CC BY
21
УДК 539.3
Тер-Акопянц Г.Л.1, Тер-Акопянц Л.Г.2 ®
1Аспирант; 2к.ф.-м.н., доцент,
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В ТОНКОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С
ВИНТОВОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ
Аннотация
В работе исследуется моделирование распространения волн в тонкой упругой цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией на основе двух разных подходов: традиционного, когда количество кольцевых волн фиксируется, и метода винтовых волн, предполагающего, что волна распространяется вдоль винтовой линии, в направлении которой упругие свойства не меняются. Установлено, что для винтовой анизотропии традиционный метод применим только для осесимметричных колебаний. Получены решения дисперсионных уравнений, построены дисперсионные кривые, проанализировано влияние соотношения упругих параметров и углов наклона винтовой линии на частоты отсечки распространяющихся волн. Найдены диапазоны частот, в которых есть только одна распространяющаяся волна.
Ключевые слова: упругая цилиндрическая оболочка, винтовая анизотропия,
распространение волн, дисперсионные кривые, частота отсечки.
Keywords: elastic cylindrical shell, helical anisotropy, propagation of waves, dispersion curves, cut-on frequency.
Введение
Целью работы является исследование распространения упругих волн в тонкой бесконечной цилиндрической оболочке с радиусом срединной поверхности R, обладающей винтовой анизотропией. Это означает, что упругие постоянные в направлении винтовых линий, наклонённых под углом а (см. рис.1) к образующей цилиндра, и в перпендикулярных им направлениях различны. Угол а будем называть углом навивки. Отметим, что близкие по тематике вопросы рассмотрены в [1] и [4].
Рис. 1. Фрагмент оболочки с винтовой линией
Методы решения и полученные результаты
Запишем динамические уравнения равновесия [2] при отсутствии внешней нагрузки в цилиндрической системе координат по гипотезе Кирхгофа-Лява (безмоментная теория оболочек):
@ Тер-Акопянц Г.Л., Тер-Акопянц Л.Г., 2015 г.
до 1 дт
- +—
вх
--Р-
д 2и.
0
дх r дв ' dt2
< 1 довв+^в-рд\= 0
r дв дх
-ов
-р-
д 2и„
дt2 = 0
(1)
r дt2
Введем локальную винтовую ортогональную систему координат, начало которой находится в некоторой точке винтовой линии, орт ( направлен вдоль винтовой линии, орт
?2 в перпендикулярном направлении в касательной плоскости к срединной поверхности
оболочки. Орт e для винтовой и цилиндрической систем координат один и тот же.
Применим закон Гука для ортотропного материала [3]:
О =
Ei
О
1 -П12П21 П12 E2 1 - П12П21
12
£1 +
e1 +
Е1П
21
1 -П12П21 E
1 П12П21
(2)
: 2Ge
12
После ряда преобразований, связанных с переходом напряжений и деформаций из одной системы координат в другую, получим, в безразмерных координатах, динамические уравнения равновесия в перемещениях в виде:
( д 2и ^
( L
L11
L0
■^21
0
L
0 Л
L
13
0
'23
0
+
( 0
0
L1
31
0
0
L1
32
0 ^
0
0
дв2 д 2ив
эЧ
диг
дв
( Ч }
дх
див
+
(0
0
0
0
0 ^ 0
L0 L0 L
V^31 ^32 ^
0
43 )
(ч}
дв
див
( д и ^
дв
и
1
+
L1 L1 L1
11 12
L1 L1 L1
1
21
0
22
0
23
0
дх
и
( L2 L11
+
L2
L2 L2
21
0
22
0
(дЧЛ
дх2 д 2ив
~дЧ
0
+р
2(1 -П12П21 ) E1 + E2
R2
двдх д 2ив
двдх диг
V дх J
(дЧ Л
дt2
д 2ив
"дЧ д ч
дt2
+
(3) где
( 0 ^ 0
v 0 )
ч = (a - b - c+d) sin2 acos2 a+ g(co^ a-sin2 a)2,
4 = (a - c)sin3 acosa+(b - d )sinacos^ a+2g(co^ a- sin2 a)sinaco^, Lj3 = (a-c)sin acosa+(b-d)sinacos a+2g(cos a-sin a)sinacosa, L21 = (a - b)sin3 acosa+ (c - d)sinacos^ a+2g(cos2 a- sin2 a)sinaco^, L22 = asin4 a+ (b+c)sin2 acos2 a+d cos4 a+ 4g sin2 acos2 a, lL23 = asin4 a+ (b+c)sin2 acos2 a+ d cos4 a+ 4g sin2 acos2 a,
L31 = (a - b)sin3 acosa+(c - d )sinacos3 a+ 2g(cos2 a-sin2 a)sinacoscir, L32 = a sin4 a+(b+c)sin2 acos2 a+ d cos4 a+4g sin2 acos2 a,
L33 = a sin4 a+ (b+c)sin2 acos2 a+ d cos4 a+ 4g sin2 acos2 a,
0
L11 = (2a - b - c)sin acos3 a+(b+c - 2d ) sin3 acosar,
l\2 = (2a - b - c+2d)sin2 acos2 a+bcos4 a+ csin4 a+ g(cos a-sin2 a)2 - 4g sin2 acos2 a, L3 = (a+d)sin2 acos2 a+bcos4 a+ c sin4 a-4g sin2 acos2 a,
L2l = (2a - b - c+2d)sin2 acos2 a+bsin4 a+ccos4 a+ g(cos2 a-sin2 a)2 - 4g sin2 acos2 a, l22 = (2a - b - c)sin3 acosa+(b+c - 2d)sinacos3 or,
L23 = (a - c) sin3 acosa+ (b - d) sinacos3 a+ 2g(cos2 a-sin2 a) sinacosa,
L31 =(a+d)sin acos a+ bsin a+ ccos a-4gsin acos a,
l32 = (a - b)sin3 acosa+(c - d )sinacos3 a+ 2g(cos2 a-sin2 a)sinaco^r,
Ll1 = a cos4 a+ (b+c)sin2 acos2 a+ d sin4 a+ 4g sin2 acos2 a,
L22 = (a - b)sinacos3 a+(c - d )sin3 acosa-2g(cos2 a-sin2 a)sinaco^, ll21 = (a - ^sinacos3 a+(b - d )sin3 acosa-2g(cos2 a-sin2 a)sinaco^r, l22 = (a - b - c+d)sin2acos2a+ g(cos2a-sin2 a)2 ;
a
2E1
E1 + E2
г. 2EjV2i
b = —c -
E1 + E2
. 2Е2П12 E1 + E2
d:
2E
E1 + E2
, g =-
E1E2
2(1-Vi2V2i)
E1 (1 + П21 ) + E2 (1+П12 ) E1 + E2 На основе традиционного подхода, когда целое число окружных волн m фиксируется, решения системы следует искать в виде:
(ux (x,e, t)Л (и Л
ue( x,q, t)
V
W
vr
e
kx+imO-iat
(4) где
v ur ( x,q, t)
2(1 -П12П21 )
w
1
r
12^21 , E1 + E2
R W - приведенная частота, к - приведённое осевое волновое число, Р
плотность, W - частота, E1, E2 - модули Юнга, n12, n21 - коэффициенты Пуассона.
После подстановки (4) в (3) получаем линейную систему для (U,V,W), условием существования нетривиального решения которой будет равенство нулю определителя её матрицы. Дисперсионное уравнение имеет вид:
Ei2 (-m2)
((L01(-m2) + со2
det
Ll3im Л
L2 1 (-m2) L022 (-m2) + w2 L23 im
VV
i
L31im
i
L31im
i2
L33 - w
+
' Euim L\2im L ^ ^13 ( L2 Lu L2 12 0 Л
+ E21im L122 im L 23 k + L21 L2 22 0 k2 = 0
L V ^31 L 32 0 j V0 0 0 J J
(5)
При a= i и одинаковых упругих параметрах это уравнение переходит в обычное дисперсионное уравнение для изотропной оболочки по безмоментной теории:
det
1 -n
2
-m
+ к2 + о2
—ikm
2
nk
1 + П ikm nk
2
-m2 +1—nk2 + О im
2
im 1 - w2
= 0
(6)
V
J
Вычисление определителя позволяет записать дисперсионное уравнение в виде равенства нулю многочлена 4-й степени.
p4 (w)k4 + p3 (w)k3 + p2 (w)k2 + p1(w)k + p0(w) = 0. (7)
Принципиальное отличие уравнения (7) от дисперсионного уравнения для изотропной оболочки состоит в том, что в уравнении (7) коэффициенты при нечетных степенях не равны нулю во всех случаях, кроме m = 0. При этом дисперсионные кривые становятся несимметричными относительно оси абсцисс. Это противоречит очевидному физическому факту, что в бесконечной цилиндрической оболочке волны всегда распространяются парами одинаковым образом в противоположных направлениях. Причина этого противоречия, очевидно, в том, что фронт волны движется в направлении, в котором упругие свойства не меняются, а не в осевом и окружном направлениях, как это наблюдалось у изотропной оболочки. То есть в данном случае фронт волны движется по винтовой линии и в перпендикулярном ей направлении (также по винтовой линии). Понятие числа окружных волн теряет свой смысл, ибо волна идёт по винтовой линии. Ниже (см. рис.2-3) приводятся и обсуждаются дисперсионные кривые для оболочки с винтовой анизотропией при различных углах и соотношениях модулей Юнга для случая осесимметричных колебаний m = 0. При этом рассматриваются только волны, распространяющиеся или затухающие в направлении оси 0х (осевые волновые числа имеют положительную мнимую и отрицательную вещественную части). Количество распространяющихся волн учитывается также в рамках этого утверждения.
Следует заметить, что использование безмоментной теории оболочек является довольно сильным упрощением, не позволяющим найти комплексные ветви дисперсионных кривых, в результате чего чисто мнимые или чисто вещественные ветви на определённых частотах уходят в бесконечность или приходят из бесконечности. Для понимания истинной ситуации на рис 2а утолщенными линиями показаны полученные по моментной теории полностью комплексные ветви, которые на определённой частоте становятся чисто мнимыми или чисто вещественными.
Дисперсионные кривые, представленные на рис. 2, описывают случай, когда модуль Юнга в направлении исходной винтовой линии (рис.1) в три раза больше модуля Юнга в направлении перпендикулярной ей винтовой линии. С ростом угла навивки слегка меняется форма дисперсионных кривых и увеличивается частота отсечки третьей распространяющейся волны. Важно, что при отличном от нуля угле навивки, появляется короткий частотный интервал, где только одна, а не две распространяющиеся волны (серый участок оси абсцисс на рис. 2). Левым концом его является частота, на которой прекращается одна из двух первых распространяющихся волн, а правым - частота отсечки третьей распространяющейся волны. Его наибольшая длина наблюдается при углах навивки
47o — 60o. При изменении соотношения упругих параметров диапазон углов, при которых длина этого интервала наибольшая, меняется. Например, при Е1 : Е2 = 5:1 этот диапазон
51° — 63°.
и 60o при E1 : E2 = 3:1.
Для дисперсионных кривых, представленных на рисунках 3, модуль Юнга в направлении исходной винтовой линии в три раза меньше модуля Юнга в направлении перпендикулярной ей винтовой линии. Частота отсечки третьей распространяющейся волны в данном случае уменьшается с ростом угла навивки. Короткий частотный интервал, где имеется только одна, а не две распространяющиеся волны (серый участок оси абсцисс),
также возникает и имеет наибольшую длину при углах навивки 30° — 41°.
и 60o при E1 : E2 = 1:3.
Теперь рассмотрим волны, распространяющиеся по винтовой линии. Применим метод, непосредственно вытекающий из предложенного в [5], по которому исследование винтовых волн в цилиндрической оболочке сводится к исследованию волн в бесконечной анизотропной пластине. Решение системы (3) в безразмерных координатах будем искать в виде:
их (x,q, t) ^ f U >
Uq( Х,^, t) = V
u (x,q, t) V ^ J W vr J
где &1 = кcosa, к2 = Rk sin a.
k^x + к iwt
(8)
При использовании этого метода волны в оболочке, включающие в себя поверхностные винтовые и нормальные, заменяются плоскими и нормальными волнами в бесконечной анизотропной пластине, находящейся в плоскости Оху, где у = R6, а ^ и k^tR
являются проекциями винтового волнового числа к на направления Ох и Оу. Такие волны, в отличие от волн для обычной пластины, характеризуется тем, что продольно-сдвиговые смещения находятся во взаимосвязи с нормальными смещениями. Анизотропия пластины будет связана как с искривлением оболочки, так и с её ортотропными в направлении винтовых линий свойствами.
Дисперсионное уравнение примет вид: detL* = 0,
где
Z*j = Z sin2 a + Z111 sinacosa+Z21 cos2 a)k2 + w2, Z*2 = (Z°2 sin2 a+Z2 sinacosa+4 cos2 aft2,
Z*3 = (Z°3 sina+ Z13 cosa)k ,
4 = (4 sin2 a+Z21 sinacosa+4 cos2 a)k2,
cos2 a)k2 + w2
Z23 = (Z23 sina+Z23 cosa)k , 4 = (4 sina+ 4 cosa)k,
Z32 = (4 sina+Z32 cosa)k ,
4 = 4-1 -w2 .
L*22 = (z022 sin2 a + Z22 sin a cos a + Z
2
22
(9)
При a = 0 и одинаковых упругих параметрах это уравнение переходит в обычное дисперсионное уравнение для изотропной оболочки в режиме осесимметричных колебаний (да=0) по безмоментной теории.
Проанализируем дисперсионные кривые для винтовых волн.
На рис. 4 представлены дисперсионные для оболочки с винтовой анизотропией при различных значениях угла навивки, когда отношение модулей Юнга Ег: Е2 = 3:1.
Рис. 4. Дисперсионные кривые для винтовых волн, распространяющихся под углами 0o, 30o,
45° и 60o, при Е1: E2 = 3:1.
На рис. 5 представлены дисперсионные кривые для оболочки с винтовой
анизотропией для различных углов навивки, когда отношение модулей Юнга E1 : Е2 = 3:1.
Рис. 5. Дисперсионные кривые для винтовых волн, распространяющихся под углами 0°, 30°,
45° и 60°, при Е1 : Е2 = 1:3 .
Дисперсионные кривые на рис. 4а и 5а при a = 0° совпадают с дисперсионными кривыми для ортотропной оболочки в режиме осесимметричных колебаний при соответствующих значениях упругих констант. Анализ рисунков 4-5 показывает, что при увеличении угла навивки, частоты отсечки третьей распространяющейся волны увеличиваются при Е1 > Е2 и уменьшаются при Е1 < Е2. Длина частотного интервала (серый участок оси абсцисс на рис. 4-5), в котором имеется только одна распространяющаяся волна, зависит, как от соотношения упругих параметров, так и от угла навивки. Она увеличивается с ростом угла навивки. Увеличение длины этого интервала происходит в большей мере при Е1 > Е2, чем при Е1 < Е2.
Заключение
Установлено, что в случае винтовой анизотропии традиционный метод поиска решения для определённого фиксированного числа окружных волн m применим лишь в случае осесимметричных колебаний (m=0). Это связано с тем, что фронт волны движется в
направлении, в котором упругие свойства не меняются. Установлено, что при винтовой анизотропии имеются диапазоны частот, в которых имеется только одна, а не две, распространяющиеся волны. Проанализировано влияние угла навивки и соотношения упругих параметров на частоты отсечки третьей распространяющейся волны. Для практики важно, что за счёт подбора угла навивки и упругих параметров можно, в определённых пределах, изменять частотный интервал, в котором только одна распространяющаяся волна, и, если источник шума (например, насос) работает в этом интервале частот, то одна из волн, возникающая из-за его работы, не будет распространяться.
Литература
1. Босяков С.М., Чживэй В. Анализ свободных колебаний цилиндрической оболочки из стеклопластика при граничных условиях Навье .//Механика машин, механизмов и материалов. 2011. №3(16). С. 24-27.
2. Калинин В.С., Постнов В.А. Основы теории оболочек. Л.: Изд-во ЛКИ, 1974. - 199 с.
3. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука,1977. - 416 с.
4. Панфилов И.А., Устинов Ю.А. Гармонические колебания и волны в цилиндрической оболочке с винтовой анизотропией. // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 2. C. 48-58.
5. Тютекин В.В. О винтовых волнах упругой цилиндрической оболочки. // Акустический журнал. 2004., т.50, №3. C.331-336.
