CC BY
52
О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ SIN X В ВЕТВЯЩИЕСЯ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
П. К. Корнеев, И. А. Журавлёва, Е. В. Непретимова
EXPANSION OF SIN X FUNCTION TO BRANCH CHAIN FRACTIONS
Korneev P. K., Zhuravliova I. A., Nepretimova E. V.
Basing on the idea of argument change as the convergence acceleration method of fractionally rational expressions, which are the ap-proximants of approximately calculated trigonometric functions, the expansions of the sin x function to branching chain fractions are constructed in the article.
Key words: approximation, fractional rational expansions, chain fractions, convergence.
В статье на основе идеи уменьшения интервала изменения аргумента как метода ускорения сходимости дробно-рациональных выражений, являющихся аппроксимантами приближенно вычисляемых тригонометрических функций, строятся разложения функции sin x в ветвящиеся цепные дроби.
Ключевые слова: аппроксимация, дробно-рациональные разложения, цепные дроби, сходимость.
В работе [1] развивается идея уменьшения интервала изменения аргумента как метод ускорения сходимости полиномиальных и дробно-рациональных приближений, являющихся аппроксимантами приближенно вычисляемых элементарных функций, в результате чего первоначальный отрезок аргумента сжимается в 2k(k = 1, 2,...) раз, что и влечет ускорение сходимости последовательностей соответствующих аппроксимант вычисляемых функций.
В данной статье мы используем эту идею для получения различных разложений функции y = sin x в ветвящиеся цепные дроби [2], которые мы затем будем применять для вычисления приближенных значений указанной функции.
1. Сущность предлагаемого метода ускорения сходимости в следующем. Исследуемая тригонометрическая функция fx), заданная на отрезке [0, а], на предмет вычисления ее значений преобразуется в последовательность тождественно ей равных функций на [0, а]:
sin x ° j i tg 21 jii tg x и j i tg 4} -
jk-ii tg
x
x
k-1
° jk Itg ^ 0
УДК 519.651
В результате этих преобразований отрезок [0, а] уменьшается в 2к(к = 1, 2,...) раз,
ы
ШП. К. Корнеев, И. А. Журавлёва, Е. В. Непретимова О разложении функции sin x в ветвящиеся цепные дроби
т. е. переходит в отрезок
о, a 2 k
что и вле-
чет ускорение сходимости счета.
Функции tg — (к = 1, 2, ...) будем
представлять их разложениями в цепные дроби, что и позволит разложить функцию в ветвящиеся цепные дроби.
Приведем разложение функции у = tg X в цепную дробь [3]:
x x 2 x 2
tgx = T "ЗГ Т-
x
1 - 3 - 5 - • - 2k +1 - •
k = 1,2, • , Ixl < —. (1)
2
За исходный отрезок исследования возьмем отрезок
о —
1. Пусть k = 1.
Рассмотрим известное преобразование x
2tg
sin x = -
2
„ 9 л-
1 + g 2 и представим его в виде 2
sin x =-
x1 tg 2+^ tg 2
(2)
(3)
Если вместо функции y = tg подставить ее разложение в цепную дробь, то получим разложение функции y = sin x в ветвящуюся цепную дробь с двумя ветвями:
• 2 -.(4)
sin x =
+
1
1-
3-
5-
1-
3-
5-
где z = — . 2
3. Пусть k = 2 .
Теперь возьмем известное равенство x
2tg
2
tgx =
2 x
1 - g 2
и представим его в виде -2
tgx =
tg
x__1_'
2 t x tg 2
(5)
(6)
Если воспользоваться равенством (6), то для равенства (3) получим следующее представление:
• 2 - (7)
sin x =
-2
+ -
1
-2
x - 1
tg 4 x x
tg 4 tg 4 - 7T tg 4
Если вместо функции tg 4 в представлении (7) подставить ее разложение в цепную дробь (1), то получим разложение sin x в ветвящуюся цепную дробь с четырьмя ветвями:
' 2 (8)
sin x =
u +
где u =
1
-2
1-
2 2 zz 3--1--
5-
3-
5-
х
г = —. 4
4. Пусть к = 3 .
Если воспользоваться равенством (6), то для равенства (7) получим следующее представление:
u
1
z
2
z
z
2
z
2
z
z
2
2
z
z
2
z
х
sin X =
(9)
u +
- 2
где u =
-2
X 1
tg
-2
8 x x 1
tg 8 tg 8-TT
tg
8
x
Если вместо функции tg — в представ-
8
лении (9) подставить ее разложение в цепную дробь, то получим разложение sin x в ветвящуюся цепную дробь с восемью ветвями:
2
sin X =
- 2 1
-1+ ^
U - u -1
u -
u
(10)
где
-2
u=
, (11)
1-
z
z
2 2 zz 3--1--
5 -
3-
z
5-
x
z = —. 8
5. Полагая k = 4,5,... можно продолжить процесс «размножения» ветвей представления (10), в результате чего получим сколь угодно много разложений функции sin x в ветвящиеся цепные дроби.
Отметим, что все эти разложения обладают тем свойством, что каждое из них первоначальный отрезок изменения аргумента [0, a] сжимает в 2k (k=1,2,...) раз, то есть первоначальный отрезок изменения аргумен-
та отображается на отрезок
о, 4 2 k
; при этом
каждое удвоение числа ветвей увеличивает число производимых операций всего на 3.
6. Для вычисления значений функции sin x воспользуемся разложениями (9), (10).
X
Функцию tg г (г = —) будем приближать 8
подходящими дробями цепной дроби
2 2 2 г г г г
1 - 3 - 5 - • - 2к +1 - • Оценки норм соответствующих погрешностей приближений будем получать по результатам проводимого вычислительного эксперимента.
6.1. Возьмем приближения
2 2 z z z . , ч tg z — — = d3(z), 1 - 3 - 5 3
(12)
z z2 z2 z2
tgz — — — = d4(z)(13)
1 - 3 - 5 - 7 4WV/
и найдем приближенные значения функции sin x при помощи представлений (12), (13) на сетке
Wh ={x = 40 ■ i, i = 0,1,2, • ,1о} .(14)
Вычисления организуем в среде MathCAD. В результате эксперимента получим следующие сеточные функции: Sdi, Si, rdt, а именно: Sdi - таблица приближенных значений sin x, полученная при помощи приближения подходящей дробью; Si - таблица точных значений sin x; rdi - таблица соответствующих абсолютных погрешностей.
Результаты вычислений представлены в таблицах 1, 2.
2
1
u
1
1
z
ы
tí
П. К. Корнеев, И. А. Журавлёва, Е. В. Непретимова О разложении функции sin x в ветвящиеся цепные дроби
Таблица 1
xi Sd3 3i Si rd3i
0 0 0 0
0.07853981634 0.078459095728 0.078459095728 0
0.157079632679 0.15643446504 0.15643446504 5.662137425588-10-15
0.235619449019 0.233445363856 0.233445363856 9.492406860545-10-14
0.314159265359 0.309016994374 0.309016994375 6.954992137764-10-13
0.392699081699 0.382683432362 0.382683432365 3.221423128252-10-12
0.471238898038 0.453990499728 0.45399049974 1.113042991108-10-11
0.549778714378 0.522498564685 0.522498564716 3.132860637578-10-11
0.628318530718 0.587785252217 0.587785252292 7.567979576351-10-11
0.706858347058 0.649448048168 0.64944804833 1.621900391768-10-10
0.785398163397 0.707106780871 0.707106781187 3.152408334373-10-10
Таблица 2
xi Sd4i Si rd4 i
0 0 0 0
0.078539816339745 0.078459095727845 0.078459095727845 0
0.157079632679490 0.156434465040231 0.156434465040231 0
0.235619449019234 0.233445263855905 0.233445363855905 0
0.314159265358979 0.309016994374947 0.309016994374947 0
0.392699081698724 0.38268343236509 0.38268343236509 0
0.471238898038469 0.453990499739546 0.453990499739547 0
0.549778714378214 0.522498564715946 0.522498564715949 2.33146835171283-10-15
0.628318530717959 0.587785252292466 0.587785252292473 7.43849426498855-10-15
0.706858347057703 0.649448048330164 0.649448048330184 2.00950367457153-10-14
0.785398163397448 0.707106781186499 0.707106781186547 4.81836792687318-10-14
На основе результатов этих таблиц заключаем, что
•>-10
sin x - Sd3 (x)
0;-
4
sin x - Sd4 (x)
0;p 4
< 3.2-10" < 5 -10-14.
6.2. Пусть к = 10.
Тогда разложение функции sin x в ветвящуюся цепную дробь будет иметь 210
(1024) ветвей, а отрезок изменения аргумен-
10
та уменьшится в 2 раз.
x
Функцию tg z(z =_) приблизим
1024
первой и второй подходящими дробями разложения (1), то есть
tg z » - = d1(z),
(15)
tgz
= d2(z).
(16)
1 -
Результаты вычислений представлены в таблицах 3, 4.
На основе результатов таблиц 3, 4 заключаем, что
1-7
sin x - Sd1( x)
0; P
4
sin x - Sd2 (x)
0;P 4
< 1.1 -10" < 4.3-10-15
z
2
z
C
C
C
C
Таблица 3
Sd Si
0 0 0 0
0.0785398 0.0784591 0.0784591 1.5353509-10-10
0.1570796 0.1564345 0.1564345 1.2169098-10-9
0.2356194 0.2334454 0.2334454 4.0433724-10-9
0.3141592 0.309017 0.309017 9.3742116-10-9
0.3926990 0.3826834 0.382684 1.7785816-10-8
0.4712388 0.4539905 0.4539905 2.9640332-10-8
0.5497787 0.5224985 0.5224986 4.504103-10-8
0.6283185 0.5877852 0.5877853 6.3793436-10-8
0.7068583 0.649448 0.649448 8.5373172-10-8
0.7853981 0.7071067 0.7071068 1.0890137-10-/
Таблица 4
Sd Si
0 0 0 0
0.078539816339745 0.078459095727845 0.078459095727845 0
0.15707963267949 0.156434465040231 0.156434465040231 0
0.235619449019234 0.233445263855905 0.233445363855905 0
0.314159265358979 0.309016994374947 0.309016994374947 0
0.392699081698724 0.38268343236509 0.38268343236509 0
0.471238898038469 0.453990499739546 0.453990499739547 0
0.549778714378214 0.522498564715948 0.522498564715949 0
0.628318530717959 0.587785252292472 0.587785252292473 1.33226762955019-10-15
0.706858347057703 0.649448048330181 0.649448048330184 2.66453525910038-10-15
0.785398163397448 0.707106781186543 0.707106781186547 4.21884749357559-10-15
ЛИТЕРАТУРА
1. Корнеев П. К., Гончарова Е. Н., Журавлёва И. А., Непретимова Е. В. Ускорение сходимости степенных и дробно-рациональных разложений, аппроксимирующих тригонометрические и гиперболические функции // Вестник Ставропольского государственного университета. Выпуск 63[4]. - 2009. -С. 27-44.
2. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. - М.: Наука, 1983.
3. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. - М.: Гостехиздат, 1956.
Об авторах
Корнеев Петр Кириллович, ГОУ ВПО «Ставропольский государственный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. 1сасИсг@рт. stavsu.ru
Журавлева Ирина Александровна, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет» кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы, приближение функций с помощью цепных дробей. 1сасИсг@рт. stavsu.ru
Непретимова Елена Владимировна, ГОУ ВПО
«Ставропольский государственный университет» кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики. Сфера научных интересов - численные методы. 1сасИсг@рт. stavsu.ru
