CC BY
40
УДК 533.2+534
О РАСПРОСТРАНЕНИИ СЛАБЫХ СИГНАЛОВ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
В. Ф. Куропатенко
Рассматривается метод определения скорости распространения слабых сигналов в различных средах - идеальных, неидеальных (с отличным от нуля девиатором напряжений) и многокомпонентных. Что касается идеальных сред, то формула Лапласа для скорости звука
настолько широко применяется во всем мире в течение длительного времени, что она воспринимается как определение скорости звука. В работе показано, что эта формула является не определением, а следствием рассмотрения законов сохранения массы импульса и энергии в случае малых возмущений в среде с произвольным уравнением состояния. Точно такое же рассмотрение в случае упругой изотропной среды позволяет выразить скорости распространения продольных и поперечных малых возмущений через свойства твердого тела. Эти зависимости достаточно хорошо изучены в теории упругости, хотя иногда встречаются работы по механике сплошных сред, содержащие несколько иные, чем общепринятые, связи скоростей продольных и поперечных возмущений с гидродинамической скоростью звука. Их обсуждение в данной статье вызвано необходимостью продемонстрировать общность применяемого метода.
Наконец, в случае многокомпонентных сред метод приводит к уравнению для скорости звука смеси, принципиально отличному от широко применяемого. В работе дается обоснование нового уравнения, выражающего скорость звука смеси через скорости звука и концентрации компонентов.
Ключевые слова: математическая модель, скорость звука, идеальная среда, смесь, упругость, концентрация, уравнение состояния.
1. Идеальная среда
В идеальной сплошной среде девиатор тензора напряжений равен нулю, и в каждой
точке пространства х, у, г, t на вещество действует единственная сила - давление. Законы
сохранения массы, количества движения и энергии в этом случае имеют вид
др + Ури = 0, (1)
дри + (иV) ри + ри (Уи) + УР = 0, (2)
дt
^ + V (и (ре + Р)) =0, (3)
где р - плотность, и - скорость, Р - давление, е - удельная полная энергия, равная сумме
5* 1
2
удельной внутренней энергии Е И удельной кинетической энергии 1 и5
е = Е + ; и5.
Одним из следствий законов сохранения (1) - (3) является постоянство энтропии Б вдоль траектории любой материальной частицы
дЧ
— + и УЧ = 0. (4)
В случае плоскосимметричттого одномерного течения законы сохранения (1), (2) и уравнение (4) имеют вид [1]
др др ди
т + иаХ + рдХ = 0 (6)
ди ттди дР
р~т + ридХ + дХ = 0 (6)
дЧ ТТдБ
Ж + идХ = ( 1
Система уравнений (о) - (7) замыкается уравнением состояния
Р = Р (р, Ч).
Продифференцируем Р (р, Ч) вдоль траектории частицы
д_Р + и*Р = (ВР\ (др + и*} + (дР} (вч + идч)
Обозначим [1]
т + идХ-{др) Даї + иді) Лд + иаХ)' (8)
и, используя (7), запишем (8) в виде
др ТТдр 1 /дР ттдР\
ді + до- С2 ( ~дї + дб ^' ^
Подставив (10) в (о), получим уравнение
ж+идх+^2 дх -0 (11)
Уравнение (11) вместе с уравнением (6) вдоль характеристических направлений
~АX - и ± С (12)
М к }
преобразуется к виду
ГД6
-Р -и
-Ж ± =°' (13)
-
— - ді + (и ± С^дХ' ^
Если в некоторой точке среды изменить хотя бы одну из величин, характеризующих состояние и движение, то это возмущение будет распространяться во все стороны. Введем слабые возмущения следующим образом. Будем считать, что Р, р,С и и имеют вид
P = Po + 5P,C = Co + SC,U = Uo + SU, p = po + Sp, где Po = const,po = const,Uo = 0,
Co = const, a SP, Sp, SC, SU такие малые величины, что SP << Po, Sp << po, SC << Co,
SU << Co- Подставив P, p,C,U в (12), (13) и отбросив малые величины, получим уравнения характеристик pi уравнения вдоль характеристик в виде
dx
-t = Uo ± Co, (15)
dSP dSU
~df po o ~df = ' ^
Поскольку po = const, Co = const, Uo = 0, то уравнения (15), (16) можно проинтегриро-
вать. После интегрирования получим:
1) вдоль характеристик 1-го семейства
X = xo + (Uo + Co) (t — to)
справедливо уравнение
5P + poCo 5U = const, (17)
2) вдоль характеристик 2-го семейства
x = xo + (Uo — Co) (t — to)
справедливо уравнение
SP — poCo SU = const. (18)
Постоянные вдоль характеристик величины в уравнениях (17), (18) назовем акустическими инвариантами а и в
а = SU + SP, в = SU — ~^~SP. poCo poCo
SU SP
SU = 0, 5(а + в), SP = 0, 5(а — в) poCo .
SU (x) SP (x)
t > 0 распадается на две одинаковые части: 0, 5SUnjin 0, 5SP, которые переносятся без изменения вдоль характеристик в противоположных направлениях. Скорость распространения этого возмущения в покоящейся среде равна наклону характеристик dt = ±Co- Величина Co
мущеттиями для воздуха являются шумы, звуковые сигналы, поэтому величина С получила название скорость звука.
Скорость звука, которая определяется по формуле (9), является вещественной при условии (fp) > 0. Все случаи нарушения этого условия требуют специального рассмотрения.
Рассмотрим теперь одномерные течения идеальной сплошной среды в случае цилиндрической или сферической симметрии. После перехода от координаты x к координате r уравнения (о), (6) примут вид
dp TTdp dU (v — 1) pU
-£ + U-p + p— + ^---------,-p- = 0, 19
t r r r
ди ттди дР
рд + ридГ + дГ = 0,
(20)
где и - скорость вдоль любого луча 0г, V - Показатель симметрии (V = 1 - плоское течение. V = 2 - течение с цилиндрической симметрией, V = 3 - течение со сферической симметрией). После замены с помощью (10) производных р (£, г) производными Р (£, г) и перехода к малым возмущениям уравнение (19) принимает вид
дёР
2дёи {у — 1) (р0С2ёи + иос0ёР + 2иороСоёС) + ио^— + роСо +--------------
дёР
дг
0.
дЬ ' дг ' ги и дг ' г
После преобразования уравнений (20), (21) к характеристической форме получаем, что уравнения самих характеристик при ио = 0 имеют точно такую же форму
й = ±Со-
как и в случае плоской симметрии, а уравнения вдоль характеристик отличаются.
2. Неидеальная среда
Из всех возможных пеидеалытых сред рассмотрим только упругую изотропную среду, поскольку упругие деформации обратимы и, следовательно, энтропия остается постоянной вдоль траектории материальной частицы, т.е. выполняется уравнение (7). Закон сохранения массы не зависит от ттеидеалытости среды и имеет вид (1). Векторное уравнение движения ттеидеалытой среды в проекциях па координатные оси распадается па три скалярных уравнения [2]
(Шх дР двхх Р— +
дту
ух
дтх
йЬ
дх
дх
ду
дг
йиу дР дтух
р—- +----------------—
р йЬ ду дх
йПг дР дТхг
р— + — -
дБ,,
уу
дт
уг
ду
дту
уг
йЬ
дг дх
ду
дг
дТгг
дг
0,
= 0,
= 0,
(22)
(23)
(24)
ГДЄ Бхх, Буу, Б гг нормальные, Тху — Тух, Тхг — Тгх, Туг — Тгу касательные компоненты
девиатора напряжений. Воспользуемся результатами теории упругих напряжений и деформаций [3] и выпишем зависимости между ними.
Б = — {2є — є — є )
Бхх — з {2єхх єуу єгг) ,
20
Буу — _3 ( Єхх + 2єуу єгг) ,
20
Бгг — -3 { єхх єуу + 2єгг) ,
Тху — 0 ^ухч Туг — 0 ^(угі Тхг — 0^Іх
ГД6
дх
ду
єхх = дхо,єуу = дуо,єгг =
дг дго1
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
ду дг дх
Ъх = 7Ъу = дУ07 = дг0 - (30)
В одномерном течении вдоль оси х все величины в плоскости гОу, ортогональной оси
х
д д д д
7Г = 0, =0, = 0, = 0.
ду дг ду0 дг0
С учетом этого факта уравнения (1), (22) - (30), принимают вид
др Тт др дих
м + их зх + р1х = 0, (31)
"Чт + рих^ ^ =0, (32)
д1 дх дх дх
дЩ , ри диУ дтУх =0 т
р^Г + рих^х - ~ох = 0, (33)
дих тт дих дтхх
р1н + рих1к - их = 0,
£yy — 0) ^zz — 0, Yfzy — 0, Yfxz — 0,
— 4 дХ Q — V дХ Q — V дХ ГЧ/П
Sxx — 3 GdX, Syy — - 3 GdX, Szz — - 3 GdX, (34)
ду
Tyx — С*дХХ0, Tzx — 0, Tzy — 0. (35)
Сделаем еще одно упрощение и будем считать, что Uz — 0, т.е. в случае поперечных колебаний материальные частицы смещаются только вдоль оси у. Продифференцировав (34), (35), получим уравнения для Sxx и Tyx
dSxx 4^ fJUx _ п ^yx пдиy _ n foc\
~dT - — 0) ~of -GoX0 — °. {Щ
Чтобы перейти от лагранжевой координаты Хо к эйлеровой координате х, рассмотрим параллелепипед объемом d0o — dxodyodzo- Удельный объем вещества с массой dm в этом объеме обозначим через V0 — dx0dy0dz0/dm. В одномерном движении dy0 — const, dz0 — const, a dx изменится, в результате чего изменится удельный объем
V — dxdy0 dz0/dm. (37)
Полный дифференциал функции x(x0, y0, z0) имеет вид
дХ
dx — —— dx0, (38)
\fjX0J yo,zo
dx r\ dx r\
поскольку в рассматриваемом движении отсутствуют сдвиги и повороты и gyo — 0, qz-0 — 0V V0
V — V0 (дХ) . (39)
\fjX0J yo,zo
Из-за отсутствия сдвигов и поворотов производные -гщ и -гщ, входящие в уравнения (36), преобразуются к виду
дПх _ д£х ( дх_\ дЦу _ / дх_\
дх0 дх \дх0/ ’ дх0 дх \дхо/ "
дЦ' л
Преобразуем дальше выражения -дх^, дХ, подставив дХ^ из (39) в (40), и подставим полученный результат в (36). Заменив субстанциональные производные и их выражениями через , Щух и ^Х^, получим
0SXх dSxx 4^ V dUx _ (лл.
~оГ + Ux - з6' Vo = 0 (41)
дтух + и ^ rV dUy = 0 /лол
"дГ + Ux ~дХ - GV0~dX — 0 (42)
Окончательно ртмеем сртстему уравнений (31) - (33), (41) pi (42). В этртх уравпетгаях перейдем, как и ранее, к малым возмущениям P = Po + 5P, р = ро + 5р, Ux = Ux0 + 5Ux, Sxx =
Sxxo + &Sxx, V — Vo + ^V, C — Co + dC , Tyx — Tyxo + dTyx при po — const, po — const, Co —
const, Ux0 = 0, Sxx0 = 0, Vo = const, ryxQ = 0. В результате приходим к системе линейных уравпетшй
Po
0SP , ,,2 dSUx „ дt 1 рPoCo дх = 0 (43)
05Ux d5P d5Sxx x i xx =0 dt дх дх '■ (44)
d5Sxx 4 ^ дбUx n at з6 дх =0, (45)
дбUy дбтyx Po 3t ' dx =0, (46)
дбтyx дбUy dt 6 dx =°. (47)
Этрт уравпетгая распадаются па две сртстемы уравпетшй: уравпетгая (43), (44) рт (45) - первая сртстема, Р1 уравпетгая (46), (47) - вторая сртстема. Заприттем уравпетгая (43) - (45) в характеристической форме. Для этого умножим (44) на А, (45) - на ц, где А и ^ - пока
неопределенные МТГОЖР1ТеЛР1, Р1 СЛОЖР1М
, дШх ( ^2 4 \ гШх д5Р д5Р д5Бхх ,д5Бхх
Ар0~Ж~ + (Р о — 3 ц°) ~ах + ~дГ + А^х + — А~х _ 0 (48)
Характерр1стр1ческр1е паправлетгая трех, входяпщх в (48) характерртстртческртх операторов, совпадают при ц _ — 1 и А _ ±^/С2 + | и определяются уравнением
ж _
Эта велртчрша называется скоростью звука продольных упругттх возмущетшй рт обозначается Сь^ Рассмотрим далее систему уравнений (46), (47). Умножим (46) на неопределенный А
А дШу — г/Жу + ^ — а"">х _о. (50)
дЬ дх дЬ дх
Характеристические направления двух, входящих в (50) характеристических операторов, совпадают при А _ ±^^0 и определяются уравнением
йх С
дЬ у ро■
Эта величина называется скоростью звука поперечных упругих возмущений и обозначается С3. Окончательно имеем
С1 _ С2 + 4 С,С2 _ С. (51)
3 р0 р0
Величина Со выражается через Сь и Са из (51)
Г<2 _ г<2 4 П2
С0 _ Сь — 3 Сз ■
3. Многокомпонентные среды
Рассмотрим одномерное течение многокомпонентной среды с плоской симметрией. В этом случае законы сохранения массы и количества движения, учитывающие парные и кластерное взаимодействия [4], принимают вид
да-р- да-р-и- _ ГкъЛ
~дГ + -эх- _0 (52)
да-р-и- | да-р-и2 | да- (Р- + Е-) _ Г>
дЬ + дх + дх _ К-’ {Ь6)
где г - номер компонента, а- - объемная концентрация г-го компонента, Е- - функция кла-
стерного взаимодействия г-го компонента со смесью, определяемая согласно [4] уравнением
12
Е- _ — ^р-(и — и-) ■ (54)
В уравнении (54) и - скорость смеси
и _ ^ п-и-,
П- - массовая концентрация г-го компонента, связанная с а- соотношением
п-р _ а-р-. р р — ^ ' а-р- ■ г
Р- _ Р- (р-, Б-), (55)
где Б- - энтропия г-го компонента. В соответствии с формулой Лапласа производная
г
с 2 =( дР
г V dpi / Si
С помощью (52) преобразуем (53) в уравнение движения
dUi + TT3Ui + даг (Рг + Fi) 0 ^
агргд +aipiUi ~дх + dx =0 (56)
а уравнение (52) запишем в виде
(даг ,тт даг\ , (dpi dpi\ + dUi
Ч d + Ui d;) + аЧ d + Ui дХ) + aipi dX = 0 (г,7)
Продифференцируем (55) по t и по ж и с помощью полученных зависимостей производных
дРг — с2 dpi, дРг = с2 дрг
dt г dt , дж г dx
преобразуем (57) к виду
(даг даЛ аг (дРг дРЛ dUi fKQ,
p4"df + Uid7)+ с? Л+ гd;)+ piax —0' ( 1
Следуя [5], запишем такие же уравнения для смеси
dU dU д (Р - F) pd+ pUdi. + dx = °' m
dp dp dU
dt + Udi + pdX —0 (61,)
Уравнения (59), (60) не содержат производной ддрР-, поэтому невозможно скомбинировать
Р
ные Ц и производными dt ъ ТХ’ как это было сделано для каждого компонента. Однако,
в соответствии с [6, 7] смесь не имеет уравнения состояния. Давление Р, плотность p и энтропия S смеси выражаются через Рг, pi, Si, аг и Пг компонентов с помощью суммирований
N N N
Р — ^ ' аiPi, p — ^ ' агpii S — 'У ' niSi■ г=1 г=1 г=1
Попытки продифференцировать Р по p при S — const при N > 2 наталкиваются на непреодолимые трудности. Именно поэтому все попытки определения скорости звука смеси ограничивались случаем только двух компонентов [6-9]. Будем считать, что слабый (акустический) сигнал в смеси распространяется с некоторой скоростью С, которая может быть измерена экспериментально как отношение пройденного сигналом расстояния Аж ко времени At. Предположим, что скорость звука смеси удовлетворяет уравнению (9). Это позволяет
(пг\\ др др дР дР
заменить в уравнении (ои) производные д, дХ ПР°ИЗВ°ДНЫМИ ~&t , дх, в РезУльтате чего в
уравнениях появляется возможность сконструировать характеристические операторы функций Р и U. После этого выразим эту виртуальную скорость звука через Сг и аг■ Критерием правильности такого выражения будет малое отличие С (Сг, аг) от экспериментального зна-C
Рассмотрим находящуюся в равновесном состоянии смесь, каждый компонент которой характеризуется следующими величинами: pio — const, Рго — Ро — const, Uio — 0, Sio — const, ni0 — const, аго — const, Fi0 — 0, Ci0 — const. Сформулируем систему упрощающих гипотез, в рамках которой перейдем от уравнений (56), (58) - (60) к уравнениям, содержащим малые возмущения всех входящих в них величин!
1. Звук является малым возмущением: / = /о + б/, /г = /г0 + б/г, где / И /г - это общее обозначение величин, входящих в (36), (58) - (60).
2. Звук обратим: бБ = 0, Б = £о, бБг = 0, Б- = Б-о.
3. Время релаксации давлений равно нулю: бРг = бР.
4. Все баг и бг/г Ц = 1, 2...Ж) имеют одинаковый знак.
Следствия 4-го условия и уравнений
N N
аг = г=1 г=1
имеют вид
^2аг = 1,^2,Пг = 1
баг — 0, аг — аго, — 0, .
После перехода к малым возмущениям при иго = Т = 0 уравнения (56), (58) - (60) принимают вид
дбЦ , дбРг п ^
рг0^*~ + = 0 (61)
дбРг , ^ дби п гспл
~дГ + РгоСг0^Х" = 0, (62)
дби дбР
р0 ~т + д" = 0 (63)
дбР ^2 дби „
~дГ + Ро 01дХ = . ^
После перехода в уравнениях (61), (62) и (63), (64) к характеристической форме, получим:
1. Вдоль характеристик компонентов
I = ±а»
выполняются уравнения
где
-бРг -бТ
-Щ- ± рг0Сг0 ЧТ = 0 №)
2. Вдоль характеристик смеси
выполняются уравнения
— = ^ + С д -ь дь г0 дх.
-х
—ь = ±Со
-ь -ь
где
-бР -би
± р0С0 = 0, (66)
d = d±C — dt dt 0 dx
Проинтегрировав (65), получим
6P- + pioC-o6Ui = R- = const,
SPi - pioCioSUi = Zi = const.
Будем рассматривать бегущую вправо волну, на которой Zi = 0. Следовательно,
6U- =
1
-6P-.
P-0Ci0
Проинтегрировав (66), получим па бегущей вправо волне
6U =
1
После линеаризации уравнения
PoCo
N
6P.
(67)
(68)
и = Yj п-U-
получается связь 6U и 6U- в виде
:=1
N
(69)
i=1
Умножим (67) на n-o, просуммируем по г и вместе с (68) подставим в (69). В результате получим
1
N
PoCo
6P = £
П-0
i=1
P-0 Ci0
6P-.
(70)
Поскольку 6Рг = 6Р, а Пг0 = ао рго/ро, то из (70) следует зависимость скорости звука смеси Со от скоростей звука и концентраций компонентов
1
Co
N
Ea:
i=1
ai0
C-o
(71)
Это выражетпте принципиально отличается от широко применяемого [6-9] в течение более полувека уравнения
1
N
N
ai
poCo2 -=1 p-o C-0
io
Аргументом в пользу уравпепртя (71) является то, что оно получено единообразно со скоростями распространения малых возмущений в идеальных и ттеидеалытых (упругих) средах.
Для получения еще одного аргумента в пользу зависимости (71) рассмотрим смесь в виде набора плоских слоев - компонентов. Каждый г-й слой имеет массу Ашг, а вся смесь
N
- массу Ат = ^ Аmi, При распространении плоской ударной волны по слоистой системе
г=1
каждый г-й слой ударная волна проходит со скоростью ^ за врем я Аti
Аii = ж • (72)
От одной границы смеси до другой ударная волна пройдет за время Аt
N
Аt = ^А^ (73)
i=1
Определим среднюю скорость ударной волны в смеси уравнением
W = Ат/АЬ- (74)
Подставив А^ из (72) и Аt из (74) в (73) получим уравнение
Ат ^ Ат
W ^ Wi
i=1
Отношение Ат^ Ат есть массовая концентрация r|i• Из теории ударных волн известно.
что
W = р (Б - и) ,Wi = рг (А - ^) • (76)
Звуковое возмущение является бесконечно слабым. На бесконечно слабой ударной волне
Б = и + С,Бг = иг + а- (77)
Из (75) - (77) следует, что па звуковой волне
1 N
1 ^ п
ЕрпС- • (78)
рС ^ р С
Подставив п = aiрi/р в (78) и сократив общие множители получим уравнение (71).
Наконец, в качестве еще одного аргумента в пользу уравнения (71) по программе ВОЛНА [10] было рассчитано распространение ударной волны по слоистой системе из плоских слоев вольфрама и парафина. УРС парафина и вольфрама были взяты в виде
р = (7 -1) рЕ + (’-1-2 ^ _ 7\,
1 \1 _ 1 1 _ 1 /
В таблице приведены параметры УРС и начальные характеристики вольфрама и парафина при Ро = 10_4 ГПа, То = 293 К-
Таблица
Вещество рок г/см3 С0к км/с 7 11 ро 3 Ео кДж/'г Со км/с
\\т 19,35 4,051 2,67 3,6 19,2 0,07650 4,036
С22Н46 0,930 3,357 1,667 3,5 0,91 0,364444 3,328
Расчеты для разных значений aw проводились на сходимость по числу пар слоев и по стремящейся к нулю амплитуде начального возмущения. Результаты расчетов с точностью
6 знаков совпадают с расчетом С по формуле (71).
Работа поддержана РФФИ. Грант 13-01-00072.
Литература
1. Лойцяттский, Л.Г. Механика жидкости pi газа / Л.Г. Лойцяттский. - М.: Техтеорлит, 1957.
- 784 с.
2. Куропатенко, В.Ф. Исследование прочности материалов при динамических нагрузках / Б.Л. Глуптак, В.Ф. Куропатенко, С.А. Новиков. - Новосибирск: Наука, 1992. - 294 с.
3. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности рі ползучєстрі / Н.И. Безухов. -М.: Вьісітт. пік., 1988. - 512 с.
4. Куропатенко, В.Ф. Новые модєлрі мехатшкрі сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Ипжеперпо-фріз. журп. - 2011. - Т. 84, №1. - С. 74-92.
5. Куропатенко, В.Ф. Обметі Рімпульсом pi эпергргей в неравновесных многокомпонентных средах / В.Ф. Куропатенко // Пррікладпая мехатшка pi техн. фрізріка. - 2005. - Т. 46, Ж. - С. 7-15.
6. Wood, А.В. Textbook of Sound / А.В. Wood. - London: Bell&Sons Ltd, 1941.
7. Лорщятіскрій, Л.Г. Мехатшка жрідкострі pi газа / Л.Г. Лорщяпскрій. - М.: Наука, 1973. -640 с.
8. Кутателадзе, С.С. Теплообмен pi волны в газожрщкостпых срістемах / С.С. Кутателадзе, В.Е. Накоряков. - Новосрібрірск: Наука, 1984. - 301 с.
9. Лобойко, Б.Г. Сбортгак задач по газодріпамріке взрыва / Б.Г. Лобойко, О.К). Дріков, Е.Б. Смріртіов. - Стіежріпск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2006. - 249 с.
10. Комплекс программ «ВОЛНА» и неоднородный разностный метод для расчета неуста-НОВРІВПТРІХСЯ ДВРІЖЄНРІЙ сжрімаемьіх сплошных сред / В.Ф. Куропатенко, L.B. Коваленко,
B.И. Кузнецова, Г.И. Мріхайлова, L.H. Сапожтгакова // Вопр. атомной паукрі pi тєхпрі-ки. Сер. «Математическое моделирование физических процессов:». - 1989. - Вып. 2. -
C. 9-17.
Валептріп Федоровріч Куропатенко, доктор фрізріко-математріческріх паук, профессор, главный научный сотрудтгак Россрійского федерального ядерного центра - Всероссрійского паучпо-Рісследовательского рітістрітута техтгаческой Фрізрікрі рім. академріка Е.И. Забабахріпа, (г. Стіежріпск, Россрійская Федерацрія), [email protected].
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,
2013, vol. 6, no. 1, pp. 43-55.
MSC 76T30
Propagation of Weak Signals Through Continua
V.F. Kuropatenko, Russian Research Institute of Technical Physics, Academician E.I. Zababakhin, Snezhinsk, Russian Federation, [email protected]
The paper considers a method of determining the velocity of weak signals in different media - ideal, non-ideal (nonzero stress deviator), and multi-component. As for the ideal media, the placeLaplace’s formula for sound velocity
has long been such a widely used expression that it is understood as a definition of sound velocity. It is shown here that the formula is not a definition, but corollary from the consideration of mass, momentum and energy conservation laws in case of small perturbations in a medium described by an arbitrary equation of state. A similar consideration for an elastic isotropic medium gives expressions for longitudinal and transverse perturbation velocities dependent on the properties of solids. These relationships are studied rather well in the theory of elasticity though some papers on continuum mechanics provide somewhat different formulas for longitudinal and transverse perturbation velocities versus hydrodynamic sound velocity. Their consideration here was caused by the need to demonstrate universality of the method.
Finally, for multi-component media, an equation for sound velocity is provided; it is principally different from what is widely used. The new equation is validated. It expresses sound velocity in a mixture versus sound velocities and concentrations of its components.
Keywords: mathematical model, sound velocity, ideal, medium, mixture, elasticity, concentration, equation of state.
References
1. Loytzvansky L.G. Fluid Mechanics. Moscow, TEKHTEORLIT, 1957. 784 p. (in Russian)
2. Kuropatenko V.F., Glushak B.L., Novikov S.A. Strength of Materials under Dynamic Loads. Novosibirsk, NAUKA, 1992. 294 p. (in Russian)
3. Bezukhov N.I. Foundations of Elasticity, Plasticity and Creep Theory. Moscow, Vysshaya shkola, 1988. 512 p. (in Russian)
4. Kuropatenko V.F. New Models of Continuum Mechanics. Engineering Physics ,/., 2011, vol. 84, no. 1, pp. 74-92.
5. Kuropatenko V.F. Momentum and Energy Exchange in Non-Equilibrium Multi-Component Media. Applied Mechanical and Engineering Physics ,/., 2005, vol. 46, no. 1, pp. 7-15.
6. Wood A.B. Textbook of Sound. London, Bell&Sons Ltd, 1941.
7. Loytzvansky L.G., Fluid Mechanics. Moscow, NAL'KA, 1973. 640 p. (in Russian)
8. Kutateladze S.S. Heat Exchange and Waves in Fluid Systems. Novosibirsk, NAL'KA, 1984. 301 p. (in Russian)
9. Loboyko B.G., Dikov O.Y., SmirnovE.B. Explosion Hydrodynamics Problem Book. Snezhinsk, RFNC-VNIITF, 2006. 249 p. (in Russian)
10. Kuropatenko V.F., Kovalenko G.V., Kuznetsova V.I., Mikhaylova G.I., Sapozhnikova G.N. «Wave» Code and Inhomogeneous Difference Method for Simulating Non-Equilibrium Compressible Continuum Flows. Problems in Nuclear Science and Engineering Journal, Series: Mathematical Modeling of Physical Processes, 1989, issue 2, pp. 9-17. (in Russian)
Поступила в редакцию 7 ноября 2012 г.
