CC BY
48
УДК 621.311.16 ББК 31.280.7
А С. СЕРЕБРЯКОВ, В.Л. ОСОКИН
О РАЗЛОЖЕНИИ ПОЛНОЙ МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА НА МГНОВЕННУЮ АКТИВНУЮ И МГНОВЕННУЮ РЕАКТИВНУЮ МОЩНОСТИ
Ключевые слова: полная мгновенная мощность, активная мгновенная мощность, реактивная мгновенная мощность, активно-индуктивная нагрузка, интегральные значения мощностей, ваттметры активной и реактивной мощности, компенсации реактивной мощности.
Рассмотрены особенности систем электроснабжения переменного тока, в которых для оценки их энергоэффективности необходимо учитывать не только активную, но реактивную мощность, для передачи которой по проводам затрачивается определенная часть активной мощности. Отмечено, что дефицит реактивной мощности приводит к снижению уровня напряжения в электрической сети и может нарушить статическую устойчивость электрической системы. Следовательно, источники питания должны вырабатывать не только активную, но и реактивную мощность для питания приемников, имеющих реактивные элементы. Поскольку передача реактивной мощности по сети экономически невыгодна из-за потерь в линии электропередачи, то более целесообразным является выработка ее непосредственно в местах потребления с помощью местных источников реактивной мощности - установок емкостной компенсации реактивной мощности. В этом случае обменная часть электромагнитной энергии становится равной нулю. Она не потребляется от источника энергии и не возвращается к нему. Емкостной и индуктивный элементы обмениваются реактивной энергией между собой. По сети в этом случае передается только энергия, которая преобразуется в полезную работу. С введением в систему управления энергетическими процессами цифровых технологий необходимо обосновать основные теоретические положения для оптимального управления режимами энергопотребления и компенсации реактивной мощности. В статье приводятся теоретические положенияЛ которые могут лечь в основу автоматизированных цифровых систем управления энергопотреблением. Приведены выражения и волновые диаграммы для мгновенных значений активной, реактивной и полной мощностей в цепи синусоидального тока с активно-индуктивной нагрузкой, состоящей из последовательного или параллельного соединения резистора и индуктивной катушки. Показано, как изменятся волновые диаграммы мгновенных значений мощностей в случае компенсации реактивной мощности с помощью поперечной емкостной компенсации, т.е. включением параллельно нагрузке конденсатора. В обоих случаях реактивная мощность на входе цепи становится равной нулю, а полная мощность - равной активной мощности. Однако кривые мгновенных значений активных мощностей в указанных случаях имеют разные фазы, что необходимо учитывать при разработке и эксплуатации цифровых систем автоматического регулирования устройств компенсации реактивной мощности.
Основной задачей электрических сетей является электроснабжение потребителей, т.е. обеспечение их электроэнергией. Поэтому основными важными для практики величинами, характеризующими эффективность работы электрических систем, являются мощность и энергия. По значению мощности оценивают работу системы электроснабжения в каждом отдельном рабочем режиме, а по значению потребленной энергии - работу системы за длитель-
ный период времени. Особенностью систем электроснабжения переменного тока является то обстоятельство, что для оценки их энергоэффективности необходимо учитывать не только активную, но и так называемую реактивную мощность. Активной мощностью Р в электрической цепи при периодических процессах называют среднее значение полной мгновенной мощности 5 за один период, или среднее значение мгновенной активной мощности р за один период. Разность полной мгновенной мощности 5 и активной мгновенной мощностир является мгновенной реактивной мощностью д.
Задачи исследования. Дефицит реактивной мощности приводит к снижению уровня напряжения в электрической сети и в ряде случаев может нарушить статическую устойчивость электрической системы. С введением в систему управления энергетическими процессами цифровых технологий необходимо обосновать основные теоретические положения для оптимального управления режимами энергопотребления. Ниже приводятся положения, которые могут лечь в основу разработки автоматизированных систем управления энергопотреблением.
Методы исследования. Полную мгновенную мощность в цепях синусоидального тока можно представить как сумму мгновенной активной мощности р и мгновенной реактивной мощности д [3, 10]. Например, для цепи, содержащей последовательно соединенные сосредоточенные элементы, обладающие активным сопротивлением Я, индуктивностью Ь и емкостью С, по которой протекает синусоидальный ток г, результирующее напряжение, приложенное к цепи:
и = иЯ + иь + иС = Яг + Ь—— + иС . (1)
М
Выражение для полной мгновенной мощности 5, подводимой к цепи, будет выглядеть как
. п2 Т.—г иС 5 = и ■ г = и„1 + ит1 + ил = Яг + Ьг--+и „С- -
= Яг 2 + & &
2
22
Ьг
2
— +—
Ж
Си'С
(2)
= я— 2 + & (у ) + (У ) = Ря + Чь + Чс , т М
. „ ЖиС т —— где г = С- - ток в цепи; иь = ь — и иС - напряжения на индуктивной катушке и конденсаторе, соответственно; рЯ = иЯг - мгновенная активная мощность в активном сопротивлении; чь = иьг и дС = иСг - мгновенные реактивные мощности в индуктивной катушке и конденсаторе, соответственно.
В выражениях (1) и (2) ток, напряжения и мощности являются функциями времени Мгновенная активная мощность, которая потребляется в активном сопротивлении Я, выраженная по закону Джоуля - Ленца как рЯ = Я ■ — , всегда положительная. Она характеризует необратимый процесс поглощения энергии.
Мгновенные реактивные мощности qL в индуктивной катушке и в конденсаторе, в которых электроэнергия запасается и затем снова возвращается к источнику энергии, будут положительными в том случае, когда энергия в них запасается, т.е. возрастает, и отрицательными, когда энергия убывает. Таким образом, мгновенные реактивные мощности qL в индуктивной катушке и дс определяют скорость поступления энергии в магнитное поле катушки и электрическое поле конденсатора и скорость возвращения энергии из этих полей.
На рис. 1 в качестве примера приведены расчетные формулы в интегрированном пакете Mathcad для расчета рассмотренных выше мгновенных мощностей в цепи синусоидального тока с активно-индуктивной нагрузкой, состоящей из последовательного соединения резистора Я = 4 Ом и индуктивной катушки с индуктивным сопротивлением X = 3 Ом [11]. Полное сопротивление цепи + X = 5 Ом. Действующее значение питающего напряжения и = 100 В, частота / = 50 Гц. Начальная фаза напряжения принята равной нулю. Фазовый угол нагрузки равен ф = 36,87° = 0,644 рад. На этот угол синусоида тока 1 отстает от синусоиды напряжения и. Там же приведены формулы для расчета интегральных значений мощностей Р, Q, 5.
Мгновенные мощности прн активно индуктнвной нагрузке
U := 100 u(t) := u-/2siii! lOOirt! R := 4 X := 3 Z := -JR2 + X2 = 5
i R " ip := acos| —
cosiip) = 0.8
U
siii(ip) = 0.6 I:= —= 20
Л
t:= 0,0.0001. 0.02 111(t) := 10072-sill ЮОтгГ--|
2 ;
i(t) := и-л/2-smilOOTrt-ip) I := 1
AM
0.02
i(tr dt = 20
,41.02
p(t) := R-ift)1 *(t) :=u(r)-i(r)
q(t) := * <lt
L-i(t)
(jl(t) := ul(t)-i(t)
P :=
Q:=
Q:=
P := 1
ОЛ2' 1
0.02 1
0.02 J
0.02 J
i4).02
p (t) (lt= 1.6 X 10
s(t) (It = 1.6 X 10
0
4)02 0
r0.02
q(t) (lt= 6.182 x 10
-13
4l(t) (lt= 1.2 X 10
0
й := ТТ1 =2x10 Р := Ясо5(1р) = 1.6 х 10 (} := = 1.2 х 10
Рис. 1. Формулы для расчета мгновенных и интегральных значений мощностей в цепи с последовательно включенной активно-индуктивной нагрузкой
Для расчета интегрального значения активной мощности P = 1600 Вт взят принцип действия ваттметра индукционной системы, усредняющего мощность за один период питающего напряжения. Из рис. 1 видно, что средняя за период мощность, т.е. активная мощность, на зажимах всей цепи равна средней за период мощности на участке с активным сопротивлением R.
Для расчета интегрального значения реактивной мощности Q = 1200 вар, так же, как и в реальных ваттметрах реактивной мощности, взято напряжение u1, сдвинутое в сторону отставания от питающего напряжения u на угол 90°
и В й й
1 — 1. В этом случае мгновенное значение измеряемой реактивной мощности
обозначено на рис. 1 как q1. Интегральное значение реактивной мощности без сдвига напряжения (интегрирование мгновенной реактивной мощности q за один период), как видно из рис. 1, равно нулю (Q = 6,182 • 10-13 ~ 0) [2, 8].
Научная новизна. На рис. 2 приведены зависимости мгновенных значений мощности, полученные по формулам, приведенным на рис. 1. Заметим, что такие же значения мгновенных мощностей можно получить при последовательном соединении элементов R и L, разложив питающее напряжение на
две составляющие - активную ua = и 42 • cos9 • sin(100rc • t - ф), совпадающую
по фазе с током i в цепи, и реактивную составляющую
up = U-v/2 • sin ф- sin(100rc-1 + 90°-ф), опережающую по фазе ток i на 90°
(рис. 3). Первая составляющая - это мгновенное значение напряжения на резисторе, а вторая - на индуктивной катушке. Ток же i в обоих элементах при последовательном их включении одинаковый. Его амплитуда составляет
20/2 = 28,2 А. В этом случае две составляющие напряжения дают две составляющие p и q мгновенной мощности s. Активная мощность p и ток i одновременно проходят через нуль. Отметим, что интегральное значение активной мощности Р получается одинаковым как при интегрировании мгновенной активной мощности p(t), так и при интегрировании полной мгновенной мощности s(t), что подтверждает рис. 1.
Как видно из рис. 2, кривые мгновенной активной мощности p и мгновенной полной мощности s являются несинусоидальными функциями времени. Они обе содержат синусоидальные составляющие двойной частоты и постоянные составляющие. Амплитуды синусоидальных составляющих этих кривых различны, а постоянные составляющие одинаковые и равны P. Поэтому их интегральные значения равны их постоянным составляющим - активной мощности P. Значение активной мощности P можно определить из
s + s ■ 3600 - 400
кривых s и p следующим образом: P = -=-= 1600 Вт,
2 2
p 3200 или P = =-= 1600 Вт .
В
300 250 200 150 100 50 0
-50 -100 -150
Рис. 2. Зависимости мгновенных значений мощности от времени, полученные по формулам, приведенным на рис. 1
Кривая мгновенной реактивной мощности q представляет собой синусоидальную величину. Поэтому ее интегральное значение за период равно нулю. Амплитуда колебаний мгновенной реактивной мощности q равна значению реактивной мощности Q. Пульсирующий характер мгновенных мощностей дает полную энергетическую характеристику процесса передачи электрической энергии.
На рис. 2 начало синусоиды реактивной мощности q совпадает с началом синусоиды тока, или концом ее полупериода. Из представленных на рис. 2 кривых мгновенных значений мощностей реактивную мощность Q можно определить через амплитудное значение мгновенной реактивной мощности qmax или через максимальное smax и минимальное (отрицательное) smin значения полной мощности s следующим образом:
Q = qmax = |q mini = 1200 Бар
или Q = V*max '(_smm ) = V3600 • 400 = 1200 вар.
В этом нетрудно убедиться, произведя следующие преобразования:
S2 — P2 ^ Q2 — I smax ^ Smin I s s _
S _ P + Q _ I -2- I _ ^max ' Smin _
s2 + 2s • s + s2
max_max min_min _ s ф s _
a max min
s2 — 2s • s + s2 I s — s
max max min min max min
s — s
Отсюда следует, что S = -—.
2
С учетом предложенных новых соотношений можно выразить коэффи-
P s + s ■
циент мощности как cos ф = — = -^^ и коэффициент реактивной мощ-
S smax — smm
___ „4. Q 2 V smax ' (—smm)
ности как tg ф = — = —1-.
P s + s
max mm
Если же двухполюсник с активно-индуктивной нагрузкой представлен не как последовательное, а как параллельное соединение элементов, то в этом случае следует брать две составляющие тока и одно общее напряжение (рис. 3). Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением и определяется по формуле
ia (t) = /V2 • cosfo) • sin(100re-1). (3)
Рис. 3. Векторная диаграмма напряжений и токов при активно-индуктивной нагрузке для последовательного и параллельного соединения элементов
%
Реактивная составляющая тока отстает от напряжения на угол — и определяется по формуле
Iр (1) = /л/2 • 8ш(ф) • 81п[^100% • X - (4)
Мгновенные значения мощностей в этом случае определяются по формулам
р (X) = и (X) • 1а (X), (5)
q(t) = иЦ) • 1р (0, (6)
s(t) = и(Х) • 1(Х). (7)
Две составляющие р и q полной мощности 5 = р + q определяются двумя составляющими общего тока I. Мгновенные значения мощностей, рассчитанные по формулам (5)-(7), приведены на рис. 4 [3]. Здесь же показаны кривые напряжения и и тока I. Начало синусоиды реактивной мощности q совпадает с максимальным и минимальным значениями питающего напряжения и.
В
зоо
250 200 150 100 50 0
-50 -100 -150
Рис. 4. Зависимости мгновенных значений мощности от времени, полученные по формулам (5)-(7) при параллельном соединении элементов
Сравнивая осциллограммы на рис. 2 и рис. 4, можно заключить, что мгновенные значения полной мощности s, поступающей на вход схемы, в обоих случаях одинаковые, так как одинаковы амплитудные значения и начальные фазы напряжения u и тока i на входе в обеих схемах. Однако кривые мгновенных значений активной мощности p и реактивной мощности q в обоих рассматриваемых случаях имеют разные фазы, хотя амплитудные значения их в обоих случаях одинаковы: Q = 1200 вар, Р = 1600 Вт. Но при этом постоянная составляющая реактивной мощности q, так же, как и ранее, равна нулю, а постоянная составляющая активной мощности p равна половине максимального значения этой мощности, или амплитудному значению ее синусной составляющей.
На прохождение реактивного тока по проводам затрачивается определенная часть активной мощности, так как потери мощности пропорциональны квадрату полного тока. Кроме того, реактивный ток вызывает дополнительное снижение напряжения в точке потребления энергии. Таким образом, с одной стороны, реактивный ток и реактивная мощность являются нежелательными величинами. С другой стороны, они помимо нашего желания необходимы для нормальной работы большинства потребителей электрической энергии, имеющих в своем составе реактивные (индуктивные) элементы. Следовательно, источники питания должны вырабатывать не только активную, но и реактивную мощность для питания приемников, имеющих реактивные элементы.
Передача реактивной мощности по сети экономически невыгодна из-за потерь в линии электропередачи. Более целесообразным является выработка ее непосредственно в местах потребления с помощью местных источников реактивной мощности, например, конденсаторных установок. Такие установки называют установками поперечной емкостной компенсации реактивной мощности. В этом случае полупериоды запасания и возврата электромагнитной энергии индуктивностью и емкостью сдвинуты на 180°, т.е. они находятся в проти-вофазе. Поэтому при наличии рядом двух различных потребителей - индук-
тивности и емкости с равными реактивными сопротивлениями - суммарная обменная часть электромагнитной энергии становится равной нулю. Она не потребляется от источника энергии и не возвращается к нему. Емкостный и индуктивный элементы обмениваются реактивной энергией между собой. По сети в этом случае передается только энергия, которая преобразуется в полезную работу. Такие мероприятия называют компенсацией реактивной мощности.
Рассмотрим, как изменятся волновые диаграммы мгновенных значений мощностей в случае компенсации реактивной мощности с помощью установки поперечной емкостной компенсации, т.е. включением параллельно нагрузке конденсатора [1, 7, 13]. В обоих случаях интегральное значение реактивной мощности Q становится равным нулю, а полная мощность становится равной Р. На рис. 5 приведены кривые мгновенных мощностей при компенсации реактивной мощности при последовательном включении активного сопротивления и катушки индуктивности. Напряжение и общий ток / совпадают по фазе. Амплитуда питающего тока уменьшилась до значения 2^/2со8ф = 22,6 А. Пунктирными линиями на рис. 5 показаны мощности р и q до компенсации. Потребляемая из сети реактивная мощность Q становится равной нулю, а полная мощность 5 становится равной активной мощности р.
Рис. 5. Зависимости мгновенных значений мощностей от времени при компенсации реактивной мощности последовательно соединенных активного сопротивления и катушки индуктивности
На рис. 6 приведены кривые мгновенных мощностей при компенсации реактивной мощности и параллельном включении активного сопротивления и катушки индуктивности. Индуктивная мощность q в схеме до компенсации на рис. 6 показана пунктирной линией.
В обоих случаях кривые мгновенных значений полных мощностей 5 совпадают. Обе схемы потребляют только активную мощность, т.е. Р = Б и Q = 0. При этом активные мощности, потребляемые активным сопротивлением Я, на рис. 5 и 6 имеют разные фазы.
Сумма мгновенных реактивных мощностей равна нулю. В обоих случаях для компенсации реактивной мощности емкость компенсирующего конденсатора теоретически подбирают так, чтобы ток в нем был бы равен реактивной составляющей в соответствии с формулой (4):
C =-1-, (8)
2я - f -U sin ф
где f - частота питающего напряжения; U, I - действующие значения питающего напряжения и тока нагрузки, соответственно; ф - фазовый параметр нагрузки.
На практике коэффициент мощности повышают не до значения единицы, а до значения 0,95, вводя некоторую расстройку резонанса, для того, чтобы избежать нежелательных перенапряжений при коммутационных процессах.
в
зов 250 200 150 100 50 О
-50 -100
о 0.005 0.01 0.015 С
Рис. 6. Зависимости мгновенных значений мощностей от времени при компенсации реактивной мощности параллельно соединенных активного сопротивления и катушки индуктивности
Выводы. Мгновенная мощность в цепях синусоидального тока определяется в общем случае несинусоидальной функцией времени, содержащей две составляющие - синусоидальную функцию и постоянную составляющую. Именно две величины - амплитуда синусоидальной составляющей и значение постоянной составляющей - дают полную характеристику протекающего в электрической цепи процесса с энергетической точки зрения.
Приведенные соотношения могут быть полезны при разработке и эксплуатации цифровых систем автоматического регулирования устройств компенсации реактивной мощности1, а также при разработке информационно-
1 ГОСТ Р 52425- 2005 (МЭК 62053-23: 2003). Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Частные требования. Часть 23. Статические счетчики реактивной энергии. М.: Стандартинформ, 2006; ГОСТ Р 52320-2005 (МЭК 6205211:2003). Аппаратура для измерения электрической энергии переменного тока. Общие требования. Испытания и условия испытаний. Часть 11. Счетчики электрической энергии. М.: Стандартинформ, 2005.; ГОСТ Р 54149-2010. Национальный стандарт Российской Федерации. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. М.: Стандартинформ, 2010.
измерительной техники и при оптимизации управления качеством электрической энергии и оценки электромагнитной совместимости электротехнических средств [4-6, 9, 12, 14].
Литература
1. Железко Ю.С. Компенсация реактивной мощности и повышение качества электроэнергии. М.: Энергоатомиздат, 1985. 216 с.
2. Железко Ю.С. Потери электроэнергии. Реактивная мощность. Качество электроэнергии. М.: ЭНАС, 2009. 459 с.
3. Зевеке Г.В. Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. 3-е изд., испр. М.; Л.: Энергия, 1965. 753 с.
4. ЗиновьевГ.С. Силовая электроника. 5-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2012. 667 с.
5. Кармашев В.С. Электромагнитная совместимость технических средств. Справочник. М.: НОРТ, 2001. 401 с.
6. Карташев И.И., Зуев Н.Н. Качество электроэнергии в системах электроснабжения. Способы его контроля и обеспечения. М.: Изд-во МЭИ, 2000. 120 с.
7. Ковалев И.Н. Выбор компенсирующих устройств при проектировании электрических сетей. М.: Энергоатомиздат, 1990. 200 с.
8. МельниковН.А. Реактивная мощность в электрических сетях. М.: Энергия, 1975. 128 с.
9. Повышение эффективности использования электроэнергии в системах электротехнологии / Б.П. Борисов, Г.Я. Вагин, А.Б. Лоскутов, Ф.К. Шидловский и др. Киев: Наукова думка, 1990. 252 с.
10. Серебряков А.С., Осокин В.Л. Моделирование в пакете Mathcad переходных процессов в активно-емкостных цепях при переменном питающем напряжении и дискретном изменении параметров элементов // Вестник ВИЭСХ. 2016. № 4(25). С. 13-21.
11. Серебряков А.С., Шумейко В.В. Mathcad и решение задач электротехники. М.: Маршрут, 2005. 240 с.
12. Управление качества электроэнергии / И.И. Карташев, В.Н. Тульский, Р.Г. Шамонов и др.; под ред. Ю.В. Шарова. М.: Изд-во МЭИ, 2006. 320 с.
13. Электрические системы. Т. 2. Электрические сети / под ред. В.А. Веникова. М.: Высш. шк., 1971. 440 с.
14. Электромагнитная совместимость в электроэнергетике и электротехнике / А.Ф. Дьяков, Б.К. Максимов, Р.К. Борисов и др.; под ред. А.Ф. Дьякова. М.: Энергоатомиздат, 2003. 768 с.
СЕРЕБРЯКОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры электрификации и автоматизации, Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Россия, Княгинино (a.sereb@mail.ru).
ОСОКИН ВЛАДИМИР ЛЕОНИДОВИЧ - кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой электрификации и автоматизации, Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Россия, Княгинино (osokinvl@mail.ru).
Ä. SEREBRYAKOV, V. OSOKIN EXPANSION OF FULL INSTANTANEOUS POWER IN CIRCUIT OF SINUSOIDAL CURRENT ON INSTANTANEOUS ACTIVE AND INSTANTANEOUS REACTIVE POWER Key words: full instantaneous power, instantaneous active power, instantaneous reactive power, active-inductive load, integral value of the capacity, power meter of active and reactive power, compensation of reactive power.
The features of AC power supply systems are considered, it is necessary to take into account not only active, but reactive power to assess their energy efficiency for the transmission of which a certain part of the active power is spent on the wires. It is noted that the lack of reactive power leads to a decrease in the voltage level in the electrical network and can disrupt the static stability of the electrical system. Consequently, the power sources must produce not only active, but also reactive power for power receivers with reactive elements.
Since the transmission of reactive power over the network is economically unprofitable due to losses in the power line, it is more expedient to develop it directly in the places of consumption with the help of local sources of reactive power - installations for capacitive compensation of reactive power. In this case, the exchange part of the electromagnetic energy becomes zero. It is not consumed from or returned to the energy source. Capacitive and inductive elements exchange reactive energy with each other. In this case, only energy is transmitted through the network, which is converted into useful work. With the introduction of digital technologies into the energy process control system, it is necessary to substantiate the basic theoretical provisions for optimal control of energy consumption modes and reactive power compensation. The article presents the theoretical provisions that can form the basis of automated digital energy management systems. Expressions and wave diagrams for instantaneous values of active, reactive and full powers in a circuit of a sinusoidal current with an active-inductive load consisting of a series or parallel connection of a resistor and an inductive coil are given. It is shown how the wave diagrams of instantaneous power values will change in the case of reactive power compensation by means of transverse capacitive compensation, i.e. by switching the capacitor in parallel with the load. In both cases, the reactive power at the input of the circuit becomes zero, and the total power becomes equal to the active power. However, the curves of the instantaneous values of the active power in these cases have different phases, which must be taken into account in the development and operation of digital systems of automatic control of reactive power compensation devices.
References
1. Zhelezko Yu.S. Kompensatsiya reaktivnoy moshchnosti i povysheniye kachestva elektro-energii [Reactive power compensation and power quality improvement]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1985, 216 p.
2. Zhelezko Yu.S. Poteri elektroenergii. Reaktivnaya moshchnost. Kachestvo elektroenergii [Power loss. Reactive power. Power quality]. Moscow, ENAS Publ., 2009, 459 p.
3. Zeveke G.V. Ionkin P.A.. Netushil A.V.. Strakhov S.V. Osnovy teorii tsepey. 3-e izd., ispr. [Basics of circuit theory. 3rd ed.]. Moscow, Leningrad, Energiya Publ., 1965, 753 p.
4. Zinovyev G.S. Silovaya elektronika. 5-e izd.. ispr. i dop. [Power electronics. 5th ed.]. Moscow, Yurayt Publ., 2012, 667 p.
5. Karmashev V.S. Elektromagnitnaya sovmestimost tekhnicheskikh sredstv. Spravochnik [Electromagnetic compatibility of technical means]. Moscow, NORT Publ., 2001, 401 p.
6. Kartashev I.I.. Zuyev N.N. Kachestvo elektroenergii v sistemakh elektrosnabzheniya. Spo-soby ego kontrolya i obespecheniya [Power quality in power supply systems. Methods of its control and maintenance]. Moscow, MEI Publ., 2000, 120 p.
7. Kovalev I.N. Vybor kompensiruyushchikh ustroystvpriproyektirovanii elektricheskikh se-tey [Selection of compensating devices in the design of electrical networks]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1990, 200 p.
8. Melnikov N.A. Reaktivnaya moshchnost v elektricheskikh setyakh [Reactive power in electrical networks]. Moscow, Energiya Publ., 1975, 128 p.
9. Borisov B.P., Vagin G.Ya., Loskutov A.B., Shidlovskii F.K. et al. Povysheniye effektivnosti ispolzovaniya elektroenergii v sistemakh elektrotekhnologii [Increase of efficiency of use of the electric power in systems of electrotechnology]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1990, 252 p.
10. Serebryakov A.S., Osokin V.L. Modelirovaniye v pakete Mathcadperekhodnykh protsessov v aktivno-emkostnykh tsepyakh pri peremennom pitayushchem napryazhenii i diskretnom izmenenii
parametrov elementov [Modeling in the Mathcad transient processes in active-inductive circuits with AC supply voltage and the discrete change in parameters of elements]. Vestnik VIESKh, 2016, no. 4(25), pp. 13-21.
11. Serebryakov A.S., Shumeyko V.V. Mathcad i resheniye zadach elektrotekhniki [Mathcad and the solution of problems in electrical engineering]. Moscow, Marshrut Publ., 2005, 240 p.
12. Sharov Yu.V., ed., Kartashev I.I., Tulskiy V.N., Shamonov R.G. et al. Upravleniye kachestva elektroenergii [Power quality management]. Moscow, MEI Publ., 2006, 320 p.
13. Venikov V.A., ed. Elektricheskiye sistemy. T. 2. Elektricheskiye seti [Electrical system. Vol. 2. Electric network]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1971, 440 p.
14. Diakov A.F., ed., Diakov A.F., Maksimov B.K., Borisov R.K. et al. Elektromagnitnaya sovmestimost v elektroenergetike i elektrotekhnike [Electromagnetic compatibility in power and electrical engineering]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 2003, 768 p.
SEREBRYAKOV ALEKSANDR - Doctor of Technical Sciences, Professor of Electrification and Automatization Department, Nizhny Novgorod State Engineering and Economic University, Russia, Knyaginino (a.sereb@mail.ru).
OSOKIN VLADIMIR - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Head of Electrification and Automatization Department, Nizhny Novgorod State Engineering and Economic University, Russia, Knyaginino (osokinvl@mail.ru).
Формат цитирования: Серебряков А. С., Осокин В.Л. О разложении полной мгновенной мощности в цепи синусоидального тока на мгновенную активную и мгновенную реактивную мощности // Вестник Чувашского университета. - 2019. - № 1. - С. 134-145.
