О разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

© О. В. Скопинцева

Ключевые глот: дифференциальное уравнение с с импульсными воздействиями, краевая задача.

Рассматривается дифференциальное уравнение с импульсными воздействиями. проис ходящими в точках поросочония траекторией заданной линии. Получены условия разрешимости апериодической краевой задачи. Испо льзуется представление краевой задачи и виде операторного уравнения в пространс тве кусочно абсо.. потно непрерывных функций со специально построенной метрикой.

Пус ть К (—ос, ОС1) множество действительных чисел, С пространство непрерывных функций х: [а, 6] —*■ М с нормой ||.т||г гп;\х/е |„ ^ |.г(/) I /. х: ПрОСТрННСТВО ИЗМОрИМЫХ

существенно ограниченных функций (классов эквивалентности) у: [а, Ь\ —»К с нормой ||у||,

= \’1{йнир,е |п |>| |//(а‘)|; АС0с пространство абсолютно непрерывных функций аг: [«, 6] —»К. имеющих существенно ограниченную производную ;ге />х, с нормой ||л*||^_ |з;(°) + ||.т|| ь .

Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием широко применяются при описании процессов, в которых возможны мгновенные или очень быстрые изменения состояний. Основы теории таких уравнений изложены в [I]. В работах |2| [ I] используется несколько иной подход к исследованию дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями, осио-ваипый па сведении к операторному уравнению в соответствующем функциональном метрическом пространстве. Ранее аналогичные идеи применились в случае импульсных воздействий в фиксированные моменты времени |5].[6|. Для рассмотрения си туации, когда "удары по траектории'1 возможны в любые моменты времени, например, на заданной линии в расширенном фазовом пространстве, в [2] [1] предложена метрика для пространства функций, терпящих не более одного разрыва в любой точке, что позволило получить условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от начальных условий, правой части уравнения, величины импульсного воздействии и линии, па которой оно происходит. Здесь используется аналогичная идея, основанная на сведении к операторному уравнению в соответствующем функциональном метрическом пространстве, для исследования разрешимости краевых задан.

, Г О, если I е [«. т\.

Пусть Ут(/) < , , / ,1 Определим пространство

' ^ I, если I <е (т, о\.

$ {.г-* : [я, 6] —» И. хТ,.ч(Ь) ■чХт(}) | т € [я, 6), я € К}

ь

с метрикой р$(хт,.»| ^3*72.*2) ,/1а!т|.г.| (0 — ;1>7-2,»-2(01^- Теперь определим пространства 8С,

а

ЗАСгп функций х: |я, 6| —*-М, каждая из ко торых может иметь разрыв не более чем в одной любой точке тб[я,Ь), где непрерывна слева и имеет предел справа. Любой элемент т € <9(7 представим в виде х х I .тт,„, где х 6(7, хт.„ € .9. Соответственно, элемент х€ ЯЛСЖ можно задать в виде такой же; суммы двух функций, где $. е АС^. Метрики в этих пространствах определим равенствами

/К-С(х1.х2) = 1Ш1х(||.тх -х2\\с; Ма*, .*,,**.«)}, Р_«лож(*ЬХ2) = тпах{||а?1 -аг2||лс.^; ру(хТ1

Лемма. SC, SAC-x ‘полные метрические пространства.

1 [усть заданы удовлетворяющая условиям Каратеодорн функция /: |«. Ц х!->1, непрерывные функции g:R —*|я,Ь|. £:|«, Ь\—>Е и числа Л. И. С. Рассмотрим дифференпиальное уравнение

X /(1,3.0, <б|о,6|, (1)

испытывающее импульсные воздействия

Ах\,. y(.r)' х(1+0)-х(1) ?(1), (2)

с краеві.ім условием

Ат{а) | Ит(Ь) С. (3)

Мы получим услонни. при которых решение импульсной дифференциальной системы (1), (2) испытает не более одного "удара11. Тогда решением х будет функция, терпящая не более

одного разрыва первого рода в тонко т: т <у(.г(т)). абсолютно непрерывная на каждом из

промежутков |а.т]. (т.6|, имеющая существенно ограниченную производную хєЬ.х.. Таким образом, решение — элемент пространства SAC ж,, и для решения хєЯАСж имеет место представление

/.

х(0 = .т(а) І <р(т)Хт(1) I У *(»)</».

а

Следовательно, краеиую задачу (1)-(3) можно считать сис темой двух уравнений

х{1) /(і,х(а) + ї(т)хт(і) +J'x(s)ds), Іє\а,Ь\,

а

Ь

(А І Н)т(а) і В<р(т) I И f x(s)ds С, _

где г: т д(х(я) | j x(.s‘)ds),

а

относительно пары неизвестных (і\х(я)) Є х R. К исследованию разрешимости полученной системы теперь можно применить теорему Банаха о сжимающем отображении. Таким образом получаем следующее утверждение.

'Iі е о р е м а. Пусть существуют такие положительные числа М, Ф, что имеют место оценки |/(/, х)| < М, И0| <Ф при любых х € И и почти всех I е |а,6|. Пусть, далее, существуют такие константы L. К. N. что

ЦЬ-а)( \ I _^-Л/(Ф I Л?(Ь-«)))< 1,

В ^ I — — о)(1 + 1-А'Ді (Ф + — а)))

І-/Л/ I ЦЬ-а){ 1 I Т^Д7(Ф I N{b-(1)))

А + Н

и выполнены неравенства:

!/(*■ ;П) - f(f: :>‘2) | < Цх\ - Х'21 W Є |я,Ь\. V.T], х2 Є И:

\Ф'і) -<l(x2))\ < /\>, -х2\ V,Т|,хj Є Н-,

|^(fi) — +?(*a))| < *VI/:і -t21 V*i.*2 Є |я, b\.

Тогда задача (I) имеет единственное решение х Є SACX .

. Ill I КРЛТУРЛ

1. .4. .4. Салюйленко, 11. А. Лерестюк. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев: Вита шк, 1987.

2. Е. С. Жуковский. О. В. Скопин це.вп. О корректности лиффереттпиальттого уравнения, испытт.шаюп icro им-нульсные воздействия на чаданной линии. \ Вестник Тамбовского университета,. Серия: Естественные и технические науки. 2012. Т. 17. Л* 1. С. 45-48.

3. E.G. Жуковский. U.Д. Пеньков, О.В. Окопинцева. Об одном подходе к исследованию дмфферешшаль-тшх уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям л ттефикеиропатттп.те мометттьт премепи // Вестник Тамбовского университета, Серия: Кстестнснныс и технические науки. 2011. 'Г. 16. Выи. Я. С. 7.45-7.47.

■1. 0.1). (-Kommiiittm. Непрерывная зависимость от параметров решении дифференциальных уравнений с импульсным воздействием //' Вестник Тамбовского университета. Исследовательские проекты студентов. Приложение к журналу. Тамбов, 2011. С. 207-210.

Гк И.В. Лзбеж.е. В. 77. Максимов. Л.Ф. Рагматуллит. Вводстше в теорию фуикниоиалт.по-дифференциальных уравнений. М.: Паука. 1991. 280с.

6. /1.77. Булгаков. Е.В. Корчагина, О.В. Филиппова Фупкциопалт.тто-дифферопциальпт.те включения с им-пульспыми воздействиями. Т1асти 1-6 . Вестттик Тамбовского университета. Сория: Естественные и техпиче-ские науки. 2009. Т. 14. Л* 6-2. С. 1275-1318.

БЛАГОДАРНОСТИ: I ’абота выполпопа п рамках программы "Развитие деятельности студенческих объединении1'.

Поступила и редакцию 21 ноября 2013 г.

Skopiritseva O.V.

OX SOLVABILITY OF BOUXDARY-VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIOXS WITH IMPULSES

A differential equation willi impulses 1 lial place at. (lie points of intersection of (he trajectory bv (he given line is considered. The existence conditions lor an а-periodic boundary-value problem are derived. The presentation of a boundary-value problem in the from of an operator equation in the space of piecewise absolutely continuous function with a specific metric is used.

Key words: differential equation with impulses; boundary-value problem.

Окопинцева Олеся Викторовна. Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов. Российская Федерация, магистрант по паправлепито подготовки "прикладная математика" Института математики, финики и информатики, e-mail: 1.iich_89S’*iiiail.ru

Skopiritseva Olesya Viktorovna, Tambov State University named after O.K. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, master of Institute of Mai hematics, Physics and Computer Sciences in the Specialty «Applied Mat hematics», e-mail: I uch_89<jiniail .ru