О разделении уравнений некоторых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О РАЗДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ

© М.В. Мулюков

Ключевые слова: триангуляризация матриц; устойчивость; функционально-

дифференциальные уравнения.

Получен новый критерий одновременной триангуляризации пучка 2 х 2 -матриц. Он использован для изучения некоторых систем двух уравнений.

Многие модели, используемые эмпирическими науками, приводят к линейным системам дифференциальных, разностных, интегральных, дифференциально-разностных или функционально-дифференциальных уравнений. Поиск преобразования, позволяющего разделить уравнения системы, представляет интерес уже для систем двух уравнения. В данной работе найден эффективный признак разделимости уравнений в таких системах и указано искомое преобразование.

Рассмотрим дополненную необходимыми начальными или граничными условиями систему и0х + Акиих = 0, где Ли — пучок комплексных 2 х 2-матриц. х = (х1,х2)т•

Операторы ии: X У линейны, где Х,У —линейные пространства. хі,х2 Є X• их = = (иихі,иих2)т• Символом обозначим собственные числа матрицы Ли• Нижний индекс собственных чисел соответствует порядку, в котором они стоят на диагоналях соответствующих матриц. I —единичная матрица. 1(А) —жорданова клетка, соответствующая собственному числу А кратности 2. Введем обозначение для матричной операции [Л, В] = = (іві(АВ — ВЛ) Уравнения системы разделяются, если существует базис, в котором все матрицы принимают верхнюю треугольную форму.

Теорема1. Следующие утверждения эквивалентны

(1) Оуществует невырожденное преобразование базиса, приводящее все матрицы Ли (к = 1, N) к верхнему треугольному виду;

(2) Для любых комплексных чисел ги имеет место тождество ёе! (^1г0 + к=1 Ли=

= (го + + Т=1 А® ги);

(3) Уі,з Є 1,N: [Лі,Aj]=0•

Доказательство. Эквивалентность (2) ^ (3) доказывается непосредственно, для чего удобно воспользоваться равносильностью выражений [Лі, Л^]=0 и det(Ai + Л^) =

=(а11)+а12’)(а21)+а22>).

Импликация (1) ^ (2) вытекает из того, что значение [Л, В], как легко видеть, не зависит от выбора базиса.

Докажем импликацию (3) ^ (1)- Без ограничения общности будем считать, что найдется матрица Ли = А(и)1- Приведем все N матриц к тому базису, в котором Ли имеет жорданову форму. Если Ли = 1 (А(и)), то из (3) следует, что все матрицы принимают в этом базисе верхнюю треугольную форму [1]. В той же работе доказана данная теорема для двух матриц. Следовательно, если Ли принимает диагональную форму, то все остальные матрицы принимают треугольную форму. Предположим, что нашлась матрица Лі, принимающая верхнюю треугольную форму, и матрица Л^, принимающая нижнюю. Обозначим через Ті, тз внедиагональные элементы этих матриц. Из [Лі, Л^] =0 следует, что

ё^(Л+Лз)=(а1 ’+а1?'’)(а2 ’+4я)=(А1 ’+а1Л)(а2 ’+4я)—тітз • п

2617

Отношение [А, В] = 0 нетранзитивно, поэтому, если никакой информации о спектре матриц нет, то требуется выполнить N (Ж — 1)/2 операций сравнения, и это число неуменьша-емо. Однако если известно, что Ак = .](А(к)), то достаточно N — 1 операция сравнения.

Полученный результат важен для изучения устойчивости линейных автономных систем, поскольку изменение базиса не влияет на устойчивость этих систем. В следующих примерах будем полагать, что все начальные условия заданы, а решения систем существует и единственно в соответствующих пространствах.

П р и м е р 1. Рассмотрим систему разностных уравнений

Хп + АіХп-т + А2Хп-к = 0, п,т,к Є Z+, к>т> 1.

Если [Аі, А2] =0, то задача об отыскании критериев устойчивости эффективно разрешается в терминах собственных чисел матриц, для чего достаточно воспользоваться результатами, полученными для скалярного уравнения [2].

П р и м е р 2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений запаздывающего типа

^1 ^2 гі-гк N3

Х + Аіх(і) + Акх(і — Тк) + ^2 Ак х(з)й8 + ^2 АкХ(і — Тк) = 0, і ^ 0.

к=2 к=М1+1 ■'*-Тк-Нк к=М2 + 1

Пусть 'И,] € 1,^2 : ]=0. Тогда характеристическая функция данной системы Е до-

пускает факторизацию, т. е. представление в виде произведения Е(г) = /1(г)/2(г)

N1 N2 —T.zf! z\ N3

= 1 г + A.™ + Y, >f'e-Tkz + E A™ ^--------------------------1 + Y \[k^ze-Tkz),, = 172.

k=2 k=Ni+l k=N2 + l

Для данной функции известны критерии устойчивости, если

1) N1 = N2 = N3 = 1

2) А^ = а21} = 0, N1 = N2 = 1, N3 = 2,

3) N1 = N2 = N3 = 2 [3],

4) N1 = 1,N2 = N3 =2 [4],[5].

Заметим, что если факторизация возможна, то матрицы, эквивалентные J(0), не влияют на устойчивость системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мулюков М.В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия вузов. Математика. В печати.

2. Kipnis M.M., Malygina V. V. The stability cone for a matrix delay difference equation // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2010. V. 2011.

3. Khokhlova T., Kipnis M., Malygina V. The stability cone for a delay differential matrix equation // Applied Mathematics Letters. 2011. № 24. P. 742-745.

4. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Известия вузов. Математика. Казань. 2007. № 6. С. 55-63.

5. Сабатулина Т.Л. Дифференциальные уравнения с распределенным запаздыванием. Асимптотические свойства решений. LAP LAMBERT Academic Publishing. С. 114.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 13-01-96050).

Mulyukov M.V. ON THE SEPARATION OF EQUATIONS OF SOME SYSTEMS We obtain a criterion of simultaneous triangularization for a set of 2 x 2 -matrixes. We use it to investigate some systems of two equations.

Key words: matrix triangularization; stability; functional differential equations.

2618