxxx]2 ¿хат + М9, (11)

имеет место неравенство

г г 1

е

О 0 0

в котором вновь 5 — произвольное положительное число, число же N определяется вновь функцией /(ж,£), коэффициентами уравнения (1) Т

Анализируя аналогичным образом равенство 11 11

(1 - z)3Leue(z,t)dzdx = J ^ (1 - ¿) ^¿ж

о x о x

(точнее говоря, полученное из него равенство вида (7)), используя нера-

ж

1 г 1

е ! [[uXxxx(0,Т)]2+[uXxx(0,Т)]2] ¿т < 5е У J К^2 ¿хат + ^0- (12)

О 0 0

Вернемся к неравенству (5). Неравенства (11) и (12) вместе с (5) дают неравенство

г

/мх ^ м) г <Ъ + ]/ньи2 ¿хат

вв

г г

.р]" ¿хат ^ 5 J ! ¿хат + N1 •

вв

Из него и условий теоремы следует априорная оценка решений краевой

задачи (1е), (2), (3), (Зе):

г г

! J К/ ¿хат + е I ! [uXxxxf ¿хат < ^12 (13)

вв

с постоянной N2, определяющейся лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х,^) и числом Т.

Действуя аналогично, но для продифференцированного по переменной £ уравнения (1Т), нетрудно получить следующую оценку:

г

[и1хт] dxdт + ^ ! [и1хххт] ¿'хАт < Мз (14)

ББ

с постоянной N13, вновь определяющейся лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х, £) и числом Т.

На следующем шаге рассмотрим равенство г г

J ! ЬТиТЪи%ххх dxdт = J ! /Ъи£хххх ¿хЗт.

ББ

Интегрируя по частям и используя оценки (4), (13) и (14), нетрудно получить неравенство

г г

/ / Ъ [и£хххх] dxdт + ^ ! НКхххх]2 ¿х1т ББ г

< ^4£ J [[иеххххх(1,т)] + НххххФ,т)]2] ^ + О

с постоянными N14 и N15, орпределяющимися лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х,£) и числом Т. Далее, рассмотрим равенство

± ± J х3 Ьтит(х,1) ¿х = J x3/(x,t)dx.

о о

Из него подобно тому, как мы получили оценку (11), но с использованием уже самой оценки (11), нетрудно получить оценку

г

£I КххххИ ,т)]2 ¿т < ^

Оценка (16), аналогичная оценка для функции и|хххх(0, ¿) и неравенство (15) дают априорную оценку г г

УУ^ [и£хххх]2 У ¿х3'т

О В О В

г

< Ыпе I [[иеххххх(1>т)Г + Кхххх(0,т)Г] + (15)

о

с постоянными N4 и N5, определяющимися лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х,£) и числом Т. Далее, рассмотрим равенство

У х3Ьеие(х, ¿) ¿х = У х3/(х,£)йх.

о о

Из него подобно тому, как мы получили оценку (11), но с использованием уже самой оценки (11), нетрудно получить оценку

г

£/[М£ххххх(1 ,т)Г ¿т < ^ (16)

О

Оценка (16), аналогичная оценка для функции и|хххх(0, ¿), и неравенство (15) дают априорную оценку г г

У J Ь [<ххх]2 + У \Ь\[иеххххх]2 ¿х3т < ^о. (17)

0 В О В

Последняя требуемая оценка

г

£/У [^хххххх]2 ¿х3т < ^21 (18)

В

очевидна; постоянные N о и N1 в оценках (17) и (18) определяются лишь коэффициентами уравнения (1), функцией /(х, ¿) и числом Т.

Из доказанных оценок (4), (13), (14), (17), (18) и следует утверждение теоремы (подробные рассуждения см. [1]). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Кроме того, пусть дополнительно выполняются условия

a(x) G CCD), a0(x) G C(D), b0(x) G C(D), ^ -4ClT>{), fx{x,t) G L2{Q), /(0,t) = /(l,t) = 0 npnt g[0,T], Тогда краевая задача (l)-(3) имеет решение u(x,t) такое, что u(x,t) G L(О,T-,Wi(D)) ut(x,t) G L(0,T-,W2(D)).

Доказательство теоремы проводится вполне аналогично доказательству соответствующей теоремы работы [1].

Замечание. Уравнение (1) как в работе [1], так и в настоящей работе вполне можно заменить уравнением dm ( dmu\ Ащ+ Ox™ K^exm) =/(x,t), m ^Оцелое, (1')

с оператором А указанного выше вида и с функцией b(x), для которой выполняется условие ( —1 )mb(x) ^ 0 при x G D. Более того, как уравнение (1), так и уравнение (1') можно заменить общим уравнением того же типа с младшими членами и с коэффициентами, зависящими,

xt [1] и в настоящей работе результатов не изменится.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кулешова, И. И. О разрешимости начально-краевой задачи для одного класса вырождающихся уравнений соболевского типа // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 87-97.

2. Кожанов А. И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений // Докл. РАН. 1992. Т. 236, № 5. С. 781-786.

3. Kozhanov А. I Certain classes of degenerate Sobolev — Galpern equations // Sib. Adv. Math. 1994. V. 4, N 1. P. 65-94.

4. Кожанов А. If. Вырождающиеся уравнения соболевского типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1998. С. 4-13.

5. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм, 1985.

г. Новосибирск, г. Рубцовск

1 ноября 2006 г.