CC BY
11О разрешимости некоторых задач с нелинейными псевдодифференциальными операторами в главной части
К. О. Бесов (kbesov@mi.ras.ru)
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН 117966, Москва, ул. Губкина 8
Рассмотрены задачи на собственные функции для потенциальных и некоторых близких к ним типов операторов в пространствах Соболева-Слободецкого. Отличительной особенностью рассматриваемых операторов является присутствие нелокального члена — нелинейного псевдодифференциального оператора. Для ограниченной области с регулярной границей с помощью вариационного метода установлено существование по крайней мере одной (нетривиальной) собственной функции, тогда как в случае всего пространства Ж" собственных функций может не быть, что показано на конкретных примерах.
1. Введение
Вопросы существования собственных функций, т.е. разрешимость задачи
Fгi + ХСи = 0, (1)
для дифференциальных операторов с частными производными к настоящему времени достаточно полно исследованы. Для нелинейных операторов первые результаты в этом направлении появились более 30 лет назад (отметим работы Браудера [1], Бергера [2], Трудингера [3], Похожаева [4]). В этих работах был использован вариационный подход, который до сих пор является самым распространенным. Основное требование этого подхода — потенциальность операторов Р и С. Другими словами, должны существовать такие функционалы и 1д (потенциалы), для которых операторы Р и С будут производными в смысле Фреше. В указанных работах рассматривались потенциалы, определенные на пространстве Соболева следующего вида:
//(и)= [ /^ти{х),х)ёх, 19{и)= [ д{Ъгп-1и(х),х)(1х. (2)
«/Г2 «/
Здесь и далее О С К" — ограниченная область с достаточно регулярной границей, ш, п е 14,
т>М
Ъти = {Оаи : |а| < ш}, Ет = {£а : N <т}еГ
= дх<па^хап; М = "'^Д-1 — число различных мультииндексов а с |ск| < т, а / /(Нт, х) и д = д(Ет_1,х) — каратеодориевы функции, гладко зависящие от переменных
дх^1 ...дх?,п ' п-1
и 5ТО_1 соответственно, т.е. измеримые по х при каждом фиксированном значении (5т_х) и непрерывно дифференцируемые по Ет (5т_х) при почти всех ж е О. Исходя из (2) получаем общий вид операторов ^иб:
I I д
Ри(х) = £ Оа/а^ти(х),х), ¡а(Ет,х) = —ЦЕт,х), (3)
|а|<т
д
Си(х) = £ (_1 Г^ада(Т>т~1и(х),х), да(Ет^г,х) = — д(Ет^1,х) (4)
|а|<т—1
(так называемый обобщенный дивергентный вид). При дополнительных ограничениях на рост функций /а, да по переменной Ет (см, ниже предложение 2) операторы Р и С корректно определены на всем и являются производными Фреше функциона-
лов // и 1д. В этом случае будем говорить, что функционалы //, 1д и операторы F, С порождаются функциями / и д соответственно.
Для потенциальных операторов достаточным условием разрешимости задачи (1) будет разрешимость вариационной задачи с ограничением
1д{и) = а, 1}{и) т1п (5)
при условии, что {и: 1д(и) = а} П {и: Си = 0} = 0, Как известно (см., например, [13]), задача (5) разрешима при следующих предположениях:
(I) функционал // ограничен снизу;
(II) тш{//(м) : ||м|| = Д} —+оо при Д —+сж (коэрцитивность);
(III) функционал // секвенциально слабо полунепрерывен снизу, т.е. для любой последовательности {мп}^, слабо сходящейся к некоторому элементу щ, выполнено неравенство //(%) <
(¿у) множества уровня Ма = {и : 1д(и) = а} секвенциально слабо замкнуты, ае1, т.е. Ма содержит вместе с каждой слабо сходящейся последовательностью ее предел.
Следует отметить некоторый недостаток используемой терминологии: свойства слабой непрерывности и слабой замкнутости являются на самом деле более сильными, чем обычные свойства непрерывности и замкнутости соответственно.
Замечание 1. Нетрудно показать, что свойство (1) вытекает из (и) и (Ш). Мы включили его в список лишь для наглядности.
Дальнейшее развитие теории существования собственных функций происходило в нескольких направлениях, В частности, рассматривались операторы, имеющие вырождения или сингулярности по х (см, [8]) — в этом случае необходимо использовать пространства Соболева с соответствующим (вырожденным или сингулярным) весом. Другое направление исследований — поиск более общих ограничений на рост функций /а и да — привело к необходимости привлечения пространств Орлича-Соболева (см., например,
Данная работа является естественным продолжением указанных исследований. Основное отличие рассматриваемой ниже задачи от задачи (1) состоит в добавлении нелокального члена:
Фи(х) + Еи(х) + ХСи(х) = 0, х Е О, и\дп = 0,
(6)
где
Фф) = Д £ М, йл = —, (7)
\а\<т,
2д(а) / \ 1 - - . . ЛЪ
дК,М - ^^Ф) - °а<х + ^ ~ п <г в< 1
¿Л^ви{Х) — в — в , и < с/ < I,
а функции аа определены на О х К" и удовлетворяют следующим условиям:
0<С1<аа{х,Н)<С2<оо, |а| = т, (ж, Е" \ О) > 2\И\,
0 <аа(х,К)<С2, |а| < т, <1181(а:,К" \ О) > |Л|, (8)
аа(х, К) = 0, (ж, Е" \ О) < \1г\.
Задача (6) рассматривается в пространствах Слободецкого1 (О), « = гп + в, 1 < р <
о
оо. При этом граничное условие в (6) понимается в смысле принадлежности и Е Ш*(О), а основное уравнение — в смысле равенства элементов из сопряженного пространства И
Напомним определение пространств Соболева-Слободецкого,
При 5 = 0 имеем И^(О) = ЬР(С1). При « е N пространство И^(О) есть пространство Соболева, состоящее из функций и Е Ьр(С1), все обобщенные частные производные которых порядка не выше в также лежат в
\Щ\щ — — X! \\^>а"11\\РЬр(О)
£ \\Паи\\К(0, (9)
а <«
При 8 = к + в, к Е Ъ+, 0 < в < 1, И^(О) состоит из функций и Е с конечной
нормой, определяемой равенством
и\\р,в = \\иЩ,к + £ |[ИхАйм1ир(о) Ргмтп)- (Ю)
|а|=й
|се | —/V
Здесь % е С°°(Е2") — некоторая функция, удовлетворяющая условиям 0 < х < 1, Х(х,к) = 1 при (ж, Е" \ О) > 2|/г|, х(ж,Л) = 0 при (аг, Е" \ О) < |/г|,
Е") — пространство Ьр на Е" с мерой <¿»/1 = йк/Щ7
] ириъ ± раиъ 1 ии р
1 Термин "пространства Слободецкого" часто относят только к гильбертову случаю (О). Однако
мы придерживаемся другой позиции.
I -
Через И^(О) обозначим замыкание в множества гладких функций,
о
определенных на К", с носителем в О, Очевидно, И^(О) С И^(О),
Оператор Р в задаче (6) по-прежнему имеет вид (3), а оператор С порождается функцией д, которая зависит от Ет и х (ср. (4)):
I I В
Си(х) = £ М)ИОада^ти(х),х), да(Ет,х) = —д(Ет,х). (И)
|а| <т ^а
о
Действие оператора Ф на функцию и е И^(О) определяется формулой
(Ф и,у) = 1 I ]Г аа(х,к)\а[а1и(х)\р-2а[а1и(х) ■ уещ(п).
(12)
Некоторые свойства нелокальных операторов вида (7) были изучены автором в [11],
Содержание работы следующее, В разд. 2 мы рассмотрим простейший пример задачи (6)
-1Г Е ¡шп м + /о(ц, х) + А д0(щ х) = 0, иЕШГ+вт,
|а| =т ' '
(13)
где 0 < в < 1, и найдем условия на /о и д0, обеспечивающие существование собственных функций. Также мы приводим результат об отсутствии собственных функций для соответствующей задачи в Е",
Раздел 3 посвящен общей ситуации: мы сформулируем основной результат и докажем некоторые вспомогательные утверждения, В заключительном разделе мы в качестве приложения рассмотрим вопрос существования собственных функций для одного класса нелинейных операторов, не являющихся потенциальными,
2. Модельная задача
Здесь мы рассмотрим задачу (13), При этом мы ограничимся только случаем « = т + в <
Для проверки условий (1)—(IV) (как для задачи (13), так и для общего случая в разд. 3) нам понадобится следующая теорема вложения (см., например, [15]), Эта теорема справедлива для областей О с условием конуса, т.е. таких, что при некоторых ¿о > 0, ф\ О —К", вир0 \ф\ < оо, включение х + Ьф{х) + Ш С О выполнено при всех х е О и 0 < г < ¿0, где В = {х е К" I \х\ < 1}.
Теорема А. Пусть О С К" — ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса, 1 < р < д < оо, з, г е К+. Тогда вложение И^(О) С при в — | > г — ^
непрерывно, а при в — ^ > г — ^ компактно.
Если « — - > 0, то имеет место компактное вложение И^(О) в пространство С(О) равномерно непрерывный? на О функций с нормой ||м||с(п) = 8ир0
2 Если некоторый участок границы О локально разбивает О на две или более частей, то функции из С(О), вообще говоря, имеют разные пределы при стремлении к точкам этого участка границы из различных частей.
Если « — ^ = 0, то ехр{/г|м(-)|р'||м|| е ¿1(0) для любой функции и Е И^(О), где (л > 0 — некоторая константа, не зависящая от и, р' = р/(р — 1).
При « — ^ = 0 теорема А утверждает непрерывность вложения пространства И^ (О)
в пространство Орлича Ьш(0), построенное по ^-функции и>(£) = — 1 (по поводу определений см, [16]), Напомним, что ^-функцией называется непрерывная выпуклая на К+ функция ш, удовлетворяющая условиям
Нш
0,
Нш
г-оо
оо.
Если ш подчиняется Д2-условию (например, и>(£) = £[1п(£ + 1)]1/<р'), то пространство Орлича АДО) совпадает (как множество) с классом Орлича Мш(0), состоящим из измеримых функций и таких, что а>(|м(-)|) Е ¿1(0), В противном случае имеют место строгие включения ЕШ(С1) С Мш(0) С Ьш(0), где ЕШ(С1) — замыкание множества ограниченных функций в ЬШ{И). Норма в ЬШ{И) (по Люксембургу) определяется как М{к > 0 | /0а>(и(х)/к)йх < 1}.
Отметим, что для случая в — ^ = 0 при целых в утверждение теоремы А впервые было доказано Похожаевым [5], а также независимо Трудингером [3] (« = 1) и другими авторами. При произвольных положительных в оно вытекает из результатов работы [18],
Вернемся к задаче (13), Имеем Еи{х) = /о(и(х),х) и Си{х) = до(и(х),х). Прежде всего укажем условия на /0 и д0, при которых правая часть (13) будет определена для
о
всех и Е И7"!(О) (т.е. Fгi и Си должны быть элементами сопряженного пространства).
Поскольку 5 —| <0, то согласно теореме А Й7!^) С Ьд(П), д
Ч'
2п
2п п—2я
и
Ьд! (О) С ШЦП)
г — п+2з. Поэтому достаточно потребовать, чтобы Fгi, Си Е Ья> (О) для и Е Ьд(£1). В силу известных результатов для операторов Немыцкого [14] это условие эквивалентно следующему: найдется такая функция а Е Ьд/(0), что
ХЕП, с е К,
(14)
где с — некоторая константа и г = 4 = ,
Введем
= /*е/о{т,х)йт, //(и) = [ /(и(х),х)(1х, иЕЩ{П) «/о «/о
К
= / д0(т,х)(1т, } о
ш
/ д(и(х),
«/ Г2
х)йх, меР^КО)
Из предложения 2 (см, ниже) следует, что функционалы 1д корректно определены и дифференцируемы, причем /•' = V//, С = V 1;1. Также имеем Ф = V 1ф. где 1ф(и) = | (Фи, и) > 0 (см, (12) при р = 2 и = 0. \а\ < пг).
Условие (г\г) на 1д выполнено (в силу компактности вложения соответствующих пространств, см, теорему А), если д0 удовлетворяет (14) при некоторых а Е Ьч> и г < ^ = Условие (111) для 1ф очевидно выполнено в силу выпуклости. Поэтому
остается потребовать выполнения условий (Ш) для // и (и) для суммы 1ф +
£
£
и
Условие (111) для // имеет место, если, например, /о также удовлетворяет (14) при
< или если
п—2 s
ш,х)-м?,ш-ё)>о, е, е' е R,
Что же касается коэрцитивности, то достаточно потребовать следующее: если про-
о
странство не содержит отличных от нуля полиномов степени не выше т + 1, то
/ > 0, а если содержит, то
/(£, ж) —+оо при |£| —оо
равномерно по х £ О. Существование указанных полиномов зависит от показателя гладкости s и геометрии границы области О.
Таким образом получаем следующий результат.
Теорема 1. Пусть s — | < 0, q = q' = пусть выполнено (14) для /0
при г < q/q' и для д0 при г < q/q', и пусть до(£,х) Ф 0 при ( ф 0. Если выполнены условие (iii) для If и условие (ii) для 1ф + 1/+ц19 при некотором /t G 1, то существует хотя бы одна нетривиальная собственная функция задачи (13).
Доказательство. Случай ц = 0 разобран выше, а случай //. ф 0 сводится к нему заменой обозначений /0 := /о + figo, А := А — ¡л. □
Замечание 2. Если операторы F и G нечетные, то при небольших дополнительных предположениях задача (13) будет иметь бесконечно много различных (нормированных) собственных функций (см. [7]).
Отсутствие собственных функций
Здесь мы покажем, что задача (13) в R" (в отличие от ограниченной области О)
о
может и не иметь нетривиальных собственных функций и 6 W|(R") = W|(R"). Мы приведем два примера с четным и нечетным оператором G и для простоты положим аа ЕЕ 1, F ЕЕ 0.
Рассмотрим задачу
г Д Д Tj2a„,
МГ Е J -<и + А|и|« = 0, ие Wi(Rn)ñLq(Rn), (15)
|а|=гп ' '
где s = т+9,0 < 9 < 1, 1 < q < оо. Воспользуемся методом пробных функций, детально разработанным в [10]. Пусть щ е C¿°(R"), 0 < щ < 1, щ(х) = 1 при \х\ < 1. Введем функцию (р(х) = íPq{x/R) с параметром R £ R+. Умножим (15) на tp и проинтегрируем по частям:
(-1)го У [ и(х) [ A-hA"DlMx) d*hdx + А [ \u(x)\q(p(x)dx = 0. (16)
,, JК» JК» /l 2 Jк»
|a|=m 1 1
Если и — нетривиальная собственная функция задачи (15), то соответствующее собственное значение А отлично от нуля. Применяя неравенство Гёльдера, получаем
|А| [ \u\q(pdx < ( [ I u\q dx\ f f ( f -h.1 fofl——d*h\ dx |
JR» - V iK» / l JK» \ JK» |/l|2S y I
Выбирая параметр R достаточно большим, имеем
í \u\qdx<^-¡ ( [ ^ ^ d*h] dx =
Jк» |А| л» \ л» \h\w )
_ 2 Rn-2sq' f ( f A-tAhD^fo .У , ~ |ai * )
Ясно, что правая часть конечна и стремится к нулю при R —оо, если п^< 0. Таким образом, задача (15) не имеет нетривиальных собственных функций при д(п — 2в) < п. Более тонкий анализ соотношения (16) показывает, что собственных функций нет и при
п
п > 2s.
п—2 s '
Теперь рассмотрим задачу
i —
р Л Л Гр,ац
!Г Е / —тш—d,h + \\u\«-1u = o, uew°(mn), (и)
где s = т + в, 0 < в < 1, 0 < q < оо. Здесь мы покажем отсутствие собственных функций с помощью вариационных тождеств (см., например, [4]), однако этот метод требует, чтобы решения задачи (17) обладали дополнительными свойствами гладкости и суммируемости. Поэтому мы предположим сначала, что и Е C¿°(R"), а в конце уточним требования на и, которые гарантируют законность проводимых ниже рассуждений.
Умножим (17) на м и проинтегрируем:
Е í í d*hdx + \[ \u\q+1dx = 0. (18)
, , Jк» Jк» \ \h\e / Jк»
a=m \ i i /
Чтобы получить второе тождество, умножим (17) на X^jJ"- Имеем
V* í I 19-1 óu л 1 V* í d u л п í i 19+1 л > / \и\ч uxj——ах =-> / Xj—--ах =--/ ирт шс,
f-¡ JK» гАг; // — 1 f—Г JRn dxj q+l JR»
Для вычисления главной части воспользуемся преобразованием Фурье (через й обозначим Фурье-образ функции и):
Е Е í^1) / / -^fl-dJiXj— dx =
Jmn Jmn /i2
j=l |ct|=m 1 1 J
¿ J J 2 - e'M - е-'М ЭрГ
r^, , ík» ÍK» nr" ob
J=1 |a|=m
г г (A Dau\ 2
AXnkr] 4/1
a=m \ i i /
Q
Заметим, что внутренний интеграл по Ъ есть однородная функция от т.е. с > 0, Поэтому из (17) е учетом (18) получаем
щ Е I I (^ш^) + | Е(« + **)[ еа\с\2в\й\чс = о
, л» л» \ \пг I 2,, л»
х\=т \ I I / а\=т
д + 1 | т^ шп шп \ \Щв I 2
или
п п \ Г Г /Л.}11)аи\2 , , ,
-- + + « Е / / шв = 0.
2 д+1 )
Это тождество при д ф ^^ гарантирует отсутствие собственных функций задачи (17)
п—2,4
таких, что
ди
3. Общий случай
В этом разделе мы укажем наиболее общие условия на рост функций /а и выполнение которых влечет непрерывную дифференцируемость функционалов // и 19, а также справедливость свойства (г\г) из введения. Тогда, если еще потребовать выполнения свойств (11) и (ш) для функционала // + 1ф, мы сможем гарантировать разрешимость задачи (6), Отметим, что при этом нет необходимости накладывать условия на рост самих функций /, д (как это сделано, например, в [1, 4]), поскольку нужные свойства вытекают из оценок производных этих функций.
Всюду ниже будем считать, что О С К" — ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса; /а, да являются каратеодориевыми функциями, т.е. измеримы по х при каждом фиксированном Ет и непрерывны по Ет при п.в. х е О. Обозначим через ^ оператор Немыцкого, порожденный функцией /а,
и —{аи, $аи{х) = 1а(Т^ти(х),х), |ск| < т.
Предложение 1. Пусть 1 < р < оо, « е К+, функции /а при п.в. х е О являются частными производными функции f (см, (3)), причем операторы
порожденные функциями /а, |ск| < т, непрерывны.
о
Тогда функционал I$ корректно определен при всех и е И^(О) и непрерывно диф-
о
ференцируем по Фреше, причем его градиент совпадает с оператором Р: И^(О) — Щ(пу (см. (3)).
Доказательство. Мы можем, очевидно, считать, что /(0,х) = 0, Тогда при п.в. жбОпо формуле Лейбница-Ньютона
1-1
I 77 •'О
\а\<т
Так как /а — каратеодориевы функции, то же верно и в отношении /, Далее имеем
[ ¡{Ъти{х),х)йх < У. Г / 1а{^ти{х),х)Оаи{х)йх Уо | У о Уп
\а\<т
(И <
<
г1
Е / ||*а0)|1°
ТТ Уо (И'
\а\<т
Ы| о Ш < оо
и
при и е И^(О) в силу непрерывности £а, т.е. функционал 1/ корректно определен
на ш;(п).
Покажем дифференцируемость:
1${и + г>) — //(м) — Р{и)у =
Уп
¡фти(х) + Ртф), ж) - ¡Фти(х),х) - £ }а{Ъти{х),х)Оау{х)
|а|<т
¿Ж
|а|<т
Е [ ( 1а(Ъти(х)+тту(х),х)^/афти(х),х)
Уо Уп .
У^ / / [Га(м + £г>) — = о(||г>
Уо Уо
Оау(х) с1хМ
\а\<т
р
и и
при фиксированном и е И^(О) и у £ И^(О), ||г>|| 0, снова в силу непрерывности
□
Укажем теперь некоторые достаточные условия непрерывности операторов
Предложение 2. Пусть 1 < р < оо, з е К+, р' = р/(р — 1), функции /а при п.е. х е О являются частными производными функции f (см, (3)) и имеют место оценки
Ца(Ет,х)\ < Сг,а(Ето,х)+ С(Ето) Сгр/г>а(^), (19)
то<|/?|<то
г<9е т0 — максимальное целое число, строго меньшее з —
пр
1 1 - + - = 1,
' а Га
Ы < т.
п — (« — |ск|)р' г0
С: Км° —К — непрерывная функция, М0 = — число различных мультииндек-
сов а, |ск| < т0, Сг задает непрерывное отображение
ЬГ{И), 1 < г < оо
Сто(П) Ь(г) : =
Ьи{П), г = 1, а;(£) = £[1п(£ + 1)]1^; [Ьх(О), 0 < г < 1,
(20)
Сп/г2(0 ~ '
I
_ !
{число а > 0 произвольно).
1С1
Т'1 [ Т2
1 < Г1, г2 < оо,
1егн1е1 + 1г1/г/, 1<Г!<оо, г2 = 1, 1СГ,
1 < Гх < оо, 0 < г2 < 1,
Г1 = оо, 0 < г2 < оо, а > 0
и
и
Тогда функционал I$ корректно определен при всех и е И^(О) и непрерывно диф-
о
ференцируем по Фреше, причем его градиент совпадает с оператором Р: И^(О) — Щ(пу (см. (3)).
Дадим некоторые пояснения к формулировке. Если т0 < 0, то считаем Ето = 0. Для справедливости (20) достаточно, например, иметь
Сг{^то;Х) < С(^то)а(х),
где а е ЬГ{И) (или Ьш, или Ь\ при соответствующих значениях г), а С — непрерывная функция на Км°. Однако это условие не является необходимым для непрерывности отображения. Более общие достаточные условия непрерывности операторов Немыцкого на пространстве Ст° могут быть найдены в [12].
о о
По поводу пространства (О)*, сопряженного к (О), мы можем утверждать, что
о о
С И^Т^К"), так как по определению И^(О) С И^К") (определение и свойства пространств с отрицательной гладкостью можно найти, например, в [17]). Для областей, удовлетворяющих несколько более сильным условиям регулярности, чем условие
о
конуса, будет совпадать с И^Т^О) с точностью до эквивалентности норм.
Доказательство предложения 2. Из общих теорем об операторах Немыцкого в пространствах Ьр и пространствах Орлича (см. [16, 14]) и теоремы вложения А вытекает, что правая часть в (19) при условиях (20) и (21) порождает непрерывный оператор
о
из Шр (О) в (см. (20)). При этом если в (19) га = оо при некоторых ск, то нужно еще воспользоваться следующим наблюдением. Множество ограниченных функций плотно в
о о
И^(О) по определению. Тогда в силу непрерывности вложения имеем И^(О) С и>*{£) = еа^Р' - 1.
о
Если ип —щ в Шр(П) при п —оо, то ип —щ по мере, что, как известно [14], влечет сходимость {аип —п0 мере. При этом значения оператора, порожденного правой частью (19), в точках ип сходятся в Ь(г>), т.е. имеют равномерно абсолютно непрерывные Ь^-нормы3, Но тогда то же верно и для {аип, что вместе со сходимостью по мере дает сходимость {аип —в Ь(г/ у Теперь предложение 2 вытекает из предложения 1
и вложения Ь(г>а) С И^-1®1^)*. □
Замечание 3. Предложение 2 останется верным, если в его формулировке при « —
о
^ ^ заменить пространство И^(О) на И^О), а при « — ^ е — на замыкание в И^(О) множества ограниченных функций. Нам не известно, совпадает ли это замыкание со всем Идля областей с условием конуса, однако если выполнено более сильное условие типа "гладко меняющегося конуса", то совпадение имеет место.
Так же как и при рассмотрении модельной задачи, приходим к следующему результату.
3Говорят, что функции некоторого множества Ы С Ьг(О) имеют равномерно абсолютно непрерывные Ьг-нормы, если яириеи Цх^^Ньг = °(1) ПРИ \Щ 0> где Хе — характеристическая функция множества Е с £1, & \Е\ — мера множества Е.
Теорема 2. Пусть 1 < р < оо, з > 0, пусть выполнены условия (19) для функций /а и аналогичные условия для да с заменой СГ/}/г'а(£р) на СГ/3/Г1а (о(£р)), и пусть Си Ф 0 при и Ф 0. Если выполнены условие (111) для // и условие (и) для 1ф + // + при некотором (л Е Ш, то существует хотя бы одна нетривиальная собственная
о
функция и Е Изадачи (6). □
Замечание 4. Нетрудно выписать достаточные условия для справедливости (и) и (ш), аналогичные тем, которые были указаны в разд. 2 для модельной задачи. Например, (Ш) имеет место, если
Е [1а(^гп,х) - ¡а(Е'т,х)](Са - О > 0, е Км, X Е П.
\а\<т
4. Задачи с порождающими норму операторами в главной части
Согласно терминологии [6] оператор .4: .V —X* называется порождающим норму, если он удовлетворяет равенству
(Аи, и) = ||Ам||#||и||, и Е А".
где X, X* — пара сопряженных нормированных пространств, || • || — норма в .V. || • ||* —
норма в X*, порожденная нормой || • || в X, т.е. = 8ир{(у4и, г>)/||г>|| | v Е X, у Ф 0},
и, наконец, (Аи, и) — значение функционала Аи Е X* на элементе и Е X. При этом
естественно считать, что АО = 0,
В работе [11] был найден общий вид порождающего норму оператора А на пространен о
стве Аи = а(и)ФР!ви, где а — неотрицательный функционал на И^(^), а
ФР)8и= Е (-1)|а|яа(|яаиГ2яаи) +
|а|<т
р-2
. ... Ж—. I . __I , - . и^ьи и
+
(-1Г Е [ А-нПа1аа(х,к)
I I Шп \
\а\=т
АнОаи\ йЛ
где аа удовлетворяют соотношениям (8),
Применяя теорему 2, получаем следующий результат,
о
Теорема 3. Пусть А — порождающий норму оператор в пространстве И^(О), 1 < р < оо, в > 0, пусть выполнены условия (19) для да с заменой СГ/3/Г1а(£р) на СГ/3/Г1а(о(^1з)), и пусть Си ф 0 при и ф 0.
о
Тогда существует хотя бы одна нетривиальная собственная функция и Е И^(О) задачи
Аи + ХСи = 0. (22)
Доказательство. В силу теоремы 2 задача
Ф р.яи + А Си = 0
имеет хотя бы одну нетривиальную собственную функцию щ. Пусть Ао — соответствующее собственное значение. Тогда
Ащ + а{щ)Х{)Сщ = 0,
т.е. щ будет также собственной функцией задачи (22), но уже с другим собственным значением А = а(щ)\а. □
В заключение автор выражает благодарность С.И. Похожаеву за постановку задачи и полезное обсуждение.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00045, 01-01-06288), программы "Ведущие научные школы" (проект 00-15-96047) и ШТАБ (грант 00-136).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Browder F.E. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71, N 1. P. 176-183.
2. Berger M.S. Orlicz spaces and nonlinear elliptic eigenvalue problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 898-902.
3. Trudinger N.S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications //J. Math, and Mech. 1967. V. 17, N 5. P. 773-483.
4. Похожаев С.И. О собственных функциях квазилинейных эллиптических задач // Мат. сб. 1970. Т. 82, №2. С. 192-212.
5. Похожаев С.И. О теореме вложения Соболева в случае pi = п // Докл. науч.-техн. конф. МЭИ (сек. мат.). 1965. С. 158-170.
6. Дубинский Ю.А., Похожаев С.И. Об одном классе операторов и разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1967. Т. 72, №2. С. 226-236.
7. Amann Н. Lusternik-Schnirelman theory and non-linear eigenvalue problems // Math. Ann. 1972. V. 199. P. 55-72.
8. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Quasilinear elliptic equations with degenerations and singularities. Berlin; New York: W. de Gruyter, 1997.
9. Garcia-Huidobro, Le V.K., Manasevich R., Schmitt K. On principal eigenvalues for quasilinear elliptic differential operators: an Orlicz-Sobolev space setting // Nonlin. Diff. Eq. and Appl. 1999. V. 6, N 2. P. 207-225.
10. Mumuduepu Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. М.: Наука, 2001. (Тр. МИАН; Т. 234).
11. Бесов К. О. Порождающие норму псевдодифференциальные операторы в пространствах W*(&n) И Тр. МИАН. 2001. Т. 232. С. 58-71.
12. Бесов К. О. О непрерывности обобщенного оператора Немыцкого в пространствах дифференцируемых функций // Мат. зам. 2002. Т. 71, №2.
13. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.
14. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1956. (Современные проблемы математики).
15. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.
16. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1958. (Современные проблемы математики).
17. Muramatu Т. On Besov spaces and Sobolev spaces of generalized functions defined on general region // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. V. 9, N 2. P. 325-396.
18. Гольдман M.JI. О вложении обобщенных пространств Никольского-Бесова в пространства Лоренца // Тр. МИАН. 1985. Т. 172. С. 128-139.
