CC BY
39
О расщеплении воли сдвига в изотропных гипоупругих материалах
В.Н. Демидов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
Рассмотрена простейшая модель гипоупругой среды, определяющие уравнения которой сводятся к пропорциональности между тензорами скоростей изменения напряжений и скоростей деформаций. В качестве коэффициента пропорциональности в этих уравнениях фигурирует модуль сдвига, а в качестве объективной меры скорости изменения напряжений — производная Яуманна. В линеаризованной постановке подробно исследована задача о распространении акустического сигнала (прямоугольного импульса касательных напряжений) в гипоупругом полупространстве. Приведены результаты численного и аналитического решений данной задачи, которые сравниваются с известным решением для классической упругой среды. Наиболее интересный эффект, наблюдаемый в гипоупругой среде, заключается в расщеплении волн сдвига, что приводит к неавтомодельному изменению формы внешнего сигнала по мере его распространения в среде. В рамках линеаризованной модели термины “гипоупругая среда” и “упругая среда с начальными напряжениями” трактуются как эквивалентные, что позволяет интерпретировать полученные результаты с точки зрения влияния поля внутренних напряжений на характер эволюции внешнего сигнала. Отмечены возможные практические приложения эффекта расщепления поперечных волн в методах неразрушающего контроля и геофизических исследованиях.
1. Введение
Твердые тела, в отличие от жидкостей и газов, обладают не только “упругостью объема”, но и “упругостью формы”. Благодаря этому в твердых телах могут распространяться упругие волны двух типов — продольные и поперечные. Этот факт впервые был установлен Пуассоном; им же было показано, что продольные и поперечные волны характеризуются различными скоростями распространения фронта, причем в продольных волнах отсутствует вращение частиц, а сдвиговые волны не сопровождаются изменением объема.
Чтобы вычислить фазовую скорость упругой волны, следует, как известно [1], найти соответствующее собственное значение тензора Кристоффеля Л = ||Лгг||, компоненты которого Лл = Сгрдкпрпд зависят от упругих характеристик среды С1рф и направления волновой нормали п = (п1, п2, п3) (п — единичный вектор, ортогональный поверхности равных фаз). Поскольку тензор Кристоффеля симметричен и положительно определен, он обладает в общем случае тремя различными собственными значениями, каждое из которых дает квадрат фазовой скорости волны. Таким образом, в общем случае анизотропной среды в произвольном заданном направлении п могут распространяться три волны с различными фазовыми скоростями. В то же время в некоторых особых направлениях п тензор Л может быть одноосным, т. е. два его собственных значения могут
совпадать. В последнем случае две из трех упругих волн будут иметь одинаковые скорости, а поэтому распространяться и фиксироваться приборами они будут как одна волна.
В изотропной же среде, как легко убедиться, тензор Л всегда будет одноосным. Действительно, для изотропной среды тензор упругих модулей имеет вид (к, ц — константы Ламе)
Cipqk = к^гр ^дк + М-(^г'д^ рк + ^гк ^ pq ),
поэтому
Лгк = СгрдкПрПд = ц8гк + (к + ц) .
Нетрудно показать, что характеристическое уравнение
^||Л* -рс 2§*|| = (1)
= |(к + ц)п^к + ц8г-к -рс28г-к|| = 0
для любого направления волновой нормали приводится к виду
(к + 2ц-рс2)(ц-рс2)2 = 0,
и, следовательно, собственные значения тензора Кристоффеля для изотропной среды равны
рс2 = к + 2ц, рс| = рс| = ц,
т. е. два его значения всегда совпадают, вне зависимости от направления распространения волны.
© Демидов В.Н., 2000
Таким образом, в изотропной упругой среде в любом направлении фактически распространяются не три, а две волны: продольная — со скоростью с1 — и поперечная — со скоростью с2. Иная картина наблюдается в гипоупругой среде, определяющие уравнения которой приведены в п.2. В этом случае тензор Кристоффеля (который помимо Срс.к, пк будет зависеть еще и от агк) уже не будет одноосным; точнее, все будет зависеть от исходного напряженного состояния а°к: если оно не сводится к всестороннему растяжению-сжатию, то тензор Л имеет три различных собственных значения, а значит, наряду с продольной, существуют две различные сдвиговые волны, каждая из которых переносит свою долю упругих возмущений, распространяясь со своей фазовой скоростью. Такое пространственное разделение сдвиговых волн, распространяющихся в одном направлении (в отличие от классической упругости, где эти волны движутся слитно, как одна волна), и называется в данной статье “расщеплением волн”.
Автору данной статьи эффект расщепления волн сдвига известен достаточно давно. Он был обнаружен при решении задачи Римана для гипоупругой среды. Необходимость в решении этой задачи возникла в свое время при построении разностной схемы Годунова для упруго-пластической среды, механическое поведение которой при низком уровне напряжений описывалось гипоупругой моделью. Исходный вариант конечно-разностной схемы был описан в [2]. Однако ни в этой, ни в более поздних статьях эффект расщепления сам по себе не анализировался сколько-нибудь подробно. Более того, мне не известны публикации других авторов, специально посвященные данному вопросу. Между тем этот эффект может найти важные практические приложения.
Стимулом к написанию данной статьи явилась работа [3], где рассматривались волны сдвига в исходно напряженной упругой среде. Представленные здесь результаты являются существенным дополнением к проведенному в работе [3] анализу.
2. Определяющие уравнения для гипоупругой среды
В механике деформируемого твердого тела все модели упругих сред принято делить на три класса — это
гиперупругие, упругие и гипоупругие среды [4]. Определяющие уравнения для гиперупругих сред строятся ис-
ходя из предположения о существовании упругого потенциала; для упругих сред постулируется некоторая зависимость между тензорами напряжений и дефор-
маций; наконец, для гипоупругих сред предполагается
справедливой линейная зависимость между тензорами
скоростей изменения напряжений и скоростей деформаций. Соотношения между этими типами сред таково, что всякий гиперупругий материал является в то же время и упругим, а всякий упругий — и гипоупругим. Дру-
гими словами гипоупругость налагает минимальные ограничения на материал, механическое поведение которого в определенном смысле можно рассматривать как упругое, а класс гипоупругих материалов — это наиболее широкий класс, включающий в себя упругие и ги-перупругие материалы, как некоторые частные случаи.
Определяющие уравнения гипоупругой среды в общем виде подробно рассмотрены в [4, 5]. Это уравнения инкрементального типа; они могут быть представлены в форме следующего тензорного соотношения
г
dt
Сутп (ард )Птп ’
(2)
где Dmn = -1
дит до,
- + -
Л
дхп дхт
- компоненты тензора скоростей деформаций; (dаij|dt )0 — объективная мера скорости изменения поля напряжений. Компоненты тензора четвертого ранга Сутп удовлетворяют соотношениям симметрии
с = С- = С- ■ (3)
ПРО УіРЯ ПОР’ ''
они, как видно из (2), являются в общем случае функциями от а
Далее ограничимся рассмотрением случая, когда тензор С не зависит от напряженного состояния; другими словами, будем считать, что С — изотропный тензор. Известно [4], что любой изотропный тензор четвертого ранга, удовлетворяющий условиям симметрии (3), можно представить в форме линейной комбинации двух изотропных тензоров с компонентами 8у8ря и 8ір8 уЯ +8і? 8 ур, т. е. наиболее общее выражение для компонент тензора С в рассматриваемом случае запишется в виде
СУРЯ = ^8У 8РЯ + М-(8ір8Уя + 8ія8Ур ) •
(4)
Скаляры к, ц характеризуют механические свойства среды.
В качестве объективной производной (daij |dt)0 будем использовать производную Яуманна [4, 6]
^ dаij Л
У dt
dt
— Ж а - Ж а
''гп^уп гг уп^т^
(5)
где
dаj даУ
даУ
-+ V-
dt дt дхк
есть субстанциональная производная по времени от тензора напряжений. Тогда определяющие соотношения (2) запишутся в виде
( dаij Л1
У dt
или, с учетом (4),
= С П
^гутп^тп
(
йау
dt
Входящий ( ди,
= Юдд8у + 2цОу. (7)
в (5) антисимметричный тензор
дхк дхі
характеризует локальную ско-
рость вращения материальных частиц, а сама производная (d(5ij |dt/ представляет собой относительную скорость изменения поля напряжений, как ее видел бы наблюдатель, находящийся в подвижной системе координат, вращающейся с мгновенной угловой скоростью, ассоциированной с тензором вихря W. Поэтому производную Яуманна называют также производной “относительно собственного вращения” [7].
Отметим, что объективная мера скорости изменения напряженного состояния определяется неоднозначно [4-7], поэтому форма записи определяющих уравнений будет зависеть от выбора этой меры. Если, например, в качестве
йагі
У
dt
dt
диг
дхп
ди.
дхп
связанную с производной Яуманна соотношением
(
йаг.
Л ( dа,i Л
dt
V у
— П а — П а
гп уп уп гп
то определяющие уравнения запишутся в виде
dt
= С' D
^-"і/тп^тп 5
формально совпадающем с (6), где однако компоненты тензора С' уже будут включать слагаемые, зависящие от тензора напряжений:
Cijpq = Cijpq — "2 (гр8 ( + (1р8 qi + ®iq8р1 + ^ jq8pi )'
Если известно состояние деформируемой среды в некоторый момент времени t, то из уравнений (6), зная элементарные приращения деформаций 8ел = Dik8t, соответствующих моменту времени t + 8t, можно вычислить элементарное приращение напряжений 8а!к. В общем случае напряжения в произвольный момент времени вычисляются интегрированием соотношений (6) при известном пути деформирования.
В материалах, подчиняющихся закону деформирования (6), отсутствует внутренняя диссипация. Действительно, уравнения (6) однородны, в них фигурируют лишь значения тензорных полей в текущий момент времени t, поэтому масштаб времени роли не играет; изменение напряжений связано только с изменением градиента деформаций и не зависит от того, с какой скоростью эти изменения происходят.
Представляя тензоры напряжений и скоростей деформаций в виде суммы шаровых (р, Dnn) и девиатор-ных ^к, Ек) составляющих
аік ^ік р8ік• р з апп • Diк Еік + ^ Dnn8ik ,
запишем уравнения (7) в виде
^ік ¿і
— ^іп$кп — %пхіп - 2МЕік •
(8)
(9)
Поскольку первые инварианты девиаторов напряжений и скоростей деформаций равны нулю Skk = = Екк = 0, система (8), (9), так же как и (7), состоит из шести независимых уравнений.
При анализе малых упругих возмущений, распространяющихся в среде с начальными напряжениями, определяющие соотношения могут быть линеаризованы и представлены в виде
¿а
(¿а у І ¿і) взять конвективную производную или
¿і
,к -Щпа'кп --НА + 2№• <10>
¿Р --КПкк • —
¿і кк ¿і
Л*ік — Щп& — W¡шsi - 2цЕ*, (11)
где линеаризованный оператор субстанциональной производной имеет вид
d = д о д
dt дt т дхт ’
00
а параметры , и1 описывают некоторый начальный фон, по которому распространяются малые возмущения.
Если компоненты тензора-градиента вектора перемещения и = (и1, и2, и3) удовлетворяют условиям \дщ/дхк | << 1, то возможно дальнейшее упрощение определяющих уравнений. Действительно, тензор D равен в этом случае производной по времени от тензора малых деформаций е = Цек I, а тензор W — производной по
времени от тензора вращения ю - Цю^-йг
ік 0 _____
_ ■ ггк - ~
дх
[6]:
Пгк -'
й
йюгк
1 ( диг дик Л
+ к
1
Югк - 2
диг
дхк
дхг
дик
дхг
Л
Подставляя эти равенства в (10) или в (11) и выполняя интегрирование по времени, получим
аИ - аУ + кк8а + 2"£г7 + Югп а п + Ю п аЬ
0 р-о 0 I т.. 1,4 0 . 0
Р - Р — Кгкк ■ sik - Яік + 2Кк + ЮіпЧп + Юк^іп ■
(12)
(13)
Здесь еік - гік — (1/3)єпп8ік — компоненты девиатора тензора малых деформаций.
Если аУу - 0, то соотношения (12), (13) совпадают с законом Гука для классической линейно упругой среды; если же в среде присутствуют начальные напряжения (аі/ ф 0), то дальнейшее изменение напряженного
аіп ■
состояния связано не только с деформацией ), но и с вращением (Юj) материальных частиц. В этом собственно и заключается основное качественное отличие механического поведения гипоупругой среды от ее классического упругого аналога. Отсюда ясно, что распространение касательных возмущений в гипоупругой среде будет сопровождаться специфическими эффектами, не свойственными классической упругой среде.
Далее ограничимся рассмотрением случая малых деформаций (перемещения, скорости и ускорения могут быть при этом конечными) и линеаризованными определяющими соотношениями в виде уравнений (11). Полная постановка задачи помимо определяющих уравнений будет включать уравнения движения
(
Р
dvi 0 dvi
1 + v¡ 1
\
dt
dxk
За
ik
dxk
= 0
(14)
и дополнительные ограничения в форме начальных и граничных условий. В привлечении других уравнений для определения модели нет необходимости: уравнения баланса энергии и массы служат для анализа тепловых эффектов и изменения плотности, сопровождающих процесс деформирования; при анализе упругих волн эти эффекты малы и ими можно пренебречь.
Основные искомые функции — это три компоненты вектора скорости vx (x, t), v2 (x, t), v3 (x, t) и шесть компонент тензора напряжений oik (x, t) (или p(x, t) и sik (x, t) при дополнительном условии skk = 0). Зная v(x, t), можно вычислить тензорные поля скорости деформаций D(x, t) и скорости вращения W(x, t), а затем, при необходимости, и поля перемещений u (x, t), деформаций e(x, t) и поворотов m(x, t).
3. Скорость фронта поперечных волн в изотропной гипоупругой среде
Для определения скоростей распространения малых возмущений в гипоупругой среде можно воспользоваться способом, упомянутым во введении, т. е. получить уравнение Кристоффеля — обобщение уравнения (1) — и вычислить его корни. Такой способ был использован в [3]. Воспользуемся здесь эквивалентным, но несколько иным методом.
Рассмотрим решение системы уравнений (11), (14) в виде плоской монохроматической волны. Общие выражения для тензора напряжений и вектора скорости в такой волне могут быть записаны в виде
оpq =аPq exp[k • x -rot)
v = va exp[z'(k • x - rot)]
(15)
где
k = kn, n • n = 1, k = k =
2n 2nv
Г
ю =
c = 2nv.
Действительные напряжения и скорости равны вещественным частям комплексных выражений (15). Здесь п — вектор волновой нормали; V — частота; Л' — длина волны; с — фазовая скорость; ю— круго-
і „_а а
вая частота; к — волновое число; константы арЧ, V характеризуют амплитуду и поляризацию волны.
Совместим одну из осей декартовой системы координат, например ось Ох1, с направлением вектора волновой нормали. В таком случае величины V, аря будут функциями времени и одной пространственной координаты, т. е. V - v(х1, і), аря - аря (х1, і), а система уравнений (11), (14) примет вид:
Р
dvi + vо av.
dt 1 Эх1
+ dp_ _dsn = о,
Эх1 Эх1
dv2
dt
+v
Эх1
ds
12
Эх1
= 0,
(dv3 0 dv3 ^ 3s13
Р —3 + v,0 —3--------------------13 = 0,
dt dx1 dx1
(
dP + v 0 dt 1 dx1
+ K *1 = 0,
Эх1
ds1
+s
dv2
_ + + s."^ + s.”3 ^ = 4
dt dx1 dx1 dx1 3 ЭХ1
0 dsn
+ s10
(16)
ds
ds0
22 + v?^ _ s 0
dv0
dt
A ------
Эх1
2 dv1
12 -------- =---------Д”
3x1 3 3x1
ds
33
dt
0 3s33 0 3^3 2 3^1
3x1 13 dx1
ds12_ + v0 ds12 + J23
dt
3 + s22
s 22 3 v2
s0 3v2
1 ----------+-------------------+-------------------_------------------------= |Л------
3x1 2 3x1 2 3x1 2 3x1 3x1
3v2
3s,
dt
+v
0 ds13
s23 dv2
s0
s33
= Ц-
dv-.
3x1 2 3x1 2 3x1 2 3x1 3x1
3s
23 0 3s23
23 + v, 23
s103 dv2
0 3v
s12
3t
1 ------------------------------------
3x1 2 3x1 2 3x1
= 0.
Вводя в рассмотрение вектор-функцию
' = {*4 = {v1
2— W10
>}
, v2, v3, s11, s12, s13, s22, s23, s33,
P}
запишем систему (16) в матричном виде
:1Т + А<»0>1Г = 0, (17)
дt дх1
где I — единичная матрица размерности (10х10), а матрица коэффициентов А = \А1Л имеет вид
Р
Р
»1° 0 0 -Р 1 0 0 0 0 0 р-1
0 »1° 0 0 -р-1 0 0 0 0 0
0 0 »1° 0 0 - р-1 0 0 0 0
- 4/3 ц «° «12 «3 »1° 0 0 0 0 0 0
0 !2(«22 - «11) -ц 12 «223 0 »1° 0 0 0 0 0
0 3 02 ъ 2 V2 («22 - «11) -ц 0 0 »1° 0 0 0 0
23 ц - «12 0 0 0 0 »1° 0 0 0
0 -12 4 -12 «12 0 0 0 0 »1° 0 0
2/3 ц 0 - «13 0 0 0 0 0 »1° 0
К 0 0 0 0 0 0 0 0 »1°
Подставляя (15) в (17) и выполняя дифференцирование, получим в качестве необходимого условия существования нетривиального решения системы (17) равенство нулю характеристического определителя:
det || А - с1 | = 0,
в котором с = ю/ k — фазовая скорость фронта волны. Раскрывая определитель и опуская простые, но громоздкие выкладки, получим следующее алгебраическое уравнение 10-й степени относительно с:
(»1° - с)4 [(»1° - с)2 - а2 ]>
: [(»1°
Это уравнение, очевидно, имеет следующие корни:
- а |х
х [ - с)4 - [° - С)2(&12 + Ь22) + (ЬіЬ2)2]= °.
с1 = с2 = с3 = с4 = с5,6 = »° ± а> с7,8 = »1 ± Ь1, с9,1° = »1 ± Ь2‘
Величины а, Ь1, Ь2 определяются формулами ра2 = К + 4 ц,
(18)
р^1,2 = ц+~ -
± 1
^ 0 0 ^ «22 - «
«33
+(«23)2*
Знак плюс перед радикалом в последней формуле относится к Ь1, минус — к Ь2.
Четырехкратный корень с = у10 соответствует траектории движения материальных частиц в невозмущенной области, корни с = с5 6 соответствуют продольной волне, распространяющейся в положительном и отрицательном направлениях оси Ох1, наконец, четыре корня с = с7 8, с = с910 соответствуют двум типам сдвиговых волн, которые имеют различные фазовые скорости Ь1, Ь2 (Ь1 > Ь2), и распространяются в положительном и отрицательном направлениях оси Ох1.
Из физических соображений ясно, что скорости упругих волн — величины инвариантные, их значения не зависят от выбора системы координат. Для скорости продольных волн это утверждение очевидно, поскольку а вычисляется через скалярные параметры К, ц, р и не зависит явным образом от напряженного состояния. Убедимся, что сказанное справедливо и для скоростей сдвиговых волн.
С этой целью рассмотрим наряду со “старой” системой координат Ох1х2х3 “новую” систему Ох1х2х3, получающуюся из старой с помощью некоторого ортогонального преобразования хі = Ькхк. Компоненты де-виатора напряжений в этих системах координат будут связаны соотношениями
«* = hiphkqSpq • (20)
Для наших целей достаточно рассмотреть ортогональные преобразования, оставляющие ось Ох1 неподвижной. Пусть новая система координат получена из старой путем поворота вокруг оси Ох1 на угол 0, тогда матрица преобразования будет иметь вид
(21)
Из (20) с учетом (21) следуют формулы преобразования ) ° °
«11 = «11,
?12 = «12 ^ 0 + «13 sin 0,
1 0 0
0 + 0 «22 + «33 ± (19) 1Ы1= 0 cos 0 sin 0
4 0 - sin 0 cos 0
«13 = -«12 sin 0 + «13 COS 0,
«22 = «22 COS2 0 + «33 SІn2 0 + 2«23 SІn0COS 0,
«23 = «23 (cos2 0 - sin2 0) + («3 - «22^іп0cos0,
«33 = «22 sin2 0 + «33 cos2 0 - 2«23 sin0cos0.
Обозначим скорости сдвиговых волн, вычисленные в дву?) рассматриваемых системах координат, через й1, Ь2 и й1, Ь2. Значения й1, Ь2 определяются формулами (19), а й1, Ь2 — аналогичными формулами, но с использованием компонент тензора напряжений в новой системе координат, т. е.
V' 0 ?0 + ?0
рЬ22 = Ц + - ^22±^31 ±
2 4
(23)
± I
)0 )0 «22 - «
«33
+(4)2-
Подставляя (22) в (23) и сравнивая полученный результат с (19), легко убедиться в выполнении равенства Ь12 = Ь12, что и требовалось.
Если сдвиговые волны распространяются в среде, находящейся в естественном ненапряженном состоянии (ст0- = 0), то, как видно из (19), Ь1 = Ь2 =4Ф , т. е. их скорости совпадают с классической скоростью волн сдвига в изотропной упругой среде; то же самое будет иметь место, если среда находится в состоянии всестороннего растяжения-сжатия (р0 Ф 0, 5° = 0). В общем же случае напряженного состояния, не сводящегося к гидростатическому, фазовые скорости поперечных волн в гипоупругой среде существенно зависят от вида исходного напряженного состояния. Остановимся на этом несколько подробнее.
Заметим прежде всего, что скорости Ь{, Ь2 не зави- 0 0
сят от компонент напряжений ¿{2, ¿{3, т. е. они будут
иметь одну и ту же величину, независимо от наличия
00
или отсутствия касательных напряжений ¿13. Допустим, что = ¿{3 = 0, тогда, очевидно, ось Охі будет главной осью, а ¿Л — главной компонентой девиа-тора напряжений = ¿Л. Два других главных значения
1 11 0 0
девиатора напряжений ¿2, ¿3 определяются как корни квадратного уравнения
det
Отсюда следует
0 0
- 2 02 ¿23
0 0
¿23 - 3 03
= 0.
00 0 _ ¿22 + ¿33 -
¿2,3 “ '
( 0 0 А2
¿22 ¿33
+ (¿03)2. (24)
Сопоставляя (19) и (24), представим формулы для скоростей сдвиговых волн в виде
7 2 ¿1 - ¿2 7 2 ¿1
рЬ{2 = ц + —--------------------, рЬ^Т = Ц + —
или
рЬ2 = ц + т°, рЬ22 = ц-т2,
(25)
(26)
где т0 = (5° -50)/2, т2 = ^ -s<0)|2 — главные касательные напряжения (т3 >т2), действующие (в системе главных осей) на площадках с нормалями (±72/2, ±72/2, о) и (±72/2, о, ±72/2) соответственно.
Формулы (25), (26) удобны для оценки степени влияния исходного напряженного состояния на величину фазовой скорости поперечных волн. Экстремальные значения главных касательных напряжений могут достигать величины ту (ту — макроскопический динамический предел текучести на сдвиг). Обычно ту << ц, например, для большинства традиционных конструкционных
—2 —3
металлов и сплавов ту ~ 10 10 ц [8]. Однако для
некоторых современных материалов — бинарных и многокомпонентных аморфных сплавов, металлических стекол, монокристаллических “усов” — значение ту может на порядок превосходить приведенную оценку. Так, например, предел текучести на растяжение-сжатие железных “усов” равен = 12 ГПа, в то время как ц = 79.2 ГПа [8].
Таким образом, в наиболее типичном случае, когда ту = 0.01ц, используя (26), получим Ь1 = ^ 1.010 Ь0 ~ = 1.005 Ь0, Ь2 =л/0.990 Ь0 ~ 0.995 Ь0, где Ь0 = д/ц/Р — классическая скорость поперечных волн. Если же тY = = 0.1ц, то Ь1 =7По Ь0 = 1.049 Ь0, Ь2 = 7090 Ь0 = = 0.949 Ь0, т. е. фазовая скорость для первой и второй волн сдвига отклоняется от Ь0 на 5% в ту или другую сторону, а разница между этими скоростями Ь1 — Ь2 составляет около 10 % от величины Ь0.
Итак, по крайней мере для некоторых материалов, эффект расщепления сдвиговых волн может достигать весьма ощутимой величины.
В качестве количественной меры эффекта расщепления А может быть принята любая из величин й1, Ь2 или некоторая монотонная функция от них. Можно, например, положить А = Ь1 — Ь2 или А = р(Ь12 — Ь|). Однако в любом случае между действующими в среде касательными напряжениями и величиной А существует вполне определенная аналитическая зависимость. Поэтому, если известна экспериментально измеренная величина А, то приведенные формулы позволяют сделать вполне определенный вывод о действующих в среде напряжениях сдвига.
Отмеченный факт может найти применение в методах неразрушающего контроля для измерения внутренних напряжений в нагруженных элементах конструкций или для измерения остаточных напряжений в узлах и деталях машин.
4. Соотношения на характеристиках
Ограничиваясь случаем плоской симметрии, будем так же, как и выше, полагать, что ось Ох1 декартовой системы координат ортогональна плоскому фронту вол-
ны, т. е. совпадает по направлению с вектором волновой нормали. Тогда для анализа волн сдвига достаточно рассмотреть систему четырех дифференциальных урав-
нении:
dv2 о dv2
1 + vі 2
dt
1 --------------------
Эх1 р Эх1
dv-.
--------+ Vi---------------------------
dt Эх1 р Эх1
dv3 1 ds
13
= о,
(27)
(28)
ds
12
dt
О ds12
Эх1
( о s22 ■
А
^2. + - О, (29)
Эх1 2 Эх1
ds
13
dt
+v
s23
dv2
О ____________
Эх1 2 Эх1
(so
s33
А
dv3
Эх1
= О, (30)
являющихся частью системы (16). Приведем некоторые соображения в обоснование этого не совсем очевидного утверждения.
Хорошо известно [9], что в неограниченной однородной изотропной упругой среде продольные и поперечные волны распространяются независимо, т. е. продольные волны при своем распространении не генерируют поперечных волн, а поперечные волны не генерируют продольных. В гипоупругой среде в общем случае картина выглядит гораздо сложнее, поскольку все компоненты тензора напряжений и вектора скорости оказываются взаимосвязанными, и ни один из типов волн не может распространяться независимо от другого.
Эта связность волновых процессов сохраняется и в линеаризованной гипоупругой модели (16), хотя и в значительно ослабленной форме. Фронт поперечной волны по-прежнему служит источником продольных возмущений, однако обратная связь в рамках линеаризованной модели уже отсутствует, т. е. продольная волна не изменяет параметров поперечной волны, ее породившей. Более того, существуют некоторые частные виды напряженного состояния, когда продольные и поперечные волны вообще не взаимодействуют друг с другом. Это можно показать абсолютно строго, если привести рассматриваемую систему дифференциальных уравнений к характеристическому виду. Не прибегая к этой весьма громоздкой процедуре, отметим, что на качественном уровне все сказанное можно видеть и непосредственно из системы уравнений (16). Действительно, допустим, что
v° - v° - 0 s12 - s13 - °
(31)
Тогда величина s23 с течением времени остается неизменной, а все остальные функции, фигурирующие в (16), разбиваются на две группы: с одной стороны — это касательные компоненты скорости и напряжения и2, и3, s12, «13, лежащие в плоскостях, ортогональных вектору волновой нормали п, с другой — диагональные
компоненты тензора напряжений стп, ст22, ст33 и компонента вектора скорости ь1, параллельная вектору п. Первая группа переменных непосредственно связана с распространением поперечных, а вторая — продольных волн, причем между этими группами переменных при выполнении условий (31) отсутствует взаимосвязь. Например, изменение компоненты скорости и1 (продольная волна) никак не отражается на значениях и2, и3 (поперечная волна) и наоборот.
Итак, хотя поперечные волны в гипоупругой среде и генерируют продольные волны, сами они этого “не замечают”. Поэтому, если не интересоваться специально эффектами связности волновых процессов, поперечные волны могут быть рассмотрены изолированно, “в чистом виде”. Таким образом, приходим к системе уравнений (27)-(30).
Данная система, как и вообще любая линейная система дифференциальных уравнений гиперболического типа, может быть записана в инвариантах Римана [10, 11], т. е. может быть приведена к некоторому специальному каноническому виду.
Проделаем соответствующие преобразования и получим в итоге соотношения на характеристиках, эквивалентные в совокупности системе дифференциальных уравнений (27)-(30).
Для этого прибавим к уравнению (27) уравнение (28), умноженное на
Х° -
2s
23
s22 s33 >/(S22 s33) + 4(s23)
(31)
из полученного результата вычтем уравнения (29) и (30), умноженные соответственно на 1/(рЬ{) и %0/(рЬ{)- В результате, после простых преобразований, получим уравнение
dvi /О 7ч dvi о
—1 + (vf + Ь)-± + хО
dt 0X1
dv3 О 43v3
—3 + (vf + b) —3
dt 0X1
1
pb1
pb1
дл, . о , , Эл,
+ (vf + b)—11
dt
ds13
dt
dx1
ds13
dx1
(32)
- О,
в котором все функции дифференцируются в одном направлении
dx1
1-„о
dt
(33)
Это общее направление дифференцирования является характеристическим для системы (27)-(30), а уравнение (33) определяет в плоскости (х1, t) семеИство характеристик, которое ввиду того, что v0 - const, b -= const, является семеИством прямых линиИ Xj -
- (vj + b1) t + const.
-s
Аналогичным образом, прибавляя к уравнению (27) уравнения (28)-(30), умноженные соответственно на X0, 1/(рЬ) и %?/(рЬ), получим второе уравнение
dv2
dt
4 dv0 0
)a +X1 дх1
+1 ds12
P61 dt
X0 + Xk Pb ds13
dt
dv3 , 0 , ч dv3
-d1 + (vi - Ь)-^
dt OXj
■+(v0 - 6,)-d%
■ + (v1 - 61)
Эх,
ds13
Эх,
(34)
= 0.
Внося постоянные множители, стоящие в уравнениях (32) и (34) перед квадратными скобками, под знаки производных и вводя обозначения
1 X0
R1 = v2 + Xlv3 -^~ S12 -_Г" S13>
Р6 Р6
- 1 Х0
R1 = v2 +x0v3 + ^~ s12 + _Г" s13>
Р6 Р6
перепишем эти уравнения в виде
■>+ 3 D +
(35)
dR1 , 0 , ч dR1 „
^ + (v10 + 61)-^ = 0,
dt
дх1
dR-+v0 - 61) dRL = 0.
dt
Эх1
(36)
(37)
Полученные уравнения имеют ясный физический и геометрический смысл. Остановимся на этом несколько подробнее.
Левая часть уравнения (36) представляет собой индивидуальную производную (полную производную по времени) от величины R1+, связанную с точкой, движущейся вдоль оси Ох1 со скоростью у10 + Ь1; аналогичный смысл имеет и уравнение (37). Равенство нулю индивидуальных производных говорит о сохранении величин Л± в точках, движущихся со скоростями V® ± Ь1 соответственно, а сами эти величины — суть инварианты Римана для рассматриваемой системы уравнений (27)-(30).
Замечая также, что в одномерном движении вдоль оси Ох1 произвольной точке этой оси соответствует на самом деле ортогональная плоскость, проходящая через данную точку, полученные результаты можно интерпретировать как наличие двух семейств плоских волн, движущихся в противоположных направлениях оси Ох1 со скоростями V® + Ь1 и V® - Ь1. Относительная скорость распространения волн по материальным частицам среды равна ±Ь1. Волны одного семейства несут постоянное значение инварианта Римана Л+, второго семейства — постоянное значение инварианта Римана Л1-.
С геометрической точки зрения это означает, что в плоскости х10^ существуют два семейства характеристических прямых (обозначаемых далее как С{±)
С, : х, = (v, ± b,) t + const,
обладающих тем свойством, что вдоль линий каждого семейства сохраняет постоянное значение один из инвариантов Римана: R+ или R,-.
Если ввести обозначения
d д д
— I = — + (v,0 ±b)------
dt J, dt дх,
для операторов дифференцирования вдоль соответствующих характеристических направлений, то уравнения (36), (37) могут быть записаны более компактно
dR+
dt
= 0,
/ \
dR1-dt
v у
= 0.
(38)
Суммируя уравнения (27)-(30), предварительно умножив их соответственно на
1, х2 =
2s.
s22 s33 + V(s22 s33 ) + 4(s23 )
P62 P62
получим еще два соотношения
f + \+ dR+
dt
= 0,
dR2
dt
= 0.
Здесь введены обозначения
± , - х0
R2± = v0 + x0v3 + -г- s,0 +~Т s,3
Pb0 Pb0
для инвариантов Римана и
(39)
(40)
dt
d 0 ,, 4 d ^ + (v1 ±
dt dx^
для операторов дифференцирования вдоль характеристических направлений С±:
C2±: dX1 = v0 ± 62. 2 dt 1 2
(41)
По смыслу и содержанию уравнения (39) полностью идентичны уравнениям (38). Они говорят о том, что величины Л± представляют собой еще две инвариантные линейные комбинации переменных и2, У3, s12, s13, которые сохраняют свои значения неизменными вдоль характеристических направлений (41).
Таким образом, вместо исходной системы уравнений (27)-(30) получены четыре уравнения (38), (39). Нетрудно убедиться, что якобиан преобразования отличен от нуля:
3 _Э(Л+, Л, Л+, Л2-) ^ 0
d(v2, v.
3, s12, J13^
+
+
Рис. 1. Схема, поясняющая способ вычисления параметров течения в точке Р по известным значениям этих параметров на нехарактеристической линии /(х1, {) = 0
поэтому системы уравнений (27)-(30) и (38), (39) эквивалентны.
Предполагая, что начальные данные V0, s<¡lk известны на некоторой нехарактеристической кривой / (х,, ґ) = = 0 в плоскости переменных x1Oí, и интегрируя (38), (39), получим соотношения на характеристиках в виде конечных алгебраических уравнений:
± 1 х0
R± = v2 + x°v3 +----------s12 + —^ s13 = const,
P6 Р6
C ±: = v 0 ± 6 C1 : ,„ = v1 ± 61, dt
± 1 - X°
R°± = v° + X°v3 + — s1° +~r s13 = const, P6° p6°
C°±: —1 = v* ± 6°.
° dt 1 °
(42)
(43)
Константы в правых частях равенств (42), (43) представляют собой значения инвариантов Я±2, вычислен-
„0 0 „ ,
ные по начальным значениям vi , sik. В результате вычисление параметров течения v2, ^3, s12, «13 в произвольной точке Р (рис. 1) сводится к решению системы линейных уравнений:
^ +Х0у3 -_Г"«12 -"ХІГ^З = R1+ (бі)>
рЬі рь
v2 + Хі v3 + «12 + "X1-% = А (^1),
р6, Р6
1
х°
(44)
у2 +X2V3 «12 «13 = Л2 (&),
РЬ2 РЬ2
1 Хо -
v2 + X2V3 + «12 + _2«13 = Л2 (^2),
РЬ2 РЬ2
определитель которой совпадает с якобианом преобразования. В силу J Ф 0 эта система имеет единственное решение.
В общем случае линия f (х,, t) = 0 может состоять из нескольких участков, каждый из которых либо “ориентирован в пространстве”, либо “ориентирован во времени” [10]. На линиях, ориентированных в пространстве, задаются начальные данные, а на линиях, ориентированных во времени, — граничные условия. Примером линий, ориентированных в пространстве, являются прямые t = const, а линий, ориентированных во времени, — прямые х, = const.
Отметим, что запись характеристических соотношений в виде (42), (43) корректна лишь тогда, когда s03 ф 0; в противном случае, по крайней мере одна из введенных выше величин х0 или х0 будет представлять собой (в зависимости от величины и знака компонент напряжений s°0, s33) неопределенность вида 0/0. Более детальный анализ данного вопроса показывает,
00 что если s°° > s33, то
lim х? = +“, lim X° = ±0,
s?3—±0 s?3 ——±0
00 если s°° < S33, то
0lim X0 = +0, 0lim x° = ±~,
s?3—±0 s?3—±0
(45)
(46)
наконец, если «®2 = «33, то ни одна из величин х°, х2 не имеет определенного значения. Отметим также полезное для дальнейшего равенство
X0X0 = -1,
(47)
имеющее место при «°3 Ф 0, независимо от значений других компонент тензора напряжений.
Из сказанного следует, что при анализе характеристических свойств рассматриваемых дифференциальных уравнений целесообразно выделить следующие частные виды напряженного состояния:
A) «23 ф 0,
B) «23 = 0, «22 Ф «33 ,
О «23 = 2, «22 = «33 Ф «11,
П) «23 = 0, «22 = «33 = «11 = 0,
которые расположены здесь в порядке уменьшения общности (сложности) напряженного состояния. Вариант А включает случай, когда отличны от нуля все компоненты девиатора напряжений, а вариант Б — случай полного отсутствия начальных напряжений.
Случай А подробно рассмотрен выше; в случаях ВБ система дифференциальных уравнений (27)-(30) существенно упрощается, поскольку исчезает перекрестный эффект, заключающийся во взаимном влиянии касательных напряжений «12, «13 (скоростей v2, у3) друг на друга. В соответствии с этим упрощаются и соотношения на характеристиках; в отмеченных вариантах они принимают следующий вид:
B)
C)
D)
- V0 + s,0 = const, C±: dx-L = v,0 ± bv, (48)
pbv dt
, dx
R±-V3 m —s,3 = const, Cw: = v,0 ± bw, (49)
pbw dt
R,± - v0 m — s,0 = const,
Pb n± dx, r о ±,
± _ , С : —- = v, ± b, (50)
R± - v3 m — s,3 = const, dt
Pb
R± - v0 m s,0 = const,
Pb0 с±: A = v0 ±b0, (51)
R± - v3 m----------s,3 = const,
Pb0
где
p6v - M- +
p6 ° - ц +
00 s11 - s°°
, P6W -Ц +
00 s101 - s303
00 s11 - s°°
P60 - M-.
(52)
(53)
В каждое из равенств (48)-(51) входят только “одноименные” компоненты вектора скорости и тензора напряжений, т. е. либо только у2, «12, либо только у3, «13, что является прямым следствием отсутствия связности в системе дифференциальных уравнений (27)-(30), которая при «23 = 0 распадается на две независимые подсистемы, одна из которых включает уравнения (27), (29), вторая — уравнения (28), (30).
Вариант В, также как и вариант А, содержит четыре различных семейства характеристик. Соотношения (48), (49) могут быть получены или непосредственно из системы (27)-(30), или из (42), (43) предельным переходом при «23 ^ 0 с учетом (45), (46), а также равенств
61 = 6w > 6° = 6v > если 4° > s33, 61 = 6V, 6° = 6W, если s0° < s303,
(54)
(55)
имеющих место при «23 = 0.
В случаях С, Б имеются два вырожденных (двукратных) семейства характеристик: вдоль линий семейства С + постоянны значения инвариантов Л+ и Л+, вдоль С- — инвариантов Л1- и Л-.
Вариант Б является, очевидно, частным случаем варианта С и отличается от него только скоростью распространения волн сдвига. Он выделен в качестве независимого варианта лишь потому, что характеристические соотношения имеют в этом случае такой же вид, что и для классической упругой среды. Поэтому, сравнивая решение, построенное для варианта Б, с другими вариантами, можно наглядно представить особенности протекания волновых процессов в гипоупругой среде.
Рис. 2. Гипоупругое полупространство х1 > 0 и заданная на его границе х1 = 0 система напряжений а^, а^, а^
5. Волны сдвига в гипоупругом полупространстве
Перейдем непосредственно к аналитическому исследованию вопроса о влиянии исходного напряженного состояния упругой среды на особенности развивающихся в ней волновых процессов. Вся необходимая для этого подготовительная работа была проделана в п. 3, 4. Основной интерес для нас представляет эффект расщепления поперечных волн. Поскольку наиболее яркого проявления этого эффекта следует ожидать при распространении “прямоугольного” импульса напряжений, рассмотрим именно этот тип нагружения.
Начало декартовой системы координат Ох1х2 х3 поместим на границе, а ось Ох1 направим вглубь полупространства (рис. 2). Пусть на границе х1 = 0 в момент времени t = 0 внезапно начинает действовать однородная (т. е. одинаковая во всех точках плоскости х, = 0) внешняя нагрузка, приводящая к возникновению граничных напряжений , к = 1,2,3; по истечении некоторого времени 1 внешняя нагрузка также внезапно снимается:
о,к (о, 1)= 1°“ при 2 51:?,к=и,3, (56)
[О при 1 > 1.
Начальные данные для полупространства имеют
вид:
ст* (х, 0) - а*, v- (х, 0) - v-, х > 0,
где о°к, V0 — некоторые константы. Чтобы исключить из рассмотрения продольную волну, будем предполагать, что начальные и граничные условия для нормальной составляющей тензора напряжений согласованы, т.е. о°1 = стЦ у0 = , где — скорость, соответст-
вующая напряжению оЬ. Однородная внешняя нагрузка приведет тогда к возникновению только поперечных волн, распространяющихся вглубь полупространства.
(57)
Рис. 3. Схема волнового движения полупространства х1 > 0 (варианты С, V)
Основными искомыми функциями в рассматриваемой задаче будут компоненты вектора скорости и тензора напряжения v2(х1, €), v3 (х1, £), sn (х1, £), s1з (х1, t), действующие на площадках, ортогональных вектору волновой нормали. Располагая этими функциями, можно при необходимости определить и иные параметры, характеризующие сдвиговые волны: компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций, компоненты вектора поворота материальных частиц и т. д. Решение ищется в области изменения независимых переменных (х1, t): х1 > 0, t > 0.
Рассмотрим сначала некоторый момент времени Ц, удовлетворяющий условию
Г < ^ < г * = (V!0 + Ь) ¿1(Ъ - ъ2)-Построение решения, соответствующего данному моменту времени, начнем с наиболее простого варианта — варианта D.
Вариант D (ст2з = 0, = ^2 = стзз)
В этом случае в начальных данных (57) равны нулю все компоненты, за исключением, быть может, v20, v3, «02, «03. Чтобы среда при этом находилась в равновесии, скорости V0, V10 и напряжения s102, s103, разумеется, не могут быть заданы произвольно, они должны быть согласованы друг с другом. Поэтому, если начальные данные отличны от нуля, то будем считать, что они соответствуют напряженно-деформированному состоянию, сформировавшемуся за уже прошедшей волной сдвига,
а граничные условия (56) соответствуют догрузочному
_Ь _ь
импульсу, т.е. напряжения ст^, <^3 являются дополнительными к уже действующим (в том числе и на гра-
00
нице) напряжениям s12, s13.
При построении аналитического решения будем использовать данную выше геометрическую интерпретацию соотношений на характеристиках. Дополнительно заметим, что характеристики, в силу их определения,
являются линиями, ограничивающими области распространения малых возмущений. Потому разрывы в краевых условиях, имеющие место при t = 0 и I = I, будут сохраняться и в решении, перемещаясь вглубь среды вдоль характеристик семейства С +, как показано на рис. 3.
Характеристики С + и С +, выходящие из точек с координатами (0, 0) и (0, I), разбивают первую четверть плоскости (х1,1) на три области 0, II, IV (принятая на рис. 3 нумерация областей будет ясна из дальнейшего). Области 0, IV представляют собой угловые секторы, ограниченные с одной стороны осью координат, с другой стороны — характеристикой; они содержат точки (х1,1), координаты которых удовлетворяют неравенствам: для области 0 х1 > (у + Ь0) I, для области IV х1 < (у0 + Ь0) (I -1). Область II — это полуполоса, заключенная между параллельными характеристиками С +, С + и осью 01. Точки, принадлежащие этой области, удовлетворяют неравенствам
(V0 + ьо) (1 - 1) < *1 < (V0 + ьо)
Рассмотрим произвольную точку Р, принадлежащую области II. Через эту точку проходит по одной характеристике каждого семейства С- и С +; проведем их из точки Р в обратном направлении до пересечения с осями координат в точках Q и 51 соответственно. Характеристика С-, берущая начало в точке 51, переносит в точку Р те же значения инвариантов Римана Л1-, К-, которые они имеют в точке б1, т. е. имеют место равенства R1- (Р) = R1- (^), R2 (Р) = R- (£), которые с учетом выражений (51) запишутся в виде
V? +
V11 +
1 II 0 1 0
р о о «12 + Рьо '«12 5
1 II 0 1 0
рЬо «13 = Щ + рЬо «13-
(58)
Здесь верхними индексами 0, II обозначены значения параметров в соответствующих областях. Далее подобные обозначения будут использоваться во всех формулах.
Вдоль характеристики С + в точку Р из точки Q переносится информация о заданном на границе внешнем воздействии; согласно краевым условиям (56) sl2(P) =
= «12(0 = «12, «13(Р) = «13(0 = «13, или
«12 = «125 «13 = «
13-
(59)
Эти равенства дают значения касательных напряжений в области II, с учетом которых из (58) следуют формулы для вычисления компонент вектора скорости в данной области:
V? = V0 + -(«12 - «12)
Рьо
V3П = v3, + -
(«13 «13)
Рьо
(60)
Рис. 4. Схема волнового движения полупространства х, > 0 при 1 < 1* (варианты А, В)
Тем самым определены значения всех интересующих нас функций в области II.
Рассматривая аналогичным образом произвольную точку, принадлежащую области IV, легко установить, что после снятия внешней нагрузки среда возвращается к исходному состоянию, т. е.
.IV
.0 „IV
.0 „IV
О „IV
(61)
В области 0 соотношения на характеристиках тождественно удовлетворяются начальными данными.
Итак, если начальное напряженное состояние среды соответствует варианту D, то решение поставленной задачи описывается кусочно-постоянными функциями следующей структуры. В области 0, т. е. там, куда не дошло распространяющееся со скоростью у0 + Ь0 влияние границы, имеем начальное состояние ^°, п°, s102, s103, которое затем восстанавливается в области IV при t > 1. Напряжения в области II совпадают с заданными граничными значениями, а соответствующие им скорости определяются формулами (58). Другими словами, инициированный внешним воздействием прямоугольный импульс перемещается в положительном направлении оси Ох1 со скоростью у0 + Ь0 как единое целое.
Подобное поведение решения типично для классической упругой среды, не обладающей дисперсией. В такой среде импульс, имеющий определенный вид при t = 0, распространяется с постоянной скоростью, не изменяя со временем своей формы [9].
Вариант С (ст^э = 0, Ф ^2 = ст°3)
Очевидно, что в данном случае решение будет иметь точно такую же структуру, как и в случае D, поскольку
форма характеристических соотношений (51) совпадает с (50). Все необходимые изменения сводятся лишь к замене Ь0 на Ь в формулах (60) и в уравнениях характеристик С ~. Таким образом, решение будет иметь вид:
область 0: х1 > (у° + Ь) I
начальные данные , 5°, «{3;
область II: (у0 + Ь) (I -1) < х1 < (у0 + Ь) I,
„П = ,,0 , («12 - «12 ) „II = ,,0 , («13 - 513)
V2 — У2 "т"----------, У'з — (У3 ~г ~
рЬ
рЬ
II
II
«12 = «12, «13 = «13 ; 0
область IV: Х1 < (V0 + Ь)(t -1),
.IV
.0 „IV ,.0 „IV „0 „IV
(62)
(63)
Вариант А (^23 Ф 0)
Структура возникающего волнового движения, соответствующая данному варианту, показана на рис. 4. Она состоит из пяти областей 0, ..., IV, разделенных характеристиками С+, С+, С1+, С2. В каждой из отмеченных областей решение описывается своими аналитическими формулами. Общая схема построения решения остается той же самой, что и для варианта Д хотя в данном случае она более громоздка. Теперь имеются уже не два, а четыре различных семейства характеристик С±, С± и соответствующие им соотношения (42), (43), справедливые на каждой линии этих семейств. Если начальное напряженное состояние является гидростатическим (ст0£ =-р°), то области I и III вырождаются, характеристики семейств С+, С+ сливаются, образуя двукратное семейство характеристик С +, и рис. 4 преобразуется в рис. 3.
В области 0 соотношения на характеристиках выполняются тождественно. Система уравнений (44) для вычисления параметров в области I имеет вид
Т ПТ 1
у2+ХіЧТ +—„ рЬ
х п
Т , х1 12 +'
рЬі
*1Т =
= у2 +Хі%П +-^ * рЬі
і
у2+хі%Т-
П + х1 „п
12 + _Т~ „13,
-Ь1
і
■—„1 --х^ „1 = „12 - „1Т =
—Ь -Ь1
= V11 +х°п11 - — „11 -^ „11 = ^ +Х1 V3 ; „12 7 „13 ,
-Ь1 -Ь1
і
хі2
у2 + х2у3 + Г" *12 + 7~ «’3 =
-Ь2 -Ь2
(64)
= у2 + Х2^П + —Г" «12 '
-Ь2
хі2
—Ь2
«13,
v2+х 2vзТ■
1 „1Т2 - хі2 „1Т3 = „12 - „13 = —Ь2 —Ь2
= +хуп-
■±-*п -х1 *п „12 - „13. —Ь2 —Ь2
Эти уравнения выражают условия постоянства инвариантов Римана вдоль характеристик С1-, С+, С-, С+ соответственно, которые пересекаются в некоторой (произвольной) точке, принадлежащей области I. Выразить отсюда параметры V*, ^112, SlI3 непосредст-
венно через известные начальные и граничные данные, очевидно, нельзя, поскольку правая часть второго уравнения содержит неизвестные пока значения параметров из области II.
Поэтому, прежде чем решать систему уравнений (64), необходимо определить величины V;?, VзП, s^2, О^. Их значения являются решением системы уравнений
„ II + х о„ II + _^ о II + _ХЬ о II -^ + Л1V3 + 7 „12 + , „13 -
рЬ рь
=v0+х 0V 0+—„ 0 +^ „о - 1;2 + Л1^ + 1 „12 + 1 „13,
РЬ1 рЬ1
v2Т+х 2vзТТ+-^12 —Ь2
хі
„ТТ + х2 „ТТ = „12 „13
—Ь2
= VП +хПуП +—«П +^х1 «П
= у2 +х 2V3 + 1 „12 + 1 „13,
—Ь2 —Ь2
П Ь II _ ь „12 = „12, *13 = *13,
составленной для области II (см. рис. 4). Эта система включает соотношения на характеристиках С1-, С- и заданные граничные условия в напряжениях (56). Подобным же образом находится решение и в областях III, IV. Опуская промежуточные выкладки, приведем полное решение задачи для варианта А:
область 0: (у + Ь1) t < х1
начальные данные V0, V10, л0, *13; область I: (у0 + Ь2) t < х1 < (у0 + Ь1) t
о + (*13 - 4) -х2(4 - 4)
—Ьі(хі0 -х2)
/0 Ь \ . „.0/ 0 Ь \
„I =,.0 , (*12 - *12) + х1 (*13 - *13 )
у у , ,0 „,0ч--------
*12 = *12 -
12
I _ 0 *13 = *13
—Ь1(х0 -х2)
(*103 - *1Ь3) -х2(*102 - *1Ь2) х0 -х0 ,
12
(*12 - *12 ) + х1 (*13 - *13 ) .
х0 -х2 ;
—ьа^0 -х2)
у = у +
(Ь2х1 Ь1х2) („13 „13 ) + (Ь2 Ь1) („12 „12 )
—¿^(х? -х2)
*12
*12,
*13;
область III: (у0 + Ь2)^ -1) < х1 < (у0 + Ь)^ -1)
у211 = у2 -
/0 Ь \ . ..0/ 0 Ь \
0 ( *103 - *13 ) + х10 ( *102 - *12 )
—Ь2(х0 -х2)
у111 = у“ -
/0 Ь \ . ..0 / 0 Ь \ 0 (*12 - *12 ) + х2 (*13 - *13 )
—Ь2(х0 -х2)
/0 Ь \ .,0 ( 0 Ь \
„III = „0 , (*13 - *13 ) - х1 (*12 - *12 )
*12 = *12 +-----------------0------0---------------,
х1 - х2
/0 Ь \ і .,0/0 Ь \
* III = *0 , (*12 - *12 ) + х 2 (*1 3 - *13).
*13 = *13 +----------------------0-------0---------------;
х10 - х02
область IV: х1 < (у + Ь2) ^ -1)
IV 0 IV 0
у2 = у2 , у3 = у3
IV 0 IV 0
ГЧ с* її 1* 2 *13 = *103
(65)
область II: (у0 + Ь)^ -1) < х1 < (у0 + Ь2) t
у2Т = у) +
. (Ь1х1 - Ь2х2) („12 - „12 ) + (Ь2 - Ь1) („’13 - „13 )
(66)
67)
(68)
Полученное решение можно представить в более компактном и легко обозримом виде, если ввести обозначение № = ф“-ф“ 1 для разности двух значений, принимаемых параметром ф за фронтом волны и перед ним. Верхний индекс а равен одному из значений I, II, III, IV в зависимости от того, о каком именно фронте
идет речь; так, например, [>12 Р, [>13 ]П обозначает величину скачка касательных напряжений при переходе из области I в область II. Используя (65)-(68), можно получить следующие соотношения
[„2 ] =-х2 VI----- [>12 I -4 [»,3 I.
РЬ1 -Ь1
(69)
у И‘ =-х0 у ]II = -—- [*12 ]II = —^ [*13 Ц',
—Ь2 —Ь2
у р =-х0 [у, Г" = -—- [»12 Г = 41*13 Г",
—Ь1 —Ь1
у Г"=-х0 у Г“=-—Ь- [*12 Г" =4 [*13 Г“,
—Ь2 —Ь2
связывающие скачки касательных напряжений и скоростей для всех четырех фронтов. Для того чтобы воспользоваться ими, достаточно знать скачок какого-либо одного параметра, например скачок компоненты напряжения >13:
[»131 --[»131" --(»02 - >'Ь2>;хУ3 - »в). (70)
х1 -Х 2
[*13 Г =-[*13 Г =
¡IV = (*102 - *12 ) + х2 (*103 - *13 )
х0 -х2
. (71)
Отметим так же, что из (69) следуют равенства
IV
[ФГ =-Ы™ [фГ =-[Ф]IV, Х[ФГ = 0 (72)
a=I
справедливые для всех параметров ф - „2, „3. >12. >13-Полученное решение (69)—(71) имеет смысл, когда
х0 -х2ф 0.
(73)
Справедливость этого неравенства следует непосредственно из (47).
Отметим в связи с этим неравенством следующее важное обстоятельство. Требование корректности краевых условий вида
glv2 + g2„3 + gз>12 + g4>13 - g5. (74)
К1у2 + К2у3 + ^3 *12 + К4 *13 = К5>
(75)
где g1. Ь..... g5. h5 могут быть функциями времени, накладывает на эти функции ограничение
det
81 8 2 83 8 4
К ¿2 К, К4
1 х° (—Ь1)-1 х0(—¿1)'
1 02 х (—Ь2) -1 х2(—Ь2)
-1
ф 0, (76)
выражающее условие линейной независимости левых частей равенств (74), (75) и линейных комбинаций (42), (43), соответствующих римановым инвариантам для ха-
рактеристик С1- и С-. “приходящих” на границу полупространства (краевые условия (56) следуют из (74), (75) при g3 - ^ - 1. g5 - >12. h5 - >13). Вычисляя определитель, можно убедиться в том, что выполнение неравенства (76) эквивалентно выполнению неравенства (73). Таким образом, корректность полученных математических формул непосредственно связана с корректной постановкой начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (27)-(30).
Физическое содержание условия (73) можно представить более отчетливо, если воспользоваться следующей легко проверяемой цепочкой равенств:
х1 -х 2 =-
22
„3 - „
22
„23
„23
- „3
„23
2т1
„23
где т0 - („° - „3)/2 — величина главного касательного напряжения, действующего (при »12 - >13 - 0) на площадках, проходящих через ось Ох1 и образующих угол в 45° с координатными плоскостями х1Ох2 и х1Ох3. Следовательно, неравенство (73) выражает тот простой
факт, что действующее в среде напряженное состояние
„0
с отличной от нуля компонентой >23 всегда приводит к отличному от нуля главному касательному напряжению т°. С геометрической точки зрения, параметры %?, х2 определяют направление главных осей в плоскости х20х3; - tg0, где 0 — угол между осью Ох2 и глав-
ной осью, соответствующей главному напряжению „0,
а х2 - tg(0+П2) - -^0. Поэтому х°х2 - -1, X 0 -
-X2 - tg0 + ^0 = 0.
В момент времени
£ * - („1 + Ь1)^
Ь1 - Ь2
характеристики С+ и С1+ пересекаются. Область II при этом как бы “выворачивается” (знаки неравенств, определяющих эту область меняются на противоположные) и трансформируется в область II*, показанную на рис. 5. В соответствии с этим изменяются и очертания областей I и III; если при і < і* это угловые секторы, то при і > і* это характеристические полосы, заключенные между параллельными характеристиками С+, С1+ и С +, С2+ соответственно. Множества точек (х1, і), принадлежащих этим областям, определяется теперь следующим образом: область I:
{і)| і > і*, (у0 + Ь1)(і -і) < Х1 < (у0 + Ь^} область II*:
{, ОК > (*, (уП + Ь2)( < Х1 < (уП + Ь)(Г- Г)} область III:
{, і) | і > і*, (у0 + Ь2) (і - і) < х1 < (у0 + Ь2) і}.
Рис. 5. Схема волнового движения полупространства х1 > 0 при £ > £* (варианты А, В)
Решение в областях I и III имеет прежний вид, т. е. определяется формулами (65), (67). Что же касается области II*. то, используя соотношения вдоль отмеченных на рис. 5 характеристик, легко установить, что параметры течения в данной области совпадают с начальными данными.
Вариант В (ст^э - 0. Ф СТ°3)
Решение, соответствующее данному варианту, может быть получено либо из решения, построенного для варианта А, предельным переходом (>°3 ^ 0) с учетом соотношений (45), (46), (54), (55), либо исходя непосредственно из характеристических соотношений (48), (49). Структура решения соответствует показанному на рис. 4, 5 случаю и включает пять областей. Необходимо
лишь учесть, что в зависимости от относительной вели-
00
чины компонент >22. >33 меняется соответствие между семействами характеристик С1+2 и С+„. а именно: если »22 > >33. то С+. С2+ о С1. С. иначе с1+, С+ О О С+, С^; иными словами, первой из двух “расщепленных” волн сдвига распространяется либо волна со скоростью „1 + Ьк. либо волна со скоростью „10 + Ьу. поэтому в варианте В необходимо различать два случая:
>22 > >33 и >22 < >33 - Решение, представленное в форме
соотношений на разрывах, имеет следующий вид:
00 если >22 > >33, то
[„2 ] - [>12 ] - 0. [„3 ] -^ [>13
-ь«
[„2 Г [>12111. [„3 I11 -[„13 I11 - 0,
-Ьу
у Ї" = [*12 Ї" = 0, у Р —Ц- к Г", (77)
—Ь«
у ]IV=-—Ь- [*12 г, у ї'1=[*15 ї'1=0,
—к
[*13 ГП =-[*13]I = (>13 - *13 ^
[*12 ]IV =-[*12 Г = (>12 - *1Ь2 );
00 если *22 < *33, то
[у2 ] =---[*12 ] [у3 ] = [*13 ] = 0,
—К
[у2 Г =[*12 Г = 0, у Г =-—-[*13 ГI,
—к
[у2 Г =-4-[*12 Г, у Г = [*13 Г = 0, (78)
—Ь«
у Г* = [*12 Г* = 0, Ь ]IV =-4- [% г.
—ЬУ
[*12 ]П =-[*12 ]I = (>12 - *12 ^
[*13 ]IV =-[*13Г = (>13 - *13 ).
Этим заканчивается построение решения для варианта В.
Распространение поперечных волн сопровождается сдвиговой деформацией и поворотом частиц среды. Если необходимо вычислить значения этих величин, то можно воспользоваться соотношениями кинематической непрерывности (первого порядка) [12]
Эф = -^к Эф
_ _Эхк _
8[ф] & ’
(79)
имеющими место для произвольной функции ф(х, t). Здесь V — скорость распространения фронта волны в направлении внешней нормали п = (и1; п2, п3). Если функция ф непрерывна при переходе через фронт волны, то последнее слагаемое в (79) обращается в нуль; в частности, для вектора перемещения и = (м1, и2, и3) условия кинематической непрерывности запишутся в виде
\Рі ]=-^
диі
дхк
= - ^к \к + юік ]■
(80)
Вращение окрестности рассматриваемой точки описывается вектором поворота ю = (ю1, ю2, ю3), который выражается через вектор перемещения следующим образом:
_ 1 1 , ч 1 ди„
ю= -1° и, юк = -(ГОІ; и)к =-^вкрЧ ’
где еірд — антисимметричный тензор Леви-Чивиты. С компонентами ю>л тензора вращения вектор ю связан соотношениями
1
юк = -—е1р„т , ю = -ердк ю
рд’ рд
ердк к ■
В случае плоских волн сдвига, распространяющихся в направлении оси Ох1, отличные от нуля компоненты тензора деформаций и вектора поворота имеют вид
1 Эы0
1 ды3
є12 = е21 = о а , е13 = е31 = ,, "а >
2 0x1 2 0*1
1 ды3
ю2 = ю13 = -ю31 =-------------г-3
2 Эх1
1 ды2
ю3 =-ю12 =ю21 =~
2 о*1
21
С использованием этих равенств из (80) в дополнение к (69)-(72) можно получить соотношения
К ] = -2Ь1 [ю3 ] = -2Ь1 [е12 ] = (81)
= -2х 2Ь1[Ю2 ] = 2Х 2Ь1[е13 ]
V11 = -2*2 [(03 ] = -2Й2 [е12 I1 = (82)
= -2х10Ь2 [(02] = 2x^2 [Е13]п, позволяющие вычислить деформации сдвига и повороты частиц среды.
6. Обсуждение результатов
Рассмотрим несколько конкретных примеров с целью иллюстрации качественных отличий в реакции упругой и гипоупругой сред на внешнюю касательную нагрузку. Имея ввиду чисто иллюстративный характер этих примеров, будем полагать, что среда деформируется упруго (не пластически) при любом уровне на-
пряжений, т. е. % ^ ^ (это предположение нужно лишь затем, чтобы, не ограничивая величину внешней нагрузки, представить эффект расщепления волн сдвига достаточно “выпукло”).
Результаты представим в безразмерных переменных
. t , хл
t =-, *1 = t
*12
, *12
*13
у =-
у
опуская далее штрихи при их написании. Во всех примерах (исключая вариант В1) будем считать, что внешняя касательная нагрузка действует вдоль оси Ох2; конкретно, положим в (56)
а?1 =а?3 = 0, а?2 =-0.5
(83)
В качестве начального напряженного состояния полупространства, кроме тривиального случая (ст0- = 0), рассмотрим несколько вариантов (см. таблицу); для удобства дальнейших ссылок каждому из этих вариантов присвоено условное название. Запись типа А3 = = А1 - В2 означает, что начальное напряженное состояние для варианта А3 получается суперпозицией напряженных состояний, соответствующих вариантам А1 и В2, причем знаки напряжений в варианте В2 изменены на противоположные. Отсюда, сравнивая решения для вариантов А3 и А1, можно видеть, к какому эффекту приводит наложение дополнительного напряжения (-В2). Начальные напряжения >°2, s1<)3, как уже отмечалось, не влияют на характер решения, поэтому они не внесены в таблицу; во всех вариантах полагалось
>02 = >03 = V) = ^ = V) = 0.
Таблица
Начальное напряженное состояние
Вариант 4 ^0 *22 с 0 *33 с 0 *23
А 0.0 0.0 0.0 0.5
А2 = -А + В2 0.0 0.2 -0.2 0.5
«Т і II 0.0 -0.2 0.2 0.5
оТ і Ч4 і и 0.0 -0.2 0.2 -0.5
Аз 0.0 0.4 -0.4 0.5
А6 = - А1 0.0 0.0 0.0 -0.5
А = В3 + Ау 0.4 0.0 -0.4 0.5
В1 0.0 0.5 -0.5 0.0
В2 0.0 0.2 -0.2 0.0
В3 = В2 + С1 0.4 0.0 -0.4 0.0
С 0.4 -0.2 -0.2 0.0
D 0.0 0.0 0.0 0.0
у2,
0.4
0.2
0.0
-0.2
1 2х' V, ^5
Е,
\ _
' 1, з / 1У Ч
\ \ \
\/4, \Л/4 Wз \ У,
2,4 1
/ V4 /3 \ \
5 \ / 1
\л/, -
\ /
■ \ / -
ч /
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5 X!
Рис. 6. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния в момент времени г = 2 в плоских волнах сдвига, инициированных внешней касательной нагрузкой а^ = -0.5. Начальное напряженное состояние полупространства соответствует варианту Лу Линии 1, 2, 5 относятся к ^2 и ап, линии 3, 4 — к иъ и ав: 1, 3 — аналитическое решение для гипоупругой среды; 2, 4 — численное решение для гипоупругой среды; 5 — аналитическое решение для классической упругой среды. Рисунок иллюстрирует эффект расщепления упругих волн
сдвига Е1 и Е3 на две пары последовательно распространяющихся волн Ур ^ (Рр Р2)и У3, У4 (гз, )
В классической упругой среде справедлив, как известно, принцип суперпозиции, согласно которому поля напряжений, вызванные различными причинами, не зависят друг от друга и при совместном действии различных источников напряжений просто суммируются. Поэтому поле напряжений (х^ ¿), вызванное внешним
воздействием, будет одним и тем же, независимо от того, есть в среде начальные напряжения или нет; если (^1,1) Ф 0, то результирующим полем будет сумма (Х1, 0 + (Х1, ^)• В отличие от этого в гипоупругой
среде (как показывают полученные в п. 4 результаты) между полями а° (х^ ¿) и (Х1,¿) осуществляется взаимодействие и формируется новое поле напряжений, которое локально может существенно отличаться как
от (х1> так и от ал(х1> 0-
Гипоупругая модель является естественным обобщением модели классической упругой среды и может быть интерпретирована как упругая среда с внутренними напряжениями, влияющими на характер протекающих в ней механических процессов. Проведенный выше анализ показывает, что среди всех компонент начального поля а0 наиболее существенное влияние на плоские волны сдвига с волновой нормалью п = (1, 0, 0) оказывает компонента >°3. Поэтому, полагая все остальные компоненты равными нулю, рассмотрим подробно вариант А1.
На рис. 6 показаны классическое упругое решение и решение, соответствующее гипоупругой модели; ради краткости будем называть их далее Е- и Н-решением соответственно (напомним, что Е-решение — это Н-решение при а к = 0). Область возмущенного движения для Е-решения заключена между фронтами упругих волн Е1 и Е3; с течением времени она, не изменяясь,
перемещается вправо. В подвижной системе координат ~1 = х1 - bot Е-решение — это стационарный прямоугольный профиль параметров и2, s12. С физической точки зрения такое поведение решения объясняется постоянством фазовой скорости, отсутствием диссипации и дисперсии волн, с геометрической — ясно следует из рис. 3, где показано положение фронтов Е1 и Е3 в некоторый момент времени Ь = ¿1.
Явления диссипации и дисперсии несвойственны и гипоупругой среде — эволюция волнового импульса обусловлена исключительно влиянием внутренних напряжений. Н-решение, рассчитанное по формулам (65)-(68), представлено на рис. 6 ступенчатыми профилями У1У2У3У4 и Р1РГ2Р3Р4. На этом и последующих рисунках буквами V обозначены фронты волн на графиках и2(х1) и >12(х1); для компонент и3(х1), >13(х1) использовано обозначение Р- (У и Р- на рис. 6 — это, разумеется, фронт одной волны). Значения параметров между фронтами У1 и У2 соответствуют области I, между У2 и У3 — области II, между У3 и У4 — области III. Для наглядности, проекции этих областей на ось Ох1 и положение фронтов У1,..., У4 показаны на рис. 4, 5.
Поле напряжений, соответствующее Н-решению, совпадает с классическим решением только в области
II. Что же касается поля скоростей (а следовательно, и перемещений), то оно отличается от классического решения во всех областях I, II, III.
Итак, отличное от нуля начальное напряжение д°3 приводит к трансформации прямоугольного импульса Е1Е3 в ступенчатый импульс У[У2У3У4- Наблюдаемые при этом особенности могут быть интерпретированы следующим образом. Во-первых, каждая из волн Е1, Е3 расщепляется на две волны: У1, У2 и У3, У4 соответст-
Рис. 7. То же, что и на рис. 6 в момент времени t = 8 ^ > t*)
венно. Во-вторых, изменяется “ориентация” внешнего поля напряжений по мере проникновения его в гипо-упругую среду: результирующее поле напряжений имеет две отличные от нуля компоненты s12 (х1, t), >13 (х1, t),
Ь -гэ
в то время как внешняя нагрузка—одну Sl2. В-третьих, форма импульса напряжений изменяется со временем: Н-решение, в отличие от Е-решения, не является автомодельным.
В момент времени t = С (в безразмерных переменных t*= Ь1/(Ь1 + Ь2)) фронт У3 догоняет фронт У2. При t > t* ступенчатый импульс У1 ...У4 расщепляется на два прямоугольных импульса У1У3 и У2У4 (рис. 7), которые с течением времени все больше удаляются друг от друга; их форма при этом не изменяется, поскольку характеристики С1+ и С1+ (С+ и С2+) параллельны. Из рис. 7 следует, что при t >> t* импульс Е1Е3 будет всегда находиться между фронтами У2 и У3, поэтому для частицы среды, находящейся достаточно далеко от поверхности полупространства (х1 >> х*), предсказания согласно Е- и Н-решениям будут прямо противоположными: когда Е-решение предсказывает движение данной частицы, Н-решение предсказывает покой.
Рис. 8. То же, что и на рис. 6 для вариантов начального напряженного состояния А (а), Лъ (б), А4 (в)
Если в дополнение к >23 в поле начальных напряжений присутствуют компоненты s202, s303 Ф 0, то в зависимости от их величины и знака, изменяется в ту или в другую сторону высота “ступенек” профиля У ...У4, но качественный вид решения остается прежним (рис. 8, а, б). Изменение знака касательного напряжения
Рис. 9. Трансформация прямоугольного импульса D, соответствующего классическому решению, в зависимости от вида исходного напряженного состояния полупространства. Обозначение линий совпадает с указанными в таблице вариантами
s23 влечет за собой изменение знака величин и3 и >13, оставляя компоненты и2 и s11 (“одноименные” с приложенной нагрузкой) без изменений (рис. 8, в). Однако в любом варианте амплитуды упругих скачков во фронтах с четными и нечетными номерами совпадают (т. е. высота “ступеньки” У2 всегда равна высоте “ступеньки” У4 и т.д.), а алгебраическая сумма всех четырех скачков равна нулю (см. формулы (72)), поэтому за фронтом У4 среда всегда возвращается к исходному состоянию.
Более полное представление о влиянии исходного напряженного состояния на характер Н-решения можно составить, анализируя рис. 9, где совмещены результаты для нескольких различных вариантов. Заметим, что поле а0к влияет на результирующее поле ак (х1, г) посредст-
вом четырех параметров bj, b2, и %2> каждый из
которых вычисляется через определенную комбинацию переменных sik. Слабее других влияет на решение компонента sjj — она сказывается на величине фазовых скоростей, но не входит в формулы для х0 и х2. Наиболее сильно решение зависит, как уже отмечалось, от >03. Компоненты s22, s33 занимают в этом смысле некоторое промежуточное положение. (Ввиду “однотипности” графиков для компонент напряжений и скоростей, на рис. 7-9 приведены лишь последние.)
Пунктирными кривыми 2, 4 на рис. 6-8 показано решение, полученное численным интегрированием системы уравнений (16). Фронты упругих волн представлены в численном решении протяженными зонами с большими градиентами физических величин. Подобное “размазывание” разрывов типично для любого численного метода сквозного счета и является следствием сглаживающего влияния аппроксимационной вязкости. Из приведенных рисунков видно, что численное решение хорошо согласуется с аналитическим во всех вариантах. В этой связи отметим, что полученное в данной работе аналитическое решение может служить прекрасным тестом для любых компьютерных программ, использующих гипоупругие определяющие соотношения.
Обратимся вновь к варианту Лх и рассмотрим поле перемещений. Вследствие однородности начальных и граничных условий, все частицы, лежащие в произвольной плоскости xj = const, параллельной границе полупространства, движутся одинаковым образом и не выходят за пределы этой плоскости. Поэтому единственным геометрическим параметром, от которого может зависеть траектория движения некоторой частицы, является ее удаленность x() от границы полупространства, а история изменения физических параметров
Рис. 10. Траектории (К.Ь.М.Ы.) движения материальных частиц среды, находящихся на различных расстояниях х1 = х{г) от границы полупространства: х^ = 0.1, х[2) = 0.2, х[3) = 0.35, х[4) = 0.5, х15) = 1.0 (х(5) > х*). Линия 0 соответствует классической упругой среде, линии 1-5 — гипоупругой среде, начальное напряженное состояние которой соответствует варианту Аг Точки излома траекторий соответствуют точкам К., Ь., М., N. на рис. 4, 5. Пунктирные линии — результаты численного расчета
Х3
0.1
0.0
-0.1
-0.2
1'У—-7~~1 м;
- У 3 Уч
к\
чо \ N, .
; уч з \ "
V"- 4Ч . , цТ . м4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 Х2
Рис. 11. То же, что и на рис. 10 для вариантов А1 (траектории К.Ь.М .Ы.) и А6 (траектории К'Ь'М'Ы'). Изменение знака касательного напряжения S20з приводит к зеркальному отражению траекторий относительно линии 0, соответствующей классическому решению
в данной частице соответствует прямой линии К. ... N., показанной на рис. 3-5.
На рис. 10, 11 изображены траектории движения нескольких частиц, находящихся в начальный момент времени на оси Ох1 на различных расстояниях от начала координат. Рассмотрим одну из этих траекторий. Частица среды приходит в движение, мгновенно приобретая скорость V:, когда ее достигает фронт У1 первой волны сдвига. Далее она движется с постоянной скоростью, описывая прямолинейный участок траектории КЬ. В точке Ь (рис. 4) частица переходит в область II — ее пересекает фронт второй волны сдвига. Скорость движения резко изменяется, и траектория испытывает излом. В течение некоторого времени частица движется со скоростью V11 (участок траектории Ь.М.), пока ее не пересечет фронт У3 и т. д. Наконец, за фронтом У4 движение прекращается; конечное положение частицы (независимо от координаты х1г)) — это точка N. на рис. 10. Используя формулы (69), можно показать, что отрезки КЬ и М.Ы. ортогональны и ориентированы параллельно направлениям главных осей тензора начальных напряжений.
Итак, траектория движения частицы, в зависимости от ее положения, состоит их двух (если х^ > х*) или трех (если х() < х*) прямолинейных отрезков, что вполне очевидно, если принять во внимание описанное выше изменение формы внешнего импульса по мере его распространения вглубь среды. Но результирующее смещение, соответствующее вектору ин = К.Ы., одно и то же для всех частиц; причем, если Ф -Р°$йг, то
ин Ф иЕ = К0Ы0. Таким образом, в отличие от классической упругой среды, где смещение всегда параллельно направлению действия внешней силы, в гипоуп-ругой среде поле начальных напряжений “деформирует” траектории, заставляя частицы двигаться вдоль главных направлений тензора .
Плавными пунктирными линиями на рис. 10, 11 показаны траектории движения, рассчитанные численно. Отличие численного и аналитического решений, как уже отмечалось, является итогом сглаживающего действия аппроксимационной вязкости. Заметим, что аппрок-симационная вязкость в известной мере моделирует действие реальной физической вязкости, а поэтому траектории, наблюдаемые в реальной среде (которая в той или иной степени обладает вязкими свойствами), могут быть ближе к “приближенному” численному решению, чем к “точному” аналитическому.
Используя формулы преобразования (22), можно доказать инвариантность аналитического решения. Однако это доказательство весьма громоздко уже потому, что необходимо отдельно рассматривать несколько различных вариантов начального напряженного состояния; оно становится еще более громоздким, если учесть возможность “переключения” решения с одного вариан-
Рис. 12. Схема, поясняющая “переключение” решения А1 о Вр и связанные с этим “переключением” системы координат Ох^2х3 и
та на другой при замене системы координат. Поэтому проиллюстрируем инвариантность (а заодно и “переключение”) решения на одном частном примере.
Рассмотрим вновь вариант A1. Если вдоль координатных осей Ox 2, Ox3 отложить значения безразмерных величин v2, v3 и s12, s13 для всех областей 0-IV, то в плоскости x2Ox3 получится картина, показанная на рис. 12. Используя формулы (47), (69), легко убедиться, что фигуры О-І-П-Ш-TV будут прямоугольниками. Введем новую систему координат, оси Ox2, Ox3 которой параллельны сторонам прямоугольников, как показано на рис. 12. Угол поворота 0 определяется из уравнения
s03(cos2 0 - sin2 0) + (s303 - s02)sin0cos 0 = 0,
что в рассматриваемом случае дает 0 = п/4. Непосредственно из рис. 12 видно, что если теперь для описания движения использовать новую систему координат, то в первой волне сдвига (переход 0 ^ I) будут изменяться только компоненты v3, s13, а во второй волне сдвига (переход I ^ II)—только v2, s12. Поэтому, если вариант A1 представить в системе координат Ox1X2 x3 (т. е. полученные из соотношений (65)-(67) значения всех параметров пересчитать по формулам (22)), то волновые профили (рис. 6) приобретают вид, показанный на рис. 13. С другой стороны, те же самые волновые профили (рис. 13) можно получить, если систему координат Ox1X2x3 принять в качестве исходной (тогда начальные и граничные условия соответствуют варианту B1) и воспользоваться формулами (77).
Сказанное, разумеется, справедливо и относительно обратного преобразования xk ^ xk, при котором изображенные на рис. 13 графики переходят в графики, приведенные на рис. 6.
Рис. 13. Распределение параметров напряженно-деформированного состояния в момент времени t = 2 в плоских волнах сдвига, инициированных внешней нагрузкой = —^2/4, = ^2/4. Начальное
напряженное состояние полупространства соответствует варианту Вг Линии 1,2,5 относятся к ¿2 и а^, линии 3, 4, 6 — к €3 и ст^. Рисунок иллюстрирует эффект расщепления упругих волн сдвига Е1 (^1) и Е3 (<?3) соответствующих классическому решению, на две пары последовательно распространяющихся волн У2 и Щ, У4, причем во фронте опережающей волны сдвига Ж1 (или ^3) изменяются только компоненты €3, 813, а во фронте второй волны У2 (или У4) только компоненты ¿2,812
Вероятно, более наглядно иллюстрирует инвариантность решения рис. 14, где показаны траектории движения одних и тех же частиц, но рассчитанные в различных системах координат. Прямое и обратное преобразование коорди нат сводится здесь к простому повороту траекторий Кі ... М или К ... N на угол 0 или (-0); такой поворот приводит к полному совмещению траекторий. Таким образом, окончательный физический результат не зависит от используемой для его получения системы координат.
В п. 2 уже отмечалась возможность практического применения эффекта расщепления сдвиговых волн при наличии экспериментально определенных скоростей Ь1?Ьг. В этой связи отметим, что экспериментально из-
Рис. 14. Траектории движения материальных частиц (тех же, что и на рис. 10) в двух различных системах координат 0x^x3 и 0ХіХ2 Х3, получающихся одна из другой поворотом на угол ±0 вокруг оси Охі
меренный профиль параметров и2(х1; і), и3(х1; t) или ^12 (х1, І), ^13 (х1, t) несет в себе значительно более полную и подробную информацию о действующих в среде напряжениях. В принципе, этой информации достаточно, чтобы решить обратную динамическую задачу для системы уравнений (27)-(30), т. е. вычислить все компоненты девиатора напряжений, фигурирующие в этой системе уравнений в качестве коэффициентов (если рассматривать их как неизвестные). Действительно, допустим, что на “вход” в некоторую область пространства V(х) подается прямоугольный импульс напряжений, а на “выходе” из нее фиксируется ступенчатый импульс. Тогда из соотношений (69) можно вычислить значения параметров Ь1, Ь2, X0, %2> входящих в правые части уравнений
2s
23
0 0 *22 - *33 +
*33
= Х?,2>
4ц + 2sll —
(22 + s33 )+
(84)
= 4РЬ1,:
Решение этой системы четырех уравнений в предположении однородности напряженного состояния позво-
0 0 0 0 тт
ляет определить значения >п, S22, Sзз, S2з- Для неоднородного поля касательных напряжений, действующего
внутри области У(х), решение системы (84) дает неко-
0
торую среднюю оценку его компонент sik.
6. Заключение
В заключение кратко суммируем полученные результаты.
В данной работе рассмотрен простейший вариант изотропной гипоупругой среды, определяющие уравне-
ния которой сводятся к пропорциональности между девиатором тензора скоростей деформаций и производной Яуманна от девиатора тензора напряжений. В рамках данной модели рассмотрена задача о волновом движении полупространства, к поверхности которого приложена однородная касательная нагрузка, инициирующая распространение плоской волны сдвига. Рассмотрены две модификации задачи, когда материал полупространства находится в естественном ненапряженном состоянии и когда он предварительно напряжен. Получено аналитическое решение: найдены явные зависимости, выражающие скорость распространения волн сдвига от типа исходного напряженного состояния полупространства и соотношения на характеристиках, позволяющие рассчитать все интересующие параметры.
Подробно исследуется случай распространения прямоугольного импульса напряжений. Анализ результатов показывает, что в первом случае (начальные напряжения равны нулю) полученное решение совпадает с известным в линейной теории упругости, во втором случае результаты существенно отличаются от известных. Главное отличие состоит в том, что негидростатичность напряженного состояния, т. е. отличие от нуля девиатор-ных компонент тензора начальных напряжений, приводит к расщеплению плоской волны сдвига на две волны, распространяющиеся независимо (одна за другой) с различными скоростями, причем разность скоростей определяется действующими в среде касательными напряжениями: чем больше величина главных касательных напряжений, тем существеннее различаются скорости волн. Таким образом, поле начальных напряжений в гипоупругой среде является не пассивной добавкой к привнесенному извне возмущению, а, активно взаимодействуя с ним, приводит к эволюции внешнего импульса по мере его распространения в среде. В итоге акустический импульс, имеющий прямоугольную форму, преобразуется сначала в ступенчатый импульс, а затем в два прямоугольных, распространяющихся со скоростями расщепленных упругих волн.
Отметим некоторые возможные приложения эффекта расщепления упругих волн сдвига. Очевидно, что он может быть использован при решении обратных задач, позволяя по результатам акустических измерений вынести определенное заключение о действующих в среде напряжениях. Он может найти применение в методах неразрушающего контроля для оценки поля внутренних (остаточных) напряжений в узлах и деталях машин, в элементах строительных конструкций, гидротехнических сооружений. У чет эффекта расщепления может дать дополнительную полезную информацию в геофизических исследованиях: при обработке и интерпретации результатов сейсмической разведки, результатов глубинного зондирования коры Земли и т. д.
Литература
1. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука, 1965. - 388 с.
2. Демидов В.Н., Корнеев А.И. Численный метод расчета упругоплас-
тических течений с использованием подвижных разностных сеток. - Томск: ТГУ, 1983. - Деп. в ВИНИТИ 01.06.83, № 2924-83. -34 с.
3. Немирович-Данченко М.М. Влияние прочности горных пород на анизотропию поперечных упругих волн в коре и верхней мантии Земли // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 1. - № 4. - С. 99-103.
4. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Иностр. литер., 1963. - 312 с.
5. Грин А., АдкинсДж. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды. - М.: Мир, 1965. - 455 с.
6. СедовЛ.И. Введение в механику сплошной среды. - М.: Физматгиз,
1962. - 284 с.
7. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Общая теория. - М.: Высшая школа, 1983. - 399 с.
8. Физические величины: Справочник / И.С. Григорьев, Е.З. Мейли-хов. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.
9. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. - М.: ИЛ, 1955. -
192 с.
10. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.
11. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979. - 392 с.
12. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. -М.: Мир, 1964. - 308 с.
