CC BY
1ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 2, 2024 Электронный журнал, рег. Эл. N ФС77-Щ10 от 15.04-2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal, spbu. ru / e-mail: jodiff@mail.ru
Теория нелинейных колебаний
О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Мухамадиев Э., Наймов А. Н.
Вологодский государственный университет emuhamadiev@rambler.ru naimovan@vogu35.ru
Аннотация. Исследована периодическая задача с периодом равным 1 для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой главная нелинейная часть порождена многочленом от одного комплексного переменного. Доказано, что если выпуклая оболочка корней порождающего многочлена не содержит чисел кратных г2п, то имеет место априорная оценка для решений периодической задачи. В условиях априорной оценки, применяя методы вычисления вращения векторных полей, доказана разрешимость периодической задачи при любом возмущении из заданного класса. Рассматриваемая система уравнений не сводится к аналогичной системе уравнений первого порядка с главной положительно однородной нелинейной частью. Для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка периодическая задача исследована в работах В.А. Плисса, М.А. Красносельского и их последователей с применением методов априорной оценки и вычисления вращения векторных полей. Известно, что априорная оценка решений краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка сопряжена с
трудностями, связанными с оценкой производной первого порядка решения при ограниченности самого решения. В настоящей работе на примере периодической задачи для рассматриваемой системы уравнений второго порядка установлено, что априорная оценка выводима, если сочетать методы исследования аналогичных систем уравнений первого порядка и методы качественного исследования сингулярно возмущенных систем уравнений. Полученные результаты в последующем можно обобщить для многомерных систем уравнений второго порядка, применяя идею метода направляющей функции.
Ключевые слова: периодическая задача, априорная оценка, вращение векторного поля.
1 Введение
Рассмотрим следующую периодическую задачу
-mi
z''(t) = (z'(t) - dz(t)) • ... • (z'(t) - Cqz(t)) q + f (t, z(t),z'(t)), (1)
t e (0,1), z(t) e C,
z (0) = z (1), z (0) = z! (1). (2)
C
пряжение, ci,... , cq - комплексные числа, q, m1,..., mq - натуральные числа и m := m1 + ... + mq > 1. Комплекснозначная функция f(t,z,w) непрерывна по совокупности переменных (t,z,w) e R х C2, по t удовлетворяет условию периодичности f (t + 1,z,w) = f (t,z,w) а по z и w удовлетворяет следующему условию на порядок роста на бесконечности:
lim (\z | + \w\)~m in ax\f (t,z,w)\ = 0. (3)
teR
В силу условия (3) функцию f (t, z,w) называем возмущением. Главная нелинейная часть системы уравнений (1) порождена многочленом
Pm(u) := (u - Ci)mi • ... • (u - Cq )m,
а именно, она равна
zm(t)Pm(z' (t)z-1(t)).
Функцию г(£) € С2([0,1];С) называем решением периодической задачи (1), (2), если она удовлетворяет системе уравнений (1) и условиям (2). Такое решение периодически и гладко продолжимо на И = (—то,
Цель работы состоит в нахождении условий на с € С 3 = ПРИ которых периодическая задача (1), (2) разрешима при любом возмущении / (М,^.
Существование периодических решений для систем нелинейных обыкно-ТВбННТЬТХ тьнтьтх уравнений исследовано в многочисленных рабо-
тах других авторов. Можно отметить монографии [1, 2, 3] и работы [4, 5], где применяются идеи и методы, близкие к н&стоящви работе. Например, в работе [5], получены достаточные условия, которым должна удовлетворять асимптотически устойчивая в целом автономная система дифференциальных уравнении,заданная в И™, чтобы при любом ^-периодическом её возмущении она имела ^-периодическое решение.
В работах [6, 7] исследовано существование периодических решений для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с главной положительно однородной частью, применяя и развивая методы априорной оценки и вычисления вращения векторных полей. Применение этих методов к системе уравнений второго порядка затруднено тремя обстоятельствами. Во-первых, для системы уравнений второго порядка необходимо исключить случай, когда множество периодических решений ограничено, а их производные неограничены в совокупности (см. напр., [8]). Во-вторых, в указанных работах при выводе априорной оценки используется преобразование подобия, сохраняющее главную положительно однородную часть системы уравнений первого порядка, и тем самым удается найти условия априорной оценки. А в случае системы уравнений второго порядка находить такое преобразование не всегда возможно. В-третьих, при выводе априорной оценки периодических решений системы уравнений второго порядка нужно учитывать структуру множества нулей главной положительно однородной части системы уравнений.
Априорная оценка и существование периодических решений уравнений вида (1) в скалярном случае исследованы в работе [9], где при выводе априорной оценки существенно используется одномерность уравнения и общая идея качественного исследования сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящей работе, сочетая методы работы [9] и выше упомянутых работ, найдено условие, обеспечивающее априорную оценку и разрешимость периодической задачи (1), (2). Полученные результаты в последующем можно обобщить для многомерных систем уравнений второго порядка, применяя идею метода направляющей функции.
2 Основные результаты
Разрешимость периодической задачи (1), (2) На
первом этапе найдено условие, при котором для решений задачи имеет место априорная оценка
max \z(t)| + max \z!(t)| < Mi, (4)
0<t<l 0<t<i
где Mi > 0 и те зависит от z(t). На втором этапе составлено вполне непрерывное векторное поле
:= ^zi(t) - zi(1) - Z2(s)ds, Z'l (t) - z2(1) -[ (zm(s)Pm (z2(s)z-l(s)) + /(s,zi(s),z2(s)^ dsV (5)
»t__
y^^^^D ( „ i гЛ I
'0
которое определено в банаховом пространстве E := C([0,1]; C2) с нормой
I\(zi,z2)||s := ||zi||c + ||z2||c, где \\z\Ic = max |z(t)|.
0<t<i
Разрешимость задачи (1), (2) равносильна существованию нуля вполне непрерывного векторного поля Ф. Далее, при выполнении априорной оценки (4) вычислено вращение (степень отображения) (Ф) вполне непрерывного векторного поля Ф на сфере ||(zi,z2)||^ = r достаточно большого радиуса r > Мь Оно будет отличным от нуля, что, согласно принципу ненулевого вращения, [3, с. 138] и доказывает разрешимость задачи (1), (2).
Основные Р63уЛЬТ9iTы настоящей работы заключены в следующих д^вух теоремах.
Теорема 1 Пусть выпуклая оболочка комплексных чисел е^ ] = 1,д не содержит чисел вида 12п1, где I - целое. Тогда для решений задачи (1), (2) имеет место априорная оценка (4).
Теорема 2 В условиях теоремы 1 задача (1), (2) разрешима.
В доказательстве теоремы 1 используется следующая оценка, которая верна для решений задачи (1), (2) в силу результатов работы [10]:
\г(г)\ <М2(1 + \г(г)\), г € [0,1], (б)
где М2 > 0 и те зависи т от г и г (г).
В доказательстве теоремы 2 установлено равенство (Ф) = —т с помощью гомотопии поля Ф к конечномерному векторному полю.
3 Априорная оценка
Приведем доказательство теоремы 1. Обозначим через d расстояние от выпуклой оболочки комплексных чисел с^ 3 = 1, д до множества чисел вида ¿2п/, где / - целое. По условию теоремы d > 0. Предположим, ЧТО ^Л^ЛЯ (ЗТТТ ний задачи (1), (2) не имеет место априорная оценка (4). Тогда существует последовательность решений гк (г), к = 1, 2,... задачи (1), (2), неограниченная по норме пространства Б:
Тк := \\гк\\с + \\г'к\\о ^ ж, к ^ ж.
Можно считать, что функции Хк(г), к = 1, 2,... периодически и гладко продолжены на И = (—ж, +ж)..
Рассмотрим функции ик(г) = т—1Хк(г), к = 1, 2,.... Для них в силу (1), (2) и оценки (6) имеем:
тк—т'ит = и^(г)рт(ик(г)и—1(г)) + г—т/(г,ТкУк(г),пик(г)), г € И, (7)
ик (0) = ик (1), ик (0) = ик (1), \\и)к\\с + \\ик\\с = 1, (8)
\<(г)\ <м2(т—1 + \ик(г)\), г € И. (9)
Из условия (3) следует, что
т—т\\1 (•Т'^к,Ткик)Цс ^ 0, к ^ ж.
Без ограничения общности, можно считать, что
\\ик — и0\\с ^ 0, к ^ ж.
В силу (8) и (9) имеем и0(г) ф 0. Проверим, что и0(г) нигде не обращается в
ноль!
wо(t) = 0 Уг € и. (ю)
Пусть (а, в) - наибольший интервал, где w0(t) не обращается в ноль. Из оценки (9) следует, что на произвольном отрезке [а,Ь] С (а, в) имеет место неравенство
\и' (г)\
Ншвир шах -—- < М2. к^ж \ик (г)\
Отсюда с учетом равенств
1п МЩ = Г" (1п \ик (г)\) dt = Г Яв(и к (гй(г))\ик (г)\—Чг, \ик (а)\ Л Л
при больших к имеем:
1п
\нк (Ь)\ №к (а)\
< (М2 + 1)(Ь — а).
Переходя к пределу, получаем неравенства
— (М2 + 1)(Ь — а) < 1п
\но (Ь)\ \но(а)\
< (М2 + 1)(Ь — а).
Если а > —то то в правом неравенстве устремляя а к а получаем н0(а) = 0, что противоречит выбору а. Значит, а = —то. Аналогичным образом из левого неравенства следует, что в = +то. Таким образом, (10) верно.
Покажем, что
К (г) — е^к (г)\2т1 •... • К (г) — е^к (г)\2т<г ¿г — 0, к — то. (и)
2ш„
Для этого перемножим обе стороны равенства (7) на
^к(г) — ет(г))т1 •... • Н(г) — енк(г))т,
а затем проинтегрируем по г в пределах от 0 до 1:
К (г) — еíWk (г)\2т1 •... • Н (г) — енк (г)\2т ¿г =
2т„
= Г
1 — т
нк'(г)(нк(г) — е1Нк(г))т1 •... • К(г) — ечНк(г))т¿г + 0(1).
В правой части каждое слагаемое вида
/ Н'(г)(Нк(г))11 (Нк(г))12¿г
о
к
I нк(г)(нк(г))11 (Нк(г))12¿г = — I (¡1 + 1)">к(г))11+%Ы(г))12"Ч(г)^г
оо
и ограниченности последовательностей \ \нк\\с-, \\Нк\\с- Следовательно, (11) верно.
Из (10) и (11) выводим:
\12
\~1(п./ (Л\11+1>
нк (г) Нк (г)
е1
2т1
нк (г)
Нк (г)
- еп
2тг,
¿г — 0, к - то.
(12)
1
1
к
1
1
1
1
Введем множества
Ч.з := г е [0,1]:
Ч (г)
(г)
— сз
< 5
3 =
Гк,§ := [0,1] \ и^Ек,*•
Здесь 5 > 0 настолько мало, что множества Ек §, 3 = 1,4 попарно не пересекаются, при этом числа с^ 3 = 1,4 считаем попарно различными. Из (12) следует, что
52тшев^к § § ^ 0, к ^ о. Выберем и фиксируем 5 и к так, чтобы имело место неравенство
5 + (\сч\ + \ \и'к/'Шк\\с) шевГк, § < й, (13)
здесь й - расстояние от выпуклой оболочки комплексных чисел с^ 3 = 1,4 до множества чисел вида г12п\, где I - целое.
Для ш'к (г)/шк (г) в силу периодичности имеем
-1 „../
шк (г)
Зо Шк (г)
С другой стороны,
С ш'к (г) м = у [ шШ
1 ии^ Шк(г)
йг = г2п1к, где 1к — цело е.
Шк (г)
йг +
'Я,
к, 6
шк (г) Шк (г)
йг =
ч ч » /
= ^2 сзшезЕк,§ + ^ I (
3=1 з=1^ Ек, 6 V
г1 шШ
'о шк(г)
Отсюда выводим;
(К
<
з=1 ^ Ек, 6
ч
йг — сЛ йг + шк (г) V
шк (г)
йг — сЭ шевЕк,§
3=1
Як, 6 шк(г) < 5 + \ \ш'к/шк\\сшевГк, §.
йг,
У^ сз шевЕк § § + сч шевГк , § — ъ2п\к э=1
<
+ \сч\шевГк,§ <
У^ сз шевЕк § — г2п\к
3=1
< 5 + (\сч\ + \ \ш'к/шк\\с) шевГꧧ < й (в силу (13)). Пришли к противоречию. Теорема 1 до каз ан а.
4 Разрешимость периодической задачи
Пусть выпуклая оболочка комплексных чисел е^ ] = 1, д не содержит чисел вида г2п1, где I - целое. Докажем, что задача (1), (2) разрешима. Для этого
Ф
ХОТЯ бы один ноль. Ф
вычисления вращения (Ф) векторного поля Ф на бесконечности. Вращение 7то (Ф), согласно априорной оценке (4) и теории вполне непрерывных векторных полей [3, с. 135], определено и равно вращению (степени отображения) Ф на сфере \\(г1,г2)\\^ = г при г > М1. Справедливо равенство
7то(Ф) = —т. (14)
Для доказательства равенства (14) рассмотрим семейство периодических
г''(г) = г т(г)Рт,х(г' (г) г—1(г)) + Л/(г, г (г), г' (г)), г € (0,1), Л € [0,1], (15)
г (0) = г (1), г' (0) = г' (1), (16)
где Рт,д(и) = (и — е1,х)т1 •... • (и — ед,д)т^ е^дД = Ле^ + (1 — Л)е*, е* - фиксированное число из выпуклой оболочки чисел е^ ] = 1, д. При каждом Л € [0,1] числа е^, д, ] = 1,д удовлетворяют условиям теоремы 1. Поэтому аналогично теореме 1 можно доказать, что для решений семейства задач (15), (16) имеет
М1 Л
но считать, что точка е* не лежит на мнимой оси комплексной плоскости С. Из априорной оценки следует, что семейство вполне непрерывных векторных полей
Фд(гьг2) := ^(г) — г^1) — ^ г2(зЦз, г2(г) — г2(1) —
^ гт(5)Рт,д(г2(5)гГ1 (в)) + Л/(в, г^з), ф))) ¿в), Л € [0,1],
не обращается в ноль при \\(г1,г2)\\^ > М1. Следовательно, векторные поля Ф1 и Ф0 гомотопны та любой сфере \\(г1, г2)\\я = г радиуса г > М1 простран-СТ В сЬ Е и равны их вращения на бесконечности:
7то(Ф0 = 7то(Фо). (17)
Ф1 Ф Фо
Фо(г1, г2) := ^ (г) — г1(1) — ^ г2(з)йз,
г
ъ(г) — г2(1) — Уо (г2(в) — с*г1(в)) ^ .
С помощью гомотопии Ф0 к конечномерному векторному полю докажем равенство
1о(Фо) = —ш. (18)
Гомотоппю построим следующей формулой
Ъх(г1,г2) := ^(г) — 21 (1) — ^^ +Х ^ г2(в)йв,
/ ^ г1\ \
Х2(г) — 22(1) — ^У0 +А^ ^ (ф) — с*г1(в)) йв), X е [0,1].
Покажем, что
Ъх(21,22)=0 4(21,22) е Е, X е [0, 1], п^^ш > М3, (19)
где М3 > 0 и не зависит от (21, 22) X. Если не так, то существуют последовательности (21 § к, 22 § к) е Е, Хк е [0,1], к = 1, 2,... такие, ч то Ф\к (21 § к, 22 § к) = 0 и гк := \\(21 § к ,22 § к) || е ^ о при к ^ о. Из равенства Ф\к 2 § к ,22 § к) = 0 следует
21 * (г) = (1 — Хк Кк (г), 2'к (г) = (1 — Хк ^ (г) — с* 21* (г)) , г е [0,1],
/ 22§ к (в)йв = 0, / (22§ к (в) — с* 21 § к (в)) йв = 0, Л Л
21 к (0) = 21 к (1), 22, к (0) = 22, к (1).
Рассмотрим функции ш1 § к (г) = г—121 § к (г), ш2к к (г) = г—122 § к (г), г е [0,1], к = 1, 2, . . .
ш[ к к (г) = (1 — Хк )ш2к к (г), гк—тш'2 к к (г) = (1 — х* )ш, к (г) — сш к (г)) , (20)
/ ш2 § к (в)йв = 0, / (ш2 § к (в) — с*ш1 § к (в)) йв = 0, (21)
Л Л
ш1 § к (0) = ш1§ к (1), ш2, к (0) = ш2,к (1), \\ш1 к\\с + \\ш2§ к\\с = 1. Без ограничения общности можно считать, что
\\ш1 § к — ш1о\\с ^ 0, Хк ^ Х0 при к ^ о. Если Х0 < 1, то для ш\_кк (г) имеем:
гк—тш'1к(г) = (1 — Xо)2-mJШШ-Jl-Xо^Ш1Шm + 0(1), г е [0,1],
г
1
1
1
1
У1,к (0) = у1,к (1), Ц (0) = Ц к (1), \\wik\\с + (1 — Лк) 1 к\\с = 1 В наших условиях (1 — Л0)е* = ¿2^/ при любом целом I. Далее, приходим к противоречию, рассуждая как при доказательстве теоремы 1.
Если Лк = 1 при некотором к, то из (20) и (21) вытекают тождества у1кк(г) = 0 У2кк(г) = 0, что противоречит равенству \\wik\\с + \\У2к\\с = 1-
Остается рассмотреть случай, когда Лк < 1 при всех к и Л0 = 1. В этом случае У1;0(г) = у1;0 (0) и
у2 к (г) = (У2к (г) — е*У1,0(0)) + 0(1), г € [0,1], (22)
J (в^в = 0, (0) = (1), \У1,0(0)\ + \\У2к\\с — 1, к — ж.
г (23)
где Гк
т(1 — Лк) \ Функции У2к(г) к = 1, 2,... можно считать периодически и гладко продолженными на И = (—ж, +ж). Проверим, что
\\У2, к — е*У1, 0 \\ с — 0, к — ж. (24)
В противном случае можно считать, что при некоторыхТк € [0,1], к = 1, 2,... и г0 = 0 имеет место предел \у2к(тк) — е*у1?0 — г0\ — 0 к — ж. Тогда для функций Ук(г) = У2к(тк + £кг) — е*у1$, г € И к = 1, 2,... в силу (22) имеем:
ук(г) = УкЩт + о(1), \Ук(г)\< 1, г € [0,1],
\ук (0) — г0\ — 0, к — ж.
Переходя к пределу, получаем ненулевое ограниченное решение У0(г) автономной системы у '(г) = у(г)) . Такое невозможно, пришли к противоречию. Следовательно, (24) верно.
Учитывая (23) и (24), выводим, с одной стороны, 0 = 0, а с другой стороны у1;0 = 0. Таким образом, (19)
доказано.
Из (19) вытекает равенство
7ж(Ф0) = 7ж(Ф1). (25)
Вполне непрерывное векторное поле Ф1 конечномерно, поэтому согласно теории векторных полей [3, с. 135] справедливо равенство
7ж(Ф1) = 7ж(*х). (26)
Здесь векторное поле
ШП):= (—П, —(П — еЧГ) , (С,П) € С2,
получается из векторного поля Ф1 заменой функций г1 (г) и г2(г) комплексными числами £ и п- Далее, имеем
7ж(*х) = 7 №), (27)
где 7- вращение векторного поля на любой сфере \£\ + \п\ = г ненулевого радиуса г четырехмерного пространств а С2. Век торное поле Е1 на сфере
/ -тт \
\£\ + \п\ = г посредством формулы ( —п, — (Лп — е*£) 1, Л € [0,1] гомотопи-
руется к векторному полю Г0(£,п) := \—П, —(—е*£) у Следовательно,
7 = 7 Ш = —т. (28)
Из (25) - (28) вытекает равенство (18), а из (17) и (18) следует (14). Отсюда, в силу принципа ненулевого вращения [3, с. 138], следует существование нуля векторного поля Ф.
Теорема 2 до каз ан а.
Благодарности. Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00032 (https://rscf.ru/project/23-21-00032/
Список литературы
[1] Плисе В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.
[2] Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.
[3] Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.
[4] Звягин В. Г., Корнев С. В. Метод направляющих функций в задаче о существовании периодических решений дифференциальных уравнений. Современная математика. Фундаментальные направления. 2015. Т. 58. С. 59-81.
[5] Перов А. И., Каверина В. К. Об одной задаче Владимира Ивановича Зубова. Дифференц. урав. 2019. Т. 55, № 2. С. 269-272.
[6] Мухамадиев Э. К теории периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, № 3. С. 510513.
[7] Мухамадиев Э., Наймов А. Н. Об априорной оценке и существовании периодических решений для одного класса систем нелинейных обыкно-твеннтьтх ьных уравнений. Изв. вузов. Матем. 2022. № 4. С. 37-48.
[8] Клоков Ю. А. Априорные оценки решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц. урав. 1979. Т. 15, № 10. С. 1766-1773.
[9] Наймов А. Н., Кобилзода М. М. О разрешимости периодической задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Изв. вузов. Матем. 2021. № 8. С. 56-65.
[10] Наймов А. Н., Хакимов Р. И. Оценка производных периодических решений одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник Таджикского национального университета. 2017. № 1/5. С. 12-16.
ON THE SOLVABILITY OF A PERIODIC PROBLEM FOR A TWO-DIMENSIONAL SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER
Mukhamadiev E., Naimov A. N.
Vologda State University emuhamadiev@rambler.ru naimovan@vogu35.ru
Abstract. In this paper we study the periodic problem with a period equal to 1 for a two-dimensional system of second-order ordinary differential equations, in which the main nonlinear part is generated by a polynomial in one complex variable. It is proven that if the convex hull of the roots of the generating polynomial does not contain numbers that are multiples of i2n, then there is an a priori estimate for solutions to the periodic problem. Under the conditions of an a priori estimate, using methods for calculating the mapping degree of vector fields, the solvability of the periodic problem for any perturbation from a given class is proven. The system of equations under consideration does not reduce to a similar system of first-order equations with the main positive homogeneous nonlinear part. For systems of first-order equations, the periodic problem was studied in the works of V.A. Pliss, M.A. Krasnosel'skii and their followers using methods of a priori estimation and calculation of the mapping degree of vector fields. It is known that an a priori estimate of solutions to boundary value problems for systems of nonlinear ordinary second order differential equations is fraught with difficulties associated with an estimate of the first-order derivative of the solution when the solution itself is bounded. In this paper, using the example of a periodic problem for the considered system of second-order equations, it is established that the a priori estimate is deducible if we combine methods for studying similar systems of first-order equations and methods for qualitative research of singularly perturbed systems of equations. The results obtained can be further generalized for multidimensional systems of second-order equations, applying the idea of the directing function method.
Keywords: periodic problem, a priori estimate, the mapping degree of vector field.
Acknowledgments. The research was supported by the grant Russian Science Foundation No. 23-21-00032 (https://rscf.ru/project/23-21-00032/).
