CC BY
4
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2023. № 3. С. 23-26 Lomonosov Computational Mathematics and Cybernetics Journal
УДК 512.643
Х. Д. Икрамов1
О РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГОРИТМАХ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ КЛАССАМ КОНГРУЭНТНОСТИ
В теории преобразований подобия, составляющей главную часть науки о квадратных матрицах, рассматриваются многочисленные классы специальных матриц. Соответственно существует множество способов описания таких классов. Принадлежность матрицы требуемому классу в большинстве случаев может быть проверена рациональным вычислением, т.е. конечным алгоритмом, использующим только арифметические операции.
Конгруэнтные преобразования занимают в теории матриц более скромное место, чем подобия. Однако и в этом разделе имеются многочисленные классы специальных матриц. На нескольких примерах в статье обсуждается возможность установить принадлежность матрицы нужному классу конгруэнтности посредством рационального вычисления.
Ключевые слова: юнитоид, коквадрат, каноническая форма относительно конгруэнций, инволюция, теплицево разложение.
Б01: 10.55959/М8и/0137-0782-15-2023-47-3-23-26
1. Теория (квадратных) матриц — это по преимуществу теория преобразований подобия. Рассматриваемые в ней классы специальных матриц могут быть охарактеризованы множеством различных способов — посредством матричных соотношений, спецификой расположения нулевых элементов, определенным спектральным свойством и т.д. Принадлежность матрицы требуемому классу в большинстве случаев может быть проверена рациональным вычислением, т.е. конечным алгоритмом, использующим только арифметические операции. Например, нормальность матрицы А означает, что выполнено соотношение АА* = А*А, тогда как проверка более общего свойства диагонализуемости далеко не столь тривиальна. С одной стороны, диагонализуемость предполагает простоту или полупростоту всех собственных значений матрицы А. Это обстоятельство, вообще говоря, нельзя проверить не только рациональным алгоритмом, но и в радикалах. С другой стороны, комплексная матрица А диагонализуема тогда и только тогда, когда ее минимальный многочлен р(А) не имеет кратных корней. И построение многочлена р(А), и проверка простоты его корней (т.е. взаимной простоты многочленов р и р') могут быть осуществлены рациональными процедурами.
Все же, помимо подобий, в теории матриц изучаются и другие преобразования, хотя им и отводится значительно более скромное место. В этой статье нас будут интересовать конгруэнции, которые здесь мы понимаем как матричные преобразования вида
А ^ В = д* Ад, (1)
где д — произвольная невырожденная матрица. Матрицы А и В, связанные соотношением (1), называем конгруэнтными.
Аналогично классам подобия, можно строить различные классы конгруэнтных матриц. Верно ли, что принадлежность матрицы нужному классу конгруэнтности можно установить посредством рационального алгоритма?
Ответ на этот вопрос зависит от ситуации. В последующих разделах мы даем его для трех различных случаев.
2. Матрица А называется юнитоидной, или просто юнитоидом, если посредством конгруэнции она может быть приведена к диагональному виду. Юнитоиды можно рассматривать как
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: [email protected]
аналог диагонализуемых матриц в теории подобия. Проверка диагонализуемости посредством подобия обсуждалась в п. 1. А как установить, является ли юнитоидом заданная матрица А?
Будем различать случаи вырожденной и невырожденной А и покажем, как свести первый случай ко второму. Если А — вырожденная юнитоидная матрица, то ее ядро должно совпадать с ядром сопряженной матрицы А*. В противном случае в канонической форме А относительно конгруэнций будет присутствовать жорданова клетка порядка больше 1 с нулем на главной диагонали, что несовместимо с определением юнитоидности.
Вычисление базиса ядра матрицы и проверка совпадения двух линейных подпространств — это стандартные задачи элементарной линейной алгебры, решаемые рациональными алгоритмами. Предположим, что после их применения к матрице А установлено равенство
кегА = кегА*
и найден базис д1,... ,5к общего ядра. Дополним его векторами 5к+ъ..., 5п до базиса пространства Сп и построим невырожденную матрицу Q по столбцам из векторов полученного базиса. Конгруэнтная А матрица В = Q*AQ имеет вид прямой суммы
В = 0к Ф Вп-кI
где индексы указывают размерности блоков и Bn-k — невырожденная матрица. Из теоремы погашения (the cancellation theorem; см. [1, теорема 4.5.22]) теперь следует, что матрица B будет юнитоидной тогда и только тогда, когда юнитоидом является блок Bn-k. Невырожденной матрице R можно сопоставить матрицу
Cr = R-*R,
называемую ее коквадратом. Если R подвергается конгруэнции
R ^ R = Q*RQ,
то
Е-1 ^ Е-1 = Q-1R-1Q-*
и
Си = Е-*Е ^ Си = Q-1CRQ.
Таким образом, на конгруэнцию, производимую с матрицей Е, ее коквадрат "откликается" подобием, совершаемым под действием той же трансформирующей матрицы Q.
Невырожденность блока Вп-к открывает новые возможности для проверки его юнитоидности. Из описания канонической формы относительно конгруэнций, приведенного в [1, § 4.5], можно сделать следующий вывод.
Невырожденная матрица Е тогда и только тогда является юнитоидом, когда ее коквадрат Си диагонализуем подобием и все собственные значения коквадрата имеют модуль 1.
Как проверить, можно ли диагонализовать матрицу подобием, мы уже знаем из п. 1. Существуют и рациональные алгоритмы определения числа собственных значений матрицы внутри и вне единичного круга и, как следствие, числа собственных значений, находящихся на единичной окружности (см., например, [2]). Применяя все это к матрице Вп-к, мы завершим рациональный алгоритм проверки юнитоидности исходной матрицы А.
3. Напомним, что инволютивной матрицей, или инволюцией, называется п х п-матрица А, для которой
А = 1п-
Спектральное описание инволюций таково: это матрицы, диагонализуемые подобием и имеющие только два собственных значения 1 и -1. Собственное значение может быть даже только одно, и тогда мы получаем единичную матрицу 1п и матрицу —1п.
О рациональных алгоритмах распознавания принадлежности классам конгруэнтности
25
Фиксируем натуральные числа к и I, такие, что к + I = п. В этом разделе мы обсуждаем следующий вопрос: как рационально охарактеризовать класс (невырожденных) матриц, чьи ко-квадраты суть инволюции, спектр которых состоит из к единиц и I минус единиц? Начнем с диагональной матрицы
С = 4 ф -I.
Матрицы, для которых С является коквадратом, суть прямые суммы вида
К = Ик ф К, (2)
где Ик и К — произвольные эрмитова и косоэрмитова матрицы соответствующих порядков.
Формула (2) — это фактически теплицево разложение матрицы К. Напомним, что теплицевым разложением п х п-матрицы А называется ее представление в виде
А = И + К, (3)
где
Н = ^(А + А*), К = ^(А-А*).
Эрмитова матрица И и косоэрмитова матрица К (или эрмитова матрица К/г) называются также вещественной и мнимой частями матрицы А.
Для матрицы (2) вещественная и мнимая части выглядят так:
Ик 0 \ ( 0 0
И*=( ок о;• К«по К)• (4)
Обсуждаемый здесь класс конгруэнтности состоит из матриц вида
А = д*кд,
где К — произвольная матрица из семейства (2), а д — произвольная невырожденная матрица. Для компонент И и К такой матрицы А имеем (см. (3) и (4))
и = д*Идд, К = д*Кд д.
Матрица И имеет ранг к, и ее образ тН есть линейная оболочка первых к столбцов матрицы д*. Соответственно, К — матрица ранга I, и ее образ натянут на последние I столбцов матрицы
д*.
Это описание и может служить искомым рациональным методом распознавания принадлежности данному классу конгруэнтности. А именно, невырожденная пх п-матрица А принадлежит этому классу, если в ее теплицевом разложении И и К суть матрицы рангов соответственно к и I.
4. Как установить, что жорданова форма п х п-матрицы А состоит из единственной жордано-вой клетки (0) с нулем на главной диагонали? Если это верно, то А есть нильпотентная матрица индекса п, так что должны выполняться соотношения А"-1 = 0, Ага = 0. Более экономичный способ, требующий лишь 0(п3) арифметических операций, — это вычислить характеристический многочлен /(А) матрицы А и убедиться, что он совпадает (или не совпадает) с многочленом А".
А что отвечает на аналогичный вопрос теория конгруэнций? Как распознать, что канонической формой матрицы А относительно конгруэнций является жорданова клетка (0)?
Опишем рациональный алгоритм, дающий ответ на этот вопрос. Прежде всего А должна иметь одномерное ядро; в противном случае 7га(0) не может быть ее канонической формой.
Пусть гапкА = п — 1 и / — базисный вектор ядра матрицы А. Дополним / до базиса / = = /1,/2, •••,/" пространства С" и перейдем к этому базису. Матрица В, представляющая А в этом базисе, имеет нулевой первый столбец. Если и вся первая строка состоит из нулей, то кег А
имеет нетривиальное пересечение с кег А* и канонической формой матрицы А не может быть
^п (0).
Предположим, что в первой строке матрицы В имеются ненулевые (внедиагональные) элементы. Перестановкой столбцов добьемся, чтобы ненулевым был элемент в позиции (1,2). Чтобы завершить конгруэнтное преобразование, нужно переставить и одноименные строки. Эта перестановка не изменит (нулевой) первый столбец.
Теперь с помощью элемента (1,2) проведем исключение прочих внедиагональных элементов первой строки. Для этого второй столбец, умноженный на подходящие коэффициенты, вычитаем из последующих столбцов. Аналогичные действия нужно проделать со строками матрицы, что снова не изменит нулевого первого столбца.
Первые строка и столбец матрицы приобрели теперь нужный вид. Следующий шаг — исключение элементов второго столбца. Первая строка в этом исключении является ведущей, а ее элемент (1,2) — ведущим. Когда исключение заканчивается, этот элемент становится единственным ненулевым элементом второго столбца. Для формального завершения конгруэнции первый столбец, умноженный на надлежащие коэффициенты, следовало бы вычесть из остальных. Так как, однако, этот столбец — нулевой, то соответствующие столбцовые операции можно опустить.
Пусть В — матрица, полученная по завершении исключения во втором столбце. Если в ее второй строке имеются ненулевые элементы, то мы повторяем для этой строки те же действия, какие ранее были проделаны для первой строки матрицы В, т.е. перестановкой столбцов переводим ненулевой элемент в позицию (2,3), проводим исключение остальных ненулевых элементов этой строки, а затем исключаем элементы (3, 3), (4, 3),... , (п, 3) третьего столбца. Каждое из этих действий дополняется до конгруэнции соответствующими операциями со строками или столбцами. При этом сохраняются все нулевые элементы первых двух столбцов.
Если в третьей строке полученной матрицы присутствуют ненулевые элементы, то описанный процесс продолжается уже известным образом. Предположим, что так мы дойдем до последней строки. Тогда итоговым результатом будет матрица вида
/ 0 ai
0 a2
V
\
0 an-i 0
ai = 0, i = 1,2,.
, n — 1,
(5)
конгруэнтная исходной матрице А. Дополнительной конгруэнцией с диагональной трансформирующей матрицей можно превратить (5) в жорданову клетку 7п(0). В этом случае мы получаем положительный ответ на исходный вопрос.
Могло, однако, случиться, что на каком-то шаге к описанного процесса (к ^ п — 2) все элементы к-й строки текущей матрицы равны нулю. Процесс исключения не может быть продолжен, а каноническая форма исходной матрицы не является клеткой 7п(0).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Horn R.A., Johnson C.R. Matrix Analysis. Second Edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2013.
2. Krein M.G., Naimark M.A. The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations // Linear Multilinear Algebra. 1981. 10. N 4. P. 265-308.
Поступила в редакцию 10.01.23 Одобрена после рецензирования 20.03.23 Принята к публикации 20.03.23
