О рациональном проектировании автозаправочных станций (АЗС) Текст научной статьи по специальности «Математика»

О РАЦИОНАЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ АВТОЗАПРАВОЧНЫХ

СТАНЦИЙ (АЗС)

С.И. БУЛДАКОВ, зав. каф. транспорта и дорожного строительства УГЛТУ, канд. техн. наук

Оптимизация размещения АЗС на автомобильных дорогах является многокритериальной задачей исследования сложных систем в условиях неопределенности. При этом за критерий оптимальности необходимо принять получение максимального дохода от продажи горюче-смазочных материалов с учетом экологической ситуации, близости уже существующих АЗС и ограничения по взрыво- и пожаробезопасности.

При оптимизации размещения АЗС необходимо рассмотреть несколько задач.

Сначала с учетом распространения выбросов находим с позиций экологии и взрыво- и пожаробезопасной ситуации допустимое количество автомобилей N которое одновременно может находиться на территории автозаправочной станции. Далее определяем оптимальное количество бензоколонок п на каждой АЗС. При рассмотрении данной задачи совсем необязательно выполнение условия п = N ибо из-за случайности процесса поступления автотранспортных средств на АЗС для заправки часть бензоколонок может дол-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2005

125

гое время простаивать. Рассмотренные задачи решаются с привлечением теории массового обслуживания [1, 2, 3]. На основе данной теории решается и задача оценки оптимального запаса горюче-смазочных материалов, исходя из случайности ежедневной потребности их с учетом сбоев в поставках с нефтебаз. И, наконец, решается транспортная задача поставок горючего с баз на АЗС с таким расчетом, чтобы суммарные затраты на стоимость и перевозку горючего были бы минимальными. При этом также должна быть учтена надежность поставок: отсутствие сбоев и дублирование перевозок с разных баз.

Проектирование АЗС должно базироваться на знании интенсивности транспортного потока, проходящего через них, при этом необходимо выделить временные интервалы, когда интенсивность транспортного потока максимальна. В то же время изменение интенсивности может носить случайный характер. Поэтому при проектировании АЗС можно применять теорию массового обслуживания.

Пусть на АЗС имеется п однотипных бензоколонок, а поток идущих на заправку автомобилей имеет интенсивность X. Примем, что время обслуживания т каждого автомобиля на АЗС подчиняется экспоненциальному закону

Р(т < = 1 - ехр(- рГ). (1)

Обозначим максимальное число мест в очереди т. Очевидно, что суммарное число автомобилей на площадке АЗС не должно превышать экологической и взрывобезопас-ной величины N

п + т < N. (2)

Если на АЗС поступило к (к < п) автомобилей, то все они обслуживаются, причем каждый - отдельной бензоколонкой.

Если на АЗС находится (п + г) автомобилей, причем п < г, то из них п обслуживаются, а г стоят в очереди и ждут начала обслуживания. Примем также, что время ожидания tож подчиняется экспоненциальному закону распределения

Р(^ж < 0 = 1 - ехр(- vt), (3)

где V - интенсивность обслуживания мин-1.

Заявка на обслуживание не принимается, если в очереди все т мест заняты. Кроме того, примем, что автомобиль может уехать из очереди незаправленным, если в ожидании он потерял время t >

Обозначим через £0, S1, £2, ..., £к,..., 8„ + г состояние системы массового обслуживания:

- £0 - в системе нет ни одного автомобиля на заправке, все бензоколонки свободны;

- 8к - на АЗС находится к автомобилей и все они заправляются, к = 1, 2, ., п;

- 8„ + г - на АЗС находится п + г автомобилей, из них п автомобилей заправляется, а г ждет в очереди, г = 1, 2, ., т.

Обозначим также через Рк(0, к = 1, 2, ..., п, п + 1, п + 2,., п + т вероятность того, что система массового обслуживания АЗС в момент времени t находится в состоянии £к. Переходы в системе массового обслуживания можно описать теорией графов [4]. Опуская их вывод [1], выпишем дифференциальные уравнения Колмогорова для определения вероятностей указанных состояний на АЗС

Р'о(0 = - АРо(0 + рр1(0; Р'к(0 = ЛРы(0 - (X + кр)Рк(0 + (к + 1)рРк+1(0;

1 < к < п - 1 Р'^) = ЛРы(0 - [X + пр + (к - п^]Р^) + + (к + 1)рРк+1(0 + [пр + (к - п + 1>]Рк+1(0;

п < к < п + т - 1; (4)

Р'п+т(0 = ХР„+т-1(0 - (пр + т^)Р„+т(0.

Система линейных дифференциальных уравнений (4) должна решаться при начальных условиях

Ро(0) = 1, Рк(0) = 0 при к = 1, 2, ..., п + т. (5)

Эта система уравнений описывает переходный процесс, который, как показывает практика расчетов, кратковременный, и система приходит в стационарное состояние, вероятность которого можно получить при t и предположив Р]() = 0 при к = 0, 1, ..., п + т.

Опуская промежуточные выкладки преобразований системы (4) с учетом (5), получим окончательные вероятности, характеризующие стационарные состояния системы массового обслуживания АЗС

126

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2005

Рк =—Р0, 1 < к < п; к к! 0 '

Р=

п!П (п + 1Р)

-Р0; п < к < п + т, (6)

Р =

0 п к п +

к! -<-—' к-п

к=1 "" к =п+1

п! П (п + 1Р)

где а = Х/ц, в = v/p.

Вероятности Рк, характерные для стационарного состояния обслуживания на АЗС, можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Значение вероятности Рк позволяет вычислить:

- длину очереди

(к-п)Рк;

(7)

- среднее общее число автомобилей в системе

N * = £ кРк ;

(8)

- среднее число свободных от обслуживания колонок

■ = £ (п - к)Рк;

(9)

- среднее число колонок, занятых обслуживанием,

п - п*; (10)

- вероятность отказа

Ротк = 1 - (п - п*)/а; (11)

- среднее время пребывания заявки в очереди

т0 = т*/Х. (12)

Рассмотренные математические модели необходимо учитывать при проектировании АЗС, задаваясь предполагаемым транспортным потоком, проходящим через автозаправочную станцию, а также в процессе эксплуатации действующих АЗС для прогнозных оценок. Применение предлагаемого математического анализа несомненно благоприятно скажется на экологической ситуации вокруг действующих автозаправочных станций.

Библиографический список

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Наука, 1980. - 208 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Наука, 1991. - 384 с.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: Наука, 1966. - 497 с.

4. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. - 432 с.

к

к

а

1=1

1

к

а

1=1

т

к=п+1

к=1

п

к=0