О равномерной сходимости решений управляемой системы интегральных уравнений при слабой сходимости управлений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.48

Ю. И. Белоглазов1, А. В. Дмитрук2

О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ СЛАБОЙ СХОДИМОСТИ УПРАВЛЕНИЙ

Рассматривается управляемая система интегральных уравнений типа Вольтерра, линейная по управлению, подынтегральное выражение которой измеримо по переменной интегрирования. Доказано, что если последовательность управлений слабо сходится в пространстве Ьг, то для ее далеких членов существуют решения системы, равномерно сходящиеся к решению, соответствующему предельному управлению.

Ключевые слова: управляемая система, интегральное уравнение, слабая сходимость, накрывающий оператор, равномерная сходимость.

1. Постановка вопроса. Рассматривается управляемая система интегральных уравнений типа Вольтерра, линейная по управлению:

t

(1)

о

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: yubeloglazovQgmail.com

2 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: avdmiQcemi.rssi.ru

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты № 11-01-00795 и 11-01-00986.

Здесь отрезок времени [О, Т] фиксирован, х и £ есть m-мерные непрерывные функции, и есть г-мерная интегрируемая функция. Соответствующие классы функций будем обозначать через Ст[0,Т] и L£[0,T], опуская указание на отрезок [0,Т].

Отметим, что в случае, когда £(i) = const, a F не зависит от t, интегральное уравнение (1) эквивалентно дифференциальному

x(s) = F(s, x(s))u(s), ж(0) = С- (2)

Предположение 1. Функции F(t, s, ж), Fx(t, s, х) определены, непрерывны по переменным í, ж, измеримы по переменной s и ограничены на некотором открытом множестве Q С Ж2+То.

Предположение 2. Функция F имеет модуль непрерывности по переменной t на Q, т. е. существует функция г){5), такая, что г){5) —> 0 при S —> 0+ и ¡F(t',s,x) — F(t",s,x)| ^ r](\t' — t"|) при всех (t',s,x) G Q, (t",s,x) G Q.

Предположение 3. Функция Fx имеет модуль непрерывности по переменной х на Q, т.е. существует функция ¿¿(5), такая, что /¿(5) —> 0 при S —> 0+ и \Fx(t, s, х") — Fx(t,s,x')\ ^ fi(\x' — х"\) при всех (t,s,x') G Q, (t,s,x") G Q.

Положим А = {(í, s) : 0 ^ s ^ t ^ T}. При заданных ^ G Cm и и G Ь\ решением системы (1) будем называть функцию х G С™, для которой ее "расширенный график" {(t,s,x(s)) : (t,s) G А} содержится в Q, и при каждом t выполнено (1). При этом ясно, что ж(0) = £(0). Аналогично вводится понятие решения системы (1) на меньшем отрезке [0, Т'] при произвольном Т' G (0,Т).

Основной результат данной работы — следующая

Теорема 1. Пусть для функций £ G Ст, ü G L\ система (1) имеет решение х G Ст. Пусть последовательность £п G Ст сходится равномерно к последовательность ип G L\ сходится слабо к и (относительно функционалов из Ь^) при п оо. Тогда при любом достаточно большом п существует решение хп системы (1) на отрезке [0,Т] для соответствующих £п, ип, причем для любого Т' ^ Т на отрезке [0, Т'] это решение единственно. Более того, последовательность хп равномерно сходится к х.

Для случая ОДУ (2) в формулировке теоремы 1 достаточно заменить равномерную сходимость í,„ •: í, па сходимость векторов (начальных условий) ^ Сама теорема в этом случае хорошо известна, но точную ссылку мы дать затрудняемся.

Отметим, что если последовательность ип не сходится слабо к ü, то, вообще говоря, теорема 1 не верна. Действительно, по определению в этом случае найдется функция a G L0Q = (la)*, такая, что

г г

J a(s)un(s) ds J a(s)ü(s) ds. о о

Тогда последовательность решений хп системы

t

о

не сходится к решению х по крайней мере в точке Т. Таким образом, слабая сходимость управлений есть необходимое и достаточное условие для равномерной сходимости решений в классе управляемых систем вида (1).

В случае, когда F дифференцируема и по t и по s, требования сходимости можно существенно ослабить (см. [1]); для автономной системы ОДУ с непрерывной зависимостью от х подобное ослабление рассмотрено в работе [2].

Введем некоторые объекты и конструкции и опишем кратко идею доказательства. Пусть Qa есть окрестность графика функции x(t) вида

Qa = {(s,®) G Ж1+То : s G [0, Т], |ж^ж(«)|<(т}

для некоторого а > 0. Так как график решения x(t) принадлежит открытому множеству Q, то существует а > 0, такое, что множество {(í, s, x) : (t,s) G A, (s,x) G Qa} лежит в Q (черта сверху обозначает замыкание множества). Фиксируем некоторое такое а.

Для данного а рассмотрим также окрестность точки х в пространстве Ст следующего вида:

G = {х G Ст : \\х — х\\с <

Отметим, что для любой функции х из G ее график принадлежит множеству Qa. Этот факт будет использоваться в дальнейшем.

Пусть оператор l'[i,. </] : G —> С™, зависящий от параметров и, действует по правилу

t

x{t) ^ x{t) - £(i) - J F(t, s, x(s))u(s) ds. (3)

0

Из этого определения видно, что элемент множества G, обнуляющий оператор l'[i,. </]. представляет собой решение системы (1).

Схема доказательства теоремы 1 состоит в следующем. Сначала устанавливается равномерное накрывание (определение см. ниже) оператора l'[i,. </] на множестве G с некоторой общей константой для всех пар (£п, ип). Далее доказывается сходимость P[i,„. ип)(х) —> /'[i,. й)(х) в пространстве Ст при равномерной сходимости £ и слабой сходимости ип й. Затем показывается, что для достаточно больших п множество Р[£п, «„](£?) содержит О, и, кроме того, элемент, обнуляющий P[i,„. и „\. сколь угодно близок к х.

Перейдем к поэтапному изложению описанной схемы.

2. Строгая дифференцируемость оператора Р[^,и]. Для начала уточним условие ограниченности /-' и /<',. па (.). Положим

М = зир{|Р(£, 5, ж)|, |РЖ(£, 5, ж)| : в, х) € (3).

Под |РЖ(£, «,ж)| условимся понимать х% гДе %к есть к-я компонента вектора х. Из предпо-

к

ложения 1 следует, что М < оо.

Покажем, что оператор Р[£, и] дифференцируем на С.

Лемма 1. Для любых £ € Ст, и € х € О оператор Р[(,,и] имеет производную Фреше в точке х, которая задается равенством

Р'[и, ж](ж) = x(t) — J Fx(t, s, x(s))x(s)u(s) ds. о

(4)

Отметим, что оператор Р' зависит от параметра и и точки ж, в которой берется производная, и не зависит от параметра

Доказательство. Фиксируем и, х. Считаем, что элемент х таков, что х + х по-прежнему лежит в О. Рассмотрим оператор, заданный формулой (4), и положим

ш(х) = ||Р[£, и](х + х) — Р[£, и](х) — Р'[и, ж](ж)||с-

Надо показать, что ш(х) = о(||ж||с) при ||ж||с 0. (Далее индекс С будем опускать.) Согласно определению,

ш(х) =

г

x(t) + x(t) - £(i) - J F(t, s, x(s) + x(s))u(s) ds - x(t) + £(i) +

F(t, s, x(s))u(s) ds — x(t) + / Fx(t, s, x(s))x(s)u(s) ds

F(t, s, x(s) + x(s)) — F(t, s, x(s)) — Fx(t, s, x(s))x(s) )u(s) ds

€

г

^ шах J |Р(£, 5, ж(«) + х(в)) — 5, ж(«)) — Рж(£, 5, ж(«))ж(5) | ' | (¿5. о

Для любых «) € А выполнено неравенство

|Р(£, 5, ж(«) + х(в)) — 5, ж(«)) — Рж(£, 5, ж(«))ж(5) | ^

^ тг • тах[Рч(£, в, х(в) + х(я)) — в, х(я)) — ж(5))ж($)|,

ч

где — компонента матрицы Р, находящаяся в г-ш строке, столбце. Тогда для любых в) € А и для некоторых из отрезка [ж(«),ж(5) + ж(«)] получаем оценку

|Р(£, 5, ж(«) + ж(«)) —5, ж(«)) ^Рж(£, 5, ж(«))ж(5) I ^ тг •тах|Рж:г (^, 5, — Р./^, 5, ж(«))ж(5) I ^

у

^ тг • 5, — Р./^, 5, ж(«)) | • |ж(«) I ^ тг • /х(|ж(5)|)|ж(«)|,

ч

где /х(-) — модуль непрерывности функции Рж по переменной ж в области (3. Таким образом,

г

ш(х) ^ тах ^^тг • |)|йя.

Отсюда

о

г

"И и-/И')|=

о

Лемма доказана.

Следующая лемма устанавливает непрерывность оператора Р'[и, ж] по ж в операторной норме. Лемма 2. Для любых и и жо € С? справедливо ||Р'[«,ж] — Р'[«,жо]|| ^ 0 при ж ^ жо-Доказательство. Фиксируем и 6 и ж0 £ б. Покажем, что при ж ^ жо

Бир ||х||<1

О О

О,

т.е. что

Бир 1|х||<1

0.

0

Поскольку Рж имеет модуль непрерывности по ж (предположение 3), последнее выражение не превосходит величины

г г т

яир тах / /х(||ж — жоII) ' ||ж|| • |и(«)| ¿я ^ тах / /х(||ж — жоII) ' Ш5)| = М11ж — жо||) ' / Ш5)| О о о о

при ж —жо. Этим лемма доказана.

Известно, что если оператор имеет производную Фреше в окрестности точки жо и эта производная непрерывна в данной точке, то оператор строго дифференцируем в точке жо (см., например, [3]). Из лемм 1 и 2 следует

Лемма 3. Для любых £ € С™, и £ Ь\ оператор Р[(,,и] строго дифференцируем в любой точке х € О.

3. Равномерное накрывание оператора Р[£,«]. Напомним понятие накрывания оператора

(см., например, [4]). Пусть X, У — метрические пространства, II — открытое множество в X. Оператор Р : X ^ У накрывает на множестве II с константой а > 0, если для любого шара Вг(ж) С II выполнено включение

Р(ВГ(ж)) э Ваг(Р(ж)).

В нашем случае X = У = Ст, оператор Р[£, и] : Ст —> Ст зависит от параметров (£, и) € Ст хЬ[. Мы хотим показать, что если 14 — слабый предкомпакт в Ь'[, то для любых £ € Ж™, и € 14 оператор /•'[Д. </] является накрывающим на множестве О с некоторой общей константой.

Нам потребуется известный критерий Данфорда-Петтиса слабой предкомпактности в пространстве Ь1 (см., например, [5]).

Теорема 2. Множество 14 С 1а[О,Т] слабо предкомпактно тогда и только тогда, когда 14 равномерно интегрируемо, т. е. существует функция и{8) (модуль интегрируемости), такая, что и{8) ^ 0+ при 8 ^ 0+, и для любого и € 14, любого 8 > 0, и любого измеримого множества Е, такого, что тев(Е) ^ 8, справедливо неравенство

|и(«)| ds ^ ^(б).

Е

Для данных и, х представим оператор Р'[и,х] в виде разности

Р'[и, х](х) = 1(х) — Б[и, х](х), (5)

где 7(ж)(£) = х{Ь) (тождественный оператор), а

г

<?[«, х](х)= ! 5, ж(5))ж(«)и(5) йя. о

В пространстве Ст вместе с исходной нормой рассмотрим также эквивалентную ей норму

ЦжЦдг = тах|е-лг*ж(£)|.

Число N определим ниже. Обычную норму в Ст по-прежнему обозначаем как ||-||.

Следующее свойство оператора Б играет ключевую роль в доказательстве накрывания оператора Р.

Л е м м а 4. Пусть 14 — слабый предкомпакт в Ь\. Тогда для любого Ь > 0 существует Н, такое, что для любых х € О, и £14 справедлива оценка

||<5[и,ж]||дг ^ Ь.

Доказательство. По определению

\\S[u, ж]||дг = sup max

xllivSl *

t

e Nt J Fx{t, s,x(s))x(s)u(s) ds о

Так как \Fx(t,s,x)\ ^ M на Q, то справедливо неравенство

t

||<5[и, ж](Iiv ^ sup max e_iVi / M|a;(s)||«(s)| ds ).

HxlUsa * \ J J

Неравенство ЦжЦдг ^ 1 равносильно выполнению неравенства |ä;(s)e_JVs| ^ 1, т.е. неравенства |ж(«)| ^ eNs для любого s € [0,Т]. Поэтому

t t

sup max(e~Nt M\x(s)\\u(s)\ds) ^ max MeN(s~t)\u(s)\ds. (6)

||x||ivil * V J о

Так как U — слабый предкомпакт, то по теореме 2 для е = Ь/(2М) существует 8 > 0, такое, что

\u(s)\ < £

Е

для любого измеримого множества Е, такого, что тез(Е) ^ 5, и для любой функции и € 14. Из этой же теоремы, в частности, следует, что ||«||1 равномерно ограничены по всем и € 14 некоторой константой М\. Разобьем отрезок интегрирования в правой части (6) на [0, £ — <5] и — <5, (если £ ^ 8, то разбиение не производим):

г г-й г

шах I Мем^\и(8)\ё8 = тах(^1 Мем^\и(8)\ё8+ ^ Мем(-8~^\и(8)\< о о г-д

г-д г

^ тах и(«)| с!,8 + тах (7)

о г-й

Так как второй интеграл берется по отрезку длины 6 и е1'8 ^ ^ 1, то в силу выбора 6 второе слагаемое в (7) меньше Ь/2. В первом слагаемом 8 — £ ^ —6, поэтому справедлива оценка

г-й г-й

тах J Мем{з-г)\и{8)\й8 < тах J Ме~мй\и(8)\ё8. о о

Выберем N таким, чтобы е"жгММ[ ^ 6/2. Тогда первое слагаемое в (7) меньше Ъ/2 и, следовательно,

||Б[и, ж]|| дг ^ Ь.

Лемма доказана.

Вернемся к равенству (5). Возьмем любое Ь < 1. По лемме 4 при некотором N оператор Б[и,х) Липшицев с константой Ь относительно нормы Ц-Цдг- При этом тождественный оператор I очевидно накрывает с константой 1 в любой норме. Тогда, как известно, их разность будет накрывать с константой 1 — Ь > 0. Таким образом, справедлива следующая

Лемма 5. Пусть 14 — слабый предкомпакт в ЬТогда для любого Ь € (0,1) существует Н, такое, что для любых х € О, и & 14 оператор Р'[и,х] накрывает с константой 1 — Ь в норме Ц-Цдг пространства образа и прообраза.

Перейдем к обычной норме пространства Ст. Ясно, что оператор Г" в ней по-прежнему будет накрывать с некоторой константой а > 0, зависящей только от Ь и N. Таким образом, из леммы 5 вытекает

Следствие 1. Пусть 14 — слабый предкомпакт в пространстве Ь\. Тогда существует а > 0, такое, что для любых х € О, и £14 оператор Р'[и,х] накрывает с константой а.

Далее мы хотим перейти от накрывания производных оператора Р к накрыванию самого оператора. Здесь нам потребуется следующая теорема из работы [6].

Теорема 3. Пусть X, У — банаховы пространства и оператор Р : X У строго дифференцируем на открытом множестве С С X. Пусть существует а, > 0, такое, что для любого х € О линейный оператор -Р'(ж) накрывает с константой а. Тогда для любого а! < а нелинейный оператор Р накрывает на С с константой а!.

Из этой теоремы и лемм 3, 5 вытекает следующая

Лемма 6. Пусть 14 — слабый предкомпакт в Ь\. Тогда существует а! > 0, такое, что для любых £ € Ст, и £14 оператор Р[(,,и] накрывает с константой а' на О.

4. Сходимость Р[£п,ип)(х). Для удобства обозначим ¡3 = (£,и), и пусть (Зп ^ (3 означает, что

■: { и п„ слаб°> ¡1. Будем обозначать Р[^,и] = /';.

Пусть 14 есть некоторое подмножество пространства Ь'[. Положим 0(/3) = 01(£) х 02(и), где 01(£) есть окрестность £ в пространстве Ст, а О2 (и) есть слабая окрестность и в пространстве Ь\.

Лемма 7. Пусть ¿,„ ■: ^ в Ст, ип слабоу й в Ь\. Тогда

рЦп,ип]{х) Р[1,й]{х).

Чуть более общо: пусть 14 слабо предкомпактно; тогда в соответствии с введенными обозначениями для любого е > 0 существует окрестность Оф), такая, что для всех /3 € Оф) П (Ст х 14)

выполнено

\\Рр(х) - Рр{х)|| < е.

Доказательство. Фиксируем некоторое е > 0. Нужно найти окрестности 01(£), 02 (й), такие, что для любых £ € 01(£), и € 02 (й) выполнено

\Рр(х) — Рр{х) || = шах

Достаточно показать, что

~~ + J йя — I 5, ж(5))й(«) йя

0 0

«С е.

тах|£(£) — + тах

5, х(з))(и(з) — й(я))

£ е.

(8)

В качестве окрестности 01(£) возьмем открытый шар ||£ — £|| < е/4.

Напомним, что 5, ж)| ^ М на По теореме 2 для £1 = е/(4М) существует 51 > 0, такое, что

Е

где верхняя грань берется по всем измеримым множествам Е меры, не превосходящей ^1, и по всем функциям и € 14.

Кроме того, из этой же теоремы следует, что существует М1, такое, что для любого и € 14 выполнено — й||1 ^ М\.

Так как Р имеет модуль непрерывности на (} по переменной í (предположение 2), то выберем 82 таким, чтобы для любых г', г", я, таких, что |т' — т"| ^ 82 и (т',я) € А, (т",«) € А, выполнялось неравенство

4М1

Возьмем произвольное разбиение отрезка [0,Т] диаметром тт(<51, <5г). Пусть 0 = ¿о < ¿1 < ... ... < ^ = Т — точки этого разбиения. Выберем следующую слабую окрестность 02 (й) в пространстве Ь\:

^(¿г, 5, х(я))(и(я) — й(я))

» ^ - 1«»»»«/»

Представим интеграл из левой части (8) для произвольного момента £ € [О, Т] в виде суммы:

I 1г

! Я, х(я))(и(я) — й(«)) йя = J ¿^(¿г; ж(«))(и(5) — й(«)) (¿5 + о о

+ J 5, ж(«))(и(5) — й(«)) йя + Jя,х(я)) — я,х(я)))(и(я) — й(я)) ёя, и о

где ¿г — ближайшая к £ слева точка разбиения. Для первого слагаемого выполнено

^(¿г, 5, х(з))(и(з) — й(я)) йя

<

в силу принадлежности и окрестности 02(й). Для второго слагаемого имеем

£ £ -

в силу выбора <5i. Для третьего слагаемого выполнено

ti

(F(t, s, x(s)) — F(ti, s, x(s)))(u(s) — ü(s)) ds С о

в силу выбора 82 ■ В сумме получаем выполнение неравенства (8), а это и означает, что

\\Pß(x) ^ Pß(x)\\ ^ е для любого ß € 0{ß) П (Ст х 14).

Лемма доказана.

5. Существование, единственность и сходимость решений. Все предыдущие утверждения относятся к оператору вида (3). Следующая теорема справедлива для некоторого более общего оператора.

Теорема 4. Пусть X, Y — метрические пространства, и задано семейство операторов Pß : X ^ Y, где ß — параметр, принадлежащий топологическому пространству fi. Пусть задана точка х G X и ее окрестность G. Пусть для любого ß G О оператор Pß накрывает на G с некоторой общей константой а > 0, и для некоторого ß G О

Pß(x) ^ Pß(x) при ß ß.

Обозначим у = Pß(x). Тогда для любого £ > 0 существует окрестность O(ß), такая, что для любого ß G O(ß) существует х' G X, для которого

I I 1

Pß(x') = y, р(х,х') < -p(Pß(x),y) < е.

(.Метрики в пространствах X, Y обозначаем одной и той же буквой р.)

Доказательство. Фиксируем некоторое е > 0. Пусть 7 > 0 таково, что шар IL, (х) содержится в G. Положим r(ß) = p(Pß(x),y). Согласно условиям теоремы существует окрестность O(ß), такая, что для любых ß G O(ß) выполнено

r(ß) ^ min(a7, ае).

Таким образом, шар $)/а(%) содержится в G, и тогда в силу равномерного накрывания оператора Р на G имеем

Pß(Br{ß)/a(x))DBr{ß)(Pß(x)). (9)

Но Br(ß)(Pß(x)) содержит у. Поэтому из (9) следует, что в шаре Br(ßya(x) содержится ж', такой, что Pß(x') = у. А это и означает, что

/ 1

р(х, х') ^ — riß) ^ е. а

Теорема доказана.

Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы.

Доказательство теоремы 1. Из вышеизложенных утверждений следует, что оператор (3) удовлетворяет всем условиям теоремы 4. При этом в качестве топологического пространства fi выступает последовательность пар ßn = (£п,ип) вместе с предельной парой ß = (£,и), а топологию задают всевозможные произведения окрестностей Оi(£) х &2(и), определенных в начале п. 4. Напомним, что, согласно лемме 6, оператор (3) накрывает с константой а' > 0 на множестве G. Фиксируем некоторое е > 0. Применяя теорему 4 для оператора (3) и учитывая лемму 7, получаем, что для данного е существует N, такое, что для любых п ^ N существует хп, такое, что Pßn(xn) = у и справедлива оценка

1

р(х,хп) < —p(Pßn(x),y) < е. а

Так как в нашем случае у = Pß(x) = 0, то хп и являются искомыми решениями уравнения (1) для пар (£п,ип). Таким образом, для завершения доказательства теоремы 1 остается только доказать единственность этих решений.

Пусть для некоторой пары (£,и) € Ст х Ь\ и некоторого Т' ^ Т на отрезке [О, Т"] существует еще одно решение ж', кроме полученного нами решения ж. График решения х лежит полностью в множестве Обозначим

¿1 = Бир{£ : (5,ж'(«)) € Яа для всех в € [0, £]}. Предположим, что < Т'. Оценим модуль разности этих решений: г г

\х'(г) - хЩ =

J и,,.,*») - ,*<.»)..(.>* « /и <, ., x-w) -f«,.,*c»i ■ i-wi* «

о о

t t

/sup (\Fx(t, s, ж)|) • |ж'(«) — ж(«)| • |«(s)| ds ^ / M\x'(s) — x(s)\■ \u(s)\ds, i € [0, ii].

(■t,s,x)eQ J

0

Отсюда по лемме Гронуолла следует, что \x'(t) — x(t)\ = 0 для любых t G [0,ti]. Поэтому существует ¿2 > ii, такое, что на всем отрезке [0, ¿г] график функции х' лежит в Ça, что противоречит определению t\. Следовательно t\ = Т", а, как уже показано, x'(t) = x(t) на [0, ii]. Единственность доказана, и тем самым доказательство теоремы 1 закончено.

В заключение отметим, что с помощью теоремы 1 можно получить обобщение аппроксимационной теоремы Гамкрелидзе, позволяющей овыпуклять множество допустимых правых частей системы ОДУ путем введения скользящих режимов [7], на системы интегральных уравнений типа Вольтерра. Это будет сделано в дальнейших работах авторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белоглазов Ю.И., Дмитрук A.B. О равномерной сходимости решений управляемой системы интегральных уравнений типа Вольтерра, линейной по управлению // Математические заметки (в печати).

2. Liu W., Sussmann H.J. Continuous dependence with respect to the input of trajectories of control-affine systems // SIAM J. Control and Optimization. 1999. 37. N 3. P. 777-803.

3.Алексеев В.M., Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. M.: Наука, 1979.

4. Дмитрук A.B., Милютин A.A., О с м о л о вс к ий Н. П. Теорема Люстерника и теория экстремума// Успехи математических наук. 1980. 35. № 6. С. 11-46.

5. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962.

6. Dmitruk А. V. On a nonlocal metric regularity of nonlinear operators // Control and Cybernetics. 2005. 34. N 3. P. 723-746.

7. Гамкрелидзе P.B. Оптимальные скользящие режимы // ДАН СССР. 1962. 143. № 6. С. 1243-1245.

Поступила в редакцию 01.12.13

ON THE UNIFORM CONVERGENCE OF SOLUTIONS TO A CONTROL SYSTEM OF INTEGRAL EQUATIONS UNDER THE WEAK CONVERGENCE OF CONTROLS

Beloglazov Yu. I., Dmitruk A. V.

We consider a control system of Volterra type integral equations, linear in the control, the integrand of which is measurable in the integration variable. We prove that if a sequence of controls converges weakly in L\ space, then the solutions of the system for sufficiently far numbers exist and uniformly converge to the solution corresponding to the limit control.

Keywords: control system, integral equation, weak convergence, covering operator, uniform convergence.