Научная статья на тему 'О распространении электромагнитных волн в магнитных кристаллах с некоммутирующими тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей'

О распространении электромагнитных волн в магнитных кристаллах с некоммутирующими тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
43
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Н. А. Жура

Изучен вопрос о распространении плоских электромагнитных волн в средах с некоммутирующими тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей, в предположении, что они имеют только одну общую ось. Для случая распространения волн произвольной формы получен аналог формул Кирхгофа. Изучена также геометрия нормальной поверхности и дана классификация таких сред по их оптическим свойствам.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Н. А. Жура

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «О распространении электромагнитных волн в магнитных кристаллах с некоммутирующими тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей»

УДК 530.1

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В МАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ С НЕКОММУТИРУЮЩИМИ ТЕНЗОРАМИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ

Н. А. Жура

Изучен вопрос о распространении плоских электромагнитных волн в средах с некоммутирующими тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостей, в предположении, что они имеют только одну общую ось. Для случая распространения волн произвольной формы получен аналог формул Кирхгофа. Изучена также геометрия нормальной поверхности и дана классификация таких сред по их оптическим свойствам.

Важность вопроса о распространении света в магнитных кристаллах отмечалась в ряде работ, среди которых стоит особо отметить монографию [1]. В ней, в частности, (с. 263 и с. 264) отмечены трудности, возникающие при построении теории в случае, когда тензоры е (диэлектрическая проницаемость) и ц (магнитная проницаемость) не обладают общей системой главных осей (и, как следствие, не коммутируют). Они охарактеризованы как "непреодолимые" ([1], с. 263). В [1] была развита соответствующая теория, основанная на предложенном там же так называемом инвариантном методе.

Наличие таких сред в природе, по-видимому, под вопросом, хотя на их существование нет никаких запретов (см. также подстрочное замечание на с. 614 [3]). В настоящее время исследуется возможность получения их искусственным путем и исследуются различные свойства.

В настоящей статье рассматривается прямой подход к проблеме распространения света в магнитных кристаллах с некоммутирующими тензорами е и /х, в предположении, что они обладают только одной общей осью, и, в частности, не коммутируют.

При таком предположении удается рассмотреть вопрос о распространении как плоских волн, так и волн произвольной формы. Для последних приводим в п. 2 формулы, являющиеся аналогом известных формул Кирхгофа в скалярной теории. Изучена геометрия нормальной поверхности и дана классификация магпитпо апизотронных сред по их оптическим свойствам.

1. Распространение плоских волн и геометрия нормальной поверхности. Будем ра зыскивать решения системы Максвелла

1 дВ 1 дВ

~с -Ж = ГЫЯ' с ¿Г =

¿\чВ = 0, ¿\уВ = 0, (1)

где И — еЕ, В = цН в виде плоских волн

/

Е = Е0е~*шг+,сх, Н = (2)

Здесь х = (х'ц Х2, Хз), а к = (к1,к2,кз) ~ волновой вектор.

Кроме того, предполагаем, что е и ц вещественные, симметричные, положительно определенные тензоры, имеющие только одну общую ось.

Следуя классической схеме [1], [3], [4], подставим выражения (2) в (1) и получим

шВ0 = -[к, В0], шВо = [к,Е0]

{Во,к) = 0, (Во, к) == О,

где положено В0 = еЕо, Во = цН0-

Удобно переобозначить Б0 = щ, В0 = и2. Тогда предыдущие уравнения примут вид

шщ = — [к, Ьи2], ши2 = [А:,аи1]

(щ,к) = 0, (и2,к) = 0, (3)

где а = е-1, а Ь =

Зафиксируем базис, в котором тензор // (а значит и Ь) диагонален. Пусть, для определенности

р. = diag(//b/i2,/i3), Ь — diag(fex, b2,b3),

где рк > 0, Ьк > О в силу положительной определенности р. При этом, очевидно, Ьк = 1/р-к, к = 1,2,3. Что касается е, то его матрица в этом базисе имеет одну из форм

< Е\ 0 0 \

О е2 £4

V 0 £4 Ез /

/

£\ £б

о \

ее £2 О V 0 0 е3 /

( £1 0 е5 >

О е2 О

\ £5 0 е3 /

в соответствии с тем, какую ось е и р имеют общей. Аналогичную структуру имеет и матрица а. Остановимся, для определенности, на первой возможности, когда

/

а =

а г

О 0 \

(4)

О а4

\ 0 а4 а3 /

В силу ее положительной определенности имеем, согласно критерию Сильвестра, а к > О, к = 1, 2, 3 и а2аз >

Возвращаясь к (3), заметим, что частотам плоской волны (2) не может обращаться в нуль, ибо в противном случае, как нетрудно проверить, должно быть Е0 = О, Н0 = О, что невозможно, поскольку приводит к тривиальному решению.

Найдем вначале дисперсионное уравнение. С этой целью подставим в первое из уравнений (3) выражение для и2, взятое из второго уравнения этой же системы. В результате получим

[Jfc, b[k, oui]] + ш2щ = 0, (к, щ) = 0, к ф 0. (4)

Положим А = где соответствующая вектору к кососимметричная матрица

( 0 -к3 к2

[*] =

\

к3 0 —к\ \ -к2 к\ 0

В этих обозначениях система (4) принимает вид

(А + ш^щ = 0, (к, щ) = 0, к ф 0. Приведем явный вид матрицы А:

( —a,\b3k.\ — ахЪ^к'з а2Ь3кгк2 + a4b2kik3 a4b3kxk2 + а3Ь2кгк3 \

aibskik2 —a2bik¡l — a2b3k\ + a4b\k2k3 a3b\k2k3 — a4b\k^ — a^k]

\ aib2kik3 a2bik2k3 — a4b\k\ — a4b2k* —a3b2k^ — a3bxkl + a4bik2k3

(6)

С учетом равенства A'k = 0, где А! - транспонированная к А матрица, проводя алгебраические преобразования, находим дисперсионное уравнение

и4-и2р{к) + д{к) = 0, (7)

где

р(к) = (a2b3 + a3b2)k\ -f (axb3 + a3bx)kl + («1^2 + а2Ьх)к\ - 2a4bik2k3,

q(k) = (b2b3k\ + bib3k% + bxb2kl)((a2a3 - a\)k\ + ага3к1 -f axa2kl - 2a1a4k2k3). (8) Уравнение поверхностей волновых векторов получаем, полагая в (7) к — шп:

1 - р(п) + q{n) = 0. (9)

Для исследования ее строения рассмотрим подробнее уравнение (7). Его корни

.2

р(к) ± у/Щ

2

(10)

где А(к) = р2(к) — 4<?(&), вещественные, поскольку дискриминант Д, как будет далее показано, неотрицателен. Поэтому поверхность (9) распадается на пару кусков а± с

уравнениями

<т±: р(п)±у/Щ=2. (11)

Переходя от системы координат к к "растянутой" г/х = \/Ь2Ь3к\, т/2 = \/ЬлЬ3к2, т]3 = у/ЬхЬ2к3, а затем к повернутой вокруг оси щ на угол у? системе, придем к дальнейшему упрощению форм р, Д:

КО = ("2 + Í/3K1 + (^1 + + ("1 + "2)Сз'

9(0 = (С, СХ^зСа2 + *W2 + ^хЫз2), А(С) = [уг ~ ^)Сх4 + («* ~ + {Уг ~ "i)C34+

+2(!/3 - v2){v3 - иШ1 + 2(^2 - v3){v2 - ^i)CÎC32 + 2(^1 - faX^i -

где переменная £ = а е - матрица поворота. Здесь V\ — 2i/2)3 = <72 + <7з ±

à — (дз — <7г)2 + 4^4, где дь = ak/bk, к = 1,2,3, д4 = a4/y/b2b3 являются элементами матрицы g, аналогичной (4), a cosy = 2<74/<5о, sin у? = г/2/<50, ¿о = ff +4^. В этих новых переменных выражение для Д(£) можно представить в виде

Д(С) = Д+(С)Л-(С),

где Д±(С) = (уj — Vi)Ck + {\ZV3 ~ uk(,i ± у/vk — Vi(j)2, и где {г, k,j} такая перестановка индексов {1,2,3}, что г/, < Vk <Vj.

Это позволяет заключить, что оптические оси суть прямые, проходящие через начало координат симметрично отношению к осям и Q и имеющие уравнения

и

L+ : Ск = 0, yjfj - VkCi + yjvk~ = О

L- : Ck = 0, yJvj^VkCi - \Jvк - ViQ = 0.

Заметим, что собственные значения матрицы д совпадают с собственными значения ми матрицы ab~x, но соответствующие им собственные векторы не совпадают, посколь ку матрица ab~l не симметрична. Как следствие, отсюда получаем, что утверждение работы [1, стр. 278], состоящее в том, что оптические оси L± лежат на плоскости, содержащей собственные векторы матрицы аб-1, отвечающие ее экстремальным собственным значениям, неточно. Это возможно, лишь когда матрицы е и р коммутируют.

Также заметим, что в новых переменных ( выражение для Д(С) совпадает с клас сическим [3], [4], однако следует помнить, что в исходных координатах оно искажено. Тем не менее представляется целесообразным классификацию проводить по отношению именно к переменным В этих переменных для алгебраической поверхности 1 — Р(С) + ?(С) = 0 и ее "кусков" ± — 2 имеют место все классические

результаты, связанные с ее строением и расположением оптических осей. В частности, уравнение этой поверхности можно записать также и в виде

Сх7(С2 - »*) + С22/(С2 - + С1/(С2 - "з) = 1,

где (2 = |С|2 = Сг + С| + Сз> а к = 1,2,3, определены выше.

Рассмотрим теперь случай, когда матрица д имеет только два различных собственных значения, так что I= г/,- или = г/,. Тогда А(С) = ДоЮ^ гДе ^о(С) совпадает, соответственно, с (г>, — /Л')(С,2 + С*) или с (,уз ~ "{)((] + (%)■

Таким образом, в этом случае имеется только одна оптическая ось Ьо с уравнением = = 0 или = С/г = 0. Среды, для которых существует одно или два направления, вдоль которых распространяется только одна волна, называем, как обычно, одноосными или двухосными.

Если матрицы е и ц коммутируют, то щ = Ек! Рк, к = 1,2,3, а если еще и р\ = — рз = 1, то ик следует заменить на а (к на г]к, к = 1,2,3, поскольку нет необходимости переходить к переменным (". Уравнение поверхности в этом случае в точности совпадает с классическим [3], [4].

Если 1У\ = 1*2 ~ ^3) то такую среду уместно называть изотропной, поскольку тогда <¿(0 = 0 и вдоль каждого направления может распространяться только одна волна. Хотя уравнением поверхности нормальных векторов служит, в переменных г), сфера (т/2 — г/)2 = 1, тем не менее в "нерастянутых" переменных к оно сферой не является и скорость соответствующих волн в разных направлениях, вообще говоря, различна.

2. О распространении волн произвольной формы. Выше был рассмотрен вопрос о распространении плоских волн в магнитно-анизотропных средах с некомму тирующими тензорами е и р. Однако плоские волны в значительной степени весьма идеализированный объект, поскольку их энергия бесконечна. Другой стороной этого факта является неединственность такого рода решений системы Максвелла, поскольку умноженное на произвольную, отличную от нуля, постоянную, решение типа плоской волны также бу дет решением. Таким образом возникает вопрос и о распространении соленоидальных волн произвольного вида с конечной энергией. Решение этого вопроса было получено ранее для случая коммутирующих тензоров е и р [5]. Поэтому приведем здесь без доказательства соответствующий результат, имеющий место в предположениях п. 1 данно)! статьи. Именно, если в начальный момент времени £ = О известно поле Е(0,х) = Ео(х) и Н(0,х) — #0(х), х € то его эволюция во времени определена согласно следующим формулам, являющимся аналогом формул Кирхгофа для скалярного волнового

уравнения

Л

eE(t,x) = —(t(M+eEo)(t,x)) + t(M-(iotHo)){t,x),

л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

//#(*,*) = -i(M+(rot£^))(i,x) -f —(t(M-pH0){t,x)).

Разумеется, здесь предполагается, что бхчеЕа = 0, ¿\урНо = 0. Кроме того, среднее значение

вектор-функции >~р берется по поверхностям ег±(ж,2), полученным из "кусков" сг± нормальной поверхности, определенных согласно формуле (11), переносом начала координат в точку х и растяжением в £ > 0 раз вдоль каждого луча, проходящего через начало координат. Кроме того, |сг±(ж,<)| есть площадь соответствующего "куска" нормальной поверхности, а йа± - элемент ее площади.

Когда VI = г/2 = г/3, то эти "куски" сливаются в одну поверхность а0 с уравнением р(п) = 2, и формулы упрощаются, поскольку тогда М+ = М_ = М0. Еще значительнее они упрощаются, когда р = 1, ех = е2 = £з = е, поскольку тогда поверхность <70 обращается в сферу. По-видимому, и в общем случае, когда е и р не имеют общих главных осей, эти формулы остаются в силе, однако какие-либо сведения о строении поверхности а и ее "кусков" сг±, по-видимому, отсутствуют.

[1] Ф е д о р о в Ф. И. Оптика анизотропных сред. Минск, изд-во АН БССР, 1958.

[2] Ф е д о р о в Ф. И. Теория гиротропии. Минск, изд-во "Наука и техника", 1976.

[3] Б о р н М., Вольф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973 (М. Born, Е. Wolf. Principles of Optics, Fourth Edition, Pergamon Press, 1968).

[4] Ландау Jl. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред, издание третье, исправленное, М., Наука, 1992.

[5] Ж у р а Н. А. Задача Коши для системы кристаллооптики. В: "Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов", с. 72-73, Суздаль, 1-6 июля, 2002 г.

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 30 сентября 2004 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.