О разрешимости краевых задач для псевдогиперболических уравнений переменного направления времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕМЕННОГО НАПРАВЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ*)

С, В, Потапова

Введение

В работе А. И. Кожанова [1] методом регуляризации и методом продолжения по параметру доказано существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений Соболевского типа, а именно для псевдогиперболических уравнений, переменного направления с непрерывными коэффициентами. В настоящей работе применением тех же методов будет доказана регулярная разрешимость краевых задач для псевдогиперболических уравнений с переменным направлением времени и с разрывными коэффициентами. Отметим, что метод регуляризации и метод продолжения по параметру дают новый подход к исследованию краевых задач для нестационарных уравнений переменного направления времени.

1. Постановка задач

Пусть Q — прямоугольник ( —1 Л) х (0,Т), 0 < T < + ж, c(x,t) и f(x,t) — заданные при (x,t) G Q функции и а и /3 — заданные действительные числа. Обозначим

Q+ = {(x,t) : (x,t) G Q, x > 0}, Q- = {(x,t) : (x,t) G Q, x < 0},

*) Работа выполнена при финансовой поддержке фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. (мероприятие 1.3.1).

© 2011 Потапова С. В.

Qi = Q+ U Q-.

Краевая задача I. Найти функцию u(x, t), являющуюся на множестве Qi решением уравнения

sgn xutt — uxxt + c(x, t)u = f(x, t) и такую, что для нее выполняются граничные условия (1)

u—1, t) = u(i, t) = о, 0<t<T, (2)

u(x, 0) = ut( x, 0) = 0, 0 < x < 1, (3)

u(x,T) = ut( x,T) = 0, а также условия сопряжения — 1 < x < 0, (4)

u(+0,t) = au(—0 ,t), 0 < t < T, (5)

fiux{+0,t) = ux{ —) ,t), 0<t <T. (6)

Краевая задача II. Найти функцию u(x, t), являющуюся на множестве Qi решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются условия (2), (5), (6), а также условия

u(x,T) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < 1,

u(x, 0) = щ(x, T) = 0, —1 < x < 0.

(7)

(8)

Краевая задача III. Найти функцию u(x,t), являющуюся на множестве Q± решением уравнения (1) и такую, что для нее выполняются граничные условия (2), (5), (6), а также условия

u(x, 0) = u(x,T) = 0, —1 <x < 1. (9)

Пусть ci(x,t), C2(x,t), f(x,t) и ^(x,t) суть заданные функции, определенные при (x,t) G Q+. Рассмотрим еще три задачи, как будет показано ниже, связанные с краевыми задачами НИ.

Краевая задача IНайти функции u(x, t) и v(x, t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений

utt uxxt + C1 (x t)u — fl {x, C,

(10)

-vtt - vxxt + c2(x,t)v = h(x,t) (11)

и такие, что для них выполняются граничные условия

u(l, t) = 0, v(l, t) = 0, 0<t<T, (12)

u(x,0) = ut(x, 0) = О, 0 < x < 1, (13)

v(x, T) = vt(x, T) = 0, 0 < x < 1, (14)

а также условия сопряжения

u(Q,t) = av(Q,t), vx(0 ,t = —@ux( 0 ,t), 0<t<T. (15)

Краевая задача II'. Найти функции u(x, t) nv(x, t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений (10) и (11) соответственно и такие, что для них выполняются краевые условия (12), условия сопряжения (15), а также условия (7) и условия

v(x, 0) = vt(x, T) = 0, 0 < x < 1. (16)

Краевая задача III'. Найти функции u(x,t) и v(x,t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений (10) и (11) соответственно и такие, что для них выполняются граничные условия (12), условия сопряжения (15), а также условия

u(x, 0) = u(x, T) = О, 0 < x < 1, (17)

^x^ = v(x,T) = О, 0 < x < 1. (18)

Именно с помощью решений краевых задач ГНИ' будут построены решения краевых задач I—III.

2. Разрешимость краевой задачи I'

Пусть У+ — линейное пространство:

V0+ = {v(x,t) : v(x,t) е L2(Q+), vtt(x,t) e L2(Q+), vxxt e L2(Q+)}. Введем в этом пространстве норму

ы*=( ixdt

Q+

очевидно, что пространство V+ с такой нормой является банаховым

пространством.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

ав > 0;

(19)

Ci(x,t) = Cu(x,t) + Ci2(x,t), C2(x,t) = C2l(x,t) + C22 (X,t),

cu(x,t) e C1(g+), C2i(x,t) e C1(Q+),

C12(x,t) £ C(Q+), C22(x,t) £ C(Q*~),

Cn(x,T) >0, c2i(x,0) <0 при x e [0, 1], cllt(x,t) ^0, c2it(x,t)<0 при (x, t)GQ+,

T2 max c29(x, t) < 1, T2 max c29(x, t) < 1. (20)

Q+ " Q+ ~

Тогда краевая задача I' может иметь не более одного решения (u(x,t),v(x,t)) такого, что u(x,t) e V^, v {x,t) e V+.

Доказательство. Пусть (u(x,t),v(x,t)) — решение краевой задачи I' такое, что u(x,t) e V^, v(x,t) e V+- Уравнение (10) умножим на функцию ut(x,t), уравнение (11) — на функцию yvt(x,t), У = у-Заметим, что вследствие условия (19) число у положительно. Проинтегрируем полученные равенства по прямоугольнику Q+ и сложим. Используя представление функций Ci(x,t) и с2(x,t), условия (15), (20), элементарные неравенства

/ U dxdt < T2 / u2t dxdt, / u2t dxdt < T2 / u2xt dxdt,

Q+ Q+ Q+ Q+

а также неравенство Юнга, нетрудно получить оценку 1

j \_uX-td~ v2xt] dxdt+ j \ut (x,T)-\-vt (x,0)] dx < Cq j \/2+/f ] dxdt (21)

Q+ 0 Q+

с постоянной Co, определяемой числами а, T, а также функциями

Ci2(x,t) и c22(x,t). Из этой оценки и условий (12)—(14) следует, что если выполняется f\(x,t) = /2(x,t) = 0, то функции u{x,t) и v(x,t) будут тождественно нулевыми в Q+ функциями. Это и означает, что решение (u(x,t),v(x,t)) краевой задачи I' единственно.

Теорема доказана.

Перейдем к исследованию разрешимости краевой задачи I'.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (19) п (20), а также условия

<*(*,*)€ С1 (Q*), с* (ОД) = 0 npnt G [0,Т]; fi(x,t) е L2(Q+), fix(x,t) е L2(Q+), /ДО,t) = fi(l,t) = 0npnt е [0,T], *=1,2.

Тогда краевая задача I' имеет решение (u(x,t),v(x,t)) такое, что u(x, t) е V+> v (x,t) е V+.

Доказательство. Воспользуемся методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть £о — положительное число, величина которого будет уточнена ниже, £ — число из интервала (0, £о). Рассмотрим краевую задачу: найти функции u{x, t) и v{x, t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений

£uxxtt ""Ь utt uxxt + С1 (x, tu = fl ^, Д (Юе)

£Vxxtt - Vtt - VxxH- C2(x,t)v = h{x,t) (lie)

и такие, что для них выполняются условия (12)—(15). Установим ее разрешимость.

Пусть V — пространство

V = {v(x,t) : v{x,t) е Vj~, Vxtt{x,t) е L2(Q+), Vxxtt(x,t) e L2(Q+)}

с нормой

IMIki = ||v||y+ + \\vxtt\\L2{Q+) + \\vxxtt\\L2{Q+).

Покажем, что краевая задача (10е), (11е), (12)—(15) при фиксированном £ разрешима в пространстве V для любых функций /(x,t) и f2(x,t) таких, что fi(x,t) е L2(Q+), f2(x,t) е L2(Q+). Воспользуемся методом продолжения по параметру.

Пусть А — число из отрезка [0,1]. Рассмотрим семейство краевых задач: найти функции u(x,t) и v(x,t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений (10е), (11е) соответственно и такие, что для них выполняются условия (12)—(14), а также условия

u(0,t) = Aav(0,t), vx(0 ,t) = —Af3ux( 0 ,t), 0<t<T.

(15л)

Обозначим через Л множество тех чисел Л из отрезка [0,1], для которых краевая задача (10е), (11е), (12)-(14), (15а) при фиксированном е имеет решение, принадлежащее пространству V- Если окажется, что множество Л непусто, открыто и замкнуто, то оно, как известно [2], будет совпадать со всем отрезком [0,1].

Краевая задача (10е), (11е), (12)—(14), (15о) разрешима в пространстве V (см. [3]). Из этого следует, что число 0 принадлежит множеству Л и тем самым множество Л непусто.

Для доказательства открытости и замкнутости множества Л достаточно показать, что при фиксированном е для всевозможных решений u(x,t), v(x,t) краевой задачи (10е), (11е), (12)-(14), (15а) таких, что u(x,t) G V, v(x,t) G V, имеет место равномерная по Л априорная оценка

Покажем, что искомая оценка действительно имеет место.

Умножим уравнение (10е) та функцию ut(x,t), уравнение (11е) — на функцию дгДжД), 7 = д, далее проинтегрируем полученные равенства по прямоугольнику Q+ и сложим. Повторяя выкладки, с помощью которых была получена оценка (21), получаем, что для решений u(x,t), v(x,t) краевой задачи (10е), (11е), (12)-(14), (15а) выполняется неравенство

в котором число Ni определяется числами а, (3, Т, функциями ^(x,t) И C22(x,t).

Ha следующем шаге умножим уравнение (10е) на функцию -uxxtt, уравнение (11е) — на функцию ^vxxtt, 7 = д, далее проинтегрируем полученные равенства по прямоугольнику Q+ и сложим. Интегрируя по частям и используя условия (12)—(14), (15а), а также условие

llulln + IMki < Щ||fi||l2(q+) + II/2IIl2(q+))• (23)

Q

(24)

ci(0,t) = c2(0,t) = 0, получим равенство

1

/ [«4« + + <4. + viA + 5 / Т) л

о

1

J v‘xxt(x7 0) dx = — J fiuxxtt dxdt + 7 J f2vXxttdxdt

о Q+ Q+

— I ciuxuxtt dxdt — I ci xuuxtt dxdt

Q+

Q+

Q+

xjc^ ,b,lt + JJcм,, ,ШХ (25)

Q+

Q+

Первые два слагаемых правой части (25) оценим с помощью неравенства Юнга:

^ 2 / v'xxtt

Q+

J vxxtt dxdt + — J f2 dxdt + J /I dxdt. (26)

— J flUxxtt dxdt + Y J fvxxtt dxdt Q+ Q+

* ” 1_

2e J •'1 ' 2e

Q+ Q+ Q+

Оставшиеся слагаемые правой части (25) оценим вновь с помощью неравенства Юнга, далее появившиеся интегралы — с помощью элементарных интегральных неравенств, приведенных выше, и неравенства (24). Получим следующую оценку:

— J ciuxuxtt dxdt — J c\xuuxtt dxdt + Y J c2vxvxtt dxdt Q+ Q+ Q+

7 у c2xVVxtt dxdt Q+

< \ f u2xtt dxdt + | f v2xtt dxdt

Q+

Q+

N\fj [uL,,+ VL«} dxdtd j[fUfl] dxdt}. (27)

Q+ Q+

постоянная N в которой определяется числами а, в, T, функциями ci (x, t) и сг(x, t).

Пусть число таково, что при £ < £q выполняется неравенство 2Ne < 1- Тогда следствием равенства (25) и неравенств (26) и (27) будет априорная оценка решений краевой задачи (10е), (11е), (12)-(14),

(15л):

£ [ulxtt + vlxtt\ dxdt + / [u2xtt + v2xtt\ dxdt в N f f ] dxdt,

Q+ Q+ Q+ ^28)

постоянная N в которой определяется числами a, (3,T, £ и функциями Cl (x, t) И C2(x, t).

Из оценки (28) и неравенства (24) очевидным образом следует справедливость требуемой оценки (23).

Покажем, что из данной оценки вытекает открытость и замкнутость множества Л.

Определим функции w(x,t) и z(x,t):

w(x, t) = u{x, t) — Ха(1 — x)v(0, t), z(x, t) = v{x, t) + X^x — 1 )ux(0, Д Нетрудно заметить, что функции u(x,t) и v(x,t) однозначно вычисляются через функции w(x,t) и z(x,t):

. , . . A2ae(l—x) . . Aa(l — x) . .

u(x,t) = w(x,t) H- 9 wx(0,t) + ;z(0,t),

1 + Хав

1 + Хав

. , . . Хв(ж — 1) . ХавЫ — 1) . .

,(*,() = + 1 + Л,(>)Э »(M);

кроме того, очевидно, что выполняются равенства

w(0,t) = 0, z^O,t) = 0, t e(0T (29)

Уравнения (10e) и (11е) преобразуются в следующие уравнения для функций w(x,t) и z(x,t):

Х2ав( 1 — x)

— £Wxxtt + Wtt — Wxxt + ci (x, t)w = f (x, t) —

1 + Хав

wxtt(0, в)

Ха(1 — x) ,n — x)ci(x,t) , .

rz«(0,t)---------. , Л9 д------wx(0,t)

1 + Хав

1 + Хав

Ха(1 — x)ci (x, t)

1 + A 2a[3

z(0,t), (10')

ezxxtt zt

ЛаР{т — 1 )^{x,t)

- Ч О Z

1 + Л a.p

z(0,t). (11')

Уравнения (10(), (11() вместе с условиями (29), (12)—(14) (которые, очевидно, выполняются) дают краевую задачу для функций w(x,t) и z{x,t), эквивалентную вследствие взаимно однозначной связи между функциями u(x, t), v(x, t) и w(x, t), z(x, t) задаче (10e), (lle), (12)—(14), (15а). Для решений w(x,t), z(x,t) этой задачи сохранится оценка (23). Из этой оценки и непрерывности семейства задач (10Д, (1 1Д, (12)—(14), (29) по параметру Л следуют открытость и замкнутость множества Л (см. [7]); уточним лишь, что вначале устанавливаются открытость и замкнутость множества Л на семействе задач (10(), (9(), (12)—(14), (29), а из этого вытекают открытость и замкнутость множества Л для задач (10е), (11е), (12)-(14), (15а).

Итак, при фиксированном е из промежутка (0, £о) множество Л непусто, открыто и замкнуто и тем самым совпадает со всем отрезком [0,1]. Следовательно, краевая задача (10е), (11е), (12)—(15) при фиксированном е разрешима в пространстве V для любых функций f (x, t) и f (x,t) таких, что fi(x,t) £ L2(Q+)j h{x,t) £ L2(Q+)• Покажем, что для семейства решений {ue(x,t),ve(x,t)} этой задачи имеет место априорная оценка, равномерная по е и такая, что с ее помощью можно будет организовать процедуру предельного перехода.

Прежде всего заметим, что для семейства {ue(x,t),ve(x,t)} имеет место неравенство (24). Далее, в равенстве (25) в первых двух слагаемых правой части выполним интегрирование по частям по переменной x. Применяя неравенство Юнга, используя условие (22) и

неравенство (27), получаем следующее неравенство:

CI dxdt + /к“ + 1 dxdt

Q+ Q+

'sxxtt

£XXtt_

'£Xtt

£Xtt

< N4 je2 J [u£xxtt + "£xxtt] dxdt+ J [fi + fix + f + /2X dxdt

’ £xxtt

£xxtt.

(30)

в котором число N4 определяется числами а, в T и функциями с\ (x, t) и с2 (x, t). Уменьшая число ео настолько, чтобы при e < eg вместе с неравенством 2N2e < 1 выполнялось неравенство 2Nje < 1, получим, что следствием неравенств (24) и (30) будет априорная оценка

постоянная N в которой определяется лишь числами а, в T, а также функциями c±(x,t) и C2(x,t).

Из оценки (31) и свойства рефлексивности пространства L2 следует, что существуют последовательность {en} и функции u(x,t) и "(x,t) такие, что при n ^ ж выполняется en ^0, u£n(x,t) ^ u(x,t), "£n( x, t) ^ "(x,t) слабо в пространстве Wf(Q+), uEnxxt,{ x,t) ^ Uxxt{ x,t), "£nxxt (x,t) ^ "xxt (x,t) ; enU£nxxtt (x,t) ^0, en"£nxxttix,t) ^ 0 слабо в пространстве L2(Q+), u£n(0,t) ^ u(0,t), "£n(0,t) ^ "(0,t) слабо в пространстве W22([0,T]), unjQ,t) ^ ujQ,t), "£nx{0,t) ^ "xX$,t) слабо в пространстве W2([0,T]). Очевидно, что предельные функции u(x,t) и "(x,t) будут принадлежать пространству V),+ , для них будут выполняться уравнения (10) и (11), а также краевые условия (12)—(15). Другими словами, функции u(x,t) и "(x,t) дадут решение краевой задачи I' из требуемого класса.

Теорема доказана.

3. Разрешимость краевых задач II', IIP Теорема 3. Пусть выполняются условия

ав >0, (32)

ci (х, t) G С1 (С^~), c2{x,t) G C'1(Q+), ci(x,t)<0, c2(x,t) ^ 0,

T max |с1ж(ж, t)| < 1, T max |с2ж(ж, t)| < 1,

Q+ Q+

(33)

Ci(0,t) + C2(0,t) = 0 npnt e [0,T]. (34)

Тогда краевая задача II' может иметь не более одного решения {u(x,t),v(x,t)} такого, что u(x,t) e V^, v (x,t) e V+.

Доказательство. Пусть f\{x,t) = 0, /2{x,t) = On {u(x,t),v(x,t)} — решение краевой задачи II' с такими функциями f(x,t) и /2(x,t). Умножим уравнение (10) на функцию uxx(x,t), уравнение (11) — на функцию yvxx(x,t), 7 = д, проинтегрируем полученные равенства по прямоугольнику Q+ и сложим. Интегрируя по частям, используя граничные условия (7), (12) и (16), условия сопряжения (15), а также условия (32) и (33), получим, что выполняется неравенство

1

J [uXt + vXt] dxdt + j [uU x,Q) + v\x{ x,! T) ] dx о.

Q+ 0

Из этого неравенства и следуют тождества u(x,t) = 0, v(x,t) = 0 при {x,t) e Q+.

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть выполняются условия

ав <0,

Cl(x,t) = Cn(x,t) + Ci2(x,t), C2(x,t) = C2l(x,t) + C22(x,t), Cij(x,t) e C'(Q+), i, j = 1, 2, Cii(x,t)<0, c21(x,t)^0,

T2 max |с12(ж, t)| < 1, T2 max |c22(x,t)| < 1.

Q+

Q+

(35)

(36)

Тогда краевая задача II' может иметь не более одного решения {u(x,t),v(x,t)} такого, что u(x,t) e V^, v {x,t) e V+.

Доказательство. Умножим уравнение (10) на функцию -u,(x, t), уравнение (11) — на функцию 7v(x,t), 7 = — д, проинтегрируем полученные равенства по прямоугольнику Q+ и сложим. Интегрируя по частям, используя граничные условия (7), (12) и (16), условия сопряжения (15), а также условия (35) и (36), получаем, что при fi(x, t) = 0, f2(x,t) = 0 выполняется неравенство

Из этого неравенства и следует требуемое.

Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть выполняются условия (32) и (33), а также усло-

Тогда краевая задача II' имеет решение (u(x,t),v(x,t)) такое, что u(x, t) G V+> v (x,t) G V+.

Доказательство основано на методе регуляризации и методе продолжения по параметру. Так же, как при доказательстве теоремы 2, уравнения (10) и (11) регуляризуются уравнениями (10е), (11е); разрешимость регуляризованной задачи доказывается с помощью метода продолжения по параметру, а для применения метода продолжения по параметру и для предельного перехода по параметру регуляризации устанавливается наличие априорных оценок.

Теорема доказана.

Для следующих теорем определим пространства , Wx+, W^~:

i

ВИЯ

q(0, t) = 0 при t g[0,T], г = 1,2; fi(x,t) G L2(Q+), fix(x,t) G L2(Q+), г =1,2; fi(0,t) = fi(l,t) = 0 npnt G [0,T], г =1,2.

(37)

(38)

Wo+ = [w{x,t) : wxxtt G L2(Q+),wxxxt(x,t) G L2(Q+)}, W = {w(x,t) : w(x,t) G Wo+, wxxxxttix,t) G L2{Q+)},

Введем в этих пространствах нормы

llwllw+ = \\wxxtt\\L2(Q+) + \\wxxxt\\L2(Q+),

||w||wi = ||w||^+ + llwxxxxt\\L2(Q + ) ■

Теорема 6. Пусть выполняются условия (35) п

ci(x,t) < 0, c2(x,t) > 0, cit(x,0) > 0, c2tix,T) > 0, clu{x,t) > О,

c2tt(x,t) < 0, T4maxcfx(x,t) < 1, T4maxc|x(x,t) < 1; (39)

Q Q

c®(0 ,t = cix(0 ,t = О, /ДО ,t = fix(0 ,t = /Д1 ,tt = 0 при t e [0 ,T],

(40)

/Дx,t) e L2(Q+), /ixx{x,t) e L2(Q+), i = 1, 2. (41)

Тогда существует единственное решение краевой задачи II' из пространства W+.

Доказательство основано на методе регуляризации и методе продолжения по параметру. Пусть £о — положительное число, £ — число из интервала (0,£>). Рассмотрим краевую задачу: найти функции u(x,t) и v(x,t), являющиеся в прямоугольнике Q+ решениями уравнений

£uxxxxtt 4" utt uxxt + clu = fl, (10£)

£vxxxxtt vtt vxxH- c2V = f2 (11£)

и такие, что для них выполняются условия (7), (12), (15) и (16), а также Uxxi l,t) = «xx( l,t) = 0, 0<t<T, (42)

Uxx(0,t= aVxx(0 Д/ Vxxx(0,t = XUxxx{Q,t)■ (43)

Разрешимость в пространстве ^ регуляризованной задачи (10"), (11"), (7), (11), (14), (15), (42), (43) при фиксированном £ для любых функций /i(x,t) и /2(x,t) таких, что /\{x,t) e L2(Q+), /2(x,t) e L2(Q+), доказывается с помощью метода продолжения по параметру (основой

для применения метода продолжения по параметру являются априорные оценки). Далее, для семейства решений ue(x,t),ve(x,t) этой задачи устанавливается наличие априорной оценки, равномерной по е и такой, что с ее помощью можно организовать процедуру предельного перехода (см. теорему 2).

Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть выполняются условия (35) и с\ (х, t) G С1 (0^), c2(i,t) еС1^), ci(x,t)^0, с2(жД) > 0. (44)

Тогда краевая задача III' может иметь не более одного решения {u(x,t),v(x,t)} такого, что u(x,t) G V^, v (x,t) G V+.

Доказательство. Пусть f\{x,t) = 0, f2{x,t) = 0и {u(x,t),v(x,t)} — решение краевой задачи III' с такими функциями / (x, t) и f2(x,t). Умножим уравнение (10) на функцию -u(x,t), уравнение (11) — на функцию yv(x, t), 7 = — > 0, проинтегрируем полученные равенства

по прямоугольнику Q+ и сложим. Интегрируя по частям, используя граничные условия (12), (17) и (18), условия сопряжения (15), а также условия (35) и (44), получим, что выполняется неравенство

j № + v\ ] dxdt < 0.

Q+

Из этого неравенства следуют тождества u(x,t) =0, v(x,t) = 0 при {x,t) G Q+.

Теорема доказана.

Теорема 8. Пусть выполняются условия (35) и

сДx,t) <0, c2(x,t) >0, ciДx, 0) >0, c21(x,T) >0,

cixx(x,t) > 0, c2xx(x,t) < 0, T4 max cj(x,t) < 1, ^max^(x,t) < 1;

Q Q

(45)

ci(0,t) + c2(0,t) = 0, Qx(0,t) = Cix{l,t) = 0,

/Д0,t = fix(0,t) = /Дl,t) = 0 npnt G [0,T}; (46)

Мx,t) е L2(Q+), fixx(x,t) е L2(Q+), i=\,2. (47)

Тогда существует единственное решение краевой задачи Ш7 из пространства V0+-

Доказательство теоремы 8 основано на методе регуляризации и методе продолжения по параметру. Уравнения (10) и (11) регуляризу-ются уравнениями (10"), (11"). Регуляризованная задача (10"), (11"), (12), (15), (17), (18), (42), (43) разрешима в пространстве W\. Для применения метода продолжения по параметру и для предельного перехода по параметру регуляризации устанавливается наличие априорных оценок.

Теорема доказана.

4. Разрешимость краевых задач I—III

Как говорилось выше, разрешимость краевых задач I—III определяется разрешимостью краевых задач Г-ИГ.

Определим пространства V^ ш V):

VC = iv(x,t) : v(x,t) е L2(Q~), vtt{x,t) е L2(Q~), Vxxt(x,t) е L2(Q~)},

V0= {v{x,t) : v(x,t) е У, v(x,t) е V0 }.

Всюду ниже через ci (x, t) и / (x, t) будем обозначать сужения функций с(х, t) и f(x, t) на прямоугольник Q , через с2(х, t) и f2(x, t) при (х, t) G q+ — функции c(—x,t) и f(—x,t) соответственно.

Утверждение. Пусть u(x,t) и v(x,t) — решения уравнений (9) и (10) такие, что u,(x,t) е V+, v(x,t) е V+- Тогда функция u(x,t), определенная равенством

u{x, t)

u(x,t) при (x,t) е Q+,

v(-x,t) при (x,t) е Q-,

есть решение на множестве Qi уравнения (1), принадлежащее пространству Vo. Обратно, если функция u(x,t) — решение на множестве

Q уравнения (1) из пространства У, то функции u,(x,t) и v(x,t) такие, что u{x, t) = U{x, t), v{x, t) = U(-x, t) при (x, t) € Q+, суть решения уравнений (9) и (10) соответственно.

Это утверждение очевидно.

Данное утверждение и теоремы 1-8 позволяют легко получить теоремы существования и единственности решений краевых задач I—III.

Теорема 9. Пусть для функций c\(x,t) и ^(x,t), чисел аир выполняются условия (19) и (20). Тогда краевая задача I не может иметь в пространстве Уд более одного решения.

Теорема 10. Пусть для функций c\(x,t), x,t), fi(x,t) и ^(x,t),

чисел аир выполняются условия (19), (20) и (22). Тогда краевая задача I имеет решение U(x,t), принадлежащее пространству Уд.

Теорема 11. Пусть для функций щ (x, t), С2 (x, t), чисел аир выполняются условия (32)-(34). Тогда краевая задача II не может иметь в пространстве У) более одного решения.

Теорема 12. Пусть для функций щ (x, t), С2 (x, t), чисел аир выполняются условия (35) и (36). Тогда краевая задача II не может иметь в пространстве У) более одного решения.

Теорема 13. Пусть для функций c\{x,t), ^{x,t), fi(x,t) и ^(x,t), чисел аир выполняются условия (32), (33), (37) н (38). Тогда краевая задача II имеет решение U(x, t), принадлежащее пространству Уд.

Теорема 14. Пусть для функций щ (x,t), С2 {x,t), f (x,t) и f (x,t), чисел аир выполняются условия (35), (39), (40) н (41). Тогда краевая задача II имеет решение U(x, t), принадлежащее пространству Wg. Пространство Wg определяется аналогично Уд.

Теорема 15. Пусть для функций щ (x, t), q (x, t), чисел аир выполняются условия (35) и (44). Тогда краевая задача III не может иметь в пространстве Уд более одного решения.

Теорема 16. Пусть для функций ci(x,t), c2(x,t), f\(x,t) и f2(x,t), чисел аир выполняются условия (35), (45), (46) и (47). Тогда краевая задача III имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V).

5. Комментарии и дополнения

1. Условия (19) и (32) теорем 9—11 и 13 выполняются, если, например, в задачах I и II задаются естественные условия сопряжения

u(-0 = u(+0,t), ux(-0 = ux(+Q,t).

Условия (35) теорем 12, 14-16 выполняются для разрывных условий сопряжения

u(-0 = u(+0,t), ux(-0 = -ux(-0 ,t)

или

u(-0 ,t) = -u(+0,t), Ux(-0 = Ux(+0,t).

2. Уравнения (1), системы уравнений (10) и (11) вполне могут включать младшие члены, причем система (10), (11) может быть связанной, например, иметь вид

Utt - Uxxt + c1(x,t)u + bl{x,t)v = fl(x,t),

-vtt - Vxxt + c2(x,t)v + b2(x,t)u = f2(x,t).

Условия на младшие коэффициенты легко выписываются, полученные для связанной системы результаты будут иметь и самостоятельное значение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кожанов А. И. Существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений Соболевского типа переменного направления // Мат. заметки ЯГУ. 1997. Т. 4, вып. 2. С. 39-48.

2. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

3. Якубов С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения. Баку: Элм., 1985.

г. Якутск

26 января 2011 г.